3. Logique et mathématiques

3. Logique et mathématiques

Frege

Frege

(1848 – 1925) Après que la

mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser

Manque de rigueur?

Newton: les fluxions o : une « particule atomique de temps », un

« infiniment petit » mais infiniment petit : terme contradictoire Paradoxes de Zénon Séries infinies

...11111111

....000...)11()11()11()11(

...1)11()11()11(1

1)11()11()11(1...11111111

Niels Abel (1826):– « [les séries divergentes]

sont quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration… Ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et causé tant de paradoxes »

Niels Abel

La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss.

  Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à même pas 27 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.

Cauchy, Weierstrass

quand n tend vers si et seulement si :lun

luNnnN n)(0

La Begriffschrift-1

« je n’ai pas voulu faire un simple calculus ratiocinator, mais une lingua characterica au sens de Leibniz »

La Begriffschrift-1

Sujet / Prédicat Objet / Fonction x2 – 4x _ conquit la Gaule Les objets (expressions saturées) ont une

dénotation Donc aussi les propositions La dénotation d’une proposition est soit le vrai,

soit le faux

Idée de système formel Les déductions obtenues « par le seul

moyen des règles données pour l’utilisation de nos signes »

Comme chez Euclide : axiomes)( aba

))()(())(( acbcabc ))()(()( acbcab

La Begriffschrift-2

aba

acbcabc

acbca

axiomes

A

Règle d’inférence

A

A

A

baab

aa

aa

négation

axiomes

acbcabcab

aba

acbcabc

soit à prouver : avec les axiomes

Exemple de déduction

ab

aba

acbcabc

dans

mettre à la place de a

et à la place de b

acbcabc

acbcabc

ab

acbcabc

acbcabc

ab

acbcabc

acbcabc

ab

ab

acbcabc

acbcabc

(A)

(a)a

(a)a

(a)a

A

Fonctions et champ

Beaucoup de flèches n’ont pas atteint la cible

Pas beaucoup de flèches ont atteint la cible

la cible n’a pas été atteinte par beaucoup de flèches

(a)a

A

(a)a

A

assertions et contenus