Chapitre 2 Les coûts de l’entreprise

Chapitre 2Les coûts de l’entreprise

Les coûts de l’entreprise

La fonction de production de l’entreprise décrit l’ensemble des activités productives techniquement possibles.

Mettre en œuvre ces activités productives sera couteux pour l’entreprise.

L’entreprise devra en effet acheter (ou louer) sur le marché les services des facteurs de production.

Alternativement, elle devra utiliser des facteurs dont elle dispose gratuitement (par exemple le travail de l’entrepreneur) mais qu’elle aurait pu utiliser autrement.

coûts comptables ou coûts économiques ? Coûts comptables: coûts des facteurs tels qu’achetés

sur le marché. Coûts d’opportunité: valeur du meilleur usage

alternatif qu’on pourrait faire de la ressource ou du facteur.

Le coût d’opportunité est parfois égal au coût comptable (si l’entreprise peut vendre le facteur exactement au prix qu’elle l’a acheté).

Le coût pertinent pour l’économiste est le coût d’opportunité.

Un exemple: un boulanger qui est seul à travailler dans la boulangerie, qu’il a ouvert dans une grange dont il a hérité, et qu’il a aménagé à ses frais.

Voici le bilan comptable de la première année d’exercice de cette boulangerie.

Bilan comptable de la boulangerie

Item Coût comptable (milliers d’euros)

travaux initiaux (amortissement annuel)

10

matières premières (farine, etc.)

5

machines (mélangeuses, fours) (amortissement annuel

10

Abonnement électrique 2taxes 2

Coûts comptables ou coûts économiques ?

Supposons que ce boulanger vende pour 40 000 euros de produits par an.

Devrait-il être satisfait ? Le comptable lui attribuera des profits de 11

000 euros. Mais l’économiste voudra d’abord connaître les

coûts d’opportunité du boulanger. Coût d’opportunité du temps passé dans la

boulangerie ? Coût d’opportunité de la grange (et du terrain)

que le boulanger aurait pu vendre (ou louer) plutôt que de l’utiliser à sa boulangerie ?

Coûts comptables ou coûts économiques ?

Supposons que la grange (et son terrain) ait une valeur locative annuelle de 4000 euros.

Supposons que le boulanger aurait pu gagner 15 000 euros par an en travaillant le même nombre d’heures comme boulanger salarié.

Il faudrait alors ajouter aux coûts (d’opportunité) de la boulangerie 19 000 euros.

En tenant compte de ces coûts, le boulanger supporte en fait des pertes de 8000 euros!!

Fonction de coût La fonction de coût total de la firme associe à

tout niveau d’output que pourrait produire la firme le coût minimum, pour celle-ci, de produire ce niveau, étant donnés les prix des inputs.

La définition de cette fonction suppose de la firme qu’elle achète ses inputs sur des marchés concurrentiels (le prix de chaque input est donné, et la firme peut acheter n’importe quelle quantité d’input qu’elle souhaite à ce prix).

La définition suppose également que la firme choisit ses inputs d’une manière qui vise à réduire au minimum (minimiser) ce coût.

La fonction de coûts est une manière alternative à la fonction de production de décrire les possibilités techniques de la firme.

Programme de minimisation des coûts

Considérons une firme utilisant deux inputs.

La fonction de production est:y = F(x1,x2).

Etant donnés les prix des input w1 et w2, le coût que doit supporter la firme qui emploie les deux inputs dans les quantités (x1,x2) est: w1x1 + w2x2.

Programme de minimisation des coûts

Pour tout niveau d’output y donné, le programme de minimisation des coûts de la firme s’écrit:min,x x

w x w x1 2 0

1 1 2 2

Sous contrainte que .),( 21 yxxF

Programme de minimisation des coûts Les quantités x1*(w1,w2,y) et x2*(w1,w2,y)

d’input choisies par la firme comme solution de ce programme sont les demandes conditionnelles d’inputs.

Le coût total minimum de produire y unités d’output est donc:c w w y w x w w y

w x w w y

( , , ) ( , , )

( , , ).

