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ECOULEMENT EN CHARGE. (Régime permanent). BNIAICHE EL Amine. Octobre 2013. Introduction Principes fondamentaux Dynamique des fluides parfaits Dynamique des fluides réels. Diagramme des énergies. Courbes caractéristiques du réseau de conduites. I- Introduction. - PowerPoint PPT Presentation
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ECOULEMENT EN CHARGE
BNIAICHE EL Amine
Octobre 2013
(Régime permanent)
• Introduction
• Principes fondamentaux
• Dynamique des fluides parfaits
• Dynamique des fluides réels
• Courbes caractéristiques du réseau de conduites
• Diagramme des énergies
Description du mouvement des particules fluides au sein d'un écoulement, en le
reliant aux différentes forces en présence. L'objectif est donc de mettre en place une
équation qui puisse rendre compte du lien entre toutes les grandeurs intervenant
dans l'écoulement: vitesse, pression, forces de volume et de frottement (viscosité).
I- Introduction
Dans ce type d’écoulement , le fluide remplit complètement la canalisation, c’est le cas
notamment des réseaux d’irrigation sous pression et d’eau potable aussi bien que les circuits
des installations hydrauliques.
Nous étudierons les cas des conduites en parallèle et en série
Approche méthodologique
On définira les écoulements en charge en faisant un rappel des principes de la
mécanique des fluides qui s’appliquent à ces écoulements.
On passera les moyens d’évaluer les pertes de charge dans les conduites et dans
divers composants tels que des coudes , des vannes, etcNous verrons comment établir la ligne de charge d’un circuit hydraulique ce qui
sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique.
II.1.1- Forces de volume
II.1- Forces de volume, Forces d’inertie, Forces de pression normales, Forces de surface et tenseur des contraintes
Il s'agit principalement du poids d’un volume dV de fluide
gdVgdm VFd
II.1.2- Forces d’inertie
dzzv
dyyv
dxxv
dttv
vd
La dérivée particulaire de v s’écrit:
zv
vyv
vxv
vtv
dtdz
zv
dtdy
yv
dtdx
xv
tv
dtvd
zyx
Considérons la vitesse d’une particule ),,,( zyxtv
II- Principes fondamentaux
v ) (
espace)l' dans (variation convectiveon accélératid '
temps)le dans (variation pureon accélératid ' Forces
Forces
vdVtv
dVdVdtvd
Fd i
Les forces d’inertie peuvent s’écrire:
II.1.3- Forces de pression normales (forces normales aux surfaces)
Considérons, un élément de volume fluide de forme parallélépipédique et de volume dV=dx dy dz
Si l’on note dFz la composante suivant Z de la force de pression
dxdydzzpdxdyzpdF
dzzpzp
z
)(
)()(
dVzp
dxdydzzp
dFz
v dV gradvdVtv
iFd D’où:
Par analogie, suivant les autres directions, on trouve :
dVyp
dxdydzyp
dFdVxp
dxdydzxp
dF yx
et
dV p grad -dV p - Fd
II.1.4- Forces de surface et tenseur des contraintes
Les forces de frottement (viscosité) s'exerçant entre les particules fluides en
mouvement relatif associées aux forces de pression normales aux surfaces, forment
des contraintes comportant une composante normale (perpendiculaire à la surface)
et une composante tangentielle (parallèle à la surface).
dVezp
eyp
exp
FdFdFdFd zyxzyx
Il existe des forces de surface normales et tangentielles dans le cas suivant :
La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de deux couches
s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence
de vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z :
zv
SF
Les forces de surfaces sont normales dans les cas suivants :
Résumé
: Contrainte normale à la surface : Contrainte tangentielle à la surface
zzxyyxxxx eeexT
De manière analogue, si l'on considère les contraintes s'exerçant sur des surfaces
perpendiculaires aux axes y et z:
zzzyyzxxz eee
Contrainte appliquée en un point d’une surface perpendiculaire à l’axe x.
Par convention, le premier indice indique la
direction portant la composante alors que le
second indice se réfère à la normale à la surface
subissant la contrainte.
zzyyyyxxy eee yT
zT
dSTFd n
Contrainte s'exerçant sur une surface d'orientation quelconque zzyyxx enenenn
zyxT T ; T ;
zzyyxxn TnTnTnT
)(
)(
)(
zzzyyzxxzz
zzyyyyxxyy
zzxyyxxxxxn
eeen
eeen
eeenT
zzzzzyyzxx
yyzzyyyyxx
xxzzxyyxxx
n
ennn
ennn
ennn
T
C’est une combinaison linéaire de
nT
n
nn
zyx
zx
yxxx
.
zz
yz
xz
zy
yy xy
Contraintes normales
Contraintes tangentielles Tenseur des contraintes
P
P
yx
xzxyxx
P
TsTT
zzzyzx
yzyy
viscositéde scontrainte desTenseur ou nulle tracededéviateur Tenseur
unitéTenseur
1 0 0 0 1 0 0 0 1
sphériqueTenseur
P
P
P- 0 0
0 P- 0
0 0
'
Les forces de volumes (Fv):
- Les forces de pesanteur provenant de la gravité: gdV v Fd
Les forces de surfaces (Fs):- Les forces de pression : agissant perpendiculairement à la surface d’un fluide.-Les forces de frottement de viscosité : dues à la viscosité
L'ensemble des forces de surface s'exercent sur les 6 faces du parallélépipède et donnent nécessairement 3 composantes :
zyx edFedFedFFdSzSySxS
II.2- Équation fondamentale de la dynamique
Choisissons un élément de volume parallélépipède
rectangle de dont l'accélération vaut
dans un champ de pesanteur
dxdydzdV dtvd
zegg
L'application du PFD conduit donc à :
dtvd
dVFdFd SV
Par exemple, la face supérieure (située à de normale est soumise à une contrainte
dzz zen
zzzyyzxxzz eeeT
dont la contribution selon se résume à: ye dzzyz
dxdzdzzyz En terme de force , la contribution correspond à:
Analysons la composante dFsy :
Chacune des 6 faces est soumise à une contrainte dont une des 3 composantes contribue à dFSy
dans la direction ēy
dxdydxdzdydzdFzyzdzzyzyyydyyyyxyxdxxyxSy
)()()()()()(
Sx
dF
dzdydxdydxdzxzxdxxzxyzzdzzzzyzydyyzy
)()()()()()(
dxdzdydzdxdyyxydyyxyxxxdxxxxxzdzzxz z
)()()()()()(
Sz
dF
Par analogie:
Faisons un développement limité de premier ordre pour dFSy:
)()(
dxxyx
yxyx xdxx
dydz dxdydz
zdxdydz
ydx
xdF
yzyyyxSy
dVzyx
dF zzzyzxSz
F dtvd
dVFdd VS zyx edFedFedFFdSzSySxS
Reprenons l’Equation fondamentale de la dynamique:
dVzyx
dFyzyyyx
Sy
dVzyx
dF xzxyxxSx
)()(
dyyyy
yyyy ydyy
dzzyz
yzyz zdzz
)()(
Ainsi,
Une simplification d'écriture de dFS conduit à formuler:
À ce stade, il convient de développer le tenseur des contraintes pour faire apparaître explicitement les contraintes normales ainsi que les contraintes de viscosité. On utilise donc :
pour obtenir l'équation fondamentale de la dynamique des fluides :
Il reste alors à reprendre l'équation rendant compte du PFD :
dtvd
dVdtvd
dVFdd Vs g dV dV T F
où, par simplification, le volume n'intervient plus. On obtient donc une équation locale :
dtvd
g T
T' p T
dtvd
g T' p
dV
dV
zzxyzxyzyyyxxzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
s
zyx
zyx
zyx
Fd
dV T
T
Cas particulier:
Dans le cas particulier d'un fluide au repos (accélération nulle) pour lequel la viscosité est
négligeable , soumis au champ de pesanteur on retrouve logiquement l'équation
fondamentale de l'hydrostatique:
L’équation fondamentale de la dynamique des fluides va donc
pouvoir servir de base générale pour établir des formulations
plus spécifiques liées à la nature même du fluide (parfait,
visqueux, newtonien...) ou aux différents types d'écoulement
(laminaire, turbulent, stationnaire...).
