Fonctions Booléennes primaires

A. Objectifs de la séquence:à l'issue de la séquence, il faut être capable de:

•Identifier sur un schéma structurel les portes logiques primaires et en déduire les différentes équations booléennes liées aux grandeurs d’entrées.

•Etablir , à partir des chronogrammes relatifs aux grandeurs d’entrées les chronogrammes relatifs aux grandeurs de sorties.

B) ETUDE DE LA FONCTION SECONDAIRE CADENCEUR

&

&

S 3

S 2

V C C

C L K

M a n u

4 .7K

B

&

AM od e

V C C

4 .7 K

S 1

1) Schéma structurel

C) ELARGISSEMENT DE L’ETUDE

1) RAPPEL VARIABLE BINAIRE

•On nomme variable binaire tout phénomène qui ne peut prendre que 2 états:

Par convention on représente l’un des états d’une variable binaire par le chiffre « 1 » alors que l’état opposé (ou complémentaire) est symbolisé par le chiffre « 0 »

•En logique positive

Le « 1 » correspond à la présence d’information

Le « 0 » correspond à l’absence d’information

aL

aL

aL

a L

•Du point de vue des contacts on choisit habituellement:

L’état « 1 » lorsqu’il y a action sur le contact

L’état « 0 » lorsqu’il n’y a pas action sur le contact

• pas d’action sur a a=0 a est au repos la lampe est éteinte L=0

•Action sur a a=1 a est actionné la lampe s’allume L=1

•Pas d’action sur au repos la lampe est allumée L=1

0 aa

•Action sur

est actionné la lampe est éteinte L=0a

1 aa

2) OPERATEURS LOGIQUES

2.1) Fonction ‘NON’

On associe à une variable binaire quelconque a son complément

si a=1 a 0

si a=0 a 1

1

Symbolisation: Table de vérité

a

0 1

1 0

S

Equation logique

aS

2.2) Fonction ‘ET’

On désire qu’une lampe s’allume lors de l’action simultanée sur 2 contacts a et b

Schéma électrique aL

b

& a b s

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Table de vérité

Equation logique:

X.X =X X.1 =X

X. X =0 X.0 =0

Symbolisation

Propriétés

S=a.b

2.3) Fonction ‘OU’

On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a soit par action sur un contact b soit par action simultanée sur les 2 contacts.

Schéma électrique

Table de vérité

Equation logique

aL

bSymbolisation:

> 1 a b s0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1X + X = X X+1 =1

X+ X =1 X+0 =X

Propriétés

S=a+b

2.4) Fonction ‘OU’ exclusif

On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a soit par action sur un contact b mais pas lors de l’action simultanée des 2 contacts.

Schéma électrique

Table de vérité

S=a b

Symbolisation:

a b S0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

aL

b a

b

= 1

Equation logique

2.5) Fonction ‘NAND’

Schéma électrique

Table de vérité

Equation logique

Symbolisation:

a b S0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

aL

b

&

bab.as

2.6) Fonction ‘NOR’

Schéma électrique

Table de vérité

Equation logique

Symbolisation:

a b S0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

aL

b

> 1

b.abaS

3) Exercices

REALISATION d’une NON à partir d’une NAND

REALISER UN ET à partir d’une NAND

REALISER UN OU à partir d’une NAND

REALISER une NON à partir d’une NOR

REALISER une ET à partir d’une NOR

REALISER une OU à partir d’une NOR

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4)Autres propriétés de l’algèbre de BOOLE

S= a b c d. . .

S= a b a b c. . .

S= a b b c. . =

S= c b a c.

Redondance: YXY.XX

Distributivité: a.(b+c)= a.b +a.c

Relation de DE MORGAN bab.a

Exemples

D) RETOUR A L’OBJET TECHNIQUE ETUDIE

Compléter les chronogrammes ci-dessous:

&

&

S 3

S 2

V C C

C L K

M a n u

4 .7K

B

&

AM od e

V C C

4 .7 K

S 1

Automatique Manuel

E) EXERCICES

1) EXERCICE 1

> 1

A

B

C

S o rtie

t1

A

B

C

S o rtie

Que se passe-t-il au temps t1?.

2) EXERCICE N°2

1

1

&

>1

&x=....

A

B

C

D

Remplacez la porte OU par une porte ET et les portes ET par des portes OU.Ecrivez ensuite la nouvelle expression de sortie.

A l'aide de l'expression de x donnée ci-dessus, Trouver la valeur de sortie du

circuit pour les conditions A=0, B=1, C=1 et D=0

1) GENERALITES

F) SCHEMA LOGIQUE:

Un schéma logique est la représentation graphique de l'équation logique.

On distingue 3 types de schémas logiques (Logigrammes)

Uniquement avec des opérateurs NON, ET,OU

Uniquement des opérateurs NAND

Uniquement des opérateurs NOR

2) Avec des opérateurs de type ET, OU, NON

Exemple:

Pour transposer une équation en schéma logique avec des opérateurs il faut:

Déterminer le nombre d'opérateurs ET .Pour cela, il suffit de compter le nombre de groupes de produits logiques et de déduire le nombres d'entrées nécessaires sur chaque opérateur.

