CFAO 2013-2014.pdf

Conception et Fabrication Assistes par Ordinateur - Gnie Mcanique - ENP Oran A. NOUREDDINE

Ecole Nationale Polytechnique dOran

Dpartement de Gnie Mcanique

Conception et Fabrication Assistes par Ordinateur

(CFAO)

(Notes de cours)

INTRODUCTION A LA C.F.A.O LES MODELISATIONS GEOMETRIQUES EN DAO ET CAO

LES COURBES DE BEZIER LA TECHNOLOGIE DE GROUPE

LES SYSTEMES FLEXIBLES DE FABRICATION

A. NOUREDDINE 2013/2014

Introduction la CFAO 1


INTRODUCTION A LA C.F.A.O

La conception et la fabrication assistes par ordinateur se dfinissent comme l'ensemble des aides informatiques au bureau d'tudes, au bureau des mthodes et l'atelier de fabrication, de l'tablissement d'un cahier de charges relatif un nouveau produit jusqu' la gnration des documents et des fichiers ncessaires la fabrication et la fabrication elle-mme.

Les techniques utilises permettent l'homme et la machine d'tre lis pour rsoudre un problme en utilisant au mieux les comptences de chacun. L'historique de la CFAO nous permet d'affirmer que ses dbuts remontent aux annes 1950. Il a t ds lors possible (annes 70) de mettre en place des logiciels spcifiques destins rsoudre le problme des surfaces complexes pour l'industrie aronautique et automobile.

Les annes 80 ont vu l'arrive de la reprsentation 3D volumique (ou solide) qui permet une interprtation non ambigu des pices mcaniques.

La reprsentation 3D volumique se caractrise par la dfinition des lignes caches, l'obtention automatique des coupes et sections Malgr les progrs technologiques, force est de constater que vers le fin des annes 80, la CFAO est reste essentiellement un outil de prsentation des pices et assemblages plutt qu'un outil de conception.

Au dbut des annes 90, une nouvelle approche rvolutionne la CFAO traditionnelle. L'ide est de ne plus considrer la gomtrie comme l'information de base, mais plutt d'interprter la pice comme un ensemble logique et cohrent de "fonctions mcaniques", la gomtrie 2D ou 3D n'est plus qu'un attribut de ces fonctions.

Du point de vue de son volution, la CAO en est maintenant la 6 gnration aprs tre passe par

1950-1970 : 1re gnration de CAO (2D) : systmes bass sur le graphisme ; 1960-1980 : 2e gnration de CAO (2,5D) : systmes bass sur la notion de profondeur ; 1970-1990 : 3e gnration de CAO (3D) : systmes gomtriques ; 1980-2000 : 4e gnration de CAO (3,5D) : systmes utilisant les entits ; 1990-2010 : 5e gnration de CAO (4D) : systmes base de rgles de dductions ;

Une tendance partir des annes 2000 est de dvelopper des systmes bass sur linduction (6e gnration de CAO ou 5D).

Introduction la CFAO 2


La Fabrication Assiste par Ordinateur est apparue dans les annes 1970 avec l'introduction des machines-outils commande numrique dont la technologie est sans cesse en volution mais reste base sur les mmes principes.

La conception et fabrication assistes par ordinateur (CFAO) est la synthse de la CAO et de la FAO.

L'ide est qu'un systme de CAO dispose prcisment de toutes les informations ncessaires pour crer le programme d'une machine-outil commande numrique et que dans ces conditions traiter les deux questions sparment reprsenterait une perte de temps et d'argent, sans compter les risques d'erreur de transcription.

Au dpart, la CFAO visait surtout commander les machines-outils pour la ralisation des maquettes et prototypes, mais la fiabilit du procd fait aujourd'hui intervenir l'ordinateur sur tout le cycle de production. Les maquettes sont au passage galement devenues virtuelles. Des interfaces d'exportation comme IGES, STEP, permettent galement l'importation des schmas, des plans, des solides dans la documentation technique des objets fabriqus.

Finalement la CFAO c'est :

1 - Avoir une ide 2 - Concevoir 3 - Fabriquer 4 - Assembler

1+2 = C.A.O

3+4 = F.A.O

C.A.O + F.A.O = CFAO

Les modlisations gomtriques en DAO et CAO 3


LES MODELISATIONS GEOMETRIQUES EN DAO ET CAO

SOMMAIRE

1. Introduction 1.1. DAO et CAO 1.2. Le modle gomtrique

2. La modlisation bidimensionnelle 2. 1. Introduction au 2D 2.2. La modlisation 2D

2.2.1. Dfinition 2.2.2. Avantages 2.2.3. Inconvnients

3. Les modlisations tridimensionnelles 3.1. Introduction la 3D

3.1.1. Avantages 3.1.2. Inconvnients

3.2. La modlisation filaire 3.2.1. Dfinition 3.2.2. Avantages 3.2.3. Inconvnients

3.3. Les modlisations surfaciques 3.3.1. Dfinition 3.3.2. Avantages 3.3.3. Inconvnients

3.4. La modlisation volumique 3.4.1. Dfinition 3.4.2. Avantages 3.4.3. Inconvnients



Les modlisations gomtriques en CAO et DAO

1. Introduction

Le domaine de la modlisation gomtrique et du solide est la base de la CAO mcanique et d'applications graphiques avances. Il s'agit de reprsenter fidlement des objets et d'tre capable, partir de l de rsoudre des problmes gomtriques, physiques,.... et de reprsentation graphique. Cest une reprsentation dobjets rels du point de vue de leurs proprits gomtriques (et non pas fonctionnelles).

Dans les annes 70, les logiciels de CAO (Conception Assiste par Ordinateur)

ntaient que des logiciels de DAO (Dessin Assist par Ordinateur). Ils ont volu petit petit grce, dune part laugmentation des performances du matriel informatique et dautre part la recherche dans le domaine du logiciel. Limportance du modle gomtrique 3D qui est le cur des logiciels de CAO nest plus dmontrer.

Les premires tentatives pour reprsenter des solides ont t dues des problmes qui ntaient pas directement lis la CAO (on nemployait dailleurs pratiquement pas ce terme lpoque), mais des contraintes spcifiques. En effet, la ncessit de manipuler graphiquement des objets a rapidement conduit se poser le problme de leur reprsentation en machine.

Parmi les premiers systmes bass sur la modlisation des solides, on peut citer, ds le dbut des annes 70, EUCLID, en France (CNRS) et EUKLID en Suisse. La motivation des concepteurs dEUCLID se trouvait dans la ncessit de disposer dune maquette virtuelle pour traiter des problmes de soufflerie.

Aux Etats-Unis un certain nombre dtudes ont t lances, alors mme que les

systmes dits cls en main , qui provenaient de ce mme pays, ont conserv trs longtemps (y compris au dbut des annes 80), une approche fil de fer . Le principal projet est connu sous le terme PADL, et il reste indiscutablement lapproche la plus formalise de la modlisation des solides. Il a dbouch sur des systmes industriels, parmi lesquels le plus caractristique est probablement GMSOLID (General Motors). Dautres dveloppements (avec Hanratty, par exemple), bien que moins avancs dun point de vue formalisation, ont permis des implantations dans de nombreux systmes industriels (AN VIL, par exemple).



Le Japon, bien que relativement peu connu dans le domaine de la CAO, a vu se

dvelopper, essentiellement dans le cadre universitaire, des modles de solides, comme GEOMAP, vers 1978, ou TIFS (avec une des premires approches comportant des notions de botes), qui sont eux aussi des systmes gnriques.

Enfin, lEurope a vu galement se dvelopper des projets autour de la modlisation des

solides, comme COMPAC ou ROMULUS. Paralllement ces projets se dveloppaient, chez les fournisseurs de CFAO et chez de

grands utilisateurs, des systmes rpondant des besoins spcifiques, le plus souvent dans le domaine de la modlisation des surfaces. Ce fut tout particulirement vrai pour la modlisation des surfaces, avec les travaux de Coons, Bzier, De Casteljau et dautres, dont les avances thoriques sont encore la base des systmes daujourdhui. Dautres dveloppements, lArospatiale ou chez Dassault, allaient conduire des systmes commercialiss par la suite (STRIM, CATIA, ...).

Il est noter que les travaux sur les surfaces se sont longtemps dvelopps de manire totalement indpendante de ceux sur les solides. En ralit, ces deux approches rpondaient deux grandes catgories de problmes et ont fait appel des mthodes de rsolution trs diffrentes ( mathmatique pour les surfaces, structure de donnes pour les solides). Ce fut galement le cas pour des systmes dont la vocation pragmatique, au sens o ces systmes taient directement utilisables en bureaux dtudes sans remettre en cause les mthodes de travail, tait vidente.