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

Illustration géométrique

x1

x2

y

a1

a2

La combinaison d’inputs (a1,a2) permet de produire y unités d’output

Illustration géométrique

x1

x2

y

a1

a2

Combien coute la combinaison (a1,a2) ?

Illustration géométrique

x1

x2

y

a1

a2

R: w1a1+w2a2 (si les prixdes inputs sont w1 et w2)

(w1a1+w2a2)/w2

Illustration géométrique

x1

x2

y

a1

a2

la combinaison d’inputs (a1,a2), si elle permet de produire y unités d’output,…

(w1a1+w2a2)/w1

Illustration géométrique

x1

x2

y

a1

a2

… ne constitue pasla manière la moins couteuse de produire y unités d’output

(w1a1+w2a2)/w1

Illustration géométrique

x1

x2

y

a1

a2

… ne constitue pasla manière la moins couteuse de produire y unités d’output

(w1a1+w2a2)/w1

Illustration géométrique

x1

x2

ya2

Cette quantité y pourrait être en effet produite à moindre coût en utilisant x*1(w1,w2,y) unités d’input 1 et x*2(w1,w2,y) unités d’input 2.

(w1a1+w2a2)/w1

x*1(w1,w2,y)

x*2(w1,w2,y)

Illustration géométrique

x1

x2

ya2

(w1a1+w2a2)/w1

x*1(w1,w2,y)

x*1(w1,w2,y)

C(w1,w2,y)/w1

Cette quantité y pourrait être en effet produite à moindre coût en utilisant x*1(w1,w2,y) unités d’input 1 et x*2(w1,w2,y) unités d’input 2. On aurait alors un coût de C(w1,w2,y)

Un exemple Cobb-Douglas

Supposons que la technologie de la firme soit représentée par une fonction de production Cobb-Douglas

Déterminons les demandes conditionnelles et la fonction de coût total de la firme.

.),( 3/22

3/1121 xxxxFy

Un exemple Cobb-Douglas

min,x x

w x w x1 2 0

1 1 2 2

.),( 3/22

3/1121 yxxxxF

2/11

2/3

2 xyx

sous contrainte que:

Le programme que résout la firme est:

que l’on peut encore écrire: (1)

En substituant la contrainte (1) directementdans le programme de la firme, on a:

2/11

2/3

21101

minxywxw

x

Un exemple Cobb-Douglas

02 2/3*

1

2/32

1 xyww

2/11

2/3

21101

minxywxw

x

vérifie la condition de 1er ordre:

Une solution intérieure x*

1 du programme:

Que l’on peut encore écrire comme:

x ww

y121

2 3

2*

/

Un exemple Cobb-Douglas

2/1*1

2/3*2 x

yx x ww

y121

2 3

2*

/

On trouve que la demande conditionnelled’input 2 est:

puisque et

yww

yww

yx3/1

2

12/13/2

1

2

2/3*2

2

2

Un exemple Cobb-DouglasLa fonction de coût total de la firme dans cas est donc: c w w y w x w w y w x w w y( , , ) ( , , ) ( , , )* *

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

Un exemple Cobb-DouglasLa fonction de coût total de la firme dans cas est donc: c w w y w x w w y w x w w y

w ww

y w ww

y

( , , ) ( , , ) ( , , )* *

/ /1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

121

2 3

212

1 3

22

Un exemple Cobb-DouglasLa fonction de coût total de la firme dans cas est donc: c w w y w x w w y w x w w y

w ww

y w ww

y

w w y w w y

( , , ) ( , , ) ( , , )* *

/ /

// / / / /

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

121

2 3

212

1 3

2 311 3

22 3 1 3

11 3

22 3

22

12

2

Un exemple Cobb-DouglasLa fonction de coût total de la firme dans cas est donc: c w w y w x w w y w x w w y

w ww

y w ww

y

w w y w w y

w w y

( , , ) ( , , ) ( , , )

.

* *

/ /

// / / / /

/

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

121

2 3

212

1 3

2 311 3

22 3 1 3

11 3

22 3

1 22 1 3

22

12

2

34

Un exemple Léontieff

Considérons la fonction de production

Déterminons les demandes conditionnelles des deux inputs.

