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Début
Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
Le théorème de Pythagore
Une initiation pour petits et grandsUne initiation pour petits et grands
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Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
Mode d’emploi
On peut laisser aller l’animation, mais les boutons permettent d’accéder aux différents sujets : Revenir au début Revoir la démonstration Exemples d’utilisation de la relation Quelques informations sur les carrés Les triplets de Pythagore
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Il était une fois,
Un triangle rectangle.
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Son hypoténuse
Opposée à l’angle
droit
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Si on trace deux côtés perpendiculaires
Le triangle est formé.
Le troisième côté nous est imposé par la
construction.
Sa longueur dépend donc des longueurs choisies pour les deux premiers côtés.
Mais de quelle manière?
C’est le sujet traité ici.
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Le carré de l’hypoténuse.(c'est à dire dont le côté est l'hypoténuse)
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Les carrés des deux côtés de l’angle droit.
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+=
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Théorème de Pythagore
La place occupée par le grand carré (son aire) est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés.
En langage mathématique :
Le Le carrécarré de l ’hypoténuse est égal à la de l ’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des deux autres côtés.somme des carrés des deux autres côtés.
X² + Y² = Z² x
y
z
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Prenons un exemple:Prenons un triangle rectangle.
25 cm²
Si un côté mesure 3 cm.
3 cm
Le carré construit sur ce côté mesure 9 cm².
9 cm²
Si l’autre côté mesure 4 cm.
4 cm
Le carré construit sur ce côté mesure 16 cm².
16 cm²La somme des aires de ces deux carrés est de 9 + 16 = 25 cm².
Donc le carré construit sur l’hypoténuse mesure 25 cm².
Donc l’hypoténuse mesure 5 cm, car 5 5 = 25.
5 cm
3² + 4² = 5².
3 cm4 cm
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Par quel miracle cette situation est-elle possible?
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Voici une «démonstration»!
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On s ’intéresse à la moitié de l’un des deux petits carrés.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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Les carrés
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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QuitterPourquoi?
L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
Suite
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.Suite
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on le fait tourner
autour d’un point.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on le fait tourner
autour d’un point.
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ne varie pas quand
on le fait tourner
autour d’un point.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on le fait tourner
autour d’un point.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on le fait tourner
autour d’un point.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on le fait tourner
autour d’un point.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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L’aire d’un triangle
ne varie pas quand
on déplace un
sommet
parallèlement au côté
opposé.
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Donc les deux
triangles orange
ont la même
aire.
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Si on double l ’aire de ces deux triangles:
Alors on
complète le
carré
Et on complète
aussi le
rectangle.
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L’aire du
carré ..
… l’aire du
rectangle.
est donc la même que …
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On procède de la
même manière pour
l’autre carré.
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On le déplace
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On le fait tourner
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On double les aires
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L’aire du carré ..
… l’aire du rectangle.
est la même que …
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Donc, finalement, le
grand carré est
rempli par les deux
petits.
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Une autre manière de voir cette propriété.
Dans un carré donné,
On place quatre triangles
rectangles identiques.Qui laissent
apparaître une surface non occupée
Qui est un carré dont le côté est
l’hypoténuse des triangles
rectangles.
C’est donc le carré de l’hypoténuse.
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Ainsi sont apparus les carrés des
deux côtés de l’angle droit.
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Le carré de l’hypoténuse
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Est égal à
La somme des deux autres
carrés
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=
Le carré de l’hypoténuse
Est égal à
La somme des deux autres
carrés
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D ’autres exemples d ’utilisation de la
propriété de Pythagore
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D’autres exemples d’utilisation de la
propriété de Pythagore
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21 cm
20 c
m
29 cm20² + 21² =
400 + 441 = 841
et 29 29 = 841
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15 cm
8 c
m
17 cm
8² + 15² =
64 + 225 = 289
et 17 17 = 289
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24 c
m
25 cm
7 cm
25² 24² = 625 576 = 49
et 7 7 = 49
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Ce sont des exemples de trois longueurs entières
qui permettent de construire des triangles
rectangles. On les appelle des triplets
Pythagoriciens.
On peut créer des triplets
Pythagoriciens .Comment?
Suite
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Les carrés
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GénéralisationLa figure construite sur l’hypoténuse est
équivalente à la somme des figures
semblables construites sur les
deux côtés de l’angle droit.