0T'
g p gradou 0gp T' p dtvd
g
Cstegzp 0)( gdzdp
zeggEn posant: gzp
yp
xp
;0;0
II.3- Mouvement et déformations d'une particule fluide
Au sein de l'écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position,
d'orientation et de forme. L'analyse de ces changements peut s'appuyer sur la
comparaison des vitesses de deux points voisins appartenant à la même particule :
considérons un point dont la vitesse est et un point
dont la vitesse est
),,( zyxM
),,(' dzzdyydxxM
),,( wvuv M)',','(' wvuv M
'MMrd Posons on peut alors écrire
)()(' vdvvdrrdrMM vvv
:
Par simple projection sur les axes d'un repère cartésien, un développement limité
au premier ordre permet d'expliciter chacune des trois composantes de la vitesse
en M’ avec notamment l'accroissement de vitesse par rapport à celle en M :
Toutes les informations concernant les déformations sont alors contenues dans les éléments de ce tenseur. Il convient donc d'identifier chacun de ces éléments.
dzzw
dyyw
dxxw
ww
dzzv
dyyv
dxxv
vv
dzzu
dyyu
dxxu
uu
'
'
'
rd
G
vv
dzdydx
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
wvu
wvu
rrdr
)()(
'''
rd . G
)(
)()(
r
rrdr
v
v vdvDonc:
nsdéformatio desTenseur : G
Supposons que seuls les éléments diagonaux du tenseur G soient non nuls et
raisonnons, pour simplifier, à deux dimensions (écoulement plan perpendiculaire à
l'axe z). Une particule bidimensionnelle, rectangulaire, de surface dxdydS
),xu
udt(dxD' ; ),('
),xu
udt(dxB' ; ),('
dydtyv
vdtdydxdtdydtyv
vdtdyudtC
vdtdxdtvdtudtA
A- Termes d'élongation
G
zw
yv
xu
0 0
0 0
0 0
La particule a globalement subi une translation, qu’elle reste de forme rectangulaire mais présente une élongation (ou contraction) :
y axel'suivant yv
et x axel'suivant xu
dydtdxdt
Supposons maintenant que seuls les éléments en dehors de la diagonale soient non nuls dans le tenseur G des taux de déformation, et raisonnons encore une fois à deux dimensions à partir d'une particule rectangulaire ABCD :
Il apparaît clairement une modification des angles en plus de la translation globale déjà observée. Cette déformation peut se formaliser au moyen de deux angles d et d.
Si d=d alors le tenseur est symétrique : c’est une déformation angulaire pure
Si d=-d alors le tenseur est asymétrique: c’est une rotation pure
B- Termes de déformation angulaire et rotation
G
yw
xw
zv
xv
zu
yu
0
0
0
),yu
udt(dxD' ; ),('
)xv
vdtudt,(dxB' ; ),('
dxdtxv
vdtdydydtvdtdydydtyu
udtC
dxdtvdtudtA
yu
xv
yu
xv
angles opposés :
yu
dd
xv
Résumé de l'ensemble des
déplacements et déformations
caractérisés par le tenseur
qu'une particule fluide subit
simultanément au sein d'un
écoulement.
G
es)asymétriqu angulaires nsdéformatio ( otations
0 21
21
21
0 21
21
21
0
s)symétrique angulaires nsdéformatio scontrationou ns(élongatio
21
21
21
21
21
21
puresrdesTenseur
yw
zv
xw
zu
yw
zv
xv
yu
xw
zu
xv
yu
puresnsdéformatiodesenseur
zw
yw
zv
xw
zu
yw
zv
yv
xv
yu
xw
zu
xv
yu
xu
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
TeG
Elongations ou contractions
Déformations angulaires symétriques
Déformations angulaires
asymétriques=
Rotations pures
0
0
- 0
x
x
yz
es)asymétriqu angulaires nsdéformatio ( o tations
0 21
21
21
0 21
21
21
0
y
z
puresrdesTenseur
yw
zv
xw
zu
yw
zv
xv
yu
xw
zu
xv
yu
Composantes du vecteur tourbillon
On a donc ainsi complètement défini le mouvement et la déformation d'une particule fluide, en termes de simple translation, élongation-contraction, déformation angulaire et rotation, en développant l'expression de l'accroissement de vitesse vd
pures pures
pures pures
.)(
.)()( v . )( )( v
rotationsnsdéformationtranslatio
rotationsnsdéformationtranslatio
rdrderv
rdrdervrdrrdGrvrdr
vd
L'équation de continuité est d'intérêt très général puisqu'elle traduit le principe de conservation de la masse au sein d'un écoulement. L'établissement de cette équation locale repose sur un bilan de masse de fluide au sein d'un élément de volume pendant un temps élémentaire dt
II.4- Équation de continuité
On considère alors un élément de volume parallélépipédique: dV= dxdydz de masse m= dxdydz
La variation de la masse pendant dt:
dtdVt
dtd
tm
m
Le bilan de masse pendant le temps dt sur les 3 directions (différences entre les masses entrantes et les masses sortantes sur les 6 faces du parallélépipède) donne:
dVdt
yv
dxdydzdtyv
dxdzdtvdxdzdtvdmasse
dxdzdtdyy
vdxdzdtyv
entrantemasse
dyyy
sortante
.
ym
Par analogie, selon les deux autres directions (x et z)on trouve :
dVdt
xu
d
xm
dVdt
zw
d
zm
Par conséquent, la variation de masse due aux débits massiques à travers les 6 faces se formule :
dVdtvdivdVdtv
dVdtwvu
ddd
zyxmmm zyx
Finalement la variation de masse du volume dV pendant le temps dt est :
dm dVdtvdivdVdtvdVdtt
0
vdivt
ou Equation de continuité
Cas particuliers:
• Si l'écoulement est stationnaire ou permanent (aucune variation dans le temps des différentes grandeurs caractérisant l'écoulement et le fluide), alors on a :
0 0
vdivt
• Si le fluide est incompressible , alors sa masse volumique est une constante (ne dépendant ni du temps, ni des coordonnées de l'espace) ; dans ce cas :
0
vdiv
Par définition, les fluides « Newtoniens » sont ceux pour lesquels les composantes
du tenseur des contraintes de viscosité dépendent linéairement des
composantes du tenseur des taux de déformation pure et non de la rotation et de
la translation de l’élément de fluide. C'est notamment le cas pour la plupart des
fluides usuels.
.
