Charge limite/rupture A ne pas confondre avec la Mécanique

01/04/2021 1

Année 2020-2021

A ne pas confondre avec

la Mécanique de la Rupture

(«Fracture Mechanics»):

analyse de la fissuration des

matériaux et des structuresdéplacement

chargement

E

EP

Charge limite / rupture

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…structures métalliques

Analyse à la rupture des…

…ouvrages de géotechnique(voir cours Conception des Ouvrages Géotechniques)

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méthode des «bielles et tirants»méthode des «lignes de rupture»

…structures en béton armé(voir cours Béton Armé et Précontraint)

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Objectifs généraux du cours de Calcul à la Rupture

Prendre en compte les propriétés de résistance des matériaux en vue

d’un dimensionnement aux États Limites Ultimes (E.L.U) des ouvrages

(constr. métal., structures en BA, ouvrages de géotechnique, ...) visant à

assurer la sécurité des constructions.

Définir les concepts, méthodes et outils permettant l’analyse à la rupture des

structures/ouvrages/systèmes mécaniques.

Raisonnement typique du Génie Civil (analyses de stabilité par «surfaces de

rupture», méthode des «lignes de rupture»,…des «bielles et tirants», etc).

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Séance Thème Intervenants

7- Jeudi 01/04 De l’analyse limite au calcul à la rupture : l’exemple

des systèmes à barres fléchies

A (1h30): PB

PC (1h30) : MA/CB/GH

8- Jeudi 08/04 Théorie du calcul à la rupture pour le milieu continu

3D: approches statique et cinématique

A (1h30): PB

PC (1h30) : MA/CB/GH

9- Jeudi 15/04 Applications I: systèmes en milieu purement cohérent

(Tresca, von Mises)

PC (3h00) : MA/CB/GH

10- Jeudi 22/04 Applications II : systèmes en milieu frottant (Mohr-

Coulomb)

A (1h00): PB

PC (2h00) : MA/CB/GH

11- Jeudi 06/05 Problèmes de Calcul à la Rupture (utilisation du

logiciel Optum)

PC (3h00) : MA/CB/GH

12- Jeudi 20/05 Calcul à la Rupture des plaques et dalles minces (1) A (1h30): PB

PC (1h30) : MA/CB/GH

13- Jeudi 27/05 Calcul à la Rupture des plaques et dalles minces (2) PC (3h00) : MA/CB/GH

14-Jeudi 03/06 Examen de calcul à la rupture PB/MA/CB/GH

CALCUL À LA RUPTURE: programme prévisionnel

(Jeudi 08h30-11h45)

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De l’élasto-plasticité au calcul à la rupture:l’exemple des structures à barres fléchies

(voir chapitre V du cours écrit)

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Q

q

Retour sur l’exemple de la poutreQ

l lq

phase élastique

phase élasto-plastiquelm 3/8

limite d’élasticité

charge limitelm /3

01/04/2021 8

Q

q

lm /3m

m

Charge limite

3 / m l

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Critèrede plasticité mMm

mMm

O

A

Charge limite: calcul direct

+

lmYlm //

lQlmYlQlm 2/)( 2/)(

lYMA

lQYM O )2( Y

Equilibre

x

Q

3 /Q m l

? Y tel que :

( )

( )

M x QK Q

M x m

t.q. avec S.A.

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lmlmK /3 , /3 Domaine des chargements supportés

K indépendant de:

• l’état initial;

• l’élasticité des matériaux;

• l ’histoire du chargement.

critère

définition

Théorèmes généraux

d’élasto-plasticité

équilibre

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Analyse limite

Critère de

plasticité

Charge

limite

K: domaine des

chargements

supportés

Calcul àla rupture

Critère de

résistance

Charge

extrême

K: domaine des

chargements

potentiellement

supportables

(J. Salençon, 1983)

Cas de la rupture ductile (métaux, sols argileux,…)

M

mSchéma

élastique

(parfaitement)

plastique

lm 3/8

lm /3

Q

q

Charge extrême=

Charge limite

12

Cas de la rupture fragile (béton en traction, bois, verre,…)

M

mSchéma

élastique

fragile

Q

q

charge extrême>

charge limite=

limite d’élasticité

lm 3/8

12

Les chargements «potentiellement supportables», qui appartiennent au domaine

K, ne sont pas nécessairement atteints au cours d’un trajet de chargement, hormis si

le critère de résistance des matériaux est un critère de plasticité parfaite avec

règle d’écoulement plastique associée.

A contrario, les chargements situés à l’extérieur de K ne sont pas supportables.

Les résultats obtenus par l’approche Calcul à la Rupture sont d’autant plus fiables

que le comportement des matériaux est ductile.