Début
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GénéralisationLa figure construite sur l’hypoténuse est
équivalente à la somme des figures
semblables construites sur les
deux côtés de l’angle droit.
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Comment obtenir un carré deux fois plus grand?
1
a 2a
2
34
l’aire du carré est, non pas deux fois, mais
quatre fois plus grande.
Si on double la
longueur du côté
Il faut donc trouver autre chose….
Début
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Il suffit de construire la diagonale du carré.
Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté.
a
Si a est le côté du petit carré, le carré de l’hypoténuse est
a² + a² = 2 a²
a²
2a²
En savoir plussur les carrés
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Il suffit de construire la diagonale du carré.
Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté.
a
Si a est le côté du petit carré, le carré de l’hypoténuse est
a² + a² = 2 a²
a²
2a²
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Qu’est-ce qu’une racine carrée?
7 cm
4 c
m
Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 7 cm,On calcule la longueur de l’hypoténuse par la relation de Pythagore:
h
h² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
Pour connaître la valeur de h, on cherche un nombre dont le carré est égal à 65.Il n ’existe pas de nombre entier qui réponde à cette situation.
Par définition, on appelle «racine carrée» de 65 le nombre cherché. On le note 65
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Pour en savoir plus sur les racines carrés,
consulter, dans la même collection
Pythagore et les racines
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Les triplets de Pythagore.Pour que les trois côtés du triangle vérifient la relation de Pythagore, on ne peut pas les choisir au hasard.
Des formules permettent de les fabriquer par le calcul.
x = a² + b²
y = a² - b²
z = 2 a b
x, y et z sont les longueurs des côtés, quand on prend des valeurs entières pour a et pour b
Début
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Les carrés
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x = a² + b²
y = a² - b²
z = 2 a b a b
On donne des valeurs à a et à b.
On calcule x, y et z avec ces valeurs.
x = + =
y = - =
z = 2 =
a² b²
a² b²
a b
Début
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Les carrés
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On calcule x, y et z avec ces valeurs.
On donne des valeurs à a et à b.
x = a² + b²
y = a² - b²
z = 2 a b a b
x = + =
y = - =
z = 2 =
2² 1²
On vérifie la relation de Pythagore.
2 1
2² 1²
2 1
4 + 1 = 54 - 1 = 3
4
3² + 4² = 9 + 16 = 25 et 5² = 25 , donc x² = y² + z²
On obtient le triplet
(3, 4, 5)
Début
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On calcule x, y et z avec ces valeurs.
On donne d’autres valeurs à a et à b.x = a² + b²
y = a² - b²
z = 2 a b a b
x = + =
y = - =
z = 2 =
3² 1²
On vérifie la relation de Pythagore.
3 1
3² 1²
3 1
9 + 1 = 109 - 1 = 8
6
8² + 6² = 64 + 36 = 100 et 10² = 100 , donc x² = y² + z²
On obtient le triplet
(6, 8, 10)
Début
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On calcule x, y et z avec ces valeurs.
On donne d’autres valeurs à a et à b.x = a² + b²
y = a² - b²
z = 2 a b a b
x = + =
y = - =
z = 2 =
5² 3²
On vérifie la relation de Pythagore.
5 3
5² 3²
5 3
25 + 9 = 34
25 - 9 = 16
30
16² + 30² = 256 + 900 = 1156 et 34² = 1156, donc x² = y² + z²
On obtient le triplet
(16, 30, 34)
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Hau
teur
Hau
teur
L’aire du triangle.
Côté
Son aire : A = 1/2 C H
Si on déplace un sommet sur une parallèle au côté...
Le côté et la hauteur ne changent pas, donc l’aire non plus.
Hau
teur
Retour
Hau
teur
Hau
teur
Hau
teur
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Pythagore Pythagore (v.570-v.490av.J.-C.), philosophe et mathématicien grec dont les
doctrines exercèrent une profonde influence sur Platon. Originaire de l'île de Samos, Pythagore fut initié aux enseignements des premiers philosophes ioniens Thalès, Anaximandre et Anaximène. Pythagore aurait quitté Samos en raison de son aversion pour la tyrannie de Polycrate. Vers 530av.J.-C., Pythagore s'établit à Crotone, colonie grecque dans l'Italie du Sud, où il fonda un mouvement qui nourrissait des aspirations religieuses, politiques et philosophiques, connu sous le nom de pythagorisme. On connaît la philosophie de Pythagore uniquement par l'œuvre de ses disciples.