II.5- Fluides newtoniens et équation de Navier-Stokes
'T e
Le coefficient de proportionnalité n'est autre que la viscosité du fluide (viscosité
dynamique) . Ainsi, il est possible de revenir à une notation tensorielle formulant
simplement : eT 2'
Reprenons désormais l'équation fondamentale de la dynamique pour la reconsidérer
dans l'hypothèse d'un fluide newtonien :
e 2T' avec T' p dtvd
g
ou: e 2p dtvd
g
L'équation fondamentale de la dynamique prend donc la forme simplifiée suivante :
p dtvd
gv Equation de Navier- Stokes
L'exploitation de cette formule (constituant l'équation fondamentale à partir de
laquelle la plupart des écoulements pourront être décrits) implique le développement
de l'expression du terme d'accélération. En effet, l'écoulement pouvant être non
stationnaire, le vecteur vitesse peut, en un point fixe varier dans le temps
(accélération instantanée). Par ailleurs, il faut que l'accélération puisse rendre
compte de l'évolution du vecteur vitesse lorsqu'une particule fluide se déplace d'un
point à un autre (accélération convective). Ces deux types d'accélération vont ainsi
pouvoir être pris en compte à travers la notion de dérivée particulaire du vecteur
vitesse : v ) v(tv
dtvd
Pour un fluide incompressible, on démontre que : v 21
e
Le laplacien
Ainsi, l'équation de Navier-Stokes peut s'écrire explicitement de la manière suivante :
v ) ( p
vtv
gv
Ainsi, dans un repère cartésien tel que: , les 3 projections de cette formule
s’écrivent:
zegg
gzv
vyv
vxv
vtv
zv
yv
xv
zp
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
z
v
y
v
x
v
yp
zv
vyv
vxv
vtv
zv
yv
xv
xp
zz
zy
zx
zzzz
yz
yy
yx
yyyy
xz
xy
xx
xxxx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
La connaissance de conditions aux limites, portant sur la vitesse et la
pression, doit permettre de résoudre ce système d'équations et d'obtenir
le champ de vecteurs vitesse. Néanmoins, on comprend facilement qu'une
résolution analytique peut s'avérer difficile, voire même impossible. C'est
pourquoi le recours à des résolutions numériques est souvent nécessaire
pour appréhender des problématiques concrètes.
Une approche purement analytique peut toutefois permettre la
description d'écoulements spécifiques, pour lesquels un certain nombre
d'hypothèses simplificatrices peuvent être introduites. C'est le cas
notamment lorsqu'un écoulement est stationnaire, laminaire ou bien
lorsque le fluide peut être considéré parfait (viscosité négligeable).
III- Dynamique des fluides parfaits
Envisageons l'écoulement permanent d'un fluide parfait
incompressible , l'équation de Navier-Stokes devient :
0
Cste
0 ) (
t
)v ( p vg
Par ailleurs, si l'accélération de la pesanteur peut être considérée constante et
telle que : alors on peut formuler l'équivalence suivante :zegg
Par conséquent on peut écrire :
v ) ( gz) (p v
gz)( -
-
gz
z
y
x
egg z
III.1- Equation de Bernoulli
v ) ( p
vtv
gv
v
v
)v ()v v(
21
v ) (v
. .21
222
rot
yzyzxx
xyx
yzz
zxzxyy
zyx
zzzyzx
yz
yy
yx
xzxyxx
z
v
yv
vxv
zv
v
yv
x
vv
z
v
yv
v
xv
zv
vyv
x
vv
vvv
z
y
x
zv
vyv
vxv
v
z
vv
y
vv
x
vv
zv
vyv
vxv
v
D’autre part ; d'un point de vue purement mathématique, le terme de droite (l'accélération convective) peut être développé de la manière suivante :
La nouvelle formulation de l'équation de Navier-Stokes s’écrit alors :
)v ().(21
)( - vrotvvgzp
v ) ( gz) (p v
vrotvgzp )v ()21
( 2
si l'écoulement est irrotationnel, alors : 0)v (0
vrot
Résumé:
:où' d
Cstevgzp 221
L'écoulement permanent et irrotationnel d'un fluide parfait est caractérisé en tout point de l’écoulement par :
Elle traduit le fait qu’elle reste constante le long d'une même ligne de courant.
Equation de Bernoulli
On comprend facilement que l'accélération du fluide (augmentation de la vitesse) conduit nécessairement à une diminution de la pression motrice (ou bien de la pression statique si l'altitude est constante). Inversement, une augmentation de la pression motrice est liée à la décélération du fluide.De manière très générale, cette équation de Bernoulli traduit le principe de conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant dans le cadre de l'écoulement d'un fluide parfait.
0)21
(
espacel' de scoordonnée des teIndépendan
2 vgzp
Si on multiplie par un volume unitaire, chacun des termes de l'équation a la dimension d'une énergie :
(Joules) 21
mécanique Energie
2
pesanteur de forcesaux due epotentiell Energie
pression de forcesaux due epotentiell Energie
EmCstemvmgzpV
cinétiqueEnergie
L'absence de frottement dû à une viscosité négligée (fluide parfait) conduit logiquement au fait qu'il n'y a pas de dissipation d'énergie au cours de l'écoulement.
(m)
2
to taleCharge
2
dynamique position
deHauteur uemanométriqHauteur
HCstegv
zgp
Hauteur
quepiézométriHauteur
Si on divise par g, chacun des termes de l'équation a la dimension d'une hauteur :
Équation de Bernoulli
v1 et v2 : vitesses d’écoulement du fluide dans les sections S1 et S2 (en m/s)
p1 et p2 : pressions statiques (en Pa)
z1 et z2 : altitudes des sections S1 et S2 (en m)
gv
zgp
gv
zgp
22
22
52
21
11
-dvi : volume de fluide déplacé entre les instants t et t + dt de masse dmi.
-Si :section de la veine fluide,
- dli : hauteur du volume cylindrique de fluide admis ou expulsé (dvi = Si dli),
- Vi : vitesse des particules fluides,
- Gi : centres de gravité des volumes dvi d'altitude zi,
- pi : pression
Démonstration l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait par application du principe du bilan d’énergie
Expressions des différentes formes d'énergie mécanique
Expression du principe de conservation de l'énergie
D'après l'équation de continuité:
On obtient alors :
Bilan d’énergie:
Représentation graphique de l’équation de BERNOULLI
- Tube de Pitot:
ghv
ghppg
vgp
gp
N
NM
NM N
22
2
III.2- Applications de l’équation de Bernoulli en écoulement parfait
Dispositif qui permet une mesure de la vitesse
d'écoulement d'un fluide. L'objet présente une forme
profilée, est creux afin d'être rempli du fluide dans
lequel il est immergé, et doit être muni de deux prises
de pression (tubes manométriques).
Déterminons la vitesse d’écoulement ?
Calculons le débit dans la conduite composée d’un rétrécissement de section ?
Hzgppzz
gVV
zg
Vgpz
gV
gp
1212
21
22
2
222
1
211
2
22
HzSS
gVHz
gV
SS
gVDonc
VSVSSachant
2
1
22
22
2
2
1
22
2
2211
1222
:
:que
zHg
SS
SarzHg
SS
V
2
1
Q:conséquent p 2
1
12
1
2
22
1
2
2
Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 et donc : ΔZ = 0 et la formule précédente se simplifie :
Hg
dd
dHg
SS
S
2
1
2
1
Q
4
4
1
2
22
2
1
2
2
- Tube Venturi:
Vidange d’un réservoir à niveau constant: On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de diamètre d = 30 mm, permettant de faire évacuer l’eau à l’air libreCalculer:
1) la vitesse d’écoulement V2 en supposant que le diamètre d est négligeable devant D ? 2) En déduire le débit volumique en négligeant l’effet de contraction de la section de sortie ?
2
2
12
2
1
2
44V
DdVVdVD
smgH
Dd
gHVoùd
zg
Vz
Dd
gV
ppp
zg
Vgp
zg
Vgp
atm
/67,72
1
2:'
22
22
42
2
22
1
422
21
2
222
1
211
1) Vitesse d’écoulement V2:
smSVQ /10.42,5403,0
67,7 332
2
2) Débit volumique:
On considère un réservoir circulaire de diamètre D1= 6 m muni à son fond d’un orifice de vidange circulaire de diamètre D2= 0,6 m , ayant un coefficient de contraction de l’écoulement m=0,6Initialement, ce réservoir est rempli jusqu'a une hauteur initiale H1= 6 m.Quel est le temps nécessaire pour vidanger le réservoir ?
