Jacques Lottin Université de Savoie...

Cours Ecole de Bucarest 2013 1

Sur les capteurs virtuels

Jacques Lottin

Université de Savoie

jacques.lottin@univ-savoie.fr

Présentation du contexte

Introduction aux capteurs virtuels

Rappels sur les modèles d’état En temps continu

En temps échantillonné

Construction d’observateurs Luenberger

Kalman

Etendus

A entrée inconnue

Utilisation pour la détection de défauts

Conclusion

Présentation

• 1er réseau français des écoles d’ingénieurs des universités – 13 écoles – 12 000 élèves ingénieurs (dont 1 000 apprentis) – 2 800 ingénieurs diplômés par an – 50 000 ingénieurs en activité – 70 spécialités de formation – 1 000 doctorants

Présentation

Systèmes Instrumentés et Communicants

Systèmes Intelligents

et Logiciels

Ingénierie Mécanique

Mécatronique

Matériaux

Composites

Génie de l’Environnement

Ingénierie du

Bâtiment

Énergie

Instrumentation

Automatique Informatique

Mécanique Matériaux

Environnement

Bâtiment Energie

Cycle préparatoire PeiP Parcours élève ingénieur Polytech

Année Semestre

Mécanique Productique

en partenariat avec

l’ITII

Présentation

3 laboratoires de recherche & Un thème fédérateur : développement durable

– LISTIC : Systèmes intelligents – LOCIE : Energie et bâtiment durable – SYMME : Mécatronique

Introduction

Sur les capteurs virtuels Besoin d’informations : - Surveillance - Traçabilité - Commande Mais un (bon) capteur coûte cher : - En réduire le nombre - En assurant une certaine redondance

Comment accéder à de l’information non mesurée directement ?

Introduction

En jouant sur la dualité Information / Modèle

Action(s) Mesure(s)

Perturbation(s)

En supposant que le modèle est fiable

Modèles d’état

Rappels sur la notion de modèle d’état :

𝑑𝑥1𝑑𝑡⋮⋮

𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡

𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛,𝑢1, …𝑢𝑚)⋮⋮

𝑓𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛,𝑢1, …𝑢𝑚)

𝑦1⋮⋮𝑦𝑠

ℎ1(𝑥1, … , 𝑥𝑛,𝑢1, …𝑢𝑚)⋮⋮

ℎ𝑠(𝑥1, … , 𝑥𝑛,𝑢1, …𝑢𝑚)

Modèles d’état

Pour des systèmes linéaires :

� �̇�(t) = A.X(t) + B.U(t)Y(t) = C.X(t) + D.U(t)

�𝑋(k+1) = F.X(k) + G.U(k)Y(k) = C.X(k) + D.U(k)

En temps continu

En temps échantillonné

Observateurs

En temps continu : Luenberger

�𝑋�̇�(t) = A.𝑿𝒐(t) + B.U(t) + L.(Y(t)−𝑌𝑜(t))𝑌𝑜(t) = C.𝑿𝒐(t) + D.U(t)

�𝑋�̇�(t) = (A − L.C).𝑋𝑜(t) + (B − L.D).U(t) + L.Y(t)𝑌𝑜(t) = C.𝑋𝑜(t) + D.U(t)

Placement arbitraire des valeurs propres si système entièrement observable

� 𝜀(t) =𝑋(t) − 𝑋𝑜(t)𝜀̇(t) = (A − L.C).𝜀(t)

Observateurs

En temps discret : prédicteur

Placement arbitraire des valeurs propres si système entièrement observable

�𝑋𝑜(k+1) = F.𝑿𝒐(k) + G.U(k) + L.(Y(k)−𝑌𝑜(k))𝑌𝑜(k) = C.𝑿𝒐(k) + D.U(k)

�𝑋𝑜(k+1) = (F − L.C).𝑋𝑜(k) + (G − L.D).U(k) + L.Y(k)𝑌𝑜(k) = C.𝑋𝑜(k) + D.U(k)

� 𝜀(k) =𝑋(k) − 𝑋𝑜(k)𝜀(k+1) = (F − L.C).𝜀(k)

Observateurs

En temps discret : estimateur

𝑋𝑜(k) = F.𝑋𝑜(k−1) + G.U(k−1) + L.(S(k)−𝑆𝑜(k))𝑌𝑜(k) = C.𝑋𝑜(k) + D.U(k)

