Concavité et points d'inflexion

Département de mathématiques 1

Concavité et points d'inflexion

Jacques ParadisProfesseur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Élément de compétence

Concavité vers le haut et le bas

Lien entre la concavité et la dérivée seconde

Nombre critique et point d’inflexion

Tableau de variation relatif à f’’

Exemples et exercice

Test de la dérivée seconde

3Département de mathématiques

Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une

fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique

Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la concavité d’une fonction au signe de sa dérivée

seconde Déterminer les intervalles de concavité vers le haut et de

concavité vers le bas Déterminer les points d’inflexion d’une fonction Construire un tableau de variation relatif à f’’ Donner une esquisse du graphique d’une fonction Utiliser le test de la dérivée seconde pour les extremums d’une

fonction

4Département de mathématiques

Concavité (1 de 2)

bas

haut

Soit une fonction f définie sur un intervalle I, f est concave vers le haut sur I si la courbe de f est

au-dessus de ses tangentes dans cet intervalle. f est concave vers le bas sur I si la courbe de f est

au-dessous de ses tangentes dans cet intervalle. Un point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f si la

courbe change de concavité en ce point.

5Département de mathématiques

Concavité (2 de 2)

Concavité et signe de la dérivée seconde f ’’ (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) concave vers le haut sur [a,b] f ’’ (x) < 0 sur ]a,b[ f(x) concave vers le bas sur [a,b]

m=0

m>0

f’(x) est croissante, d’où sa dérivée f’’ > 0

m>0

m=0

m<0

m<0

f’(x) est décroissante, d’où sa dérivée f’’ < 0

6Département de mathématiques

Remarque : Le point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f ssi f’’(x) change de signe lorsque x passe de c à c+.

Nombre critique de f’ : une valeur c du domaine de f’ pour laquelle f’’(c) = 0 ou f’’(c) n’existe pas. (Un point d’inflexion potentiel)

Nombre critique / Point d’inflexion

7Département de mathématiques

x

f’’(x)

f(x)

Tableau de variation relatif à f’’

Valeurs de x

Valeurs de f’’(x)

Valeurs de f(x)

Borne inférieure Borne supérieure

Points d’inflexion

Nombres critiques

Pour une fonction définie sur un intervalle : - - - - -

8Département de mathématiques

Exemple 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers

le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 – 10x3 + 36x – 12. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f’ Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f

x - 0 5

f’’(x) + 0 0 +

f(x) -12 -457

inf inf

9Département de mathématiques

Exercice 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de

concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 - 24x2 + 14x + 40 définie sur [-5,2 ; 4,6].

x -5,2 -2 2 4,6

f’’(x) + 0 0 +

f(x) 49,4 -68 -12 44,3

inf inf

10Département de mathématiques

Exemple 2 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de

concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) =

x -2 0 2

f’’(x) + 0

f(x) 0 0 0

inf

2x 4 x .

2

2

4 2xf '(x)4 x

2

2 3

2x(x 6)f ''(x)(4 x )

11Département de mathématiques

Test de la dérivée seconde (1 de 2)

Soit une fonction f et c un nombre critique de f tel que f’(c) = 0.

1) Si f’’(c) < 0, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f.

2) Si f’’(c) > 0, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f.

3) Si f’’(c) = 0 ou n’existe pas, alors le test ne fonctionne pas et il faut revenir au test de la dérivée première.

12Département de mathématiques

Test de la dérivée seconde (2 de 2)

Exemple : Soit f(x) = 2x3 – 0,25x4 – 0,2x5, déterminer les points de maximum relatif et les points de minimum relatif de f à l’aide du test de la dérivée seconde. Étape 1 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 2 : Identifier les nombres critiques de f ayant f’(x) = 0 Étape 3 : Trouver f’’(x) (Inutile de factoriser) Étape 4 : Évaluer f’’(x) pour les nombres trouvés à l’étape 2 Étape 5 : Utiliser le test de la dérivée première si le test de la

dérivée seconde ne permet pas de conclure

x 0

f’(x) + 0 +

f(x) 0

13Département de mathématiques

Devoir

Série 6.2, page 246, nos 1 à 5.

Exercices récapitulatifs, page 284, no 4. 4a) concavité vers le haut : - ; 0,25], concavité

vers le bas : [0,25 ; , point d’inflexion : (0,25 ; 0). 4c) concavité vers le haut : [2 ; , concavité vers

le bas : - ; 2], point d’inflexion : (2 ; 16). 4e) concavité vers le haut : [-2 ; 0] , concavité

vers le bas : [0 ; 2], point d’inflexion : (0 , 0).