Temps de vidange dans un réservoir à niveau variable:
H
ghdh
mSSdt
QQécoulementghmSQdtdhS
dtdVQ
se
tsor
entrant
2
permanenet 2
2
1
2tan
1
mns
gHDHD
gHmSHStou
gmSHS
gmSS
hdh
gmSSdtt h
H
H
t
t
318426,0
*2initialdébit
initial Volume22
2
22
22
2
12
2
12
1
12
11
2
11
02
10
2
1 1
1
2
1
On considère un siphon de diamètre= 2 cm. En négligeant les pertes de charge dans le siphon, calculer les pressions relatives aux points 2 et 3 et la vitesse au point 2 ?
m -0,5m 5,000 2
22
24
22
2442
4
244
2
222
zzgVV
gp
gp
zg
Vgpz
gV
gp
m-1m 0,5-m 5,002
22
32
23
2223
3
233
2
222
zzgVV
gp
gp
zg
Vgpz
gV
gp
smgV
zzg
Vgpp
gV
zg
Vgpz
gV
gp
/13,35,02
5,022
22
2
21
2121
22
2
222
1
211
Siphon de vidange :
On devra alors introduire des hypothèses de travail qui permettront de résoudre
l’ équation de Navier-Stokes dans le cadre de régimes d'écoulement particuliers.
IV- Dynamique des fluides réels
IV.1- Généralités:
Dans toutes les situations où les forces de frottement jouent un rôle significatif, la
viscosité du fluide ne pourra plus être négligée. On passe alors de la notion de
« fluide parfait » à celle de « fluide réel ».
IV.2- Régimes d’écoulement:
On peut formaliser la différence entre ces deux régimes d'écoulement en terme de
champ de vecteurs vitesse. Ainsi, en un point M de l'écoulement, le vecteur vitesse
présente trois composantes qui :
•Dans un écoulement laminaire les composantes sont constantes et caractérisées par :
•Dans un écoulement turbulent les composantes dépendent du temps :
xxMM veu e v 0 v; 0 w; v u MMM
)(u )( w; )( MM tttvM
En régime laminaire , on pourra généraliser l’équation de Bernoulli en introduisant la
notion de pertes de charge dues à la viscosité.
En régime turbulent , on devra utiliser des relations empiriques généralement
déterminés expérimentalement
L'expérience montre qu'avec l'augmentation du débit, le filet coloré passe d'un
état régulier et rectiligne (le régime laminaire) à une forme chaotique et instable
(le régime turbulent), en passant par un état intermédiaire présentant des
oscillations (le régime transitoire)
Comment caractériser le régime d’un écoulement ?
C’est le résultat des travaux d’O. Reynolds
Il s’agissait d’une étude systématique du régime d’écoulement en fonction des
différents paramètres: Q, , géométrie de la conduite.etc
Les travaux de Reynolds ont permis de montrer que la transition du régime
laminaire au régime turbulent n'est pas seulement conditionnée par le débit Q
mais dépend aussi de:
la vitesse moyenne de l’écoulement V;
le diamètre de la conduite D;
des propriétés intrinsèques du fluide (masse volumique et viscosité )
e VD
R Nombre de Reynolds (Re)
IV.3- Pertes de charge:
Pour rendre compte de la dissipation d'énergie due aux frottements visqueux, ces
pertes de charges prendront place dans la formulation d'une équation de Bernoulli
généralisée.
=20003000
Turbulence intermittente
C'est alors qu'il devient fondamental de faire la distinction entre écoulement
laminaire et turbulent puisque les hypothèses liées à l'aspect laminaire vont
permettre de formuler de manière analytique les pertes de charges, alors que le
caractère turbulent d'un écoulement n'autorisera la formulation de ces mêmes
pertes de charge qu'au travers de critères essentiellement empiriques
IV.3.1- Ecoulement laminaire et pertes de charge linéaires:
Le long d'une ligne de courant, l'écoulement permanent d'un fluide de viscosité non négligeable obéit à l'équation suivante:
D’où: vvg )21
z p(
otalepression t
2
:t p
)v ().(21
v )( - vrotvvgzp
vrotvvgzp )v ( )21
( 0
2
La projection dans les 3 directions donne:
vdxdp
xzyx
p
p
vp
t
)(p ),,(p
0z
0y
x
tt
t
t
t
xzyx ezyxuezyxwezyxvezyxuv ),,(),,(),,(),,(
z)y,(x,
x
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
xdefonction
t
Cstezv
yv
zv
yv
xv
udpd
zetydefonction
Conclusion: La charge varie linéairement avec la distance parcourue par le fluide
xevwv
vu v
00 v
Puisque les frottements visqueux sont responsables d'une dissipation d'énergie, il
s'ensuit logiquement que la charge décroît avec la progression de l'écoulement 0Cstedxdpt
Charge totale
xdxdP
PPP
vg
tttt
21
2t 21
z pP posons
il est commode de généraliser l'équation de Bernoulli en y faisant apparaître les
pertes de charges linéaires de la manière suivante :
(m) 2
zp
2z
gp
H H
ou
(Pa) 21
z p21
z p
22
22
21
11
21
2222
211121
hg
vgg
vh
pvgvgppp
linéairespertes
linéairespertes
tttt
Il reste alors à caractériser : dxdPt
- Écoulement de PoiseuilleL'objectif est ici de caractériser les pertes de charge linéaires en considérant un
écoulement spécifique. Considérons alors l'écoulement laminaire d'un fluide de
viscosité et de masse volumique , dans une conduite cylindrique de rayon R posée
horizontalement défini dan un repère cylindrique dont l'axe de révolution est celui de
la conduite et correspond à la direction de l'écoulement laminaire.
la vitesse n'évolue pas le long de l'axe de la conduite; le vecteur vitesse est purement axial et ne dépend que de r
ACsterr
rrr
1
dxdp
t
Il et donc possible d’en déduire le profil de vitesse par simple intégration:
v
evV x
dxdp
0 v v
t
r
rv
rrrx
vvrv
rrr
vr
111
0
2
2
0
2
2
2
Profil des vitesses:
ACsterr
rrr
1
dxdp
t
rA
drdv
rA
rv
rrr
drd
1
BAr
drdv
r 2
2
rBAr
drdv
2
limites conditions des aidel' àr détefrmine à constantes C B,
ln4
v 2
)( CrBAr
r
Au contact de la paroi r = R, le fluide est immobile:
0ln4
0 v 2
)( CRBAR
R
Sur l’axe de la conduite r = 0, la vitesse est de valeur finie: 0 B
D’où:4
t 02AR
CeB
alors: eparaboliqu vitessede profil 4
- 22)( rR
Av r
Pour avoir v(r) > 0 quelque soit r < R,
il faut que A < 0
Calcul du débit volumique:
44
0 0
22)(V
(r)
844A
-2
422Q rdr 2dS si
dSvq
RAR
rdrrRA
rdrv
dR R
r
V
Sachant que: 4V 128
Q :alors Ddxdpt
2D
Ret dxdp
A t
La perte de charge est proportionnelle à la distance parcourue: « perte de charge linéaire »
4V 128
Q Ddxdpt
Remplaçons dans: dxdpt
Alors: 4
V 128Q D
Lpt
Formule de Poiseuille
24
4V
32128
128Q
DLv
DS
Lvp
SvDLp
mmt
mt
SQ
v Vm
Ldxdp
xxdxdp
dxdxdp
dxdxdp
ppp t
L
tt
Cste
tttt
)( 21
1
2
1
2
21
Il est d'usage d'exprimer une perte de charge en fonction de la pression cinétique
de l'écoulement dans la conduite. La pression cinétique est générée par le
mouvement (elle correspond à l'énergie cinétique par unité de volume) et
s'exprime : 2
21
m
On peut formuler la perte de charge sur une longueur comme:
- Coefficient de perte de charge en écoulement laminaire
2
Re646464
222t 212
.3232
p
2
m
DL
DL
DvvDL
m
mm vvD
LvDLv
mm
gDL
DLvm
2v
hou 2
p 2
m2
t
Résumé: Pour un régime laminaire :Re64
Equation de Darcy-Weisbach
Lorsqu'un écoulement en conduite est turbulent, le profil de vitesse n'est plus parabolique comme
c'est le cas en régime laminaire.
