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7/25/2019 Chap 3- Application Reprsentation Fourier.pdf
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REPRSENTATION DE FOURIER
Ing. Poly. Elmoukhtar Ebi El Maaly
7/25/2019 Chap 3- Application Reprsentation Fourier.pdf
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Ide de la reprsentation frquentielle dessignaux
Dfinition de la transforme de Fourier (ouTF) dun signal
Une liste de proprits de base de TF plusquelques transformes
Spectre, spectrogramme, et signal bandelimite
Pourquoi la transforme de Fourier rapide ouFFT
INTRODUCTION
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I-REPRSENTATION FRQUENTIELLE
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Pour tout signal de reprsentation temporelle s(t), on
sait trouver une reprsentation en frquencequivalente, ou spectre S(f).
Origine de la reprsentation frquentielle
Pour rsoudre lquation de propagation de lachaleur sur un intervalle de temps T, Joseph Jean-Baptiste Fourier (19me sicle) a imagin de remplacer lesecond membre s(t) de cette quation par une srie deFourier, somme de sinusodes ci-dessous, sachant que la
solution pour s(t) sinusodale tait connue :
0
)2
cos()(n
nn ntT
cts
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Le signal carr s(t) dessin ci-dessous peut tre dcompos sur ladure dune priode (ici T=1/440s) en srie de Fourier (voir
droite) :
4
0 12
))12(4402cos()(
n n
tnts
Do la reprsentation frquentielle de s(t) complter:
T
s(t)
t
)12(440 nfn
1/31/5
1/9
)( nn fc
f
440
I-REPRSENTATION FRQUENTIELLE
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II-TRANSFORME DEFOURIER
5
dtetssts tiTF )()(~)(
destss tiTF
)(~
2
1)()(~
1
dtetsfSts ftiTF 2)()()(
dfefStsfS ftiTF 2)()()(1
)(~)( sfS
Avec la pulsation :
Quand Ttend vers linfini, la dfinition de la srie de
Fourier tend vers la transforme de Fourier ci-dessous (i2= - 1) :
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III- QUELQUES PROPRITS DETF
1. TF est linaire:
6
2. TF[produit de convolution]=produit et inversement
)()()())(*()( fEfHfStehts TF
dtehdethtehts )()()()())(*()(
3. Dualit de TFet TF-1 (on permute t etf, et on fait
apparatref )
dtetXfxdfefXtx tfifti 22 )()()()(
)]([)()( 2 tXTFdtetXfx fti
)]([)]([)]()([ tfbTFtsaTFtbftasTF
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IV- QUELQUES TRANSFORMES DEFOURIER
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La transforme de limpulsion de Dirac est la fonction unit :
1)()( 02 dttedtet fti
La transforme dunpeigne de Dirac est un peigne de Dirac
TF
T nTttPeigne )()(
nT T
nf
T
fPeigne
T
)(1
)(1
1
)(t
t0
0lim
0)0(1)(
t
tdtt
t0 T T2 T3T
)(tPeigneT
Impulsion de Dirac Peigne de Dirac
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la transforme du cosinus est constitue de deux raies :
8
TFtfitfi ee
tfts2
)2cos()(00 22
0
2
))()(()( 00 fffffS
La transforme dun rectangle est un sinus cardinal
221)()( T
etT
entreT
tts
fT
fTTfTcTfS
)sin()(sin)(
TF
t0 2/T2/T
)/( TtLa fonctionrectangle
f
1
IV- QUELQUES TRANSFORMES DEFOURIER
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COMMENT PROUVER LES GALITS SUIVANTES ?
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)(]1[ fTF
)(][ 02 0
ffeTF tif
)(0f
f)](sin[ 00 tfcfTF
)]([)]([ 2 tfTFeTtfTF fTi
IV- QUELQUES TRANSFORMES DEFOURIER
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TF[s(t)]est une quantit complexe a priori, avec un module,une phase, etc On nomme :
Spectre damplitude, ou spectre de s(t) le module de S soitou en dB
Spectre de phase largument de S not
Spectre de puissance
10
)(fS
)(fS
*2 )()()( fSfSfS
))(log(20)( fSfSdB
S(f) est dfini pour des frquencesf positives et des
frquences ngatives reprsentes dans le spectrebilatral. Du fait des symtries damplitude et dephase, on peut reprsenter seulement les frquences>0 (monolatral).
V- SPECTRE DUN SIGNAL
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Pourquoi utiliser le spectre et ne pas se contenter de lareprsentation temporelle.
