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Méthodes quantitatives en Sociologie Joël Quinqueton

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Méthodes quantitativesen Sociologie

(Rappels)types de variablesmoyennes, écarts types, quantileseffectifs, fréquenceshistogrammetable de fréquences cumuléesdensitéloi des grands nombres

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1. type de valeur1. qualitatif (nominal)2. quantitatif discret (qualitatif ordinal)3. quantitatif continu

2.ensemble de valeurs1. ouvert2. fermé

3.multiplicité1. unique2. multiple

Plusieurs types de variabless

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type de valeurqualitatif (nominal)quantitatif discret (qualitatif ordinal)quantitatif continu

couleur des yeux, sexe, cheveux, catégorie socio-professionnelle,...

ensemble de valeurs fermé

Variable qualitative

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longueur, poids, taille, âge,...

ensemble de valeurs ouvert

type de valeur:qualitatif (nominal)quantitatif discret (qualitatif ordinal)quantitatif continu

Variable quantitative continue

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nombre d’enfants, années d’études,...

ensemble de valeurs fermé

type de valeur:qualitatif (nominal)quantitatif discret (qualitatif ordinal)quantitatif continu

Variable quantitative discrète

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type de valeur:qualitatif (nominal)quantitatif discret (qualitatif ordinal)quantitatif continu

sport préféré, profession,...

ensemble de valeurs ouvert

Variable qualitative ouverte

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Variable à valeurs multiples

type de valeur:qualitatif (nominal)quantitatif discret (qualitatif ordinal)quantitatif continu

sports pratiqués, âges des enfants, CSP des frères et soeurs,...

ensemble de valeurs ouvert ou fermé

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Résumer une mesure

ModeMédiane (et quantiles)MoyenneVarianceEcart type

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Variable qualitative

ModeMédiane (et quantiles)MoyenneVarianceEcart type

Valeur dont l’effectif est le plus élevé

type d'achat # prêts

véhicule 262

mobilier 61

divers 46

trésorerie 41

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Variable quantitative

ModeMédiane (et quantiles)MoyenneVarianceEcart type

Somme des valeurs/Effectif total

nom note

Alain 3

Bernard 6

Catherine 8

Danièle 4

Eric 2

Françoise 1

somme 24

moyenne 4x = 1

nxi

i=1

i=n

∑

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Variable quantitative

ModeMédiane (et quantiles)MoyenneVariance (empirique)Ecart type

Moyenne des carrés des écarts à la moyenne

A B C D

nom note écart^2 note^2

Alain 3 1 9

Bernard 6 4 36

Catherine 8 16 64

Danièle 4 0 16

Eric 2 4 4

Françoise 1 9 1

moyennes 4,00 5,67 21,67

Variance 5,67

v = σ2(x) = x2 − x 2

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v = σ2(x) = (x − x )2 = x2 − 2 ⋅ x ⋅ x + x 2

v = σ2(x) = x2 − 2 ⋅ x ⋅ x + x 2 = x2 − x 2

La variance

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Variable quantitative

ModeMédiane (et quantiles)MoyenneVarianceEcart type (empirique)

Moyenne quadratique des écarts à la moyenne

σ(x) = σ2(x) = x2 − x 2

nom note

Alain 3

Bernard 6

Catherine 8

Danièle 4

Eric 2

Françoise 1

Variance 5,67

Ecart type 2,38

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v = σsb2 (x) = 1

2n(n −1)(xi − x j )

2

i=1, j=1, j≠i

i=n, j=n

∑

La variance sans biais (non empirique)