Les pertes de charge linéaires sont essentiellement dues aux frottements visqueux entre les
particules fluides situées près des parois de la conduite. Il en résulte que les propriétés de la paroi
jouent un rôle important et que notamment sa rugosité devient un paramètre non négligeable.
Dans ce cadre, la détermination des pertes de charge linéaires ne peut pas s'obtenir à
partir d'une formulation analytique ; on a donc recours à des abaques construits sur la
base de mesures expérimentales ou des lois empiriques: concernant l'écoulement en
conduite cylindrique, on utilise classiquement le « diagramme de Moody »
Re64
2000 Re )(Re,f 2000 ReD
IV.3.2- Ecoulement turbulent et pertes de charge :
relative :D
(mm) conduite la de absolue :
Rugosité
Rugosité
k
Régime turbulentRégime laminaire
2
Dk
Dk
Re
Rugosité relative
Zone de turbulence de transition
Zone de turbulence rugueuse
Zone de turbulence lisse
Diagramme de MOODY
Darcy – Weisbach ( 1857 ) :
Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de et dépendent du régime d’écoulement :
gV
DLhl 2
2
- Expression générale de la perte de charge linéaire:
- L = Diamètre de la section d’écoulement ( m )- L = Longueur de la conduite ( m )- V = Vitesse moyenne d’écoulement ( m/s )- = Coefficient de frottement ( sans unité )
Perte de charge en régime laminaire :
Formule de Blasius Formule de Colebrook – White :
Diagramme de Moody :
Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis
d’élaborer un graphique permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re
pour les différents types d’écoulement et des rugosités relatives k/D :
eR64
eRD51,2
71,3log2
1
Formule de Poiseuille
rugosité sans 10Re2000 5 Re0,316
1/4
2
1 2
gV
DLh
j l
j: Pertes de charge unitaires (m/m)
Perte de charge en régime turbulent: Parmi les formules de calcul du coefficient λ on trouve:
Coefficient ks de Scoby
Nature du tuyau KsAlliage Aluminium 0,4
Plastique 0,37Acier revêtu 0,42
9,49,1 ***716,0 DQkj s
Q : Débit d'écoulement en l/h
D : Diamètre intérieur de la conduite en mm
Q: Débit d'écoulement en m3/sD: Diamètre intérieur de la conduite en m
9,49,1 ***75,40 DQkj s
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m
75,175,4478,0 QDj 75,175,4452,0 QDj
Cas de canalisations en polyéthylène (PE) Cas de canalisations en polychlorure de vinyle (PVC)
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m; D : diamètre intérieure (mm); Q: débit de la rampe (l/h)
- Formule de Scoby:
- Formule Blasius:
ScobydetCoefficienDV
kj s :k 10*5087,2 s1,1
9,13
872,4
852,19 110135,1
DCQj
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/mQ: Débit d'écoulement en m3/h ;C: Coefficient de rugosité dépendant de la nature de la conduiteD: Diamètre intérieur de la conduite en mm ;
872,4
852,1 1675,10DC
Qj
Q : Débit d'écoulement en m3/s D : Diamètre intérieur de la conduite en m
Nature du tuyau CPVC 150PE 145
Acier revêtu 130-150Fonte revêtue 135-150
Aluminium 120Fonte encrassée 80-120
Coefficient C de Hazen Williams
- Formule de Hazen-Williams:
WilliamsHazendetCoefficienDC
Vj
HW
:C 818,6 HW167,1852,1
852,1
- Autres expressions de la perte de charge linéaire:
Débit (mètre cube/ h)
Diamètre nominal (mm)
ABAQUE POUR TUYAUX EN POLYETHYLENE BASSE DENSITE
ABAQUE POUR TUYAUX EN PVC
Débit (mètre cube/h)
- Formule de Chézy :
La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach :
En introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la surface A et le périmètre d’écoulement P
hh RDDDD
PSR 4
44
2
hhl gR
LVgR
LVg
VDLh
8242
222
ehydrauliqu : pentejjLhl
posons :
222 8
88Cgposons
RgVj
gRVj
hh
:'oùd
ChézydetCoefficienC :
hRCV
j 2
2
- Formule de Manning- Strickler (expérimentale):
Strickler Manning de :1
:1
:que trouvéa Manning C de valeur laalement expériment
6/1
tCoefficienkn
kposons
rugositédetcoefficiennRn
C
cherchantEn
h
3/42
2Vj hRK
Nature des parois n 1/n Béton lisse 0.0133 75,19 Canal en terre, enherbé 0.02 50 Rivière de plaine, large, végétation; peu dense
0.033 30,3
Rivière à berges étroites très végétalisées
0.1-0.066 10-15,15
Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30 Lit majeur en forêt < 0.1 < 10
nmn
m
DQkDQkj
•Formule générale de pertes de charge linéaires unitaires:
•Pertes de charge linéaires totales: hl =J = j * L
IV.3.3- Pertes de charge singulières:
Le raisonnement que nous utiliserons fait appel à un théorème d'intérêt très
général pour traiter un grand nombre de problèmes en mécanique des fluides : il
s'agit du théorème d'Euler. Nous proposons donc, en préambule et sous la forme
d'un complément, d'exposer ce théorème.
Dans le cas particulier d'un écoulement permanent: 0t
Sc
s
Vs
VFFdSnvdVv )(dtd
il y a conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie, de sorte que:
222111SvSvQ
m
0
0)
v)
v- ) ( ( ( ) (
222
2 2
222
111
1 1
111
l
lllV
S
Sv
S
Sv
SSc
s dSnvdSnvdSnvdSnvFF
22221111 SvvSvvFF Vs
)( 12 vvQFFmVs Théorème d’EULER
pertes de charge d’un élargissement brusque
La perte de charge engendrée par
cette singularité peut alors
s'évaluer de façon analytique en
faisant appel au théorème d'Euler
21212211 )( 21
1S-
2Ssur
pression de forcesavalen
poussée contreamonten
poussée
SppSSpSpSpFs
)(:'
)()()(
12221
122212221
vvvppoùd
vvSvvvQSppm
22
22
)
p
22
2)
22
2222
2
11
2
111212211
212211
21212211
12221
1 21
21
(21
21
21
(21
21
21
21
21
21
21
)(
S
Sv
S
Svvvvvpvp
vvvpvp
vvvvvpvp
vvvpp
xaxel'sur projectionpar )(
)(
12
12vvQF
vvQFF
m
mV
s
s
0VF
2
1
2
11
1k posons 121
22
S
S
S
Svp
(m) 2g
k hou (Pa) 21
22 1
1
vvkp
Généralisation de l’équation de Bernoulli
ssingulière charge depertes des somme
2
arg des
2
2
222
bine)(Pompe/Turehydrauliqu
1
211
2222 j
jj
linéairesechdepertessomme
ii
iii
machine g
Vk
gDVL
zg
Vgp
Hzg
Vgp
Principe
La ligne d’énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies
potentielle, de pression , cinétique ainsi que les gains et pertes d’énergie le long
d’un circuit hydraulique.
L’énergie totale est définie par l’équation de Bernoulli:
machine unepar apporté (-) énergied'gain ou )( énergied' perte:2
2
H
Hg
zgp
H
On trace le long du circuit , à chaque point de trajet l’altitude z, la pression
p/g, l’énergie de vitesse v2/2g et le niveau de pertes accumulé.
Il faut calculer les pertes de charge et les débits pour pouvoir évaluer les
pressions ainsi que les énergies cinétiques.