Déterminons la fonction de coût total

y x xmin{ , }.4 1 2

Un exemple Léontieff

x1

x2

min{4x1,x2} = y’

4x1 = x2

Un exemple Léontieff

x1

x2 4x1 = x2

min{4x1,x2} = y’-w1/w2

c’/w2

c’’/w2

c’ > c’’

Un exemple Léontieff

x1

x2 4x1 = x2

min{4x1,x2} = y’

où se trouve la combinaison d’inputs permettantde produire y’ unités d’output au coût minimum ?

Un exemple Léontieff

x1

x2

x1*= y’/4

x2* = y’

4x1 = x2

min{4x1,x2} = y’

où se trouve la combinaison d’inputs permettantde produire y’ unités d’output au coût minimum ?

Un exemple Léontieff

Considérons la fonction de production

Les demandes conditionnelles d’inputs sont:x w w y y1 1 2 4*( , , )

y x xmin{ , }.4 1 2

x w w y y2 1 2* ( , , ) .et

Un exemple Léontieff

Considérons la fonction de production

Les demandes conditionnelles d’inputs sont:x w w y y1 1 2 4*( , , )

y x xmin{ , }.4 1 2

x w w y y2 1 2* ( , , ) .et

c w w y w x w w yw x w w y

( , , ) ( , , )( , , )

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

La fonction de coûts est donc:

Un exemple Léontieff

Considérons la fonction de production

Les demandes conditionnelles d’inputs sont:x w w y y1 1 2 4*( , , )

y x xmin{ , }.4 1 2

x w w y y2 1 2* ( , , ) .et

La fonction de coûts est donc:c w w y w x w w y

w x w w y

w y w y w w y

( , , ) ( , , )( , , )

.

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

1 21

24 4

Coût marginal Pour tout niveau d’output y, le coût

marginal de production est défini (intuitivement) comme le coût de produire une unité additionelle d’output. Plus rigoureusement, il est défini par la croissance du coût total qu’entraîne un accroissement infinitésimal du niveau de production, soit:

.),,...,(),,...,( 11 y

ywwcywwCm nn

Coût total moyen

Pour un niveau d’output strictement positif y, le coût par unité (ou coût moyen) de produire y est:

.),,(),,( 2121 y

ywwcywwCM

Coût total moyen et marginal Il existe évidemment une relation entre les

coût moyen et le coût marginal Le coût moyen croît si et seulement si le

coût marginal est supérieur au coût moyen.

Le coût moyen décroît si et seulement si le coût marginal est inférieur au coût moyen.

Le coût moyen ne varie pas en fonction de la quantité produite si et seulement si le coût marginal est égal au coût moyen.

Rendements d’échelle et coûts moyens

Les rendements d’échelle dont fait l’objet une technologie déterminent la relation qui existe entre le coût moyen et le niveau de production.

Supposons que la firme produise actuellement y’ unités d’output.

De combien augmentera le coût moyen si l’objectif de production passe à 2y’ unités d’output?

Rendements d’échelle constants et coûts moyens.

Si la technologie qu’utilise la firme fait l’objet de rendements d’échelle constants, on ne peut doubler le niveau de production qu’en doublant le niveau d’emploi de tous les inputs.

Les coûts totaux vont donc doubler. Le coût moyen ne bougera donc pas.

Rendements d’échelle décroissants et coûts moyens

Si la technologie de la firme fait l’objet de rendements d’échelle décroissants, alors doubler le niveau d’output oblige la firme à plus que doubler son niveau d’emploi des inputs.

Les coûts totaux vont donc plus que doubler.

Le coût par unité produite va donc augmenter.

Rendements d’échelle croissants et coûts moyens

Si la technologie de la firme fait l’objet de rendements d’échelle croissants, doubler le niveau d’output requiert une augmentation du niveau d’emploi des inputs dans une proportion inférieure à 2.

Les coûts totaux vont donc augmenter dans une proportion moindre que 2.

Le coût par unité produite va donc diminuer.