Plus particulirement orients vers le 2D (ou le 2D 1/2), ces projets ont dbouch sur des systmes tels que CADAM (Lockheed). On peut remarquer enfin, que des mthodes trs actuelles (conception paramtrique, gomtrie variationnelle), taient dj prsentes dans plusieurs travaux ds le dbut des annes 1980.

Notons le fait que la plupart des algorithmes que lon considre comme lis la modlisation gomtrique ont t dfinis ds le dbut des annes 1970, que ce soit pour les aspects visualisation (les fondements de la plupart des algorithmes dlimination des parties caches datent davant 1972) ou pour le calcul du rsultat dune opration boolenne sur deux solides. Cela ne signifie pas que les solutions proposes aient t parfaitement formalises, mais elles avaient le mrite de fonctionner correctement.



1.1. DAO et CAO Un logiciel de DAO peut-tre considr comme un logiciel part entire ou comme un

module, intgr dans un ensemble, appel logiciel de CAO. Il est important de noter que les appellations les plus courantes actuellement distinguent les logiciels de

DAO pour les modles bidimensionnels (2D) ils ont une connaissance des objets limite des vues planes, sans relations entre ces vues. Ils sont bien adapts au dessin industriel. Certains outils (de type trait de rappel) peuvent faciliter des relations partielles entre vues.

CAO pour les tridimensionnels (3D)

Ces modles sont subdiviss en trois classes principales

les modles fil de fer (wireframe) : un objet est connu par ses sommets et les artes qui joignent ces sommets;

les modles surfaciques : les surfaces dun objet sont connues, mais pas la matire;

les modles de solides: les objets sont parfaitement (au moins en thorie) connus.

1.2. Le modle gomtrique

Le terme de modle gomtrique est entendu au sens d'un ensemble d'outils

mathmatiques (en particulier gomtrie analytique) permettant de dfinir (gomtriquement et topologiquement), dans la machine, la forme de ce qui sera un objet ou un ensemble d'objets matriels (aprs fabrication).

modle paramtr

il est en gnral dcrit par programmes. Il est videmment surtout intressant dans le cas o lon peut dcrire des lments en fonction de paramtres. Le paramtrage interactif devient un aspect bien trait dans certains systmes. On ne conserve que la faon dont doit tre construit lobjet en fonction de certains paramtres. En gnral les objets paramtrs sont dcrits par des programmes, maintenant en interactif, auquel cas le modle peut tre du type historique . Un objet particulier est donc simplement dcrit par le modle gnrateur de toute la famille et des paramtres dfinissant cet objet en particulier.



modle mathmatique

essentiellement appliqus aux courbes et surfaces. Les courbes sont en gnral dcrites par morceaux . Cette dfinition impose des contraintes, par exemple pour les raccordements rayon constant ou volutif. On utilise dans tous les systmes des reprsentations sous forme polynomiale. De nombreux travaux restent en cours sur ces reprsentations. Les deux types de modles les plus courants dans les systmes de CFAO sont les courbes et surfaces de Bzier, les courbes et surfaces B-spline. Les modles mathmatiques sont intressants car lon peut dduire les proprits directement du modle mathmatique utilis. Par exemple, on choisira une approche B-spline ou Bzier suivant le type dapplication (de nombreux paramtres permettent cependant de faire varier linfluence du contrle dans les deux cas).

modle CSG (Constructive Solid Geometry) la donne est une collection de formes primitives telles que demi-espaces, sphres, cylindres, domaines limits par des surfaces NURBS (Non-Uniform Rational Basis Splines) et une suite d'oprations boolennes (union, intersection, diffrence). Ce modle est appel ainsi parce quil peut tre reprsent par un arbre, bien quun modle plus gnral soit de type rseau. En gnral, on trouve aux feuilles de larbre les objets primitifs paramtrables et aux nuds les oprations. A chaque nud correspond un objet, mme si celui-ci nest pas rellement calcul . En fait, plutt que de parler darbre de construction il vaudrait mieux parler de conservation de lhistorique . Il y a une volont de conserver une information gnrique . Ces modles ont t introduits depuis relativement peu de temps dans les systmes de CAO. Ils sont assez souvent limits aux oprations boolennes et ne prennent pas forcment en compte tous les types dobjets.

modle BRep (pour Boundary Representation) la donne est une collection de morceaux de surfaces normalement orientes, censs constituer le bord de l'objet. On pourrait rsumer ce modle en disant que le systme conserve la peau de lobjet et sait, dans la modlisation solide, de quel ct est la matire.



Union Intersection

Diffrence

Oprations boolennes sur solides dans le modle CSG

Modlisation B-Rep Il existe dautres modles comme le modle spatial, mais tant trs peu utiliss

industriellement, il ne sera pas abord dans ce cours.

U

-



2 La modlisation bidimensionnelle 2. 1. Introduction au 2D

Le DAO permet de reprsenter un objet matriel de manire simple, en utilisant les techniques classiques du dessin industriel. Ce modle reprsente donc la pice par ses contours. Ce type d'outils est destin des dessinateurs industriels, en tant qu'outils de production de plans. Dans ce type de logiciels, le dialogue homme-machine utilise largement le vocabulaire et le processus mental de ce mtier.

Il est important de noter que souvent, beaucoup de logiciels de CAO sont utiliss pour leurs fonctions de DAO. 2.2. La modlisation 2D 2.2.1. Dfinition C'est la plus simple des modlisations. Elle permet la cration et la manipulation de dessins techniques. C'est un outil de traitement de dessins qui gre des points et des lignes sans aucune notion de pice (au sens mcanique du terme) comme un traitement de textes gre des caractres alphanumriques sans notion concernant le sens du texte. Si l'on veut transmettre d'autres informations, elles doivent tre explicitement indiques (par exemple le volume d'une pice, le nombre de vis d'un ensemble...) 2.2.2. Avantages Le 2D correspond au travail du dessinateur (pour des tudes simples). Il utilise les mmes mthodes de travail, ce qui en facilite l'apprentissage. Il facilite grandement les manipulations de dessins : que ce soit du transfert ou de la modification. Les facilits de modification induisent deux avantages importants :

rendre utile et productive la constitution d'une bibliothque des pices dj existantes. De plus (si la base de donnes des pices est correctement structure) cette bibliothque sera effectivement utilise par les dessinateurs car il est plus facile et rapide de modifier localement que de redessiner compltement (comme il est ncessaire de le faire sur une planche dessin) ;



permettre une amlioration de la justesse des plans. Quand on modifie un trac, il est facile de modifier la cote en mme temps (si le logiciel ne le fait pas lui mme). Les facilits de transfert et copie induisent, elles aussi, deux avantages importants :

permettre un gain de temps apprciable pour la constitution des plans de dtail

( partir du plan d'ensemble pralablement stock dans la machine);

faciliter le remontage sur plan du mcanisme partir des dessins de dfinition. Les sorties papier sur tables traantes permettent d'amliorer la qualit des tracs et des critures. A partir de l, il est possible de crer un standard. Il est important de noter que le 2D est trs souvent indispensable pour l'habillage et la cotation des plans.

2.2.3. Inconvnients La cration d'un plan d'ensemble prenait plus de temps que sur la planche dessin. Mais cette diffrence tend disparatre (et mme s'inverser) grce l'augmentation de rapidit et de capacit mmoire des nouveaux matriels. Par exemple, dans les annes 80, avec un PC/XT (8086), le temps-DAO est couramment gal 120-125 % du temps-planche. Avec un PC/AT (80286), ce temps descend 100-120 % et avec un PC quip d'un 80386, il est possible d'atteindre 80-90 % du temps-planche . Avec la puissance des PC actuels, le dessin-planche nest pratiquement plus utilis. En outre, ces logiciels ne permettent aucune relation entre les diffrentes vues d'une mme pice ou d'un mme mcanisme. C'est ce qui les a souvent fait appeler planches dessin lectronique. 3. Les modlisations tridimensionnelles 3.1. Introduction la 3D Il existe trois types de modlisation 3D : filaire, surfacique et volumique. Ces modlisations permettent une reprsentation relle des objets. Elles apportent une aide trs prcieuse quand la complexit des formes et/ou des reprsentations de ces formes devient trop importante pour la mthode classique du dessin technique utilise en 2D. Une des contradictions importantes que doivent rsoudre les modlisations tridimensionnelles est la ncessit d'une reprsentation, la plus relle possible, des objets et la ncessit d'un temps de rponse le plus rduit possible (pour l'affichage l'cran). Une solution est de faire varier la modlisation et/ou la reprsentation utilise en fonction du stade d'avancement des travaux o elle intervient. Par exemple, dans un mme logiciel,



peuvent exister plusieurs types de modlisations : filaire et surfacique ou surfacique et volumique, et diffrentes reprsentations : traits ou images (ombres, colores). 3.1.1. Avantages Le 3D permet souvent de diminuer (ou d'viter) l'tape coteuse (et fastidieuse) de la maquette. Ceci grce aux caractristiques suivantes :

Les visualisations possibles Il est possible de visualiser l'objet sous diffrents angles ; l'utilisateur dfinit lui-mme les directions d'observation qu'il dsire, et ceci d'une manire simple. Suivant le modle et le logiciel, il est galement possible de faire varier le type de reprsentation (ombrage, limination des artes caches...). Mais il faut noter que le 3D (les logiciels eux-mmes ou leur utilisation) ne doit pas se limiter faire de belles images.