V- Diagramme des énergies
gz
g
pH A
AA
A 2
2
gz
g
pH B
BB
B 2
2
24552
22
2
1
18 Q
Dk
D
L
D
L
g
hHHBA
45522
2
1
1
A
8
)g(HQ
D
k
D
L
D
L
HB
gz
g
pH A
AA
A 2
2
gz
g
pH B
BB
B 2
2
52
22 82 gD
LQgDL
hHHBA
58
)g(HQ A
D
L
HB
h
h
Exemples
gz
g
pH A
AA
A 2
2
gz
g
pH B
BB
B 2
2
2452
18 Q
Dk
D
L
g
hHHBA
458
)g(HQ A
D
k
D
L
HB
h
gz
g
pH A
AA
A 2
2
gz
g
pH B
BB
B 2
2
2445552
1
2
2
1
1
3
2
2
1
18 Q
D
k
D
k
D
L
D
L
D
L
g
hHHBA
4455
1
2
2
1
2
2
1
31
A
8
)g(HQ
D
k
D
k
D
L
D
LL
HB
h
gz
g
pH A
AA
A 2
2
gz
g
pH B
BB
B 2
2
0
242
2
18
2
QDL
gDzH
hg
vzH
BA
BBA
DL
zD B
18
)g(HQ A2
h
gz
g
pH A
AA
A 2
2
242 21
8 Q
DL
kkgD
HH
hHH
BA
BA
218
)g(HQ A2
kkDL
HD B
gz
g
pH B
BB
B 2
2
h
Risques éventuels du tracé d’un réseau:
Considérons une conduite reliant deux réservoirs. La ligne piézométrique correspondant
aux pression relatives est représentée approximativement par la droite AA’ (On a négligé
la vitesse cinétique, donc ligne piézométrique=ligne de charge).
La ligne piézométrique
BB’ correspond aux pressions absolues (Pa/v = 10.33m).
Si la conduite toute entière est
située au dessous de AA’, la
pression dépasse la pression
atmosphérique. Cette hypothèse
correspond à une situation
normale.
Si la conduite passe au-dessus de la
ligne piézométrique AA’, la partie du
tronçon au dessus de AA’ est en
dépression. En général, on doit éviter
les zones en dépression
Si la conduite s’élève au-dessus de la
ligne horizontale qui passe par A, il
n’y aura écoulement que si toute la
conduite a été remplie d’eau au
préalable (effets de siphonnage).
Si la conduite dépasse la cote B, il est
impossible d’amorcer l’écoulement.
Dans un réseau d'adduction ou de distribution, nous pouvons rencontrer des
conduites placées en série et/ou des conduites placées en parallèle dans des
configurations simples , ramifiées ou maillées
VI- Caractéristiques du réseau de conduites
. Conduites en série:
Les conduites en série sont traversées par le même débit. La perte de charge
totale étant la somme des pertes de charge linéaires et singulières
.Conduites en parallèle :
Les conduites en parallèles ont la même perte de charge. Le débit total traversant
toutes les conduites est la somme des débits
. Réseau ramifié:
La caractéristique d'un réseau ramifié est que l'eau circule, dans toute la canalisation,
dans un seul sens (des conduites principales vers les conduites secondaires, vers les
conduites tertiaires,..). De ce fait, chaque point du réseau n'est alimenté en eau que
d'un seul côté.
. Réseau maillé :
Le réseau maillé dérive du réseau ramifié par connexion des extrémités des conduites
(généralement jusqu'au niveau des conduites tertiaires), permettant une alimentation
de retour. Ainsi, chaque point du réseau peut être alimenté en eau de deux ou plusieurs
côtés.
Réseau ramifié Réseau maillé
Conduites simples:
Une conduite simple est une conduite à diamètre constant sans bifurcations. Le
liquide se déplace dans la conduite parce que son énergie potentielle au début de la
conduite est supérieure à celle qu’il possède au bout. Cette différence de niveaux de
l’énergie potentielle peut être créée soit par grâce à la différence de niveaux du
liquide (différence des cotes) ou au travail fourni par une pompe.
ssingulièreet linéaires
charge de pertes2
222
1
211
22hz
gV
gp
zg
Vgp
hg
Vg
Vzzh
gV
gV
zzgp
gp
2222
21
22
12
21
22
1221
conduite la de résistance:
8822
224252
ssingulière charge depertes des somme
2
arg des
2
R
RQgDk
gDL
gV
kgDVLh Q
j
j
i
ii
j
jj
linéairesechdepertessomme
i i
iii
Régime laminaire: Qgd
lgdl
gdl
gdl
42
22
l128
2v64
2v
Re64
2v
h
droite uned' tiqueCaractéris QRzHex
2
2ex
22
21
22
12
Hexigée
21
RQ
CQ
zHauteur
hg
Vg
Vzz
gp
gp
:auraon s,singulière charge de cQ négligeantn 2 perteslesetE
Ainsi,
z
Hex
QA
Régime laminaire
Caractéristique d’une conduite
Caractéristique d’une conduite
z
Hex
QA
Régime turbulent
Régime turbulent:
52
22 82 gd
lQgdlV
hl
parabole uned' tiqueCaractéris 8 2
52
2QRz
gdlQ
zHex
:auraon s,singulière charge de cQ négligeantn 2 perteslesetE
La plupart des écoulements se situent, en pratique, en régime turbulent rugueux, où l'expression du coefficient de perte de charge devient indépendante du nombre de Reynolds mais dépendante de la nature du matériau (rugosité)
Conduites mixtes et conduites multiples:
Une conduite mixte est une conduite constituée de diamètres et longueurs différents.
Le débit qui passe à travers chaque tronçon sera le même et la perte de charge totale
sera la somme des pertes dans chaque tronçon.
ni
ni
hhhhh
QQQQQQ
..21
211
Hex
Q1 2 3
M N
H1
2M-N
3 1
H2
H1
H2
3 tronçons
hg
Vg
Vzz
gp
gp NM
NMNM
22
22
2QRzzH iNMex
i conduite la de résistance :
)...(.. 221
2
122
i2
22
1
i
R
ni
QR
n
QR
i
QRQR
R
QRRRRhhhhhin
1 2 iM N
n
ni
ni
hhhhh
QQQQQ
..
..
21
21
h 1
..111
..
eéquivalent conduite la de eConductanc :1
; i conduite la de eConductanc :1
1
2121
21
iRiR
i
ni
R
ni
Rh
n
Rh
i
Rh
Rh
RRRRQQQQQ
Exemple : 2 conduites identiques en parallèle R1=R2; équation de Darcy
4R
2111 1
121
R
RRRR
15/1
11
52
51
21
1
3,14.DD 4
R onc 8
8
DR
d
gDl
R
gDl
R
Une conduite multiple est une conduite en parallèle constituée de plusieurs tuyaux différents.
Q1
Q2
Q3
Q QM N
; ; 3212
332
222
11
321
321
QRhQRhQRh
gpp
hhh
QQQQ
nM
3 conduites en parallèle
Soit à calculer une conduite débitant 55 l/s issue d’un réservoir et qui se raccorde sur le
réseau distribution. La conduite n’effectue aucun service en route. La pression imposée
au sol est de 30 m d’eau minimum . La longueur de la conduite est 2500 m. Quel
diamètre doit-on donner à cette conduite ?
