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Cette semaineCette semaineune enquêteune enquête
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MathSVMathSV
5 1 seule fois, svp
Primitives – Primitives – IntégrationIntégration
un dernier un dernier exempleexempleLa probabilité de rencontre La probabilité de rencontre
entre deux individus d’une entre deux individus d’une même espècemême espèce
7
Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer au temps au temps tt
1
12
tf t t e
8
Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer entre entre tt11 et et tt22
t1
t2
2
1
t
t
p f t dt
9
0
?f t dt
10
0
1f t dt
La modélisationLa modélisation
L’exemple des tourterelles en L’exemple des tourterelles en Grande BretagneGrande Bretagne
12
Croissance d’une population de Croissance d’une population de tourterellestourterelles
Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 !
On s’intéresse à l’accrois-sement de la populationde ces tourterelles en GB.
13
Données de recensementDonnées de recensementTemps Nombre
de lieux
1955 1
1956 2
1957 6
1958 15
1959 29
1960 58
1961 117
1962 204
1963 342
1964 501
0
α tN t =N e
14
Un autre regardUn autre regard
Variation du nombre de lieux :Variation du nombre de lieux :
N = N = N N tt
15
Un autre regardUn autre regard
L’accroissement du nombre de lieux :L’accroissement du nombre de lieux :
N = N = N N tt
16
Un autre regardUn autre regard
L’accroissement du nombre de lieux :L’accroissement du nombre de lieux :
N = N = N N tt
D’autres hypothèses :D’autres hypothèses : Les individus sont isolés les uns des autresLes individus sont isolés les uns des autres Pas de compétition intra-spécifiquePas de compétition intra-spécifique Ils sont bien représentés par leur moyenneIls sont bien représentés par leur moyenne Pas de variabilité individuellePas de variabilité individuelle
17
N N t
NN
t
NN
tdd
Équation différentielle
Solution
0
α tN t =N e
Accroissement
Accroissement relatif
t 0
18
Retour sur un autre Retour sur un autre exempleexemple
Lors de l’administration d’un médicament Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, la quantité de par injection intraveineuse, la quantité de médicament dans le sang (QMS) est médicament dans le sang (QMS) est instantanément maximale, puis décroît… instantanément maximale, puis décroît… pourquoi ?pourquoi ?
0.13 tQMS t e
19
Exemple en Exemple en pharmacocinétiquepharmacocinétique
A chaque instant t, la , la variationvariation de la quantité de de la quantité de médicament dans le sang est médicament dans le sang est proportionnelleproportionnelle à la à la quantité de médicament dans le sang à l’instant quantité de médicament dans le sang à l’instant tt : :
QMSQMS
td
d
Équation différentielle
Solution
0
α t-QMS t =QMS e
0QMS =3
=0,1
Les Les équations équations différentiellesdifférentielles
21
Un peu d’histoireUn peu d’histoire La notion d'équation différentielle apparaît chez La notion d'équation différentielle apparaît chez
les mathématiciens à la fin du les mathématiciens à la fin du XVIIXVIIèmeème siècle siècle.. LeibnizLeibniz sera sera l'inventeurl'inventeur en en 16861686, en même temps , en même temps
que que NewtonNewton, du , du calcul différentiel et intégralcalcul différentiel et intégral.. A cette époque, les équations différentielles A cette époque, les équations différentielles
s'introduisent en mathématique par le biais de s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine problèmes d'origine mécaniquemécanique ou ou géométriquegéométrique..
Ce n’est qu’au Ce n’est qu’au XXXXèmeème siècle siècle que les équations que les équations différentielles trouvent de nombreuses différentielles trouvent de nombreuses applications dans les applications dans les Sciences de la Vie Sciences de la Vie
22
DéfinitionDéfinition
On appelle On appelle équation différentielleéquation différentielle une une relationrelation entre les valeurs de la entre les valeurs de la
variable variable xx et les valeurs et les valeurs yy, , yy’, ’, yy’’, …, ’’, …, yy(n)(n) d’une fonction inconnue d’une fonction inconnue yy((xx) et de ses ) et de ses
dérivées au point dérivées au point xx..
: , , , , , 0 nnE F x y y y y
1 : , , 0 E F x y y y y
y x
23
Lexique généralLexique général
dy
y xdx
Dérivée première
Dérivée n ième
y y
n
n
n
d yy x
dx
24
Lexique généralLexique général
Résoudre (intégrer)Résoudre (intégrer)
Conditions initialesConditions initiales
Solution particulièreSolution particulière
Courbe intégraleCourbe intégrale
y y
xy y y x Ke
00 y x y
0 xy x y e
0.13 xy x e
25
Une infinité de solutionsUne infinité de solutions
y’y’ yy((xx) : notion de primitive) : notion de primitive Si Si yy((xx), alors ), alors yy((xx) + Cste est aussi ) + Cste est aussi
solutionsolution
y y
xy x Ke
1 xy x e K
2 2 xy x e K
26
Un exemple trivialUn exemple trivial
On cherche On cherche yy((xx) telle que ) telle que y’ y’ ((xx) = ) = xx On cherche la primitive de On cherche la primitive de yy((xx) :) :
y x
2
2 x
y x Cste
27
Pour aller plus loinPour aller plus loin
y y
y x y x
Quelques méthodes Quelques méthodes typestypes
28
Équations Différentielles Équations Différentielles d’ordre 1d’ordre 1
1.1. À variables séparablesÀ variables séparables2.2. HomogènesHomogènes3.3. LinéairesLinéaires
Sans second membre (SSM)Sans second membre (SSM) Avec second membre (ASM)Avec second membre (ASM) À coefficients constantsÀ coefficients constants
Condition initiale :Condition initiale : 0 0f x y
Prochain RDVProchain RDVVendredi 01/10 à Vendredi 01/10 à
8h158h15Équations DifférentiellesÉquations Différentielles
Suite et finSuite et fin
ATTENTIONATTENTION, vendredi , vendredi EVALUATION TDEVALUATION TD
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