L'ouverture du modle

L'ouverture du modle permet la connexion avec des logiciels spcifiques en vue de raliser diffrentes applications ou oprations telles que calculs de structures, laboration de gammes d'usinage, programmation de machines-outils commande numrique...

3.1.2. Inconvnients La modlisation 3D prsente un certain nombre dinconvnients, surtout en ce qui concerne :

filaire surfacique volumique

Les diffrents types de modlisation 3D



Les cots

Les logiciels 3D cotent plus cher que les 2D.

Les temps Ces logiciels possdent un nombre de commandes plus important et sont d'utilisation plus complexe ; ils demandent de ce fait souvent un temps d'apprentissage plus long que le 2D. Ils demandent aussi un temps d'adaptation plus important car ils apportent des changements plus profonds dans les mthodes de travail.

Les applications Les logiciels 3D ont une gamme d'applications diffrente du 2D. Le choix de ces applications doit tre srieusement tudi sous peine de se rvler trs pnalisant pour l'utilisateur, essentiellement en temps et en motivation.

3.2. La modlisation filaire 3.2.1. Dfinition Cette modlisation appele aussi linique, treillis, ou fil de fer (wireframe), est le premier niveau de modlisation dans l'espace. Elle utilise les mmes entits gomtriques que le 2D, en y ajoutant la troisime dimension. Elle est donc base sur des points et des lignes. L'objet est dcrit par ses sommets (points) et ses artes (lignes qui relient ces sommets). Pour grer la notion de pice, on ne pourra utiliser que des points appartenant aux artes car ce sont les seuls reprables. 3.2.2. Avantages Cette modlisation permet la reprsentation relle d'un objet dans l'espace. Les erreurs d'interprtation sont diminues (du fait des complments d'informations apports par la troisime dimension). Elle permet donc de traiter des gomtries plus complexes que le 2D. 3.2.3. Inconvnients Cette modlisation ne comporte pas les notions de surface et de volume bien que la visualisation obtenue puisse en donner l'ide . Il n'y a donc pas d'limination automatique des artes caches. Elle doit tre faite manuellement par l'utilisateur et cela peut apporter des ambiguts au niveau de la comprhension de la gomtrie de la pice.



Pour des pices dune relative complexit, on se trouvera vite confront des problmes de lecture de dessin, celle-ci devenant difficile au-del d'une certaine densit de traits (qui est, en gnral, vite atteinte). 3.3. Les modlisations surfaciques 3.3.1. Dfinition Cette modlisation est le premier outil du concepteur de formes car elle prend en compte la notion de surface dont elle permet la reprsentation et la manipulation. Un objet est dfini par son enveloppe, ses surfaces-frontires. On gre les intersections de surfaces et on applique des rgles de contrle topologique (ouvert/ferm, intrieur/extrieur) pour crer des objets. C'est le premier niveau de modlisation qui permet de traiter les parties caches. Il existe deux types de modlisation surfacique : par facettes planes et par surfaces gauches.

Par facettes planes C'est la mthode la plus couramment utilise en surfacique. L'objet y est reprsent par des facettes. On habille une structure filaire avec ces facettes polygonales planes (ou carreaux ). Il est possible d'obtenir une visualisation correcte de l'objet en utilisant un grand nombre de facettes.

Par surfaces gauches Cette mthode est employe quand la surface dfinir est trop complexe pour tre dfinie par des surfaces simples (planes, cylindriques, sphriques, coniques...). La surface dfinir l'est alors par des fonctions polynomiales paramtres. L'utilisation de ces fonctions donne une excellente approximation de la surface relle (et permet aussi l'obtention l'cran de son profil apparent). Son utilisation est indispensable pour la commande numrique, car on connat mathmatiquement tout point de la surface.

3.3.2. Avantages

Du surfacique en gnral Cette modlisation permet une dfinition prcise de la surface de l'objet, ainsi que des intersections de surfaces. Elle procure une nette amlioration de la visualisation, principalement par la possibilit d'limination automatique des artes caches.



C'est un niveau suffisant pour accder des calculs complexes dans de nombreux domaines.

Du surfacique facettes Elle permet de modliser n'importe quel solide, avec relativement peu de calculs. Elle convient trs bien pour des calculs de structure.

Du surfacique gauche Elle permet la dfinition des surfaces complexes qu'elle modlise bien. On peut connatre tout point de la surface et de plus, il y a la possibilit d'avoir la notion de matire (par exemple par la normale oriente la surface). Elle est donc indispensable pour la conception des surfaces complexes. Elle est aussi indispensable pour l'usinage par commande numrique (dfinition mathmatique des surfaces). Par rapport la modlisation par facettes, elle apporte une nette amlioration de la visualisation (en particulier par les possibilits d'ombrage et de coupe). Ce qui permet d'introduire des notions d'esthtique dans la reprsentation de la pice.

3.3.3. Inconvnients

Du surfacique en gnral Cette modlisation n'est pas toujours bien adapte la conception d'lments de machines. Les temps de rponse sont importants pour l'limination des artes caches.

Du surfacique facettes Ce modle est difficilement utilisable pour l'usinage par commande numrique, principalement pour des questions de temps de calcul. En effet, pour obtenir une surface lisse , on doit rduire la taille des carreaux, donc augmenter leur nombre, donc la dure des calculs.

Du surfacique gauche En ce qui concerne les objets complexes, les temps de rponse sont trs importants.



3.4. La modlisation volumique 3.4.1. Dfinition C'est la modlisation la plus complte car elle englobe les deux prcdentes (artes et surfaces). Elle permet la reprsentation dans l'espace, avec la notion de matire. Pour crer un objet, le 3D volumique :

Utilise des primitives volumiques Les primitives volumiques sont des volumes simples qui sont stocks en bibliothque, dans laquelle l'utilisateur va piocher selon ses besoins. Les primitives les plus courantes sont paralllpipde, cylindre, sphre, cne, pyramide, tore, polydres... En thorie, il faudrait une infinit de primitives pour crer une pice complexe. De plus on peut en crer de nouvelles (selon les besoins spcifiques). Elles sont stockes en bibliothque et sont utilisables au mme titre que les primitives initiales.

Assemble les primitives volumiques par des oprateurs logiques

Les oprateurs logiques sont les oprations boolennes classiques (union, intersection, diffrence). Ils permettent de combiner les primitives pour crer des solides plus complexes.

Manipule les primitives volumiques par des oprateurs gomtriques

Les oprateurs gomtriques sont des transformations gomtriques classiques. Les principales sont : translation, rotation, symtrie, homothtie...

Conserve les tapes de la construction et prsente une visualisation.

Une variante de visualisation souvent utilise est la reprsentation approche par facettes. Cette approximation permet de rduire les temps de rponse d'une manire importante. Ce qui est particulirement intressant pour les traitements ncessitant des grands temps de calcul. Il est important de noter que la reprsentation de l'objet est exacte dans la base de donnes, seule sa reprsentation l'cran est approche.

3.4.2. Avantages Ce modle apporte la connaissance de la notion de matire. Il donne une dfinition exacte et non ambigu de l'objet, ce qui en fait le modle prfr des concepteurs d'lments de machines.