Doctrines de base Les pythagoriciens adhéraient à certains mystères, semblables à bien des
égards aux mystères de l'orphisme. Obédience et silence, abstinence de nourriture, simplicité vestimentaire, modestie des possessions et examen de conscience, telles étaient leurs règles. Les pythagoriciens croyaient à l'immortalité et à la transmigration des âmes. On rapporte que Pythagore lui-même prétendait avoir été un guerrier de la guerre de Troie, et qu'il se targuait d'avoir pu emporter dans sa vie terrestre le souvenir de toutes ses existences antérieures.
Début
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Exemples
Les carrés
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Pythagore Théorie des nombres Parmi les multiples recherches mathématiques réalisées par les pythagoriciens,
leurs travaux sur les nombres pairs et impairs, et les nombres premiers et carrés eurent une importance fondamentale dans la théorie des nombres. Le concept de nombre devint pour eux le principe ultime de toute proportion, ordre et harmonie dans l'univers. Grâce à ces travaux, ils dotèrent les mathématiques d'un fondement scientifique. En géométrie, la grande découverte de l'école (mais qui fut découverte par d’autres ailleurs à d’autres époques) fut le théorème de l'hypoténuse, ou théorème de Pythagore, qui établit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Astronomie L'astronomie des pythagoriciens marqua une étape importante dans la pensée
scientifique antique, parce qu'ils furent les premiers à considérer la Terre comme un globe gravitant avec d'autres planètes autour d'un feu central. Ils soutenaient que la disposition harmonieuse des corps célestes s'explique par le fait qu'ils se situent dans une sphère de réalité unique et englobante, se déplaçant selon un plan numérique. Comme ils pensaient que les corps célestes sont séparés les uns des autres par des intervalles correspondant aux longueurs harmonieuses des cordes, les pythagoriciens soutenaient que le mouvement des sphères est à la source d'un son musical, l'“harmonie des sphères”.
Source : Encarta 97
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Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
A propos des carrés
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12
13 14 1
234567891011121314
149162536496481
100121144169196
n n²
+ 3+ 5+ 7+ 9
+ 11+ 13
+ 15+ 17+ 19+ 21+ 23+ 25+ 27
Que se passe-t-il quand le côté augmente?
Retour au théorème
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Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
1
1 2
3
1 2
5
4
3
1 2 3 4
5
6
7
51 2 3 4
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6
7
8
6
10
11
1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
11
12
13
Début
Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
Pour passer d’un carré au carré suivant
1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
11
12
13
Il faut rajouter deux fois le côté précédent
et encore 1
1 2 3 4 5 6 1
12
34
56
(n + 1)² = n² + 2n + 1
Début
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Les carrés
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Pour passer d’un carré au carré suivant(n + 1)² = n² + 2n + 1Par exemple :
41² = (40+1)²= 40²+ 240 +1= 1600 + 80 + 1 = 1681
101² = 100² + 2 100 + 1 = 10 201
59² = 60² - 2 59 - 1 = 3 600 - 118 - 1 = 3 481
24² = 25² - 2 24 - 1 = 625 - 48 - 1 = 576
Mais aussi,pour passer d’un carré au carré précédent :
Début
Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
Si on multiplie le côté d’un carré par 2
1 2
34
On obtient un carré 4 fois plus grand
Début
Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
7
Si on multiplie le côté d’un carré par 3
On obtient un carré 9 fois plus grand
1 2 3
654
9 8
Début
Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
Si on multiplie le côté d ’un carré par 5
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
On obtient un carré 25 fois plus grand
Début
Démo
Triplets
Exemples
Les carrés
Quitter
Si on multiplie le côté d’un carré par 10
Retour
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
111213 14 15 16 17 1819 20
212223 24 25 26 27 2829 30
313233 34 35 36 37 3839 40
414243 44 45 46 47 4849 50
515253 54 55 56 57 5859 60
616263 64 65 66 67 6869 70
717273 74 75 76 77 7879 80
818283 84 85 86 87 8889 90
919293 94 95 96 97 9899100
On obtient un carré 100 fois plus grand
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