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Analyse des données. Plan. Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions. Échantillon vs population. Une mesure échantillonne une population La distribution de l’échantillon approxime celle de la population - PowerPoint PPT Presentation
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Analyse des données
Plan
• Lien entre les statistiques et l’analyse des données
• Propagation des erreurs
• Ajustement de fonctions
Échantillon vs population
• Une mesure échantillonne une population
• La distribution de l’échantillon approxime celle de la population
• La précision sur les estimations augmente avec la taille de l’échantillon N
Exemple de comptage
n = 100
09,0/
92,0
07,0
100
n
µ
n
n = 1000
03,0/
01,1
03,0
1000
n
µ
n
n = 1 000 000
001,0/
0003,1
00076,0
1000000
n
µ
n
Précision sur la moyenne
• L’estimation de la moyenne s’affine avec N
Nµ
µxN
µxN
xN
µ
i
i
i
22
22
1
1
1
1
Population
Échantillon
Erreur sur une variable dépendante
3,3
10
3/
y
x
xy
Erreur sur une variable dépendante
15
5
3
y
x
xy
Erreur sur une variable dépendante
x
yxy
Propagation d’erreurs
?
),(
1
1
f
yyy
xxx
yxff
Propagation d’erreurs
Propagation d’erreurs
• x et y sont des variables indépendantes
• Et x et y sont des erreurs indépendantes
• Leurs effets s’additionnent quadratiquement
Propagation d’erreur
...22
2
y
fy
x
fxf
pour des incertitudes indépendantes
Propagation d’erreurs
xbf
aef
yxfaxyf
babyaxf
fbx
yxf
yxf
2
2
2
2
2
2
22222
(sans corrélations)
Moyenne pondérée
• Plusieurs mesures de x (x1, x2, ... xi,, ... xn)
• Différentes précisions (1, 2, ... i,, ... n)
• On cherche la meilleure évaluation de la moyenne µ
• Les mesures précises doivent contribuer davantage
Moyenne pondérée
2
2
2
2
11
1
i
µ
i
i
ix
µ
Si tous les i sont égaux,
NN
xµ i
µi
22
Ajustement de courbes
• Soit f(x) une fonction physique
• On fait une mesure de f(x) en x = x1
• On cherche la probabilité que la mesure soit bonne
2
2
1
1
1
1
2
1
yy
eP
2)(
2
1
2
1
i
ii yxf
ii eP
• La probabilité totale est
222
2
2
2)(
2
1
)(
2
1exp
2
1
)(
2
1exp
2
1
2
1
i
i
i
ii
i
i
ii
i
yxf
ii
yyxf
yxf
ePP i
ii
• La valeur de P ou de 2 nous dit si les mesures représentent bien la théorie
Ajustement
• En général, la situation est inversée
• On ne connaît pas f(x)
• Mais on connaît (ou on essaye) une forme– droite– polynôme– fonction arbitraire
Ajustement
• On cherche les ai qui maximisent P– Vraisemblance maximale– Maximum likelihood
• Ou qui minimisent 2
– Moindres carrés
),(,...),,,()( iaxfcbaxfxf
Régression linéaire
• On veut passer la meilleure droite à travers n points expérimentaux
bxaxf )(
Régression linéaire
• On cherche a et b qui minimisent 2
• 2 équations, 2 inconnus (a et b)
0 022
ba
Régression linéaire
02
02
)(
2
2
2
2
22
2
i
iii
i
ii
i
ii
i
ii
ybxax
b
ybxa
a
ybxayxf
0
01
22
2
22
2
2222
i
ii
i
i
i
i
i
iiii
i
i
i
i
ii
ii
yxxb
xa
yxbxax
yxba
ybxa
2222
2222
2
2
22
2
2
11
1
1
i
i
i
i
i
ii
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
yxyxb
yxxyxa
xx
Incertitudes égales(votre calculatrice)
iiii
iiiii
ii
i
yxyxNb
yxxyxa
xxN
1
1 2
22
Régression linéaire
• 5 mesures
• f(x) = 3x + 7• a=7 b=3
2 = 10,1
• a = 5,9 b = 2,9
2min = 5,9
Contours du 2
Incertitude sur les paramètres
• a et b dépendent des yi
• a et b dépendent des i
• On applique la règle de propagation
égaux) ( 1
égaux) ( 11
égaux) ( 1
22
2
2
2
2
2
2
22
2222
2
iiii
i
i
i
i
iii
ib
iii
i
iia
xxNxx
Ny
b
xx
y
a
Incertitude sur les paramètres
2
2
2
2
2
22
222
1
11
1
i
i
i
i
i
iiib
i
i
iia
xx
y
b
x
y
a
170
41
92,2
5,9
,
,
b
a
b
a
Incertitude et 2
87,61
87,52min
2min
Incertitude et 2
• La régression linéaire trouve le minimum du 2
• Un écart-type sur les paramètres correspond à une augmentation de 1 du 2. Pourquoi ?
• Les courbes de niveau indiquent la corrélation entre les paramètres
Incertitude et 2
2
22
2
2
1exp
2
1
)(
i
i
i
i
ii
P
yyxf
Gaussienne d’écart-type = 1L’incertitude représente une variation de 1 du 2
Corrélation linéaire
• On peut toujours passer une droite par des points
• Mais ces points peuvent-ils être décrits par une droite ?
• Le coefficient de corrélation linéaire r nous donne la réponse
Corrélation linéaire
• b = 2,7 b’ = 0,33• r = sqrt(bb’) = 0,95
• b = 0,29 b’ = 0,33• r = sqrt(bb’) = 0,31
Élimination de données suspectesCritère de Chauvenet (pp. 154-156)
• Soit 5 mesures : 38 35 39 39 34 18• Faut-il rejeter la dernière valeur ?• Si on peut expliquer notre erreur, oui.• Sinon, il faut réfléchir• <x> = 34 =8• Si on enlève, on a <x> = 37• La valeur de 18 s’écarte de 2 de la moyenne
• Ceci n’est jamais impossible et devrait se produire ~ 1 fois sur 20
• Mais on n’a que 6 données• On attend donc ~ 0,3 données de ce type et on
l’écarte• Critère de Chauvenet
• On écarte si 5,0NPn
Attention à l’auto-censure
• Expérience de Millikan
• e = 1,592 × 10-19 C
• e = 1,602 × 10-19 C
• Temps de vie du muon
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