IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2...

IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCUIV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU

- La trajectoire du point du solide est un cercle (an =V2/R= R.2= R.’ 2)

-Son accélération angulaire est nulle (’=0) donc sa vitesse angulaire est constante au cours du temps ( = constante).

2.1.    Définition :

CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES

t0 = 0 s : instant initial  t : instant particulier du mouvement 

0 : la position angulaire initiale 

 : la position angulaire à l’instant t

= ’ = constante : la vitesse angulaire

’ = ’ ’ = 0 rd/s2 : l’ accélération angulaire

2.2     Conditions aux limites du mouvement :

M1

M2

x

1

2

Instant t1

Instant t2

Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer et 0 par les valeurs trouvées.

2.3. 2.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:

’ = 0

= constante

= 0.t + 0

2.4. 2.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:

Graphe desGraphe des accélérations angulairesaccélérations angulaires

Graphe des vitesses Graphe des vitesses angulairesangulaires

Graphe des Graphe des abscisses angulairesabscisses angulaires

= .t + 0

0 t

0

= constante

0 t

0

’ = 0 0 t

’

= 2. N / 60

Formule utile :Formule utile :

Vitesse en rd/sVitesse en tours/mn

V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : (M.C.U.V.)(M.C.U.V.)

- La trajectoire du point du solide est un cercle (an=V2/R= R.2= R.’ 2)- L’ accélération totale du point est a= (an

2 + at2)1/2 avec at=R.’ =R.’ ‘

- L’accélération angulaire du solide est constante (’=constante) .

2.1.     Définition

CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES

t0 = 0 s : instant initial  t : instant particulier du mouvement 

0 : la position angulaire initiale   : la position angulaire à l’instant t

 = 0’ : la vitesse angulaire initiale 

= ’  : la vitesse angulaire à l’instant t

’ = ’ ’ = constante : l’ accélération angulaire

2.2     Conditions aux limites du mouvement :

M1

M2

x

1

2

Instant t1

Instant t2

Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer ’ , 0 et 0 par les valeurs trouvées.

2.3. 2.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:

’ = constante

= ’.t + 0

= ½. ’.t2 + 0.t + 0

’ = 2 – 02 / [2( – 0 )]

Formule utile :Formule utile :

2.4. 2.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:

Graphe desGraphe des accélérations angulairesaccélérations angulaires

Graphe des vitesses Graphe des vitesses angulairesangulaires

Graphe des abscisses Graphe des abscisses angulairesangulaires

= ’.t + 0

0 t

0

= ½.’.t2 + 0.t + 0

0 t

0

’ = constante

0 t

’

’

Relation entre l’abscisse curviligne s et Relation entre l’abscisse curviligne s et l’abscisse angulaire l’abscisse angulaire : :

M1

M2

x

s

Instant t1

Instant t2

R

s = R . (m) = (m) . (rd)

Exemple du périmètre du cercle : P = R . 2

Relation entre la vitesse linéaire V Relation entre la vitesse linéaire V et la vitesse angulaire et la vitesse angulaire = = ’’ : :

v = R . R . ’(m/s) = (m) . (rd/s)

D’après Thalès : =VN/ON = VP/OP = VM/OM

M

x

TM

_VM

r

O

_VN _VP

N P

Relation entre l’accélération linéaire a et Relation entre l’accélération linéaire a et l’accélération angulaire l’accélération angulaire ’’==’’’’ : :

at = R . ’ = R . ’’ (m/s2) = (m) . (rd/s2)

an = R . 2 = R . ’2 (m/s2) = (m) . (rd/s) 2

D’après Pythagore : a = ( at2 + an

2 ) 1/2

M

x

TM _at OM=R

O _an

'

aa

y

xG

broche/carter

12

0

M

VM = 0.06m . (2.3000/60)rd/s

VM = 18,84 m/s

formule littérale :

Exercice 1:Exercice 1: touret à meuler touret à meuler

1.1/ Calculez la vitesse de déplacement d'un point M situé à la périphérie de la meule.

