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École des Hautes Études Industrielles - Département AutomatiqueCours de régulation industrielle

CHAPITRE 6

Stabilité des SA

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Stabilité des SA

La stabilité est la première propriété exigée pour les systèmes asservis !

Un système instable est inutilisable…

Définition 1 : un système est stable si lorsqu’on lui applique une entrée limitée, sa sortie est limitée.

Définition 2 : un système est stable s’il revient à son état permanent après une perturbation.

Définition 3 : un système est stable si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 pour t = infini

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Stabilité des SA

Système stable Système instable

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Stabilité des SA

Condition générale de stabilité :

LA STABILITE D’UN SYSTEME DEPEND DE LA NATURE DES POLES DE LA FONCTION DE TRANSFERT.

Un système linéaire G(p) est de la forme :

n

i i

in

nnn

mm

mm

ppA

pDpN

apapapabpbpbpb

pG101

11

011

1

)()()(

......

)(

Pôles de D(p)

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Stabilité des SA

Un système est stable si tous les pôles de D(p) sont à partie réelle strictement négative.

Re

Im

STABLE INSTABLE

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Stabilité des SA Exercice :

)21)(1(1

pp S(p)

KE(p)

-+

- Etudier la stabilité en BO- Etudier la stabilité en BF

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Stabilité des SA

Critère de ROUTH-HURWITZIl n’est pas toujours facile de déterminer explicitement ces racines, surtout lorsque l’ordre est élevé. Le critère de Routh permet de connaître les conditions de la stabilité (ou non) d’un système sans connaître les valeurs des pôles.

Énoncé du critère :D(p) est le dénominateur de la fonction de transfert. On a :

D(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0

Les conditions nécessaires pour Routh sont :

– Tous les ai existent

– Tous les ai sont de même signe

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Stabilité des SASi les conditions nécessaires sont réunies, nous

pouvons alors écrire le tableau de Routh pour déterminer les conditions nécessaires et suffisantes à la stabilité du système.

Cette méthode comprend 3 étapes :A partir de l’écriture de D(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0 ,

nous écrivons le tableau à deux lignes suivants :

an an-2 an-4 an-6 …

an-1 an-3 an-5 an-7 …

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Stabilité des SA

A partir du tableau, nous déduisons le nouveau tableau de Routh de la manière suivante :

… A3 A2 A1

B2B1

C1

… an-7 an-5 an-3 an-1

… an-6 an-4 an-2 an

1

3211

n

nnnn

aaaaaA

1

5412

n

nnnn

aaaaaA

1

7613

n

nnnn

aaaaaA

1

21311 A

AaaAB nn 1

31512 A

AaaAB nn 1

21211 B

BAABC Jusqu’à l’obtention d’un 0 sur la première colonne !

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Stabilité des SA Nous examinons dans un dernier temps la première colonne

qui va nous permettre de conclure sur la stabilité du système.

Les racines (ou pôles) sont à partie réelle strictement négative si les termes de la première colonne du tableau sont tous de même signe ! Le nombre de changement de signe dans cette première colonne donne le nombre de pôles à partie réelle positive.

Exercice : étudiez la stabilité de :

D(p) = p5 + 4 p4 + 3 p3 + 2 p2 + p + 1

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Stabilité des SAExercice :

2)1(1pp

S(p)K

E(p)

-+

Étudiez la stabilité de ce système

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Stabilité des SAExercice :

Soit un système asservi dont l’équation est donnée par :

- Donnez la fonction de transfert en BO et étudiez sa stabilité.

- Nous effectuons un retour unitaire. Donnez HBF(p) et étudiez les conditions de stabilité.

- Donnez l’erreur statique en fonction de K.

- Peut-on régler K afin d’avoir une erreur de 5 % ?

2

2

3

3 )()(2)(3)()(

dttsd

dttdststeK

dttsd

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Stabilité des SACritère de Nyquist ou critère du revers

Ce critère est une méthode graphique pour l’analyse de la stabilité d’un système asservi. Il ne s’applique que pour les SA à retour unitaire.

Le critère conclut à la stabilité du système en boucle fermée par examen du lieu de Nyquist en boucle ouverte.

Un système asservi linéaire est stable si, en décrivant le lieu de transfert de Nyquist en BO dans le sens des fréquences croissantes, nous laissons le point dit « critique » (-1,0) à gauche.

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Stabilité des SA

STABLE

INSTABLE

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Stabilité des SACe critère ne s’applique qu’à des systèmes à retour

unitaire. Nous pouvons toujours ramener un SA à un système asservi à retour unitaire :

S(p)E(p)

-+ )(pG

)(pH

S(p)E(p)

-+ )()( pHpG )(1pH

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Stabilité des SAApplication au diagramme de Bode : un système sera

stable si, pour la pulsation 0 qui correspond à un gain 0 dB, la courbe de phase passe au dessus de –180°.

INSTABLE

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Stabilité des SAApplication au diagramme de Black : un système sera

stable si, en décrivant le lieu de transfert de Black en BO dans le sens des fréquences croissantes, nous laissons le point critique (0 dB, –180°) à DROITE.

INSTABLE

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Stabilité des SAExtension du critère :

Si un gain K est inséré dans la boucle ouverte, il faudrait tracer le lieu de Nyquist (ou Black ou Bode) pour chaque valeur de K afin de déterminer la stabilité du système.

Or : )(1)(

)()(

pKGpGK

pEpS

d’où : 1 + K G(p) = 0 donc :

KpG 1)(

Un système asservi est stable si le lieu de Nyquist de G(p) parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse à GAUCHE le point critique (-1/K ; 0).

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Stabilité des SAExercice : Étudiez la stabilité du système

3)1(1p

S(p)K

E(p)

-+

Confirmez vos résultats avec Routh

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Stabilité des SA

Marges de stabilité :La stabilité mathématique présentée précédemment n’est pas synonyme de bon comportement. Il faut que la stabilité soit « suffisante ». Un système sera d’autant plus stable que son lieu en boucle ouverte sera éloigné du point critique.

Si des perturbations ou une déviance du comportement apparaissent, une augmentation de la phase ou du gain peut entraîner le système en instabilité.

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Stabilité des SA

Nous définissons alors :

LA MARGE DE GAIN : c’est le gain minimum qu’il faut ajouter pour rendre le système instable.

LA MARGE DE PHASE : c’est la phase minimale que nous pouvons ajouter pour passer au point critique.

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Stabilité des SAMesures graphiques de ces marges :

LIEU DE BLACK :

Gm = 10.5 dB

m = 46.5°

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Stabilité des SALIEU DE BODE :

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Stabilité des SALIEU DE NYQUIST :

GENERALEMENT, les valeurs de stabilité sont :

Gm = 10 - 15 dB m = 45°

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Stabilité des SAExercice :

Donner la marge de gain et de phase pour le système suivant, s’il est stable :

3)1(2p

S(p)E(p)

-+

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Stabilité des SAExercice :

Soit le système suivant (K > 0) :

)101()1(12 pp

S(p)E(p)-+ K

- Étudiez la stabilité par Routh- Étudiez la stabilité par Nyquist- Calculez les marges de phase et de gain pour K = 18