Il n’est en revanche pas recommandé d’utiliser cette approche dans le cas de

matériaux fragiles, sauf à adopter des coefficients de sécurité importants, qui

peuvent entrainer un surdimensionnement de l’ouvrage.

Plasticité / Analyse Limite / Calcul à la Rupture: quelques commentaires

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L’approche

cinématique par l’extérieur

du Calcul à la Rupture

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U

0 R

Statique

du point matériel P

3ˆ RU

U .

Puissance virtuelledes efforts extérieurs

: vitesse

virtuelleU

(aucune restriction)

( )ˆ( )e U P

R des efforts

appliqués

Résultante

«Dualisation»

de l’équilibre

Principe des Puissances Virtuelles(point matériel)

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qQve

ˆ)ˆ( P

Puissance virtuelle

des efforts extérieurs

Q

)(ˆ xvix

QM s.a. ˆ c.a. ˆ qv

)ˆ(vdP

l

x

xv

xxM2

0

d

)(" ˆ

)(ˆ)(

Puissance virtuelle

de déformationtaux de

courbure virtuelle

x

Principe des Puissances Virtuelles: cas des poutres droites fléchies

ˆ ˆ( )q v x l

ˆi

ˆ( )i i

i

M x

ˆ ˆ[ ']( )

ˆ ˆ'( ) '( )

i i

i i

v x

v x v x

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)ˆ( vrmP

l

i

iid xMxxxMv

2

0

ˆ)(d)(ˆ)()ˆ( P

;

, ( )

M QQ K M

x M x m

S.A. équilibre

critère

équilibre «dualisé»!ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( )dv Qq v v P

ˆ ; ˆsup mmMM

ˆ ( ) ≤

ii mmMM ˆ

; ˆ

sup

ˆ ( ) i

Puissance Résistante Maximale

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)ˆ(vrmP

Approche cinématique par l’extérieur

ˆ ˆ ˆ ( ) ( )d

M QQq v v

S.A.PQ K

, ( )x M x m

K Q0

ˆ, 0ˆrm qq

P

QChargement

extrême

00

Q

xAO

Mise en œuvre de l’ approche cinématique

lxllxq

lxlxqxv

2 )/2(ˆ

0 /ˆ

)(ˆ

lmQ /3

ˆ)ˆ( qQve

P l

rmxv

2

0

d ˆ)ˆ( P /ˆ 3 lqm

0ˆ q

0ˆ

)ˆ()ˆ(AO

0ˆ ˆ ˆ'(0 ) '(0 )

ˆ / 0

ˆ ˆ ˆ'( ) '( )

ˆ 2 / 0

O

A

v v

q l

v l v l

q l

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Généralisation(poutres droites, homogènes, charges concentrées)

Diagrammes

de momentsS.A.:

affines «par morceaux»

n=13Sections

Potentiellement

Critiques

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Pour déterminer les chargements extrêmes, il suffit

d ’explorer les mouvements virtuels («mécanismes»)

mettant en jeu des discontinuités de taux de rotation («rotules»)

localisées aux seules Sections Potentiellement Critiques

r = n - k mécanismes indépendants

ˆˆ( , 1... )i i n Mécanismes :

nombre

de S.P.C.

degré d ’hyperstaticité(nombre de Mi indépendants)

dimension de

l’espace des

mécanismes

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Approche cinématique par l’extérieur

mM i

mM i

0ˆ *i

0ˆ *

i

ˆ( ) ˆ, 0ˆ

rm iQ qq

P

Majorant

ˆ

ˆ ˆ( ) ( )

Minˆ ˆ

i

rm i rm iQq q

P PMinimisation

Mécanisme

optimal ˆi

règle

d’écoulement

plastique

ˆ p

i i

Poutre

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n – k = r

Y

2 1Mécanisme

de «poutre»1

01/04/2021

25

r = n - k13 67

mécanismes

indépendants

Retour sur l’exemple du portique à deux étages

Inconnues hyperstatiques

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3 mécanismes de «poutre»

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2 mécanismes de «panneau»

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2 mécanismes de «nœud»

3

1 2 3

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2i i

i

Ql M M M M

P.P.V.1 2 3 2Ql M M M

Remarques complémentaires

A chaque mécanisme indépendant est associée par le P.P.V.

une relation entre moments

1

ˆ ˆ

2

ˆ ˆ 2

3

ˆ ˆ

Q

ˆl

+

A chaque mécanisme indépendant est associée par le P.P.V.

une relation entre moments → r relations

L’utilisation de mécanismes avec rotules peut être étendue…

• …aux chargements répartis • …aux poutres courbes (arcs)

rotule

«mobile»

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