Sa vitesse de rotation est de 3000 tr/mn.

VM = R . =R . 2.N/60

Application numérique :

1.2/ Calculez l'accélération de ce même point.

y

xG

broche/carter

Fig. 1

120

M

formule littérale :

Exercice 1: Exercice 1: touret à meuler touret à meuler

aM = 18,842 / 0,06

aM = 5 916 m/s2

Application numérique :

aM = (at2 + an

2) 1/2= an =V2/R

L‘extrémité de l’hélice d’un avion ne doit pas dépasser la vitesse de 340m/s afin d’éviter sa détérioration

2.1/ Tracer la trajectoire des points A et E appartenant à l'hélice 1 par rapport à l'avion 0. On donne OE=1,2m et OA=0,6m.

E

x

y

A

T A,1/0 : cercle (O,OA)

T E,1/0 : cercle (O,OE)

Exercice 2:Exercice 2: hélice d’avion hélice d’avion (trajectoires)(trajectoires)

Données : OE=1,20 m

E

x

y

A

1/0 = 340 (m/s) / 1.2 (m) = 283 rd/s

V A,1/0 = 170 m/s VE,1/0

VA,1/0

Exercice 2:Exercice 2: hélice d’avion hélice d’avion (vitesses)(vitesses)

Échelle des vitesses :1 cm => 100m/s

2.3/ Tracer VE,1/0 . En déduire graphiquement V A,1/0.

2.2/ Calculer la vitesse de l’hélice si VE,1/0 =340m/s.

formule littérale : V E,1/0 = R . = OE . 1/0

=> 1/0 = V E,1/0 / OE

A.N.:

2.4/ Calculer l'accélération du point E appartenant à l'hélice 1 dans son mouvement par rapport à l'avion 0, notée a (E,1/0).Sa vitesse critique de 340m/s est constante.

E

x

y

A

a E,1/0 = (at2 + an

2) 1/2= an =V2/R

Exercice 2:Exercice 2: hélice d’avion hélice d’avion (accélération)(accélération)

a E,1/0

a E,1/0 = 3402 / 1,2 = 96 333 m/s2

formule littérale :

A.N.:

La vitesse de cette hélice est de 283 rd/s. Lorsque le moteur est coupé, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt.

2.5/ Calculer le nombre de tours effectués pendant ces 3s .Pour cela, écrire les équations horaires (t),’(t) et ’’(t).

E

x

y

A

Exercice 2:Exercice 2: Arrêt de l’hélice Arrêt de l’hélice d’aviond’avion

L’hélice s’arrête => MCUV

CI CF

t=0s t=3s

0=0rd =

’0=283rd/s ’=0rd/s

’’ =

’ = ’’.t + ’0

= ’’.3 + 283

’’ = - 94 rd/s2

’= - 94.t + 283 rd/s

= - 47.t2 + 283t rd

Calcul du nombre de tours n :

n = 426/2 =68 trs

426 rd

RéponseRéponses :s :

Équations du mouvement :

’’ = - 94 rd/s2

- 94 rd/s2

Résolution :

= 426 rd

= ½. ’’.t2 + ’0.t + 0

= [- 47 .32 + 2833]

Lorsque le moteur entraînant l'hélice est arrêté, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt.

2.6/ Calculer a (E,1/0) à l'instant t = 2s.

E

x

y

A

Exercice 2:Exercice 2: arrêt de l’hélice arrêt de l’hélice d’avion d’avion

a E,1/0 = (an2 + at

2)1/2

Donc aE1/0 = [ 10 8302 + (-113)2 ]1/2

aE1/0 = 10 830 m/s2

Calcul de ’ à t=2s :

*an = R. ’2

* at =R. ’’

=> an = R. ’2 = 1,2 . 952 = 10 830 m/s2

=> at =1,2 . -94 = -113 m/s2

’’ = - 94’= - 94.t + 283

= - 47.t2 + 283t

Équations horaires: 0<t<3sÉquations horaires: 0<t<3sRéponses Réponses ::

’= - 94 .2 + 283 = 95 rd/s

formule littérale :

Application numérique :

moteur

volant

récepteur

I

1r3=40

r4=160

3

4

O2 0

 Étude du démarrage à vide :

3.1/ Déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués par l’arbre 2 pendant le démarrage .

