Avec du carton et dix doigts construction. L'heure au cadran2/52 Un beau programme dans les...

avec du carton et dix doigts

construction

L'heure au cadran 2/52

Un beau programme dans les temps

Le cadran équatorialTracéDécoupageMontagePositionnement

Le cadran horizontal et verticalCalculTracéMontage

L'heure au cadran 3/52

Cadrans équatoriaux

PôleNord

Peut-on préciser l’époque de la prise de vue ?

Le plus grand cadran solaire du monde

PôleNord

Où ?Jaïpur

RajasthanInde

Entre 22 septembre et 21 mars, le Soleil est sous l’équateur.

L'heure au cadran 4/52

Le cadran équatorial

Constitué

D’un cadran plan, parallèle à l’équateur et gradué en heures d’angle sur ses deux faces.

D’un style orthogonal au cadran et pointant le pôle céleste.

L’ombre du style donne l’heure solaire.

La lecture de l’heure se fait :- printemps et été, sur la face côté nord- automne et hiver, sur la face côté sud

pôle céleste NordCadran // au plan équatorial

L'heure au cadran 5/52

Cadran équatorial

On part d’un carré de carton de côté 2a et d’un morceau de tourillon qui fera le style.

- Tracé des heures

Les cartons carrés de même dimension qui font les plans horizontal et vertical, servent à tenir style et cadran équatorial.

Ultérieurement on les transformera en cadrans horizontal et vertical.

L'heure au cadran 6/52

Cadran équatorial - Tracé des heures

Pour tracer les traits des heures, deux méthodes :

règle et compas

rapporteur

11

1

1415

16

17

18

19

20

1213

2221 023

4

5

6

7

8

910

2 3

L'heure au cadran 7/52

Tracé repères heures du cadran équatorial à la règle et au compas

Tracé des deux diagonales

Tracé du centre aux milieux des bords :

lignes de 3, 9, 15 et 21 heurescentre

lignes de 0, 6, 12 et 18 heures

On trace un cercle C1 de rayon R centréIntersections de C1 avec un cercle de même rayon R et centré en W

lignes 2 et 10 heures

Intersections de C1 avec un cercle de même rayon R et centré en D (C2)

lignes 7 et 23 heures

3

915

21 0

6

12

18W

2

10Idem pour lignes 8 et 16 heures (point N) N

E

S

Idem pour lignes 14 et 22 heures (point E)Idem pour lignes 4 et 20 heures (point S)

D

7

23

(C2)

Idem pour les autres heures avec les autres diagonales

L'heure au cadran 8/52

Cadran en carton

Pour construire le cadran, il faut connaître - la position des points A et B intersections du style avec le plans vertical et le plan horizontal, - les longueurs AB, BC et AC du style.

AB = AC + BC

H est le pied de la verticale passant par A.

Le carré équatorial à un côté de 2a.

L’angle HBC est la hauteur du pôle au-dessus de l’horizon.

angle HBC = latitude du lieu ?

HC = a

L'heure au cadran 9/52

Calculs

Position de B (long. HB) ?

sinsin

a

HBHB

a

Position de A (long. HA) ?

coscos

a

HAHA

a

Longueur BC ?

tantan

a

BCBC

a

Longueur AC ?

tan tan AC

aAC a

Longueur AB = AC+BC ?

AB aa

(tantan

)sin co s

1

Base : a demi côté du carré

L'heure au cadran 10/52

Feuille calculs positions et longueur style

Formules :

HA cel. B9 =B4/COS(RADIANS(B5))

AB cel. B15 =B13+B14

HB cel. B10 =B4/SIN(RADIANS(B5))AC cel. B13 =B4*TAN(RADIANS(B5))CB cel. B14 =B4/TAN(RADIANS(B5))

Fich. excel : cadran_calculs.xls

Fich. texte : cadran_equat.pdf

Découper le style AB, y marquer C

Percer le carré équatorial en C et le carré vertical en A.

Travail manuel

Choisir ale demi-côté

Couper le tourillon à AB+ qq cm

L'heure au cadran 11/52

p lanv ert ica l

PôleNord

p la né q u a to r ia l

Ouest

Est

Sud

Nord

H

C

plan

horiz

onta

l

la titu de

B

style

A

H’

L’ombre du style se projette sur les trois plans

H’C donne l’heure lue sur le cadran équatorial

H’B est le repère de la même heure sur le cadran horizontal

H’A est le repère de la même heure sur le cadran vertical

Cadrans vertical et horizontal

Pour tracer les traits des heures sur le cadran vertical, il suffit de relier A aux intersections de OE avec les lignes d’heures du cadran équatorial (ou leurs prolongements).

Idem pour le cadran horizontal et le point B.

Équatorial : H’CVertical : H’AHorizontal : H’B

L'heure au cadran 12/52

Tracé cadran horizontal Plan équatorial

Plan horizontal

Ouest Est

Axe Est-Ouest

Prolongements

C

Tracés

Tracés prolongés

Opération identique pour le cadran vertical

Tracés symétriques Est Ouest

B

L'heure au cadran 13/52

Calcul cadran horizontal

C

Opération identique pour le cadran vertical

Tracés symétriques Est Ouest

Ouest Est

On peut calculer les angles en B pour chaque heure.

MH

15 h

Voir fichier tableur excel cad_calculs.xls

B

HM CH a tan tan

tantan )

sin

sin tan ( )HBMHM

HB

aa

Positions des points M

L'heure au cadran 14/52

Calcul cadran horizontal

Fichier tableur excel cad_calculs.xls

L'heure au cadran 15/52

Cadrans déclinants

Si le mur vertical qui porte le cadran n’est pas aligné plein Sud, il est dit déclinant.

Soit l’angle de déclinaison (ne pas confondre avec les coordonnées horaires) entre la direction sud et la perpendiculaire au mur.

Le principe du tracé est le même :

Il faut calculer l’angle de rotation-rabattement

C

Plan équatorial rabattu

E

O

axe de rabattement

A

Plan vertical

H

P

M

L'heure au cadran 16/52

Positionnement et intersections des plans

L’intersection des plans équatorialet vertical

n’est plus la direction Est-Ouest

Les deux plans se coupent suivant HP qui fait avec- La direction Est-Ouest du plan équatorial l’angle - le plan horizontal l’angle

Le mur est tourné d’un angle par rapport à la direction Sud

Complément de la latitude

Les traits des heures des cadrans équatorial et vertical se rejoignent sur HP.

Formules et calcul sur tableur

L'heure au cadran 17/52

Feuille calculs angle de retournement rabattement

Segment OM =B21*TAN(RADIANS(B20))OM a tan

Segment MP =B23*TAN(RADIANS(90-B5))MP OM tan ( )90

=B21/COS(RADIANS(B20))Segment HM HMa

cos

=B23/COS(RADIANS(90-B5))Segment OP OPOM

cos( )90

=B21/COS(RADIANS(B27))

=DEGRES(ATAN(B26/B21))

Angle

aOP

atan

Segment HP HPa

cos

=B27+B30Rotation

L'heure au cadran 18/52

FINqui trop me regarde perd son temps