Cycles de sorption-désorption en réacteur agité isolé et en cascade—isotherme de sorption...

Chemical Engineering Science, 1974, Vol. 29, pp. 2125-2126. Pergamon Press. Printed in Great Britain

Cycles de sorption-d6sorption en r6acteur agit6 isoi6 et en c a s c a d e ~ i s o t h e r m e de sorption l in6a ire~6qu i l ibre instantan6

(Received 5 February 1974)

Les op6rations de sorption d ' un solut6 sur un solide se font par cycles de deux 6tapes: la sorption ou saturat ion, et la d6sorpt ion ou r6g6n6ratign. Ces deux 6tapes sont en g6n6ral incompl6tes, l ' adsorbant n '6tant pas to ta lement satur6 ~t la fin de l '6tape de sorption, et pas to ta lement r6g6n6r6 A la fin de l '6tape de d6sorption. Si ces 6tapes se font dans des condit ions cons tan tes d 'un cycle ~ l 'autre, un r6gime stationnaire p6riodique (cyclic s teady state) s '6tablit dans le syst~me, au bout de quelques cycles.

Cet te note a pour but de montrer que l 'on peut calculer a is6ment le r6gime transitoire et la r6gime stationnaire p6riodique dans une cascade de r~icteurs agit6s et de pr6senter quelques propri6tg du r6acteur agit6 unique, dans les condit ions suivantes: ---on suppose une cascade de r6acteurs parfa i tement agit6s identiques, met tant en contact un adsorbant et une solution, l '6quilibre entre les deux phases 6tant 6tabli /~ tout instant (cin6tique tr6s rapide), et l ' i sotherme 6tant lin6aire.

Chaque r6acteur est alors r6gi par un bitan de mati6re diff6rentiel qui peut s'6crire, en variables r6duites:

avec

X = = - -

d x d--~+x = 1

C - Co et T = t C~ - Co

La r6ponse d 'une cascade de J r6acteurs, d '6tat initial un i fo rme Co, ~ un 6chelon unique de concentra t ion CE, donc aux condit ions initiales:

T < 0 x = 0 T > 0 x = 1

es t bien connue (cf. [1], par exemple):

J x j = l - e r~ , , TJ-J

xs 6tant la concentra t ion r6duite ~ la sortie du J~me r6acteur.

Rdponse ~ un signal pdriodique en crdneau Les condit ions aux limites consid6r6es ici

repr6sent6es sur Fig. 1 et s ' expr iment par:

m6me num6ro h une saturat ion et h la r6g6n6ration qui la suit.

On montre que la r6ponse de la cascade, pendant le n ~m" cycle, est donn6e par: - - p e n d a n t la n'~m~ saturat ion

- - p e n d a n t la n*e ~° r6g6n6ration:

( n - 1)to < t < ( n - 1)t~ + t, ( n - 1)t~ + L < t <ntc

x = l n = 1 , 2 , 3 . . . . x = 0 t ~ = L + t a

o~

x~, = e - ~ ~ 0R~-~ , ~ ~ (4)

0, t - ( n - 1 ) t c et OR t - t ~ - ( n - 1 ) t ~ Ts TR

sont des t emps r6duits mesur6s h partir du d6but de l '6tape consid6r6e. ~ _ ~ est la concentra t ion du i ~me r6acteur ~ la fin de la n i~-" r6g6neration, et ~ , est la concentra t ion du i'm° r6acteur/ l la fin de la n ~m, saturation.

Ces express ions donnent donc implici tement la con- (l) centrat ion r6duite en fonct ion du t emps ~t la sortie d ' un

r6acteur d 'ordre quelconque J, et en particulier du dernier r6acteur. On note que les premiers t e rmes t~q. ~3) sont identiques ~t la r6ponse h u n 6chelon unique [cf. Eq. (2)]. Le dernier terme est un terme 'de m6moire ' , qui contient les concent ra t ions finales de chaque r6acteur de la cascade ~t la fin de l '6tape pr6c6dente.

A partir d ' un 6tat initial donn6, on peut donc faire un calcul it6ratif de la concentra t ion de chaque r6ac teur / t la fin de chaque 6tape, et par cons6quent 6tablir ~ la fois le proJil des concent ra t ions dans la cascade fi tout moment , et l'histoire de l 'e l~uent en fonct ion du temps.

La Fig. 1 est un exemple de calcul pour une s6rie de 3 r6acteurs, les condi t ions aux limites CE = 1 et Co = 0, et des valeurs 6gales ~ 1 des t emps r6duits (T, = TR = 1, soit t~ = ~'~ et tR = ~'R). On note qu'il y a convergence vers un

(2) 6tat stat ionnaire cyclique, convergence rapide pour le ler r6acteur, de plus en plus lente pour les r6acteurs suivants , l ' amor t i s sement des ocillations 6tant de plus en plus important .

sont

6tant le num6ro du cycle et tc sa dur6e. On affecte le

Cas particulier du rdacteur unique Dans le cas d ' un seul r6acteur, on est conduit a is6ment des solutions plus explicites. En effet, avec J = 1, I~qs.