Exercice 3 :Exercice 3 : transmissiontransmission

Soit la chaîne cinématique d’une transmission de puissance.Le moteur atteint sa vitesse de régime 3000 tr/min en 2s. Le rapport de réduction des roues dentées 3 et 4 est de 1/4.

CI CF

t=0s t=2s

0=0rd =

’0 =0rd/s ’=

’’ =

MCUV

= ’’.2 + 0

’= ’’= 12,5 rd/s2

= ’= 12,5 .t rd/s

= 6,25 .t2 rd

Calcul du nombre de tours à t=2s :

Calcul de la vitesse de l’arbre 2 :

r = Ns/Ne => Ns = r . Ne

Ns. = (1/4) .3000 =750 tr/mn

’s =(2/60).Ns = 25 rd/s

25rd/s

Réponses Réponses : : démarragedémarrage

12,5 rd/s2

25 rd

n= = 25 / 2 n = 12.5 tours

* ’ = ’’.t + ’0

’’ = 12,5rd/s2

* = ½. ’’.t2 + ’0.t + 0

= 6,25 .22

= 25 rd

Équations du mouvement :

Calcul de VI2/0 maxi:

moteur

volant

récepteur

I

1r3=40

r4=160

3

4

O2 0

Formule littérale : V = R .

A.N.: VI2/0 = 0.16m . 25rd/s = 4 m/s

Calcul de aI2/0 maxi:

Formule littérale : a =(at2 + an

2)1/2 =[ (R ’)2+ (V2/R)2 ]1/2

A.N.: aI2/0 = [(0,16.12,52 + (162 / 0,16)2]1/2

aI2/0 = [(22 + (1002)2]1/2 = 987 m/s2

3.2/ Déterminer la vitesse VI2/0 et l’accélération AI2/0

max.

CI CF

t=0s t=2s

0=0rd =25 rd

’0 =0rd/s ’=25rd/s

’ =12,5 rd/s2

moteur

volant

récepteur

I

1r3=40

r4=160

3

4

O2 0

3.3/ l’arrêt s’effectue en 2,5 tours. Le constructeur signale un arrêt sécurisé de la machine en moins de 1 s. Vérifier ses propos.

Exercice 3 Exercice 3 :: Étude du Étude du freinagefreinage

CI CF

t=0s t=

0=0rd =2,5.(2rd

’0 =25rd/s ’=0rd/s

’’ =

MCUV

=> ’’ = -(25)2 / 2.(5)

’= -62.5.t +25 rd/s

= -31,25.t2 +25t rd

Réponses Réponses : : freinagefreinage

-62,5rd/s2

0,4 s

’’= -62,5 rd/s2

formule utile :

’’ = [’2- ’] / 2(-0)

’’ = -62,5rd/s2

* ’ = ’’.t + ’0

0= -62.5.t +25

t= -25 /-62.5

t = 0,4 s < 1 s CQFV

Équations du mouvement :

3.4/ Tracer le graphe de vitesses3.4/ Tracer le graphe de vitesses

’ ’ (rd/s)(rd/s)

t (s)t (s)

00

2525

9,69,6 101022

10 tours 45 tours 63 tours

La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6.t2

+ 3 tCombien de tours aura-t-il effectués, 3

secondes après son démarrage ?

Exercice QCM 4:Exercice QCM 4:

s = 10 ms = 6,3 ms = 3,15 m

Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6.t2 + 3 t, a un diamètre primitif de 100 mm.

Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ.

Exercice QCM 5:Exercice QCM 5:

’ = 12 rd/s2

’ = 9 rd/s2’ = 6 rd/s2

La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t2 + 3 t .

Quelle est son accélération angulaire ?