Dans de nombreux domaines, multimdia,musique, et autres on utilise des rfrences auspectre et la frquence pour dfinir fonctions etperformances
Menfin, pourquoi ? Quels sont les atouts de cette
reprsentation frquentielle ?
V- SPECTRE DUN SIGNAL
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DCRIRE EN FRQUENCE EST PARFOIS PLUS
PRATIQUE QUE DE DCRIRE EN TEMPS
Soient 512 chantillons dun signal x(nTe), n= 0 ..
511.Dcompos en srie de Fourier, il savre que 3harmoniques suffisent pour le reprsenter.Transmettre les chantillons cest transmettre 512
valeurs, alors que transmettre les harmoniquesimplique moins de 10 valeurs amplitudes,frquences, et phases.
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(compression de linformation)
V- SPECTRE DUN SIGNAL
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DCOMPOSER EN SRIES DE FOURIER PERMET DE
RSOUDRE LES PROBLMES PAR SUPERPOSITION
Ctait lobjectif de Fourier comme on la dit,cela provient de ce que les fonctions de type :
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(simplification de certains problmes)
sont fonctions propres des filtres linaires invariants
dans le temps
)2sin()2cos(2 ftifte jft
Do la spcification trs utilise des filtres par leur
rponse frquentielle H(f)
tjfAe 0
2 tjfefAH 0
2
0 )(
Filtre linaire H(f)
V- SPECTRE DUN SIGNAL
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Q: YA-TIL UN RISQUE DE PERTE DINFORMATION
PASSER DU TEMPS AUX FRQUENCES ?
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R: Non ! Ces deux reprsentations sont rigoureusementquivalentes, le spectre est unique (comme le signal !)
Parler en temps dun signal parler en frquence
Signal rapide, lent bande large, troite,
Les capteurs incitent utiliser le temps, car ils relventles signaux au cours du temps, mais ils peuvent tre plus
ou moins sensibles selon la frquence.Il faut donc bien considrer une dualit tempsfrquence du signal, deux faons de le dcrire.
V- SPECTRE DUN SIGNAL
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VI- TRANSFORME DEFOURIERDISCRTE
On dfinit la transforme de Fourier discrte TFDpar :
15
n
fnTiee
eenTxfXnTxTFD 2)()()]([
Cest une fonction priodique de la frquencef , lapriode est la frquence dchantillonnage :
ee Tf /1
TFD nest pas calculable en pratique, car la frquencevarie continment, et il faudrait considrer uneinfinit de termes.
La solution adopte dans lalgorithme de FFT est de :
1. Conserver seulement Ntermes x(nTe) dune fentretemporelle2. Calculer Mpoints seulement sur la priode de TFD
pour les frquences :
1,1, 000 Nnnnn
1
22
, MM
k
M
fkf ek
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VII- TRANSFORME DEFOURIERRAPIDEFFT
Dans le cas o M=N, si on note :
16
1)2/(
2/
1)2/(
2/
2
1 12
)()1
()()1
()(
)()()(0
0
0
0
N
Nk
N
Nk
nk
NkN
nki
ke
Nn
nn
Nn
nn
nk
NeN
nki
ek
WfXN
efXN
nTx
WnTxenTxfX
FFT est-elle priodique ? et FFT-1 ?
nk
N
N
nki
We
2
(pour FFT)
(pour FFT-1)
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Le cas o N est une puissance de 2 allge le
calcul de FFT, du fait des proprits depriodicit et de symtrie de
17
N
inknk
N eW
2
Un DSP (Digital Signal Processor), est un micro-processeur spcialis dans le traitement du signalnumrique, conu entre autres pour calculerlalgorithme de FFT.
KN 2 Donc, lalgorithme de FFT impose Matlab calcule la fft : faire help fft, et voir lexempleplot(abs(fft(s,1024)))
VII- TRANSFORME DEFOURIERRAPIDEFFT
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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000
50
100
150
200
250
fe=8000;t=[0:1023]*(1/fe);
s=0.5*cos(2*pi*880*t);
f=[0:1023]/1024*fe;
plot(f,abs(fft(s,1024)))
grid
-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000
50
100
150
200
250
fe=8000;
t=[0:1023]*(1/fe);
s=0.5*cos(2*pi*880*t);
f=[-512:511]/1024*fe;spec= fftshift(fft(s,1024))
plot(f,abs(spec))
grid
VII- TRANSFORME DEFOURIERRAPIDEFFT
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