Déterminer le nombre d'opérateurs OU.Pour cela, il faut compter le nombre de groupes de sommes logiques et déduire le nombre d'entrées nécessaires sur chaque opérateur.

Relier les différents opérateurs entre eux.

c.b.ac.b.ac.b.aS

Nombre d'opérateurs NON 3

Nombre d'opérateurs ET(3 groupes de produits logiques) ces opérateurs doivent posséder 3 entrées.

Nombre d'opérateurs OU1 (1 somme logique) cet opérateur doit posséder 3 entrées.

3) Avec des portes NON ET uniquement

S=a b c a c d. . . .

4) Avec portes NON OU uniquement

S=a b c a c d. . . .

G) TABLEAU DE KARNAUGH

Exemple:Variables d'entrées A et B0 1

0

1

A

B

0

1

A00 01 11 10

B

C

Ce tableau reprend les indications de la table de vérité pour les mettre sous une autre forme.

Le nombre de cases est égale au nombre de lignes de la table de vérité.

Chaque ligne et chaque colonne correspond à un état d'une ou plusieurs variables d'entrées.

Exemple:Variables d'entrées A et B et C

Remarque:Chaque ligne et chaque colonne est numérotée avec l'état que peuvent prendre les variables d'entrées.

exemple:exemple:

Soit 4 variables A,B,C,D

la case (a) correspond à A,B,C,D=0

la case (b) correspond à A,B,C,D=1

la case (c) correspond à A,C=1 et B,D=0

A00 01 11 10

B

C00

01

11

10

D(a)

(b)

(c)

Attention:Attention:

Entre deux cases adjacentes,seule une variable d'entrée peut changer d'étatEntre deux cases adjacentes,seule une variable d'entrée peut changer d'état

G-1) TRANSPOSITION DE LA TABLE DE VERITE DANS LE TABLEAU DE KARNAUGH

soit la table de vérité suivante: C B A S

(a) 0 0 0 0

(b) 0 0 1 0

(c) 0 1 1 1

(d) 0 1 0 0

(e) 1 1 0 1

(f) 1 1 1 1

(g) 1 0 1 1

(h) 1 0 0 0

Le tableau de karnaugh qui lui correspond,possède huit cases.

0

1

A00 01 11 10

B

C0 0 1 0

0 1 1 1

G-2) SIMPLIFICATION DES EQUATIONS

1. Regroupement des cases

Pour simplifier l'équation,il suffit de regrouper les cases qui possèdent le même état de la variable de sortie dans les conditions suivantes:

Les cases regroupées doivent être adjacentes .

Le regroupement des cases se fait par puissance de 2 (2,4,8,16,32....)Le regroupement des cases se fait par puissance de 2 (2,4,8,16,32....)

les cases possédant le même état de la variable de sortie doivent être utilisées.

Le regroupement doit être le plus grand possibleLe regroupement doit être le plus grand possible.

Une case peut très bien appartenir à plusieurs regroupements.

A00 01 11 10

B

C00

01

11

10

D(a)

(b)

(c)

Exemple du tableau de KARNAUGH précédent:

0

1

A00 01 11 10

B

C0 0 1 0

0 1 1 1

0

1

A00 01 11 10

B

C0 0 1 0

0 1 1 1

0

1

A00 01 11 10

B

C0 0 1 0

0 1 1 1

1 regroupement 2 regroupement 3 regroupement

2) Equation de chaque regroupement.2) Equation de chaque regroupement.

Chaque regroupement donne le produit logique des variables d'entrée qui n'ont pas changées d'état. L'ensemble de ces regroupements est une somme logique

Regroupement de l'état 1 de la variable de sortie S

S=...............+................+................

A.B B.C A.C

3. Cas particuliers

Lors d'un tableau à n variables, si les 2n cas ne sont pas tous décrits, il subsistera alors des cas que l'on qualifiera d'indifférents .

Ils seront symbolisés par la variable x dans le tableau de Karnaugh on pourra selon

les besoins les remplacer individuellement par des 1 ou des 0.

H) EXERCICE:REALISATION D'UN DECODEUR BCD→7SEGMENT

TRANSCODAGE

A

B

C

D

abcdefg

CODEBCD AFFICHEUR

7 SEG

a

b

c

d

e

fg

D C B A NB décimal a b c d e f g 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1

4 3 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 0 4 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 5 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 6 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 7 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 8 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 9 1 1 1 1 0 1 1

En utilisant KARNAUGH pour chaque segment, à commander,trouver le logigramme correspondant pour chaque segment. Le réaliser à l'aide de portes NAND à 2 entrées.

TRANSCODAGE

A

B

C

D

abcdefg

CODEBCD AFFICHEUR

7 SEG

a

b

c

d

e

fg

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

a b c

d e f

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D

g

A00 01 11 10

BC

00

01

11

10

D0 12 3

4 56 7

8 9x x

x x x x