Exercice QCM 6:Exercice QCM 6:

= 3 rd/s

= 6 rd/s

= 12 rd/s

La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t2 + 3 t .

Quelle est sa vitesse angulaire initiale ?

Exercice QCM 7:Exercice QCM 7:

= 6 t + 3 rd/s = 3.(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s

La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t2 + 3 t .

Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ?

Exercice QCM 8:Exercice QCM 8:

= 120 rd/s = 7200 rd/s = 10943 rd/s

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute.

Exprimer cette vitesse en rd/s

Exercice QCM 9:Exercice QCM 9:

’ = 10 rd/s2

’ = 30 rd/s2

’ = 90 rd/s2

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes.

Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ? 

Exercice QCM 10:Exercice QCM 10:

t = 12 st = 3 st = 1 s

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = -3t + 9.

Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?

Exercice QCM 11:Exercice QCM 11:

= -3.t2 + 9 t = -6.t2 + 9 t = -1.5.t2 + 9 t

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = -3t + 9

Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer l’angle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd

Exercice QCM 12:Exercice QCM 12:

’ = - 50 rd/s2

’ = - 100 rd/s2’ = - 200 rd/s2

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12,5 tours.

Quelle est la valeur de son accélération ?

Exercice QCM 13:Exercice QCM 13:

10 tours 45 tours 63 tours

La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6t2 + 3t

Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ?

Corrigé Exercice QCM 4:Corrigé Exercice QCM 4:

= 6 t2 + 3 t

n = = 10 tours

= 6x32 + 3x3 = 63 rd

s = 10 ms = 6,3 ms = 3,15 m

Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6t2 + 3t , a un diamètre primitif de 100 mm.

Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ.

Corrigé Exercice QCM 5:Corrigé Exercice QCM 5:

s = R s = 0,05m x rd = 3,15 m

’ = 12 rd/s2

’ = 9 rd/s2

’ = 6 rd/s2

La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6t2 + 3t

Quelle est son accélération angulaire ?

Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 6:6:

= ½ ’t2 + 0 t + 0

= 6 t2 + 3 t

= 3 rd/s

= 6 rd/s

= 12 rd/s

La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6t2 + 3t

Quelle est sa vitesse angulaire initiale ?

Corrigé Exercice QCM 7:Corrigé Exercice QCM 7:

= ½ ’t2 + 0t + 0

= 6 t2 + 3 t

= 6 t + 3 rd/s = 3(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s

La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation : = 6t2 + 3t

Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ?

Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 8:8:

= ’ = 12t + 3 = 3(4t + 1) rd/s

= 120 rd/s = 7200 rd/s = 10943 rd/s

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute.

Exprimer cette vitesse en rd/s

Corrigé Exercice QCM 9:Corrigé Exercice QCM 9:

N = 1146 tours/minute

= 2 N / 60 = 120 rd/s

’ = 10 rd/s2

’ = 30 rd/s2

’ = 90 rd/s2

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes.

Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ? 

Corrigé Exercice QCM 10:Corrigé Exercice QCM 10:

= ’ t + 0

= ’ 3 + 120

’ = 30 / 3

t = 12 st = 3 st = 1 s

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = -3t + 9.

Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?

Corrigé Exercice QCM 11:Corrigé Exercice QCM 11:

= -3t + 9 = -3t + 9 t = - 9 / - 3 = 3 s

= -3.t2 + 9 t = -6.t2 + 9 t = -1.5.t2 + 9 t

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = - 3t + 9

Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer l’angle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd

Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 12:12:

= - 3 t + 9 = ’ t + ’ = - 3 rd/s2 = 9 rd/s

’ = - 50 rd/s2

’ = - 100 rd/s2’ = - 200 rd/s2

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12,5 tours.

Quelle est la valeur de son accélération ?

Corrigé Exercice QCM 13:Corrigé Exercice QCM 13:

Données : N=1500 tr/mn = 2 N / 60 = 50 rd/s

n=12,5 tours = 2n = 25 rd

Application num. : ’ = - (50)2 / 2()

Formule littérale : ’ = (2-02) / 2(-0)