Il facilite la conception car il permet de concevoir des dispositifs ou des ensembles qui peuvent tre complexes. Et il permet de le faire exactement comme on imagine en suivant le processus mental du concepteur (alors que le 2D suit le processus mental du dessinateur). D'autres facilits de conception sont apportes par la possibilit de prendre en compte les notions de montage, d'esthtique, de faisabilit... De plus, il amliore la visualisation de l'objet en dterminant les intersections de volumes et les perspectives (extrieures et intrieures). Les perspectives extrieures donnent des informations sur le contour apparent de l'objet, son aspect extrieur, son encombrement... Les perspectives intrieures donnent des indications sur les formes internes, les amnagements, les possibilits de montage... 3.4.3. Inconvnients L'interface homme-machine est difficile d'utilisation car elle requiert de la part de l'utilisateur une vision spatiale intgrale amenant celui-ci de l'espace vers les projections planes ce qui va contre-courant de la formation initiale d'un concepteur dont tout l'apprentissage a consist concevoir dans des plans de projection pour en dduire le volume de l'objet. Ce modle ne convient pas pour les dessins d'excution. Jusqu' prsent, il ne convenait pas non plus pour la commande numrique car il conduit faire des approximations sur la gomtrie des pices. Mais cette barrire semble tre leve par l'apparition de logiciels 3D volumique avec sortie en commande numrique ceci se ralisant grce une conversion en surfacique transparente pour l'utilisateur.



Bibliographie

Les modlisations gomtriques utilises dans les logiciels de DAO/CAO Philippe Vanackre Actes du colloque L'intgration de l'informatique dans l'enseignement et la formation des enseignants du 28-29-30 janvier 1992. Conception, modlisation gomtrique et contraintes en CAO : Une synthse Robert Maculet, Marc Daniel, Rapport de Recherche LSIS-2003-005 Laboratoire des Sciences de lInformation et des Systmes, UMR CNRS 6168 Equipe LXAO ESIL Algorithmique et CAO et Topologie diffrentielle Cours DDESS Ingnierie Mathmatique, Universit de Paris Sud, 2002, 2003 LA CFAO Y. Gardan, Herms, 1991 Modlisation et construction de surfaces pour la CFAO J. C. Leon, Herms, 1991 Mthodes mathmatiques pour la CAO J. J. Risler, Masson, 1991 Lutilisation des courbes et surfaces en CAO P. Bzier, Herms, 1988 Basics CAO DAO Jan Krebs, Birkhusen, 2007

Les courbes de Bzier 19


LES COURBES DE BEZIER

SOMMAIRE

1. Introduction 2. Courbes de Bzier

2.1. Dfinition du polynme de Bernstein 2.2. Quelques proprits des polynmes de Bernstein

2.2.1. Proprit de partition de l'unit 2.2.2. Proprit de positivit 2.2.4.Triangle de Pascal

2.3. Dfinition dune courbe de Bzier 2.3.1. Points de dfinition 2.3.2. Calcul des points de la courbe 2.3.3. Trac de la courbe

2.4. Dfinition des courbes de Bzier laide du barycentre 2.4.1. Courbe de Bzier de degr 1 2.4.2. Courbe de Bzier de degr 2 et construction de De Casteljau 2.4.3. Courbe de Bzier de degr 3

2.5. Raccordement de deux courbes de Bzier cubiques 2.6. Dfinition vectorielle des courbes de Bzier

Bibliographie Webographie



Les Courbes de Bzier

1. Introduction Au dbut des annes 60, les machines commande numrique ne savaient usiner de faon prcise que des courbes simples comme des droites, des paraboles ou des ellipses. Une seconde catgorie dobjets, au contraire, offrait une forme a priori peu prcise, dtermine exprimentalement : Les hlices davions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures taient traces main leve, sans que lon puisse dcrire leurs formes par une formule mathmatique. Les machines commande numrique de cette poque offrant une programmation limite, on savait les alimenter avec des nombres pour dfinir des dplacements lmentaires comme des droites, des arcs de cercle, et la rigueur des ellipses. Mais il ntait pas question de programmer des courbes quelconques, traces la main, faute dune dfinition numrique (mathmatique) de celles-ci. Pierre Bzier (1910-1999), ingnieur franais employ chez Renault, chercha donc comment traduire mathmatiquement une courbe, puis une surface, dessines main leve. Il lui fallait concevoir un systme capable de grer des courbes gauches, cest--dire de manipuler des surfaces en 3D, do la ncessit de dfinir un modle mathmatique qui ne soit pas limit des courbes en deux dimensions. Sa proccupation tait d'offrir au dessinateur un moyen simple et puissant pour crer des formes et pour faciliter la programmation des machines commande numrique. Afin d'utiliser concrtement les courbes et surfaces de Bzier, ces courbes furent introduites partir de 1962 dans un logiciel dvelopp par Renault et nomm Unisurf. Il est la base de tous les logiciels crs par la suite, dont Catia. Les concepts de CAO et de CFAO venaient ainsi de prendre forme. Cependant, les recherches de Bzier ntaient pas entirement originales. Ds 1958, un mathmaticien employ par Citron, Paul De Casteljau, stait attaqu au mme problme. Paul De Casteljau avait t charg de numriser une courbe, une fois celle-ci trace, sans se poser la question dune correction a posteriori. Il dfinissait ses courbes comme caractrises par des ples, dune faon nettement moins parlante que les points de contrle de Bzier. Ces travaux, publis comme des rapports techniques tenus trs au secret par Citron restrent inconnus jusqu'en 1975 quand W. Bhm en a pris connaissance et les a rendus publiques. Lalgorithme de De Casteljau a t trs utile pour l'informatique qui utilise les courbes de



Bzier dans de nombreux cas (logiciels de dessin, de modlisation, ), et sans lequel le dveloppement de l'utilisation des courbes de Pierre Bzier n'aurait pas pu se faire. Plus tard, un problme sest pos Apple : trouver un moyen de dfinir de faon mathmatique une courbe, comme le trac d'un caractre, avant de l'envoyer l'imprimante laser conue pour le micro-ordinateur MacIntosh apparu en 1984. John Warnock, co-fondateur en 1982 avec Charles Geschke de la socit Adobe Systems Inc, connaissait ces travaux et il utilisa les courbes de Bzier comme base du langage PostScript qui fut choisi par Apple pour son imprimante laser. Microsoft adopta son tour les polices true-type (format de fontes vectoriel galement bas sur les courbes de Bzier et cr par Apple) partir de Windows 3.1. Les courbes de Bzier constituent une modlisation qui permit, l'poque, de concevoir les formes des diffrents lments de carrosserie d'une voiture de manire plus interactive. Elles furent donc inventes pour rpondre un besoin technique. Par la suite, aprs quelques publications scientifiques, les courbes de Bzier trouvrent une place incontournable dans la plupart des logiciels de Conception Assiste par Ordinateur (CAO) et de Dessin Assist par Ordinateur (DAO) et dans la commande numrique de machines. A l'heure actuelle les courbes de Bzier sont non seulement encore utilises dans l'industrie automobile pour concevoir les formes des voitures de demain mais elles sont prsentes dans tous les domaines du design, de l'infographie et de la conception. Elles servent reprsenter des objets aux formes complexes, mthode parfois prfre par rapport un simple chantillonnage de l'objet. On les retrouve en architecture, en mcanique, dans l'industrie aronautique, dans les polices de caractres True-type, etc. Un autre exemple de l'utilisation des courbes de Bzier est leur application dans une industrie une peu particulire qui est la conception de sous-marins nuclaires. Le but premier de tels engins tant de pouvoir scruter les fonds marins sans se faire reprer, il faut pour cela minimiser le bruit de l'appareil produit lors de ses dplacements. Il s'agit ainsi d'un problme physique d'coulement des fluides. Les courbes de Bzier, ou plutt les surfaces de Bzier sont ici intressantes car tant de classe C (ce sont des courbes infiniment drivables), elles ne prsentent pas de cassures ce qui conduit crer un sous-marin au contour arodynamique permettant un coulement plus facile de l'eau sans trop de turbulences et donc de bruit.



