Correction Brevet Pondichéry 2011

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Activités numériques 12 points

EXERCICE 1

1. 6 est un diviseur commun à 30 et à 42 donc ce n’est pas la réponse C.

De plus 5 n’est pas un diviseur commun aux deux nombres donc ce n’est pas la réponse A.

C’est la réponse B .

2. Il y a 15 boules dont le tiers sont noires. On a donc une chance sur trois de tomber sur une boule noire. C’est la réponse A .

3.

7x −5 < 4x +1 ⇐⇒ 7x −4x < 1+5

⇐⇒ 3x < 6

⇐⇒ x < 2

Il s’agit d’une inégalité stricte c’est donc la réponse A .

4.

(10−3

)2×104

10−5= 10−6

×104×105

= 103. C’est la réponse C .

EXERCICE 2

Soit A = (2x +1)(x −5).

1. A = 2x2−10x + x −5 = 2x

2−9x −5 .

2. Pour x =−3, A = 2× (−3)2−9× (−3)−5 = 40 .

3. A = 0 ⇐⇒ 2x +1 = 0 et x −5 = 0 ⇐⇒ x =−1/2 et x = 5 .

EXERCICE 3

1. C’est au 9ème devoir que Mathieu a obtenu sa meilleure note.

2. M =

13+12+9+11+6+11+11+17+19+14+3+12

12soit M = 11,5 .

3. étendue = note la plus haute − note la plus basse. Soit E = 19−3 = 16 .

4. a. Il a eu 3 de notes strictement inférieures à 10 sur 20.

b.3

12=

25

100. Donc cela représente 25 % de ses notes.

Activités géométriques 12 points

EXERCICE 1

1. BMD est un triangle rectangle en D car il est inscrit dans le cercle de centre O et de diamètre [BM] soit son hypoténuse.

2. a. ABD est un triangle isocèle donc �ABD= �ADB= 75°. Ainsi �BAD = 180−2×75 = 30° .

b. L’angle �BMD intercepte l’arc �BD et l’angle �BAD aussi.

c. BAD est un triangle isocèle en A et BMD est un triangle rectangle isocèle en D donc �BAD =�BMD = 30° .

3. Première Méthode (Théorème de Pythagore) :

Le carré de l’hypoténuse [BM] est égal à la somme des carrés des deux côtés [BD] et [MD] de l ?angle droit c’est à dire :

BM2= BD2

+MD2

MD2= BM2

−BD2

MD =

√BM2

−BD2=

√11,22

−5,62

Soit MD ≈ 9,7 cm .

Deuxième Méthode (Trigonométrie) : on utilise la question précédente. cos�BMD =

MD

BM⇐⇒ MD = BM×cos�BMD.

Attention à bien mettre la calculatrice en mode degré : MD ≈ 9,7cm .

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EXERCICE 2

Partie 1 :

1. a. Vcône =1

3×π×AB2

×SA soit Vcône ≈ 2,4127 m3. En arrondissant au millième on trouve : Vcône ≈ 2,413 m3 .

b. Vsilo = Vcône +Vcylindre = 13,27 m3. C’est à dire Vsilo = 13 270 dm3= 13 270 litres .

2. a.SO

SA= k où k est le coefficient de réduction. Soit k =

1,2

1,6=

3

4. k est bien inférieur à 1 !

b. On en déduit que Vgrains = k3×Vcône soit Vgrains ≈ 1,018 m3 .

Partie 2 :

HM

HN=

0,8

0,2= 0,4 et

HB

HC=

1,6

4= 0,4.

On remarque queHM

HN=

HB

HCet comme les points H, M et N d’une part et les points H, B et C d’autre part sont alignés et dans le

même ordre, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BM) et (CN) sont parallèles entre elles.

Problème 12 points

Partie 1

1. AABCD = 6×2,20 = 13,20 m2 et ABCS =

1

2(6×1,80) = 5,4 m2. Et donc Atotale =AABCD +ABCS = 18,6 m2 .

2. a. PGCD(18,6 ; 1,2)= 1.18,6

1,2= 15,5. Donc M. Duchêne doit acheter 16 lots au minimum.

b. 18×49 = 882 ( .

c. Remise de 12% sur les 882 ( : 106 ( environ. Donc M. Duchêne a payé 882−106 ≈ 776 ( .

Partie 2

1. BM = 3 m .

2. a. D’après le théorème de Thalès, on a :FH

SM=

BH

BM⇐⇒ FH =

BH×SM

BM. Soit FH = 0,3 m .

b. EF = EH + HF = 2,2+0,3 = 2,5 m .

3. a. D’après la question 2.a. en utilisant le théorème de Thalès, FH =

BH×SM

BM. Soit FH =

1,8

3× x ou encore FH = 0,6x .

b. EF = EH + HF = 2,20+0,6x .

4. a. On cherche la longueur d’un tasseau qui correspond à l’abscisse x = 1,50 : on trouve ℓ= 3,1 m .

b. On cherche l’abscisse x qui correspond à la longueur ℓ= 2,80 m : on trouve x = 1 m .

Partie 3

tan �SBM =

SM

BM=

1,8

3= 0,6. On vérifie que la calculatrice est en mode degré et on trouve �SBM = tan−1 (0,6) ≈ 31° .

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