On donne: D=250mm j=0,0048 m/m v=1,12 m/s D=300 mm j= 0,0020 m/m v=0,78 m/s
R110 m
75m
AD:250 mm pression au sol=110-(0,0048*2500)-75=23 m
D:300 mm pression au sol=110-(0,0020*2500)-75=30 m
Applications:
Conduite en charge sans prélèvement (sans service en route )
J
Q
HA
Rq0
Q
HA
R1Q201
R2
Q1+Q2Q1
02
En A la pression à l’intérieur de chacune des conduites doit être identique. En ce point passeront dans les conduites 1 et 2, des débits Q1 et Q2
1
21+2
Conduites en parallèle: somme des abscissesConduites en série: somme des ordonnées
Ajouter à la caractéristique (1+2), la caractéristique de la conduite en série 3 par addition des ordonnées. On obtient (1+2+3)
R1
R21
2
3
Q1 Q2O1
O2
Q
H
3
12
1+2
1+2+3
Q1+Q2
A
Cas général:
CPEi, CPEj , CPEk
CPEA (supposée)
Akk
Ajj
Aii
CPECPEΔH
CPECPEΔH
CPECPEΔH
k
kk
j
jj
i
ii L
ΔHJ
LΔH
JL
ΔHJ
852,163,0
852,163,0
852,163,0
849,01
849,01
849,01
kHWHk
jHWHj
iHWHi
ARCK
ARCK
ARCK
54,054,054,0
k
kk
j
jj
i
ii K
JQ
KJ
QKJ
Q 0
kn
innQ kjiA QQQCPE ;;;
Oui
Non
CPE1
CPE2
CPE3
Q 3 L1, D1
R3
L2 , D
2
L 3, D 3
R2
R1
Q2
Q1
CPEA
A
Þ Placer un piézomètre imaginaire au niveau du nœud A;Þ Suivre les étapes de solution de l’organigramme
- Résolution analytique en cas de réservoirs multiples:
872,4)(
852,1
)/()/(
1675,103
mHW
smmm DC
Qj
- Formule de Hazen-Williams:
54,054,0
54,0872,4852,154,0
54,0872,4852,154,0
**094,0
67,10*
Kj
DCj
DCjQ
HW
HW
CPe3
CPe2
CPe1
Q 1
L3, D 3R3L
2 , D2
L1, D
1
R2
R1
Q2
Q 3
O
CPeO
:retienton 10)(10- 3321
-3 QQQsi
:nouveau de supposeon sinon
104
146,7133,8
R1
R3
R2
O
300m
D 30
0
C WH=1
20
500m D 300
CWH=120
400m D 400
CW
H =120
Exemple:
Déterminons les débits dans les conduites de l’installation hydraulique ci-contre ?
Etablir un tableau de calcul des débits. Vérifier l’équation de la continuité en adoptant une précision appropriée (±10-3)
Vérification:-10-3≤ Q1- (Q2 + Q3)≤10-3
Q1- (Q2 + Q3) = 0,422-(0,103+0,321) = -0,001
104
146,7
133,8
R1
R3
R2
O
300m 300
C WH=120
500m 300
CWH=120
400m 400
CWH =120
CPeO
CPe CPeOsupposée
h L j j0,54 CHW D K K0,54 Qi
(m) (m) (m/m) (m) (m3/s)
R1 146,7136,15
10,55 400 0,026 0,14 120 0,4 7,69 3,008 0,422R2 133,8 2,35 300 0,008 0,073 120 0,3 1,89 1,412 0,103R3 104 32,15 500 0,064 0,227 120 0,3 1,89 1,412 0,321
Q1-(Q2+Q3) -0,001
Solution:
R1
R3
R2
A
150m D 100=0,02
500m
D 150
=0,02
B
C
H1=18 m
H2=6 m
vanne
350m D 100=0,02 T
On considère un système de trois réservoirs interconnectés dont les niveaux supposés constants. On néglige les pertes de charge singulière à l’exception de la perte de charge induite par la vanne.1) La vanne es fermée. Calculer le débit correspondant ?2) La vanne V est partiellement ouverte. Pour une certaine ouverture de la
vanne le débit Q2 (entre T et B) est nul. En déduire: Les débits Q1 et Q3 Le coefficient K correspondant
Exercice 2
Le débit en route (Qr) est un débit qui entre à l’amont du tronçon et ne sort pas à l’aval:
il est consommé par les abonnés tout le long du tronçon. Ce débit en route, supposé
uniformément réparti sur toute la longueur du tronçon avec lequel on doit calculer la
perte de charge et par suite fixer le diamètre du tronçon de conduite peut être calculé
par l’une des deux méthodes suivantes:
Conduite débitant Qr/L uniformément
Cherchons la perte de charge dans un
tronçon de conduite de longueur l, en
admettant qu’il doit d’une part distribuer
un débit uniforme Qr sur son parcours et
d’autres part, assurer un débit Qt à son
extrémité.
Résx
B
Qr
Qt
A
L
JJx
I
Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti et débit de transit (service en route )
trtr
r
r
QLx
QQLxQ
Q
LxQ
Sur
1
.Q :reste il I,en
. débit vaut le AI
(x)
dxQLx
QLR
dxQLR
J
Perte
trx
22
)( 1d
:dxlongueur la àant correspond dJ charge de
22
2(L) 3
JL xsi ; 0J 0 x cr
rtt RQQ
QQQRJJsi
Qc: débit fictif supposé constant sur tout le tronçon et qui donnerait une perte de
charge équivalente à celle donnée par la formule précédente dans une conduite de
même résistance3
Q2
2c
rrtt
QQQQ
rQtQrQtQ
rt
rrtt
rt
QQQQ
rQ
57,0cQ50,0
222
2
33
2
55,0tQ
Résx
B
QrQt
A
L
JJx
I
33 0Q
:rparticulie 22
2t
rrrtt
QR
QQQQRJsi
Cas
FLjJh F: Coefficient de réduction de la perte de charge
i: nombre de tronçons; e: écartement entre 2 sorties D: diamètre de la rampe L: longueur de la rampe q: débit d’un asperseur
L
qiQi * n
mi
i DQkj
eDiqke
DQkejJ n
m
n
mi
ii
Il existe des tables donnant F en fonction de N, et de m , donc selon la formule de perte de charge utilisée utilisée
mN
n
m
m
mN
n
mN
i iDNq
NNekNi
DqekJJ
111
FLjN
iL
DQkJ m
mN
n
m
1
1eNL *
QN ii+1 Qi i -1
qq q qe
123N
e
Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti sans débit de transit (service en route )
Nombre de sorties
Hazen-Williams
Scoby Darcy-Weisbach
123456789
101112131415161718192022242628303540
10,6390,5340,4860,4570,4350,4250,4150,4090,4020,3970,3940,3910,3870,3840,3820,3800,3790,3770,3760,3740,3720,3700,3690,3680,3650,364
10,6340,5280,4800,4510,4530,4190,4100,4020,3960,3920,3880,3840,3810,3790,3770,3750,3730,3720,3700,3680,3660,3640,3630,3620,3590,357
10,6250,5180,4690,4400,4210,4080,3980,3910,3850,3800,3760,3730,3700,3670,3650,3630,3610,3600,3590,3570,3550,3530,3510,3500,3470,345
Coefficients de réduction F à utiliser suivant le nombre de sorties N et la formule de pertes de charge utilisée
m
Nm
N
iF
1
1
2
3
1
Q1
Q2
Q3
p1
p2
p3
Z1
Z2
Z3
M
M
O O’Q
Conduites ramifiées :Une conduite ramifiée est un ensemble de plusieurs tuyaux de dimensions différentes possédant un point commun où ces tuyaux se séparent les uns des autres.
233p3
233
233
333
23
23
3
222p2
222
222
222
22
22
2
211p1
211
211
111
21
21
1
21
H22
H22
H 22
3
2
1
QRQkQCgp
zhg
vg
vgp
zg
p
QRQRQCgp
zhg
vg
vgp
zg
p
QRQRQCgp
zhg
vg
vgp
zg
p
QQQQQ
p
p
p
H
MM
H
MM
H
MM
ni
On trace les caractéristiques de chacun des
tuyaux ; ensuite comme les conduites en
parallèle on additionne les abscisses (Q)
pour une même valeur des ordonnés
(Hex=pM/g).