𝑆𝑜(k) = 𝑌𝑜(k) − D.U(k) =C.𝑋𝑜(k) = C.F.𝑋𝑜(k−1) + C.G.U(k−1)

S(k) = Y(k) − 𝐷.𝑈(𝑘)

�𝑋𝑜(k+1) = (F − L.C.F).𝑋𝑜(k) + (G − L.C.G).U(k) + L.S(k+1)𝑌𝑜(k) = C.𝑋𝑜(k) + D.U(k)

�𝑍𝑜(k) = 𝑋𝑜(k) − L.S(k)

𝑍𝑜(k+1) = (F − L.C.F).𝑍𝑜(k) + (G − L.C.G).U(k) + (F − L.C.F).L.S(k)𝑋𝑜(k) = 𝑍𝑜(k) + L.S(k)

Observateurs

En temps discret : Prédicteur de Kalman Contexte stochastique

E{𝑊1(k)} = 0 ; E{𝑊2(k)} = 0 E{𝑊1(k).𝑊1(k)T} = Q(k) ; E{𝑊1(i).𝑊1(j)T}=O si i ≠ 𝑗 E{𝑊2(k).𝑊2(k)T} = R(k) ; E{𝑊2(i).𝑊2(j)T}=O si i ≠ 𝑗 E{𝑊1(i).𝑊2(j)T} = O, ∀ 𝑖,∀ 𝑗

�𝜀(k) =𝑋(k) − 𝑋𝑜(k)

𝐽 = 𝐸{𝜀(k)T.𝑃 𝑘 . 𝜀(k)}

�𝑋(k+1) = F.X(k) + G.U(k) + 𝑊1(k) Y(k) = C.X(k) +𝑊2(k)

Observateurs

Prédicteur optimal de Kalman

�𝑋𝑜(k+1) = F.𝑋𝑜(k) + G.U(k) + L(k).(Y(k)−𝑌𝑜(k))𝑌𝑜(k) = C.𝑋𝑜(k)

�𝐿(k) = F.H(k).CT .(𝑅 𝑘 + 𝐶.𝐻 𝑘 . CT)−1𝐻(k+1) = (F − L(k).C).𝐻(k).FT+ Q(k)

Dans le cas stationnaire : L = L(k) et H = H(k)

Initialisation : H(0) = E{ (𝑋 0 − 𝑋�0). (𝑋 0 − 𝑋�0)T} 𝑜𝑜 𝑋�0 = E{X(0)}

Observateurs étendus

Influence de perturbations En temps continu :

�𝑋�̇�(t) = A.𝑋𝑜(t) +𝐵𝑢.U(t) + L.(Y(t) − 𝑌𝑜(t))𝑌𝑜(t) = C.𝑋𝑜(t) + D.U(t)

�𝑋�̇�(t) = (A − L.C).𝑋𝑜(t) + (𝐵𝑢 − L.D).U(t) + L.Y(t)𝑌𝑜(t) = C.𝑋𝑜(t) + D.U(t)

��̇�(t) = A.X(t) + 𝐵𝑢.U(t) + 𝐵𝑝.P(t)Y(t) = C.X(t) + D.U(t)

�𝜀(t) =𝑋(t) − 𝑋𝑜(t)

𝜀̇(t) = (A − L.C).𝜀(t)+ 𝐵𝑝.P(t)

Objectif : reconstruire la perturbation en même temps que l’état : Nécessite de faire des hypothèses sur la dynamique de la perturbation

�𝑋�̇�(t) = 𝐴 𝐵𝑝𝑂 0

.𝑋𝑒(t) + 𝐵𝑢𝑂

.U(t) =𝐴𝑒 .𝑋𝑒(t) +𝐵𝑒 . U(t)

Y(t) =𝐶𝑒 .𝑋𝑒(t) + D.U(t)

�̇�(t) = 0 Cas d’une perturbation constante :

On introduit un vecteur d’état étendu : 𝑋𝑒(t) = 𝑋(t)𝑃(t)

�𝑋�̇�(t) = 𝐴 𝐵𝑝 𝑂

𝑂 0 10 0

�̈�(t) = 0 Cas d’une perturbation de type rampe (dérive) :

On introduit un vecteur d’état étendu : 𝑋𝑒(t) = 𝑋(t)P(t)�̇�(t)