Dans le domaine de la conception (design), les courbes de Bzier sont utilises non seulement en retouche et synthse d'images mais aussi en morphing (le morphing consiste dformer des images partir d'un tramage de dpart). Parmi les logiciels les plus connus faisant appels aux courbes de Bzier pour de telles applications on peut citer entre autres Paint, Photoshop, Blender ou encore The Gimp. Les courbes de Bzier sont des courbes polynomiales paramtriques. Elles ont donn naissance de nombreux outils mathmatiques, tels que les NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline). Avant que les courbes de Bzier ne soient inventes, on utilisait d'autres courbes d'ajustement (utilises dans le lissage des courbes exprimentales) appeles "splines". Le problme rencontr avec les splines c'est qu'elles changent d'aspect lorsqu'on effectue une rotation dans le repre. C'est pourquoi elles sont inutilisables en CAO. Les courbes de Bzier ne prsentent pas ce dfaut. Pour effectuer la rotation d'une courbe de Bzier il suffit d'appliquer la rotation aux points qui la dfinissent et de tracer la nouvelle courbe. Les calculs pour une rotation sont donc peu nombreux et par consquent trs rapides. Il existe aujourd'hui des splines conformes aux principes de Bzier, elles sont nommes B-splines. 2. Courbes de Bzier La dfinition classique des courbes de Bzier s'appuie sur les polynmes de Bernstein, utiliss couramment en mathmatique pour l'approximation polynmiale des fonctions. Concernant les courbes de Bzier, les polynmes de Bernstein sont utiliss pour calculer les points de la courbe tracer. 2.1. Dfinition du polynme de Bernstein Soit n appartenant N* (ensemble des nombres entiers non nuls). Pout tout i variant de 0 n ( i [0,n] ), le polynme de Bernstein de degr n et d'indice i, not B , est dfini par la formule

B t C . t. 1 t (1)



o C est le nombre de combinaisons de i parmi n (coefficients de la formule du binme de Newton), aussi appel "i parmi n" et qui vaut

C !!.! (2) t est une variable relle appartenant l'intervalle [0,1]. 2.2. Quelques proprits des polynmes de Bernstein 2.2.1. Proprit de partition de l'unit

B t 1 (3) En effet :

C . t. 1 t

1 1 1

La dmonstration ci-dessus n'est en fait que l'application directe de la formule du binme de Newton. 2.2.2. Proprit de positivit Cette proprit affirme que tout polynme de Bernstein est positif ou nul. Cela tient du fait que chacun des facteurs composant le polynme est positif.

t 0,1, B t 0 (4) 2.2.3. Proprit de rcursivit 1, 1, 1 . . (5) Dmonstration :

B t C . t. 1 t C C . t. 1 t B t C . t. 1 t C . t. 1 t



B t 1 t. C . t. 1 t t. C . t. 1 t

finalement B t 1 t. B t t. B t 2.2.4.Triangle de Pascal

Ce triangle met en vidence la relation de Pascal :

C C C (6) 2.3. Dfinition dune courbe de Bzier Toute courbe de Bzier est de classe C , c'est dire qu'elle est infiniment drivable. Autrement dit, elle ne prsente pas de cassure. 2.3.1. Points de dfinition Une courbe de Bzier se construit partir de points de dfinition. Il existe deux types de points de dfinition diffrents

1. Les points d'ancrage. 2. Les points de contrle.

in

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

C

C



A chaque courbe de Bzier ne correspondent que deux points dancrage : ce sont les deux extrmits de la courbe. Cette dernire passe donc par ces points. Les points de contrle, eux, ne sont pas des points de la courbe de Bzier ; ils permettent simplement de lui donner son allure, sa courbure. Leur nombre dpend de l'ordre de la courbe de Bzier tracer et crot avec ce dernier. 2.3.2. Calcul des points de la courbe Une courbe de Bzier dfinie par les n+1 points de dfinition (P0, P1, P2 , ..., Pn) est dcrite par l'ensemble des points :

B t. P (7)

o Pi est successivement le point P0, puis P1,..., et finalement Pn . L'ensemble des points de dfinition forme ce qu'on appelle le polygone de contrle de la courbe ou polygone caractristique de la courbe. La courbe de Bzier se trouve l'intrieur de ce polygone. 2.3.3. Trac de la courbe Soit O une origine choisie arbitrairement dans l'espace trois dimensions. Soient n+1 points de dfinition P0 , P1 , P2 , ... , Pn. La courbe de Bzier correspondant ces points est dcrite par le point M(t) suivant la formule vectorielle suivante

OMt B t. OP (8)

La courbe obtenue ne dpend que des points de dfinition et non de l'origine du repre choisie.



2.4. Dfinition des courbes de Bzier laide du barycentre 2.4.1. Courbe de Bzier de degr 1

On considre deux points A et B ; soit M (t) le barycentre de (A, 1 t)(B, t). si t = 0 alors M est en A ; si t = 0, 5 alors M est au milieu de [AB] ; si t = 1 alors M est en B.

Quand t parcourt lintervalle [0, 1], il est clair que le point M (t) dcrit tout le segment [AB].

A M (t) B Si on remplace n par 1 dans la dfinition (8) du trac de la courbe de Bzier

OMt B

t. OP Bt. OP Bt. OP

o P0 est le point A et P1 le point B et donc :

OMt Bt. OA Bt. OB 1 t. OA t. OB

en passant aux coordonnes on obtient :

xMt 1 t. xA t. xB

yMt 1 t. yA t. yB si on choisit lorigine en A et la droite portant le segment AB comme axe X on aura :

xA 0etxB 1 et finalement :

xMt 1 t. 0 t. 1 t



Lensemble des points M(t) est donc le segment [AB] quand t parcourt lintervalle [0,1]. On peut donc en conclure que le segment [AB] est une courbe de Bzier de degr 1 avec points de contrle A et B. Les polynmes 1 t et t sont les polynmes-poids de Bernstein de degr 1.

2.4.2. Courbe de Bzier de degr 2 Construisons maintenant une autre courbe en rajoutant une 2me tape la courbe prcdente :

On considre trois points A, B, C ;

1re tape On dfinit 2 courbes de Bzier de degr 1 :

Soit M1(t) le barycentre de (A, 1 t)(B, t) ; M1 (t) dcrit [AB]. Soit M2(t) le barycentre de (B, 1 t)(C, t) ; M2(t) dcrit [BC ]. 2me tape

Soit M (t) le barycentre de (M1, 1 t)(M2, t). On fait dcrire t lintervalle [0; 1] ; M1 parcourt alors [AB] et M2 parcourt [BC ]. Le point M dcrit lui la courbe ci-dessous.

C

M1

M2M

B

A



On remarque que :

M (t) dcrit une courbe de degr 2 qui, par dfinition, commence en A et finit en C , et a pour tangentes (AB) en A et (BC ) en C .

En tout point M , la tangente la courbe est le segment [M1 M2 ]. M (t) se situe la mme proportion du segment [M1 M2] que M1 par rapport au segment

[AB] ou M2 par rapport au segment [BC ]. Le schma ci-dessous, appel schma pyramidal de De Casteljau, permet de rsumer la construction itrative des barycentres qui a t faite.

A partir du schma prcdent et en utilisant les proprits dassociation du barycentre, on tablit le schma condens de Bernstein :

Ainsi, en prenant le point O comme origine, on obtient :

OM 1 t. OA 2t. 1 t. OB t. OC

et donc les coordonnes du point M(t) seront :

xMt 1 t. xA 2t. 1 t. xB t. xC

yMt 1 t. yA 2t. 1 t. yB t. yC

A

C

B M(t)

(1-t)2 = 1-2t + t2

t2

2(1-t)t = 2t - t2



Dans la dfinition du trac de la courbe de Bzier (8), si on prend n=2 alors :

OMt B

t. OP Bt. OA Bt. OB Bt. OC

et en coordonnes xMt 1 t. xA 2t. 1 t. xB t. xC

yMt 1 t. yA 2t. 1 t. yB t. yC

On peut donc conclure que le point M(t) dcrit la courbe de Bzier de degr 2 avec 3 points de contrle A, B et C .

Les polynmes (1 t)2, 2t(1 t) et t2 sont les polynmes - poids de Bernstein de degr 2. 2.4.3. Courbe de Bzier de degr 3

Suivant la mme dmarche que ci-dessus, construisons une autre courbe en rajoutant une 3me tape aux deux prcdentes : 1re tape 3 courbes de Bzier de degr 1

Soit M1(t) le barycentre de (A, 1 t)(B, t) ; Soit M2(t) le barycentre de (B, 1 t)(C, t) ; Soit M3(t) le barycentre de (C, 1 t)(D, t).

2me tape 2 courbes de Bzier de degr 2

Soit N1(t) le barycentre de (M1 , 1 t)(M2 , t) ; Soit N2(t) le barycentre de (M2 , 1 t)(M3 , t).



3me tape 1 courbe de Bzier de degr 3

Soit M (t) le barycentre de (N1, 1 t)(N2 , t) ; La construction de la courbe donne : Pour ne pas surcharger le dessin, on ne donne la construction que pour le point correspondant t=0,4.