Rendements d’échelle et coûts moyens

y

Coût/unité

r.e. constants

r.e. décroissants

r.e. croissants.

CM(y)

Coûts sous-additifs Une fonction de coûts est sous-additive si elle vérifie, pour

toute liste de niveaux d’output y1,…,yT: c(w1,…,wn,y1)+…+c(w1,…,wn,yT) > c(w1,…,wn,y1+…+yT) En mots, une fonction de coût sous-additive est telle qu’il est

moins coûteux de produire de façon intégrée un niveau de production y1+…+yT que de le produire de façon désintégrée.

La sous-additivité des coûts est un puissant facteur d’intégration.

Les rendements d’échelle croissants impliquent la sous-additivité des coûts mais la réciproque n’est pas vraie.

Coûts dans le long terme et le court terme

Nous avons défini les coûts en considérant la technologie de long terme de la firme.

On peut évidemment définir les coûts dans le court terme.

Dans le court terme, certains inputs (fixes) sont employés à des quantités préspécifiées.

Il faut alors distinguer entre les coûts fixes et les coûts variables.

Coûts dans le long terme et le court terme

Considérons une firme qui utilise deux inputs et qui ne peut pas modifier son niveau d’utilisation de l’input 2 (fixé à, disons, x2’ unités).

Comment le coût total de court terme de produire y unités d’output se compare t-il avec le coût total de long terme ?

Le programme de minimisation des coûts dans le long terme est:

Alors que dans le court-terme, il s’écrit:

min,x x

w x w x1 2 0

1 1 2 2

s. c. q. f x x y( , ) .1 2

minx

w x w x1 0

1 1 2 2

s. c. q. f x x y( , ) .1 2

Coûts dans le long terme et le court terme

Le programme de minimisation de coûts dans le court-terme n’est rien d’autre que le programme de long terme soumis à la contrainte additionnelle que x2 = x2’.

Si le choix optimal de long terme du facteur 2 était de x2’ , la contrainte additionnelle x2 = x2’ serait redondante, et les coûts de long terme et de court terme coincideraient.

Coûts dans le long terme et le court terme

Le programme de minimisation de coûts dans le court-terme n’est rien d’autre que le programme de long terme soumis à la contrainte additionnelle que x2 = x2’.

Mais si le choix de long terme de la quantité de facteur 2 n’était pas x2’ , la contrainte additionnelle x2 = x2’ empêcherait la recherche de coût minimum d’aboutir, et le coût minimum de court terme serait supérieur au coût minimum de long terme.

Coûts dans le long terme et le court terme

x1

x2

y

y

y

Considérons 3 niveaux d’output.

Coûts dans le long terme et le court terme

x1

x2

y

y

y

Dans le long terme où la firmechoisit librement les quantités

x1 et x2 des 2 facteurs, lescombinaisons les moins

couteuses sont ...

Coûts dans le long terme et le court terme

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

Celles-ci(sentier d’expansion)

Coûts dans le long terme et le court terme

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

Coûts dans le long terme et le court terme

Supposons maintenant que la firme soit soumise à la contrainte de court terme que x2 = x2”.

Coûts dans le long terme et le court terme

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondecourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondeCourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondecourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondecourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

Les coûts de court terme sont: )()( ycycCT

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondecourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

Les coûts de court terme sont: )''()''( ycycCT

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondecourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

Les coûts de court terme sont: )''()''( ycycCT

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

sentierd’expansiondecourt terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Les coûts de long terme sont:c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 21 1 2 21 1 2 2

Les coûts de court terme sont: )'''()'''( ycycCT

Les coûts totaux de court terme sont supérieurs à ceux de long terme, sauf pour les niveaux d’output pour lesquels le choix de long terme du facteur fixe dans le court terme est précisémment la quantité fixée de ce facteur.

La courbe de coûts de long terme a donc toujours un point en commun avec toute courbe de couts de court-terme.

Coûts dans le long terme et le court terme

y

coûts

c(y)

yyy

cCT(y)

Fw x

2 2

Une courbe de cout total de court termea toujours un point commun avec lacourbe de long-terme et est partoutailleurs au dessus de cette courbe de long-terme.

