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CALCUL D'UN ARC ISOSTATIQUESOUMIS À DES CHARGES UNIFORMÉMENT RÉPARTIES
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CALCUL D'UN ARC ISOSTATIQUESOUMIS DES CHARGES UNIFORMMENT RPARTIES
L'arc ACB est articul aux points A, B et C (cl). Il est soumis une charge uniformment rpartie d'intensit q. On note h la hauteur de l'arc et l sa porte. L'arc peut tre circulaire, parabolique ou quelconque.
Rsolution :Calcul des ractions d'appui l'aide du Principe Fondamental de la Statique :La structure et le chargement sont symtriques. L'arc est isostatique.En crivant que le moment au point C est nul, on dispose d'une quation supplmentaire permettant de calculer la composante horizontale des ractions d'appuis.
Philippe Lawrence 1
X
Y
q
A
C
B
Y
X
q
X A
Y A
X B
BY
Les calculs donnent :
X A=ql 2
8h
X B=ql 2
8h
Ces ractions d'appuis horizontales s'appellent la pousse de l'arc. Contrairement une poutre droite, l'arc cre des pousses horizontales qui devront tre reprises par les massifs de fondation.
Y A=ql2
Y B=ql2
est l'angle form par les directions de X et X'. Il vient :
tan=dydx
cos= dxdx 2dy 2
= 1 tan21
sin= dydx2dy2
=1
cot21
En appliquant le PFS au tronon d'arc isol, et en projetant sur les directions horizontales et verticales; il vient :
Philippe Lawrence 2
Y
AX
q
X'
Y'
x
y
Ncos Vsin X A=0Nsin VcosY Aqx=0
Mqx2
2X AyY A x=0
En rsolvant le systme d'quations, on obtient :
N=ql2
8hcosqsinl
2x
V= ql2sin
ql2
8hcos2sin
qcos l2x
N
q V
X AAY
M
N est ngatif quel que soit x, l'arc est donc entirement comprim. Une poutre droite soumise au mme type de charge ne subirait pas d'effort normal.
M=qx2lx ql
2y8h
Cas particulier :On remarque que le moment s'annule si :
y=4hxlx l 2
Le moment est donc uniformment nul si l'arc est parabolique. Le but d'une structure en arc est de rduire le moment flchissant.
Philippe Lawrence 3
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