La construction itrative est rsume par le schma pyramidal de De Casteljau

Utilisant la proprit dassociativit du barycentre on obtient le schma condens de Bernstein :

M(0,4)

A

B C

D

M

M

MN1

N2



Du point de vue vectoriel, en prenant le point O comme origine, on aura :

OM 1 tOA 3t1 tOB 3t1 tOC tOD et la reprsentation paramtrique de la courbe est donc :

xMt 1 txA 3t1 txB 3t1 txC txD

yMt 1 tyA 3t1 tyB 3t1 tyC tyD Comme dans les deux cas prcdents, si on prend n=3 dans la dfinition du trac de la courbe de Bzier (8), on conclut que M (t) dcrit la courbe de Bzier de degr 3 avec 4 points de contrle A, B, C et D et les polynmes (1t)3 , 3t(1t)2 , 3t2(1t) et t3 sont les polynmes-poids de Bernstein de degr 3. En pratique, on se limite gnralement aux courbes de Bziers de degr 3 car celles-ci sont suffisantes pour reprsenter la plupart des formes utilises en CAO. Un avantage du degr 3 par rapport au degr 2 est la possibilit de reprsenter des plis (par exemple comme ceux de la cubique y = x3 -3x en x = 1 ou x = -1) ou des points dinflexion (comme celui de la cubique y = x3 3x au point x = 0), ou encore des points de rebroussements (par exemple le point mdian du chiffre 3 dans les polices de caractres), des points doubles (croisement dans la lettre alpha).

Un autre avantage des courbes de Bzier de degr 3 est d'assurer la continuit en tangence et en courbure de deux courbes raccordes.

Cette construction itrative base sur les proprits des barycentres pourrait bien sr tre poursuivie bien au del du degr 3, jusqu nimporte quel degr k. On obtiendrait alors une courbe de Bzier de degr k, k + 1 points de contrle. 2.5. Raccordement de deux courbes de Bzier cubiques Lorsque l'on souhaite tracer une courbe de Bzier plusieurs courbures, on va avoir besoin de faire appel plusieurs courbes qu'il nous faudra ensuite raccorder. Et pour cela il ne suffit pas de joindre les courbes bout bout, il faut que la courbe globale forme conserve les proprits des courbes de Bzier. Autrement dit il faut qu'elle soit continue et qu'elle ne prsente pas de cassure.



Dans un premier temps, pour que la courbe globale soit continue, il suffit de faire concider un point d'ancrage de la premire courbe avec un autre de la seconde courbe. Ensuite, de faon ce que la courbe globale ne prsente pas de cassure, il faut que la drive de la premire courbe au point de raccordement soit gale celle de la seconde courbe en ce mme point. Pour cela il faut que le dernier segment du polygone de Bzier de la premire courbe soit colinaire avec le premier segment du polygone de la seconde courbe. Ainsi on obtient une courbe raccorde de classe C1. 2.6. Dfinition vectorielle des courbes de Bzier La relation (8) est la dfinition vectorielle dune courbe de Bzier de degr n avec n+1 points de contrle. Cependant en toute rigueur la dfinition doit snoncer ainsi : Soient, dans le plan muni dun repre , , , n + 1 points P0, P1, , Pn-1, Pn . A tout nombre rel t [0, 1], on associe le point M (t) dfini par :

OMt B

t. OP

o les B t C . t. 1 t sont les polynmes de Bernstein

avec C !!.! est le nombre de combinaisons de i parmi n (coefficients de la formule du binme de Newton). Lensemble des points M (t) lorsque t dcrit lintervalle [0; 1] est une courbe C appele courbe de Bzier de points de contrle P0, P1, , Pn-1, Pn .

Il dcoule de cette dfinition les proprits suivantes :

la courbe est de degr n si elle a n + 1 points de contrle ; la courbe passe par P0 et Pn ; la droite (P0P1) est tangente C en P0 ; et que si Pn-1 et Pn sont distincts, la droite (Pn-1 Pn ) est tangente C en Pn .



Bibliographie

Modlisation et construction de surfaces pour la CFAO J. C. Leon, Herms, 1991 Mthodes mathmatiques pour la CAO J. J. Risler, Masson, 1991 Lutilisation des courbes et surfaces en CAO P. Bzier, Herms, 1988 Basics CAO DAO Jan Krebs, Birkhusen, 2007

Webographie http://lyceeenligne.free.fr http://www.les-mathematiques.net http://www.liafa.jussieu.fr http://www.sitedesingenieurs.com

La technologie de groupe 35


LA TECHNOLOGIE DE GROUPE (et TGAO)

SOMMAIRE

1. Gnralits 2. Dveloppement de la technologie de groupe 3. Avantages de la technologie de groupe 4. Analyse des systmes de classification en technologie de groupe 5. Mthodologie dimplantation de la technologie de groupe

5.1. Recueil et codage des donnes 5.1.1. Recueil des donnes 5.1.2. Codage des donnes

5.2. Calcul des proximits et choix des mesures de ressemblance 5.2.1. Calcul des proximits 5.2.2. Choix dun indice de proximit

5.3. Reprsentation graphique des donnes 5.4. Classification des donnes 5.5. Description des familles obtenues 5.6. Classement

6. Conclusion



La technologie de groupe (et tgao)

1. Gnralits

La technologie de groupe (TG) est dfinie comme un principe dorganisation applicable toutes les tapes dun processus de production. La technologie de groupe consiste regrouper systmatiquement les composants identiques ou similaires par lutilisation dun systme de classification et de classement. La runion de tous les composants soumis au mme processus de fabrication permet de dfinir une rationalisation en particulier pour la fabrication unitaire ou en petites sries. Le systme de classification repose sur un code et un critre de ressemblance ncessaires la formation des familles de pices. La classification tant effectue, il faut dfinir des procdures de classement pour les nouveaux composants conformment la classification. Il nexiste pas de systme universel efficace, aussi faut-il dvelopper des procdures particulires adaptes au problme rsoudre selon les applications. 2. Dveloppement de la technologie de groupe

Le concept de technologie de groupe a t dvelopp par S. P. MITROFANOV. Dans les annes 50, il a analys les moyens et les mthodes de fabrication des pices mcaniques prsentant des analogies. Ses travaux ont fait lobjet de nombreuses applications industrielles principalement en Europe de lest. En 1960, le professeur H. OPITZ de luniversit dAix La Chapelle (Allemagne) a propos une gnralisation du principe de la technologie de groupe et son application toutes les tapes du processus dlaboration dune pice mcanique. Ainsi, la recherche danalogie se fait ds la conception de la pice, par le biais dun code neuf chiffres en base dcimale. Ces chiffres ont chacun une signification particulire fournissant une information sur la morphologie ou les dimensions du composant cod (une description du code OPITZ est donne en annexe A4). Plusieurs systmes de classification sont apparus, dmontrant lintrt conomique de la mthode.



3. Avantages de la technologie de groupe Une organisation base sur la technologie de groupe permet dobtenir des gains de temps entranant une rduction importante sur le cot du produit aux diffrentes tapes du processus de fabrication. Au bureau des mthodes, la technologie de groupe implique une dmarche rigoureuse et prcise dans llaboration des processus de fabrication des pices mcaniques. Lobjectif principal est de crer des familles de pices pour optimiser leur fabrication. Le processus de fabrication de la pice la plus complexe du groupe servira de base llaboration du processus de fabrication de chaque lment (existant ou nouveau) du groupe. Pour le prparateur en fabrication, les choix sont moins arbitraires, le travail moins fastidieux, les solutions plus rapides et rationnelles, le librant ainsi pour la mise en uvre de techniques nouvelles en vue damliorer la productivit. 4. Analyse des systmes de classification en technologie de groupe La classification (formation des familles) repose sur un code li un systme de gestion bas sur un critre de ressemblance (tableau 1). La description de la pice est effectue par un code simple K digits qui engendrera une classification des pices selon les diffrentes valeurs prises par ces digits. Le codage dpend des critres de classification envisags. Les principaux critres de classification utiliss sont dfinis dans le tableau 2. Lune des classifications les plus utilises est base essentiellement sur des critres morpho dimensionnels. La recherche des familles se fait soit par:

Tri manuel ou automatique sur les diffrents digits du code.

Des techniques bases sur les mthodes de lanalyse des donnes, utilisant des critres mathmatiques et la notion de ressemblance entre les donnes codes.