Coûts dans le long terme et le court terme

La distinction court-terme-long terme introduit différents types de de

coûts Coût total. l’ensemble des coûts

supportés par l’entreprise (en fonction du niveau d’output).

Coût variable total: partie des coûts qui varie en fonction du niveau de production.

Coût fixe total: partie des coûts qui ne varie pas en fonction du niveau de production.

Coût total moyen: le coût total rapporté au nombre d’unités produites.

Coût variable moyen : coût variable total rapporté au nombre d’unités produites

La distinction court-terme-long terme introduit différents types de de

coûts Coût fixe moyen: le coût fixe

rapporté au nombre d’unités produites.

Coût marginal: variation du coût total entraîné par un accroissement de production « infinitésimal ».

Coût fixe, variable, et total Soit F le cout Fixe total que doit supporter

la firme dans le court-terme pour utiliser ses quantités préspécifiés d’input.

F ne varie pas avec le niveau d’output. cv(y) est le coût total variable supporté par

la firme lorsqu’elle produit y unités d’output .

Il dépend (implicitement) du niveau de facteurs fixes.

Coût fixe, variable, et total

c y F c yv( ) ( ).

c(y) est le coût total supporté par la firme du fait de l’emploi de tous les inputs, fixes et variables, lorsqu’elle produit y unités d’output. c(y) est la fonction de coût total de la firme.

y

coût

F

y

coût

cv(y)

y

coût

F

cv(y)

y

coût

F

cv(y)

c(y)

F

c y F c yv( ) ( )

Coût moyens

La fonction de coût total de la firme est

Pour y > 0, la fonction de coût moyen de la firme est:

c y F c yv( ) ( ).

).()(

)()(

yCVMyCFMyyc

yFyCM v

coûts

CFM(y)

y0

CFM(y) = F/y 0 si y si y

coûts

CFM(y)

CVM(y)

y0

est éventuellement croissant car la loi des rendements décroissants

S’applique dans le court terme peut avoir une forme « en U »

coûts

CFM(y)

CVM(y)

CM(y)

y0

CM(y) = CFM(y) + CVM(y)

coûts

CFM(y)

CVM(y)

CM(y)

y0

CFM

CM(y) = CFM(y) + VCM(y)

coûts

CFM(y)

CVM(y)

CM(y)

y0

CFM

CM(y) = CFM(y) + CVM(y)

puisque CFM(y) 0 si y ,CM(y) CVM(y) si y

Le coût marginal

Le coût marginal est le taux de variation du coût total par rapport à une variation infinitésimale de l’output.

.)()(yycyCm v

coûts

y

CVM(y)

Cm(y)

coûts

y

CVM(y)

Cm(y)

Si le coût marginal est supérieur (inférieur)au coût variable moyen, celui croît (décroît)

coûts

y

CVM(y)

Cm(y)

Si la courbe de coût variable moyen a une forme

« en U » le coût marginal sera égal au coût variable

moyen au minimum de celui-ci.

coûts

y

Cm(y)

CM(y)

Une relation similaire peut être établie entre les courbes

de coût marginal de court terme et la courbe de coût moyen

coûts

y

CVM(y)

Cm(y)

CM(y)

Nous avons vu plus haut que la courbe de coût total de long terme est l’”enveloppe inférieure” des courbes de couts totaux de court terme.

Cette relation est également vraie s’agissant des coûts moyens.

S’agissant du coût marginal, on peut dire que le coût marginal de court terme est égal au coût marginal de long terme au niveau de production pour lequel les quantités des facteurs fixes dans le court terme sont optimales pour la firme dans le long terme.

Coûts dans le long terme et le court terme

CM(y)

coûts

y

Coût moyen court terme

Coûts dans le long terme et le court terme

CM(y)

coûts

y

Coût marginal court terme

Coûts dans le long terme et le court terme

CM(y)

coûts

y

Coût marginal court terme

Coûts dans le long terme et le court terme

Cm(y)

Pour chaque y > 0, le coût marginal de long terme coincide avec le coût marginal de court-terme choisi par la firme à ce y.