nom note A B C D E F

Alain 3 0 9 25 1 1 4

Bernard 6 9 0 4 4 16 25

Catherine 8 25 4 0 16 36 49

Danièle 4 1 4 16 0 4 9

Eric 2 1 16 36 4 0 1

Françoise 1 4 25 49 9 1 0

Variance 5,67 6,67 9,67 21,7 5,67 9,67 14,7

V. sans biais 6,8 8 11,6 26 6,8 11,6 17,6

Demi-moyenne des carrés des écarts

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Variable quantitative

ModeMédiane (et quantiles)MoyenneVarianceEcart type

Valeur partageant la population en 2 moitiés

nom note

Françoise 1

Eric 2

Alain 3

Danièle 4

Bernard 6

Catherine 8

Médiane 3,5

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Représentation graphique

CamembertHistogrammeHistogramme de ParetoFonction de répartition

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Variable qualitative

CamembertHistogrammeHistogramme de ParetoFonction de répartition

type d'achat # prêts

divers 46

mobilier 61

trésorerie 41

véhicule 262# prêts

type d'achat

diversmobiliertrésorerievéhicule

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type d'achat # prêts

véhicule 262

mobilier 61

divers 46

trésorerie 41

CamembertHistogrammeHistogramme de ParetoFonction de répartition

300

200

100

0véhicule mobilier divers trésorerie

type d'achat

# prêts

Variable qualitative

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Variable quantitative

CamembertHistogrammeHistogramme de ParetoFonction de répartition

nom note tranche effectif

Françoise 1 1 à 3 3

Eric 2 4 à 6 2

Alain 3 7 à 9 1

Danièle 4

Bernard 6

Catherine 8

3

2,5

2

1,5

1

0,5

01 à 3 4 à 6 7 à 9

tranche

effectif

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A B C D

trancheeffectif 0 0

1 à 3 3 3 3

4 à 6 2 6 5

7 à 9 1 9 6

Variable quantitative

CamembertHistogrammeHistogramme de ParetoFonction de répartition

6

5

4

3

2

1

01050

peut aussi être calculée sur les données

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nom note tranche effectif

Françoise 1 1 à 3 3

Eric 2 4 à 6 2

Alain 3 7 à 9 1

Danièle 4 1 à 2 2

Bernard 6 3 à 4 2

Catherine 8 5 à 6 1

7 à 8 1

3

2

1

01 à 3 4 à 6 7 à 9

3

2

1

01 à 2 3 à 4 5 à 6 7 à 8

Des effectifs à la densité

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effectif tranche densité

3 1 à 3 1,00

2 4 à 6 0,67

1 7 à 9 0,33

2 1 à 2 1,00

2 3 à 4 1,00

1 5 à 6 0,50

1 7 à 8 0,50

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,001 à 3 4 à 6 7 à 9

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,001 à 23 à 45 à 67 à 8

Des effectifs à la densité

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Calcul des quantiles: interpolation linéaire

Données “en tranches” avec, pour chaque tranche:

m, la valeur minimum de la tranchef(m), la fréquence cumulée en md, la densité dans la tranche

q = m + f (q) − f (m)d

d = f (q) − f (m)q − m

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tranche fréquence densité m f(m)

1 à 2 3,333e-1 0,17 0,5 0,00%

3 à 4 33,33% 0,17 2,5 33,33%

5 à 6 1,667e-1 0,08 4,5 66,67%

7 à 8 1,667e-1 0,08 6,5 83,33%

8,5 100,00%

Médiane:f(q)=50% (1/2)m = 3, f(m) = 33,33% (1/3),d=0,17 (1/6)

Calcul des quantiles: interpolation linéaire

q = m + f (q) − f (m)d

q = 2,5 + (50%-33,33%)/0,17= 3,5

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Boite à pattes (ou à moustaches)

minimum 1er quartile médiane 3ème quartile maximum

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Notion d’espérance mathématique

Exemple 1: lancer de pièceon lance la pièce (non pipée) un grand nombre de fois (n)on note le nombre de “face”l’espérance mathématique est n/2la moyenne est proche de n/2, et ce d’autant plus que n est grand

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Notion d’espérance mathématique

Exemple 2: lancer de déon lance le dé (non pipé) un grand nombre de fois (n)on note la moyenne des chiffres tirésl’espérance mathématique est 7/2la moyenne est proche de 7/2, et ce d’autant plus que n est grand

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Notion d’espérance mathématique

La loi des grands nombresn variables aléatoires de même loi, d’espérance mathématique ala moyenne tend, quand n augmente, vers l’espérance mathématique

x = 1n

X1 + ... + Xn)( tend vers a certain

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Loi de Laplace Gauss (normale)

d(x) = 1σ 2π

e−( x−α)2

2σ2

densité donnée par (moyenne α et écart-type σ):

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Loi normale

σ 2σ

95%la probabilité que la variable soit entre α−2σ et α+2σ est 95%

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Théorème central limite

Soient n variables aléatoires d’espérance 0 et de moment d’ordre 2 (espérance du carré, variance) égal à σ2

On s’intéresse à la variable:

x = 1n

X1 + ... + Xn )(

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d(x) = 1σ 2π

e− x2

2σ2

Théorème central limite

La densité de probabilité de la variable x tend vers une loi normale:

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Théorème central limite

Applicationsdans la loi des grands nombres, l’écart type de la moyenne est racine(n)la courbe des fréquences cumulées tend vers la fonction de répartition

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Exemple de loi normale

vous avancez en suivant toujours la même direction, en file indiennevous traversez une forêt:vous passez aléatoirement à droite ou à gauche des arbres qui sont sur votre chemin

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La probabilité de passer à droite est de 50% (donc également 50% à gauche)

Exemple de loi normale

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La probabilité de passer à droite (dans le sens de la marche) est de 25% (donc 75% à gauche)

Exemple de loi normale (2)