SYSTEMES

CODES

TYPE DE

NOMBRE DE

APPLIC ATIONS

PIECE DIGITS B.E. B.M. NAKK TEKLA quelconque 12 x x OPITZ OPITZ quelconque 09 x x SULTER SULTER quelconque 25 x x VUSTE VUSTE quelconque 04 x x ZAFO ZAFO quelconque 26 x PEKLENIK PEKLENIK quelconque 10 x T-CLASS CETIM-PMG rvolution 11 x x M.D.S.I. CODE quelconque 08 x ACAPS K.K.3 rvolution 21 BRITISH-BURN P.N.C. rvolution 06 x VETTER VETTER rvolution 04 x x MIGROUPE MICLASS quelconque 12 x x MULTI-GROUPE MULTI-M quelconque 19 x x

NATURE

DEFINITION

Critre fonctionnel

Description de la pice par son nom et sa fonction (crou, vis, matrice, ...)

Critre morpho-dimensionnel

Dfinition: - de la forme principale de la pice (enveloppe) - des dimensions (longueur, largeur, diamtre, ...) - des formes secondaires (chanfrein, rainure, ...)

Critre de fabrication

Dfinition des contraintes ncessaires la transformation de la pice brute en produit fini (matire, nombre de pices, tolrances, forme du brut, type de trous, ...)

TABLEAU 1: Les principaux codes et leurs domaines dapplication

TABLEAU 2: Les principaux critres de codification



5. Mthodologie dimplantation de la technologie de groupe

La mthodologie utilise vise permettre une utilisation rationnelle de la mthode de classification automatique. Une des techniques de lanalyse des donnes est lanalyse typologique. Elle sarticule sur les tapes essentielles suivantes:

Recueil et codage des donnes; Calcul des proximits et choix des mesures de ressemblance; Reprsentation graphique des donnes; Classification (automatique) des donnes; Description des familles obtenues; Procdure de classement de nouveaux composants.

5.1. Recueil et codage des donnes 5.1.1. Recueil des donnes

Pour gnrer, partir dun phnomne observ, un tableau de donnes dont les colonnes sont les descripteurs (variables) et les lignes les observations (objets), il faut procder une analyse dtaille de lensemble de ces observations. Ainsi, il convient de dfinir:

Les objets sur lesquels on veut faire lanalyse Ces objets, dans le cas dun phnomne industriel, peuvent tre des pices, des machines-outils, des outillages, ...

Les variables qui vont permettre de caractriser ces objets Lidentification par ordinateur des objets analyser implique une codification laide

de variables (caractristiques ou descripteurs) les dcrivant; on modlise donc les entits physiques (objets) par des grandeurs mathmatiques (variables).

Ainsi dfinissons deux ensembles et tels que: - est lensemble des objets analyser = { 1 , 2 , 3 , . . . , i , . . . , n-1 , n } o i reprsente la pice mcanique Pi .



- est lensemble des variables qui dcrivent ces objets = { v1 , v2 , v3 , . . . , vj , vp-1 , vp } o vj reprsente la variable j dcrivant les n objets. 5.1.2. Codage des donnes Lopration de codage constitue un moyen de reprsentation des caractristiques des donnes sous une forme approprie leur traitement. Parmi les systmes de codification les plus utiliss (cf. tableau 1), nous adopterons le code OPITZ qui est bien adapt une description morpho dimensionnel des pices mcaniques (le code OPITZ est dcrit en annexe A4). Transcodage des donnes Pour traiter les variables des codes morpho dimensionnels des donnes objets laide des mthodes de lanalyse des donnes, il y a lieu de les transformer en donnes binaires et de les prsenter sous la forme dun tableau disjonctif complet. Cela permet le traitement des variables dune manire plus homogne. Le tableau disjonctif complet (tableau 3), est un tableau dont le terme gnral ijf prend la valeur 1 si lobjet i possde la modalit jf de la variable vj ; ijf sannule dans le cas contraire. Tableau 3 : Tableau disjonctif complet

V 1 V 2 . . . V j 11 . . . 1f . . . 21 22 . . . j1 . . . jf . . . 1 2 3 . . . i ijf . . . n



5.2. Calcul des proximits et choix des mesures de ressemblance La constitution des familles de pices est effectue sur la base de leurs similitudes morpho-dimensionnelles. Savoir si un objet i est semblable un objet i implique que lon puisse mesurer leur degr de similitude. Cette mesure est appele indice de similarit Sij ou indice de dissimilarit Dij . 5.2.1. Calcul des proximits Les traitements par les mthodes de lanalyse des donnes supposent que les indices (de similarit ou de dissimilarit) appliqus sur lensemble vrifient les proprits suivantes:

La positivit Sij 0 (ou Dij 0) i , j

La symtrie Sij = Sji (ou Dij = Dji ) i , j

La normalisation Elle permet de distinguer un indice de similarit dun indice de dissimilarit.

Indice de similarit Sij maxi = 1 , lobjet est compar lui-mme ce qui scrit : Sij = 1 i = j i , j

Sij Sik signifie que lobjet i ressemble davantage lobjet j qu lobjet k .

Indice de dissimilarit Dij mini = 0 , lobjet est compar lui-mme ce qui scrit : Dij = 0 i = j i , j

Dij Dik signifie que lobjet i ressemble davantage lobjet k qu lobjet j .

Il est toujours possible de passer dun indice de similarit un indice de diisimilarit (ou inversement) par la transformation :

Dij = 1 - Sij



5.2.2. Choix dun indice de proximit Il existe un grand nombre dindices de similarit sur les variables binaires (tableau 4). Ces indices font intervenir les notions suivantes:

Co-prsence ( P ) = nombre de positions prenant simultanment la valeur 1 dans les deux codes compars.

Co-absence ( A ) = nombre de positions prenant simultanment la valeur 0 dans les

deux codes compars.

Non-concidence ( N ) = autres positions.

JACCARD

S PP N

DICK et CZEKANOWSKI

S PP N

2. SOKAL et SNEATH

S PP N

2. KULCZYNSKI

S PN

SOKAL et MICHENER

S P AP N A

RUSSEL et RAO

S PP N A

ROGERS et TANIMOTO

S P AP A N

2. Lutilisation de nimporte quel indice de similarit convient pour le traitement des codes morpho dimensionnels. Ces derniers, transforms ltape prcdente en tableau disjonctif complet, se prsentent donc sous la forme de donnes binaires possdant un certain nombre de caractristiques savoir:

Le nombre total de modalits P prises par chaque objet; cest le nombre de variables dcrivant les objets; il est donc identique pour tous les objets:

k

p

ikff

nk

k

p

jkff

nk

P

1 1 1 1 (1)

Tableau 4 : Indices de similarit sur les variables binaires



Avec: P = nombre de variables

nk = nombre de modalits de la kime variable

ikf = terme gnral du tableau disjonctif complet ikf = 1 si lobjet i possde la modalit kf dans la variable vk ikf = 0 dans le cas contraire. La formulation de la non-concidence N, de la co-prsence P, et de la co-absence A entre deux objets se prsente comme suit:

Nk

p

ikf jkff

nk

1

2

1 (2)

Pk

p

ikf jkff

nk

1

2

1

(3)

Ak

p

ikf jkff

nk

1 11 1 (4)

Nous retiendrons, pour la suite de ce cours, lindice de dissimilarit de SOKAL et MICHENER pour traiter lapplication sur des exemples. 5.3. Reprsentation graphique des donnes

Le regroupement des objets en familles est obtenu par la mthode ascendante hirarchique. Cette mthode permet de regrouper les objets dun ensemble de telle sorte que les lments dune mme famille soient similaires et dissemblables dans le cas contraire. Une telle hirarchie peut tre rsume par un arbre hirarchique (figure 1) dont lordonne exprime le degr de dissimilarit et labscisse les objets considrs. Le niveau des nuds (n1 , n2 , n3 , n4 ) indique le degr de dissemblance entre les objets correspondants.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 W1 W2 W3 W4 W5

5.4. Classification des donnes Pour obtenir une classification un niveau donn, on coupe larbre ascendant hirarchique par une horizontale dont les intersections avec les branches de larbre dterminent une partition. Par exemple, sur le graphe de la figure 1, pour une dissimilarit de 50%, nous obtenons une partition en deux classes:

La premire classe contient les objets 1 et 2 ;

La deuxime classe comporte les objets 3 , 4 et 5 . En faisant varier le niveau de la troncature, on obtient les diverses partitions qui constituent la hirarchie. Le choix de ce niveau (choix du seuil) est priori arbitraire, vrifi postriori par la composition des diffrentes familles.

n4

n3

n2n1

seuil

S%

wi

Figure 1 : Arbre ascendant hirarchique



5.5. Description des familles obtenues Les familles tant dfinies, chacune delles est reprsente par son spectre T (figure 2).