La caractéristique résultante de la conduite
ramifiée permet de déterminer la valeur des
débits d’après la pression pM et vice versa
Méthode de calcul de Hardy - Cross
2 principes: principes d’équilibre des nœuds et des pertes de charges en chaque maille
Méthode
Conduites maillées :
1 ère loi: loi des nœudssortieentrée QQ
Nœud A30 l/s
10 l/s
50 l/s90 l/s
90-(50+30+10)=0
2 ème loi: loi des maillesA B
Q4
C
100,7 m
100,5 mQ3J3
102 m
100
Q1
J1
J4 Q2 J2
D
+
J=J1+J2+J3-J4=0
on définit un sens de parcours positif arbitraire
(sens des aiguilles d’une montre)
se fixer dans chaque maille une répartition supposée des
débits ainsi qu’un sens supposé d’écoulement tout en respectant
la 1 ère loi. Un diamètre tout au moins provisoire, des
canalisations (avec des vitesses entres 0,6 et 1,2 m/s) peut être
choisi et l'on calcul les pertes de charges correspondantes.
Si ces valeurs de pression et de débit sont incompatibles avec les valeurs à assurer, on corrige les diamètres des tronçons incriminés et on recommence le calcul.
Le résultat de calcul se traduit alors par la connaissance des pressions à chaque nœud et des débits dans chaque branche et ceci pour le choix des diamètres définis initialement.
Principe de Calcul d’une maille
+
J2
Q2
Q1
J1
Qe Qs
ssortieeentrée QQQQQQ 21
on se fixe arbitrairement la répartition de Qe entre les 2 branches
choisissant les deux diamètres permettant d’écouler les débits Q1 et Q2 on calcule des pertes de charges correspondantes (attention aux signes des pertes charge compte tenu du sens de parcours):
0222
21121 QRQRJJJh
La répartition de Qe en Q1 et Q2 n’étant pas correcte, on corrige en ajoutant algébriquement une correction Q1
En conséquence:
)(2
)(Q2 ,Qen termesles négligeant
0
2211
222
211
1
222
21122111
21
2122
211121
QRQRQRQR
Q
QRQRQRQRen
QQRQQRJJJh
alors , Ret R :que 2
2
222
1
11
Q
J
Q
JSachant
0Q diminuer lefaut ilet important est trop Q ,0 0Q augmenter l'faut ilet t insuffisanest Q ,0
22
1121
1121
2
2
1
1
21
2
2
1
1
211
JJsiJJsi
QJ
QJ
JJ
QJ
QJ
JJQ
Pour n tronçons, on généralise:
i
i
i
QJ
JQ
21
Si pour de nouveaux débits, la 2 ème loi n’est toujours pas satisfaite, corriger les
débits d’une nouvelle valeur Q2 calculée de la façon précédente. Ainsi on se
rapprochera de zéro pour la somme algébrique des pertes de charge du contour.
A B
C
q
D
+
E
F
+I II
La conduite commune sera affectée par les deux corrections des débits calculées pour les deux mailles, affectées de leurs signes respectifs.
Examinons la conduite BC traversée par le débit q
Principe de Calcul de 2 mailles
dans la maille I le débit q est >0 la correction est alors +q(I) dans la maille II le débit q<0 la correction est -q (II)
Ainsi pour la conduite BC: q= + q(I) - q(II)
On arrête les itérations lorsque pour toutes les mailles:
précision la dansloin plusaller peut on calcul, de programmeun d' aidel' à
m 0,5 voir m 2,0Jet l/s 5,0 q
Si la solution obtenue ne vérifie pas les conditions imposées (vitesses admises et /ou pressions suffisantes), on doit modifier le choix des diamètres de certains tronçons et refaire le calcul dès le début
Résumé pour le calcul d’un réseau maillé avec la méthode de Hardy-Cross:
On se donne à priori les débits de la 1 ère approximation en chaque branche de manière à
satisfaire la condition d’équilibre des nœuds.
Pour chaque maille on calcule q.
On corrige qi.
Répéter les mêmes opérations jusqu’à obtention de l’erreur voulue.
l DN q v j J J/q q q v j J J/q q(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s) (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)
I
II
1 ère itération 2 ème itération
Maille M.adjac. N°tronçon
Ji
i
i
QJ
JQ
21
i
i
QJ
Ji
i
QJ
i
i
i
QJ
JQ
21
Ji
i
i
QJ
JQ
21
i
i
QJ
Ji
i
QJ
i
i
i
QJ
JQ
21
Exemple de calcul d’un réseau maillé
D300
110 l/s
L=600 m
L=500 m
A D200
R 30 l/s
D250BL=600 m D250
L=650 m
L=650 m
D
CD200
15 l/s
Rugosité des tronçons k=10-4
D300
110 l/s
65 l/s
25 l/s
A D200
R30 l/s
D250
B45 l/s D250
40 l/s
25 l/s
D
CD200
15 l/s
65 l/s+ +
On cherche à calculer:
• la répartition du débit dans les différentes branches du réseau ?• le débit résiduel au point D ?
Choisissons une première répartition arbitraire des débits dans les différents tronçons qui vérifie la 1 ère loi des débits aux noeuds: sortieentrée QQ
Solution:
Les itérations du réseau par la méthode de Hardy-Cross sont consignés dans les tableaux:
Q final (l/s)q v j J J/q q
(l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)49,03 0,99 0,00392 2,35 0,048 0,31 49,318,88 0,6 0,00199 -1 0,053 -0,43 18,560,97 0,86 0,00239 -1,43 0,024 -0,31 60,7
-0,08 0,124 0,31
37,91 0,77 0,00243 1,58 0,042 -0,12 37,818,88 0,6 0,00199 1,09 0,053 -0,43 18,527,09 0,86 0,00389 -2,53 0,093 0,12 27,2
0,05 0,188
<0,2 m <0,5 l/s
3 ème itération
Ji
i
QJ
i
i
i
QJ
JQ
21
Ji
i
QJ
i
i
i
QJ
JQ
21
l DN q v j J J/q q q v j J J/q q(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s) (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)
AB 600 250 45 0,91 0,003 2 0,045 4,72 49,72 1,01 0,004 2,4 0,048 -0,69II BC 500 200 25 0,79 0,003 -1,67 0,067 -7,87 17,13 0,54 0,0017 -0,83 0,048 1,75
AC 600 300 65 0,91 0,003 -1,62 0,025 -4,72 60,28 0,85 0,0023 -1,4 0,023 0,69-1 0,136 4,72 0,17 0,12 -0,69
BD 650 250 40 0,81 0,003 1,74 0,044 -3,15 36,85 0,75 0,0023 1,49 0,04 1,06BC 500 200 25 0,79 0,003 1,67 0,067 -7,87 17,13 0,54 0,0017 0,83 0,048 1,75CD 650 200 25 0,79 0,003 -2,17 0,087 3,15 28,15 0,89 0,0042 -2,71 0,096 -1,06
1,2 0,197 -0,39 0,185
I
II
1 ère itération 2 ème itération
Maille M.adjac. N°tronçon
Ji
i
i
QJ
JQ
21
i
i
QJ
Ji
i
QJ
i
i
i
QJ
JQ
21
Ji
i
i
QJ
JQ
21
i
i
QJ
Ji
i
QJ
i
i
i
QJ
JQ
21
D300
110 l/s
60,7 l/s
18,5 l/s
A D200
R30 l/s
D250
B49,3 l/s D250
37,8 l/s
27,2 l/s
D
CD200
15 l/s
65 l/s+ +
La répartition finale des débits dans les différents tronçons est la suivante:
On peut vérifier que la continuité aux nœuds est toujours satisfaite. Les vitesses finales dans tous les tronçons sont acceptables (0,6 à 1,2 m/s)
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