(3) et (4) deviennent :

O - - R x . ' = l - e " , + e ,x . , (5)

x. R = e-"~, ' (6)

2125

2126

c 0,5 / / ~

/ / "

Shorter Communica t ions

operat ions d 'Echange d ' ions en colonne. Ces au teurs ont suppose qu 'en premi&e approximation, ces quantitEs 6taient invariantes, et en on dEduit une mEthode de calcul de la capacit6 utile (capacitE opEratoire, ou dynamique) des cycles. En outre, ces propriEtEs du rEacteur unique ideal peuvent s 'appliquer h des rEacteurs reels (non parfai- tement agitEs, et en presence d 'une cinEtique d 'adsor- ption) darts la mesure ofJ ces syst/~mes peuvent 6tre dEcrits par une fonct ion de t ransfer t du ler ordre (voir par exemple[3]). On peut alors imaginer de baser sur ces propriEtEs, une mEthode d 'opt imisat ion des cycles et de

O 5 4 8

T

Fig. 1. REsponse de 3 rEacteurs agitEs en cascade ~ une sErie de crEnaux de concentrat ion: condit ions d'entrEe; - - - - ler rEacteur i = 1 ; - - - 2 ~ m e rEacteur i = 2; . . . . 3~me

rEacteur i = 3.

avec

x." = ~.* pour 0. = T.

x. R = g~Rpour OR = TR

On obtient une recur rence entre $. ' et g~_,, par exem- pie, en Eliminant x.-~ ~." Vs, VL

~." - aR~_, = b (7) U

K a et b Etant des cons tan tes ; cet te Equation aux differences finies, linEaire du ler ordre, a pour solution:

q | - - - T s

g.* = ~ ( l - e .r~) (8) C

avec t, tR, t . t.

T, = T . + T .

Le te rme e n e -"r~ est le te rme transitoire, qui s ' annule ra- p idement ]orsque n croft, et le premier terme donne le regime cycl ique stat ionnaire, indEpendant de n. Indices

On dEmontre en outre la propriEtb d ' invar iance ci- R et S dessous . DEfinissons auparavant les quantitEs:

compara ison des pe r fo rmances de divers adsorbants en regime cyclique.

Centre de Cindtique Physique et Chimique du CNRS, 54600-ViUers les Nancy, France

ALIRIO R O D R I G U E S t D A N I E L T O N D E U R

NOMENCLATURE ~" t emps de sEjour modifi6 dans un rEacteur ou

V~ + KV~ t emps stoechiomEtrique, sec = U

volume de solide et de liquide dans le rEacteur, 1

debit volumEtrique, l sec ' cons tan te d'Equilibre, telle que q = KC

(adimensionnel) concentra t ion de solute dans l 'adsorbant , en

Equilibre avec C, mol 1 -~ concentra t ion de solute dans un rEacteur, et

la sortie de ce rEacteur, mol 1 -~ temps, sec; durEe respect ive de la

rEgEnEration, de la saturat ion et du cycle (t~=t~ +t~)

T = t/.r

se rEfErent ~t la rEgEnEration et la saturat ion respect ivement ; U et K, d o n c • peuvent

F~

F,

Les quantitEs au numErateur et au dEnominateur de ces express ions varient de cycle en cycle pendant la pEriode transitoire. Cependant , leurs rappor ts F, et FR, calculEs par integration sur un cycle des express ions (5) et (6), sont cons tants . En effet, on mont re que:

F , = l - e - ~ FR = l - - e -rR

ces quantitEs ne dependent pas de n e t sont done des invariants du cycle.

Des quantitEs F R e t F, ont 6t6 dEfinies antErieurement de la mEme fagon par Dodds et Tondeur[2] pour des

solute chassE du rEacteur au cours d 'une rEgEnEration solute present au debut de cette rEgEnEration

solute accumul6 darts le rEacteur au cours d 'une saturat ion capacitE thEorique d 'accumula t ion au debut de cette saturat ion

8tre diffErEnts en rEgEnEration et saturat ion J nombre de rEacteurs n numEro du cycle c quantitEs rEfEr6es au cycle i numEro du rEacteur

?Adresse ac tue l le - -Univers i t6 de Luanda , DEparte- ment de GEnie Chimique, Luanda , Angola.

BIBLIOGRAPItIE

[1] Cooper A. R. and Jeffreys G. V.; Chemical Kinetics and Reactor Design. Oliver & Boyd, Edinburgh 1971.

[2] Dodds J. A. and Tondeur D., Chem. Engng. Sci. 1972 27 1267.

[3] Vil lermaux J. and Matras D., Can. J. Chem. Engng. 1973 51 636.