EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

EN TERMINALE ST2SEN TERMINALE ST2Sauteur : Philippe Angot (version adaptée)auteur : Philippe Angot (version adaptée)

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

I - INTRODUCTIONI - INTRODUCTION

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à l’aide des suites géométriques …..

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

La population d’un village diminue de 5% par an.Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants.Combien comptera-t-il d’habitants lorsqu’il repassera le 15 juin 2005 ?

On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000 € sur un livret rapportant 3,5% d’intérêts (composés) par an.De quelle somme pourra-t-on disposer le 1er mars 2008 ?

Par exemple:

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Une interpolation linéaire est possible,

mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5

En rouge : les points représentant les valeurs des termes de d’indices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui l’encadrent.

En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite.

L’erreur commisedevient rapidementimportante

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

II – CONSTRUCTION II – CONSTRUCTION D’UNE FONCTION D’UNE FONCTION EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive

La démarche est expérimentale.

Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières d’un réel strictement positif q

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie.

Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 1:Théorème 1:Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes

consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si

b est la moyenne arithmétique de a et de c

(c’est-à-dire ) 2

a cb

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie.

Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 2:Théorème 2:Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes

consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si

b est la moyenne géométrique de a et de c

(c’est-à-dire ) b ac

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

1 2 3 4 5O

u0

u1

u2

u3

u4

u5

Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique d’une suite géométrique:

-pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui l’entourent

-pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui l’entourent

Le point « du milieu » admet :

Illustration:

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Exemple:

Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5

: 1,5xx

Outils: tableur et grapheur

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1ère étape:Points à abscisses entières

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

2ème étape: Points à abscisses de la forme 1

2n

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

2ème étape:

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

3ème étape: Points à abscisses de la forme et 1

4n 3

4n

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

3ème étape:

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Sachant que , on peut compléter le

graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison .

11,5

1,5

nn

1

1,5

On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

Cet ensemble de points suggère la courbe d’une fonction.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On admet que cette fonction existe et est unique

C’est la fonction ou fonction exponentiellede base 1,5

: 1,5xx

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

III – PROPRIIII – PROPRIÉTÉSÉTÉS DES DES FONCTIONS FONCTIONS

EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction : xx q

Les propriétés suivantes sont admises :

Les fonctions sont définies et dérivables sur R. : xx q

Pour tout réel x, est strictement positif . xq

Pour tous réels x et y, x y x yq q q

Pour tout réel x, 1x

xq

q

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

Remarques:Remarques:

L’expression de la dérivée des fonctions exponentielles,

l’allure des courbes ainsi que leur comportement à

l’infini ne font pas partie des objectifs du programme. On

constatera le sens de variation à partir d’études

expérimentales. L’étude du cas q = e n’est pas au

programme.

xq