Modalits 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Positions 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Le terme gnral tij de ce tableau prend la valeur 1 si la modalit j est prise dans la position i pour lune des pices de la famille, et la valeur 0 dans le cas contraire. Ce terme tij peut aussi tre exprim en %, correspondant au nombre de fois o la modalit j est prise pour la position i (figure 3).

Modalits 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Positions 2 40 60 0 0 0 0 0 0 0 0 3 20 80 0 0 0 0 0 0 0 0 4 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0

5.6. Classement

Les familles tant caractrises par leur spectre, une nouvelle pice quelconque, pralablement code, peut tre classe dans lune de ces familles. Il suffit de la reprsenter par son spectre obtenu partir de son code, le terme tij prenant la valeur 1 si la modalit j est prise pour la position i, et la valeur 0 dans le cas contraire.

Figure 2 : Exemple de spectre binaire dune famille de pices

Figure 3 : Exemple de spectre dune famille de pices (en pourcentage)



Par exemple la pice suivante dont le code est : 8 3 1 6 1 3 0 7 2 est reprsente par la matrice spectrale :

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Classiquement, le spectre binaire de la pice classer est compar aux spectres binaires des diffrentes familles issues de la classification. Cependant, cette manire de faire nest pas ncessairement optimale puisque dans le spectre binaire dune famille, il nexiste pas de diffrence entre une modalit prise frquemment et une modalit prise rarement. Afin de remdier cela, il est prfrable dutiliser le spectre de la famille exprim en pourcentages et daffecter la nouvelle pice dans la famille dont le spectre est le plus proche. 6. Conclusion

La mthodologie qui vient dtre expose, base sur la thorie de la technologie de groupe, permet le traitement automatique dun type quelconque de donnes. Grce lutilisation rationnelle des algorithmes danalyse de donnes, cette mthodologie conduit une classification et une procdure de classement optimises. Dans lindustrie de llaboration des pices mcaniques, notamment pour la production en petites et moyennes sries, cette mthodologie est trs adapte ltape de la prparation la fabrication.



ANNEXE

LE CODE OPITZ



LE CODE OPITZ En 1960, le professeur H. OPITZ de luniversit dAix La Chapelle (Allemagne) a propos une gnralisation du principe de la technologie de groupe et son application toutes les tapes du processus dlaboration dune pice mcanique. Ainsi, la recherche danalogie se fait ds la conception de la pice, par le biais dun code neuf chiffres en base dcimale. Ces chiffres ont chacun une signification particulire fournissant une information sur la morphologie ou les dimensions du composant cod.

La description de la pice est donc obtenue laide dun code neuf positions dcimales, comprenant un code principal (les cinq premires positions) destin dcrire la forme principale de la pice finale ainsi que les usinages, et un code additionnel (les quatre dernires positions) contenant des informations complmentaires (dimensions, matires, formes du brut, tolrances).

La structure de ce code est bien adapte la classification des pices mcaniques.

Son efficacit rside dans le fait que ses neuf positions sont entirement indpendantes. Il est donc prcis sans tre redondant.

On peut en outre adjoindre aux neuf positions de base un code supplmentaire pour apporter des informations complmentaires en tant que de besoin.



Le

code

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Bibliographie B. MUTEL La fabrication assiste par ordinateur en mcanique gnrale Mcanique, matriaux, lectricit, N 351, mars 1979 B. MUTEL Fabrication assiste par ordinateur G.R.A.I.M., Metz 1980 G. IMBERT, L.H. COUTEAUD La technologie de groupe assiste par ordinateur (TGAO) : un outil pour la comptitivit des entreprises de toutes tailles Travail et Mthodes, N407, avril 1983 B. MUTEL Computer Aided Group Technology Integrated System Annals of the CIRP, vol. 37/1, 1988 Groupe GAMA, textes runis par P. BOURDET et F. VILLENEUVE La gamme automatique en usinage Ed. Herms, Paris, 1990 M.E.A. GHERNAOUT Automatisation dlaboration des procds technologiques pour un groupe de pices fabriques dans les conditions algriennes Mmoire de magister, USTOran, 1993. F. VILLENEUVE Gnration automatique de gamme : tat de lart et perspectives futures Mcanique Industrielle et Matriaux, vol. 47, N 5, 1994

NADIF Abdellah TGAO La technologie de groupe. Pour une meilleure organisation et gestion de production. Collection Technosup, Editiopns Ellipses, 2010.

Les systmes flexibles de fabrication 59


LES SYSTEMES FLEXIBLES

DE FABRICATION

SOMMAIRE

1. Introduction 1.1. Systme en ligne 1.2. Systme parallle

2. Systme de Fabrication Flexible 2.1. Les diffrentes approches de la flexibilit 2.2. Les diffrents niveaux dintgration dun FMS 2.3. Avantages et inconvnients de la mise en uvre dun FMS

3. L'attrait des cellules flexibles 4. Conclusion 5. Bibliographie



LES SYSTEMES FLEXIBLES DE FABRICATION

1. Introduction

Pendant quelques dcennies, le systme de production japonais, cit en exemple travers le monde, a prn la linarit. Le flux de production est compar l'coulement d'un cours d'eau. Celui-ci s'coule d'autant plus vite s'il est d'un trac linaire et exempt d'obstacles.

La plupart des lignes de production dans le monde occidental taient faites de convoyeurs contre lesquels on plaait perpendiculairement des postes de travail ; Cette disposition est dite parallle (ou en pis). Dans ce cas, le convoyeur (la ligne) n'est rien de plus qu'un collecteur, un moyen de transfert.

Le principe de linarit japonais fait travailler directement sur la ligne, qui devient la fois moyen de transfert et poste de travail.

1.1. Systme en ligne Dans le systme en ligne de la figure 1 (japonais), une squence de montage est rpartie linairement sur autant d'opratrices que ncessaire pour atteindre la vitesse dsire ou pour obtenir un quilibrage correct, une qualit matrise, etc. Chaque produit passe donc dans toutes les mains, chacune rajoutant sa squence d'oprations.

Figure 1 : Systme en ligne



Avantages :

Adapt des quantits importantes Bonne visibilit pour piloter vue, Les rsultats sont (relativement) prvisibles Le flux est simple, L'espace ncessaire est restreint, les stocks n'existent pas, L'encadrement gre la ligne, veille son quilibrage, la formation, la polyvalence...

Inconvnients :

Une absence a un impact assez important sur le rendement ; Il est limit par la polyvalence des opratrices restantes qui se rpartissent les tches

(pas de volante surnumraire). La vitesse chute. La production se fait par campagne, le changement de srie touche la ligne entire.

Parce que la structure de la ligne requiert proximit et attention permanente de l'encadrement, il est possible dans cette configuration d'atteindre des performances trs leves.

Remarquons que l'on pourrait s'attendre ce que des produits, d'une complexit et d'une technicit croissante, soient assembls dans des lignes trs robotises, alors quen fait il n'en est rien pour les deux raisons majeures ci-dessous :

la dure de vie des modles est trop courte pour autoriser les tudes, investissements et rentabilit d'quipements aussi coteux. Par ailleurs les successions de modles ne prsentent pas suffisamment de similitudes pour esprer un gain d'chelle.

L'humain est beaucoup plus adaptable aux alas, c'est dire qu'il peut spontanment corriger une situation anormale, alors qu'une intelligence artificielle ne le fera que dans certaines limites.



1.2. Systme parallle

Dans le systme parallle de la figure 2, une squence de montage est classiquement rpartie sur 1 3 opratrices places cte cte, la plus proche du convoyeur y poussant leur produit. Ces mme squences sont dupliques sur plusieurs postes, adaptant les ressources la charge de travail ou la vitesse vise.

Figure 2 : Systme parallle

Avantages :

Ce type d'organisation s'apparente, dans une certaine mesure, aux cellules autonomes. Une absence aura un impact assez limit. Des produits diffrents peuvent tre assembls simultanment. Les changements de srie se limitent quelques postes.



Inconvnients :

Peu de visibilit pour piloter vue, car il est assez difficile de voir directement o en sont les diffrents postes,

Espace ncessaire relativement important, Stocks dupliqus, L'encadrement passe une bonne partie de son temps suivre la comptabilit, vrifier les

bons de travaux, etc. Il est difficile de prvoir les rsultats, les performances. Le flux est complexe car il parcourt un rseau.

2. Systme de Fabrication Flexible

Dans le contexte de la production de masse, offrant peu de varit et moindres stocks, lorganisation de la production en parallle ou en ligne convenait trs bien mais lorsque le besoi

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