Cours Module: VibrationsObjectifs: 1. L’équation aux dérivées partielle 2. Les différentes...

Dr Fouad BOUKLI HACENE E P S T T L E M C E N

A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6

2ième partie: ONDES MÉCANIQUES

Chapitre 6: Généralités sur le phénomène de propagation

Objectifs:

1. L’équation aux dérivées partielle 2. Les différentes solutions du problème 3. La notion des ondes incidentes et réfléchies 4. La notion de l’onde plane- L’onde sphérique 5. Quelques Applications,

Définitions:

L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière, comme le montre la figure 1.6

Figure 1.6 : Mouvement de la vague

L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie, Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées

partielles, appelée équation d’Alembert où encore équation d’onde décrite comme suit

2

22

2

2

xV

t

Ou est l’onde qui se propage dans la direction ox avec une vitesse constante V.

La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non dispersif.

Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du milieu.

Elle varie d’un milieu à un autre

On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel par le vecteur d’onde

)k,k,k(k zyx

On définit la relation de la dispersion de l’onde par le rapport:

V)(k

Il existe deux types de milieux : Milieu dispersif et Milieu non dispersif :

Milieu dispersif : o La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu

et de la longueur d’onde, telle que:

dk

dVg

o Le signal de l’onde se compose d’un groupe d’ondes dont les fréquences se situent dans une bande très étroite.

o Dans ce cas, on définit la vitesse du groupe avec laquelle se déplace le groupe d’onde

Figure 2.6 : Propagation du paquet d’onde

Exemple: Ce phénomène se perçoit par exemple dans l'air lorsque l'amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute fréquences se propagent plus rapidement que les ondes de basse fréquence, l'air est dispersif),

Milieu non dispersif : o La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu

de propagation, telle que:

teconsV

k tan)(

o Elle ne dépend pas de la fréquence, c’est le cas de la propagation des ondes sonores dans l’air, .

o C’est ainsi qu’on peut écouter de la musique sans déformation exécutée par un orchestre

o Toutes les composantes d’un son, quelque soient leurs fréquences, se déplacent à la même vitesse

Il existe deux types d’ondes : Ondes longitudinale et Onde transversale,

Onde longitudinale : L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le montre les figures 3.6-a.et 3.6-b

Figure 3.6-a : Phénomène d’onde longitudinale dans les gaz

Figure 3.6-b: Phénomène d’onde longitudinale

Onde transversale : l’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme le montre les figures 4.6-a et 4.6-b

Figure 4.6-a: Phénomène d’onde transversale

de la corde

Figure 4.6-b: Phénomène d’onde transversale

Il y a des ondes qui ne sont ni transversale ni longitudinale comme par exemples les vagues comme le montre la figure5.6:

Figure 5.6 : Mouvement de la vague

L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes : A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort. A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.

Figure 6.6 : Phénomène d’onde circulaire

Exemple: lorsqu’on jette une pierre sur une surface d’eau,

Les ondes mécaniques présentent une double périodicité : La périodicité temporelle : caractérisée par la période t (s). La périodicité spatiale : caractérisée par la longueur d’onde w (m).

Le phénomène de diffraction est une des caractéristiques importante des ondes.

Il se manifeste lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont du même ordre de

grandeur que la longueur d'onde,

Diffraction

Figure 7.6 : Phénomène de diffraction des ondes

Interférences: On parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent et interagissent l'une avec l'autre

Figure 8.6 : Franges d’interférences

Effet Doppler d'une source sonore en mouvement. L'effet Doppler est le décalage de fréquence d’une onde

(Onde mécanique, acoustique, électromagnétique, etc.) entre la source d’émission et le récepteur en mouvement et qui varie au cours du temps,

Figure 12.6 : Illustration de la variation

de la longueur d’onde en fonction de la vitesse

Modélisation mathématiques: Onde plane

Soit l’équation de propagation définit comme suit :

2

22

2

2

xV

t

C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.

En utilisant la méthode du changement des variables :

V

xtq

V

xtp

Pour le premier terme de l’équation Au premier ordre, on a :

1t

q

1t

p

avect

q

qt

p

pt

qpt

Pour le deuxième ordre, on aura:

1

1

][2

2

t

qt

p

avect

q

qpqt

p

qpp

qpt

ttt

qppqpqt

2

2

2

2

22

2

2

De même pour le deuxième terme : Pour le premier ordre, on a:

Vx

qVx

p

avecx

q

qx

p

px 1

1

qpVx

1

Pour le deuxième ordre:

Vx

qVx

p

avecx

q

qpqx

p

qpp

qpxxxx

1

1

][2

2

qppqpqx

2

2

2

2

22

2

2

022

pqqp

On obtient :

Cette équation admet des solutions suivantes:

0

)(

0

)(

0

0

2

2

q

p

p

q

pq

qp

)(' qFq

:Ne dépend pas de p

)(' pFp

:Ne dépend pas de q

2)()(

1)()(

2

1

kpGp

kqFq

D’ou la solution totale s’écrit sous la forme:

)p()q( 21T

En régime sinusoïdal la solution s’écrit comme suit:

)()(V

xtG

V

xtFT

Les constantes d’intégrations s’annulent au point x=0 et t=0,

)](cos[)](cos[),(V

xtB

V

xtAtx T

On obtient alors la somme de deux types de signaux qui s’écrit sous la forme:

RéfléchieOndeV

xt

IncidenteOndeV

xt

)(

)(

2

1

Figure 15.6: Ondes réfléchies dans le sens contraire de la direction positive

Figure 14.6: Ondes progressives dans le même sens de la direction positive

L’équation de propagation à trois dimensions:

On décompose le vecteur d’onde k

en trois composantes

)k,k,k( zyxsous la forme suivante :

2z

2y

2x

2 kkkk

Figure 17.6 : Une onde plane à trois dimensions

On détermine les composantes suivant les directions:

Avec:

On somme terme à terme, on obtient:

2222

2

2

2

2

2

21kkkk

zyxzyx

2

22

2

22

2

22

1

1

1

zk

yk

xk

z

y

x

2

22 1

t

D’où

Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des variables :

2

2

2

Vt

C’est une équation de propagation des ondes Equation d’Alembert

)()()()(),,,( tTzCyBxAzyxt

V est la vitesse de propagation de l’onde

On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, On obtient alors:

Cste

t

tTzCyBxA

Vz

tTzCyBxA

y

tTzCyBxA

x

tTzCyBxA

2

2

22

2

2

2

2

2

)()()()(1)()()()(

)()()()(

)()()()(

D’où

Cste

t

tTzCyBxA

Vz

zCtTyBxA

y

yBtTzCxA

x

xAtTzCyB

2

2

22

2

2

2

2

2

)()()()(

1)()()()(

)()()()(

)()()()(

On divise chaque terme de l’équation par la solution Ψ, on obtient alors:

22

)(

)(]

)(

)(

)(

)(

)(

)([ Cste

tT

tT

xC

xC

xB

xB

xA

xAV

)()()(

)(]

)(

)(

)(

)(

)(

)([ 22222

zyx kkkkVtT

tT

xC

xC

xB

xB

xA

xA

Par identité, on identifie les équations différentielles suivantes:

0)()(

0)()(

0)()(

)()(

2

2

2

2

tTtT

zCkzC

yBkyB

OxAkxA

z

y

x

Ainsi que, les solutions sont déterminées comme suit:

tTtTtT

zkCzkCzC

ykBykByB

xkAxkAxA

zz

yy

xx

sincos)(

sincos)(

sincos)(

sincos)(

21

21

21

21

Soit une onde Ψ se propageant d’une manière sphérique dans un milieu à symétrie radiale avec une vitesse constante V,

Ondes sphériques

Figure 18.6 : Onde sphérique

L’équation de propagation tridimensionnelle s’écrit:

2

2

2

Vt

Pour un milieu ayant une symétrie radiale on a le rayon de la sphère r qui se calcule comme suit:

2222 zyxr

Alors, la solution ψ(x,y,z;t) ne dépend que de la variable r devient:

),(),,,( trtzyx

Pour la première dérivée on a:

rr

x

x

r

rx

De même pour la deuxième dérivée, on trouve:

2

2

2

2

2

2

111

11

rrrrr

x

rr

x

r

rrrx

x

x

rr

rr

x

x

xxx

2

2

2

2

2

2

2

2

11

r

y

rrrr

y

y

On obtient pour la variable x:

De même pour la variable y:

De même pour la variable z:

2

2

2

2

2

2

2

2

11

r

x

rrrr

x

x

2

2

2

2

2

2

2

2

11

r

z

rrrr

z

z

On somme pour les trois directions, on obtient

rrrr

zyx

2)(

2

2

2

2

2

2

2

2

Après transformation on aura :

2

2 )(1)(

r

r

rr

2

2

22

2 )(1)(

t

r

Vr

r

D’où l’équation de propagation :

r

En posant la nouvelle variable:

2

2

22

2 1

tVr

On a obtenue une équation aux dérivées partielles

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

)V

rt()

V

rt()r,t( 21

D’où la solution globale devient:

)()(

1),(

V

rtG

V

rtF

rtr

On a deux types d’onde : Une onde sphérique incidente et une onde sphérique réfléchie

Le facteur représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique incidente qui est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même manière.

r

1

Ce qu’il faut retenir!

L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière.

Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’Alembert où encore équation d’onde

La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du milieu. Elle varie d’un milieu à un autre

On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel par le vecteur d’onde .

Il existe deux types de milieux : Milieu dispersif et Milieu non dispersif Il existe deux types d’ondes : Onde longitudinale et Onde transversale L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes

formes : A une dimension : Mouvement plane le long d’un axe comme le

mouvement d’une corde, mouvement d’un ressort. A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau. A trois dimension ; Mouvement sphérique dans toute les directions