�𝑋�̇�(t) = 𝐴 𝐵𝑝 𝑂

𝑂 0 1−𝜔2 0

�̈�(t) = − 𝜔2𝑃(t) Cas d’une perturbation de type sinusoïde :

On introduit un vecteur d’état étendu : 𝑋𝑒(t) = 𝑋(t)P(t)�̇�(t)

Influence de perturbations En temps discret : Procédé discret

�𝑋𝑜(k+1) = F.𝑋𝑜(k) + G.U(k) + L.(Y(k)−𝑌𝑜(k))𝑌𝑜(k) = C.𝑋𝑜(k) + D.U(k)

�𝑋𝑜(k+1) = (F − L.C).𝑋𝑜(k) + (G − L.D).U(k) + L.Y(k)𝑌𝑜(k) = C.𝑋𝑜(k) + D.U(k)

�𝜀(k) =𝑋(k) − 𝑋𝑜(k)

𝜀(k+1) = (F − L.C).𝜀(k) +𝐺𝑝.P(k)

�𝑋(k+1) = F.X(k) + 𝐺𝑢.U(k) +𝐺𝑝.P(k)

Y(k) = C.X(k) + D.U(k)

Objectif : reconstruire la perturbation en même temps que l’état nécessite de faire des hypothèses sur la dynamique de la perturbation

�𝑋𝑒(k+1)= 𝐹 𝐺𝑝𝑂 1

.𝑋𝑒(k) + 𝐺𝑢𝑂

.U(k) =𝐹𝑒.𝑋𝑒(k) +𝐺𝑒 . U(k)

Y(k) =𝐶𝑒 .𝑋𝑒(k) + D.U(k)

P(k+1) =P(k) Cas d’une perturbation de type constante :

On introduit un vecteur d’état étendu : 𝑋𝑒(k) = 𝑋(k)𝑃(k)

�𝑋𝑒(k+1)= 𝐹 𝐺𝑝 𝑂

𝑂 2 −11 0

.U(k) =𝐹𝑒 .𝑋𝑒(k) +𝐺𝑒 . U(k)

P(k+1)−P(k)=P(k)−P(k−1) Cas d’une perturbation de type rampe :

On introduit un vecteur d’état étendu : 𝑋𝑒(k) = 𝑋(k)𝑃(k)𝑃(k−1)

�𝑋𝑒(k+1)= 𝐹 𝐺𝑝 𝑂

𝑂 2𝛾 −11 0

.U(k) =𝐹𝑒.𝑋𝑒(k) +𝐺𝑒 . U(k)

P(k+1)=2𝛾P(k)−P(k−1) Cas d’une perturbation de type sinusoïde :

Influence de perturbations En temps discret : Procédé continu discrétisé

��̇�(t) = A.X(t) + 𝐵𝑢.U(t) + 𝐵𝑝.P(t)Y(t) = C.X(t) + D.U(t)

On revient à l’équation d’évolution :

{ 𝑋 𝑡 = 𝑒𝐴.𝑡 X(0)+ ∫ 𝑒𝐴.(𝑡−𝜏)𝐵𝑢.U(𝜏)𝑡0 d 𝜏 + ∫ 𝑒𝐴.(𝑡−𝜏)𝐵𝑝.P(𝜏)𝑡

0 d𝜏

{X((k+1)T) = 𝑒𝐴.𝑇 X(kT)+ ∫ 𝑒𝐴.( 𝑘+1 𝑇−𝜏)d 𝜏 𝐵𝑢.U(kT)𝑘+1 𝑇𝑘𝑇

+ ∫ 𝑒𝐴.( 𝑘+1 𝑇−𝜏)𝐵𝑝.P(𝜏)𝑘+1 𝑇𝑘𝑇 d 𝜏

Approximation du trapèze :

{X((k+1)T) = 𝑒𝐴.𝑇 X(kT)+ ∫ 𝑒𝐴.( 𝑘+1 𝑇−𝜏)d 𝜏 𝐵𝑢.U(kT)𝑘+1 𝑇𝑘𝑇

+ ∫ 𝑒𝐴.( 𝑘+1 𝑇−𝜏)𝐵𝑝.P(𝜏)𝑘+1 𝑇𝑘𝑇 d 𝜏

{X((k+1)T) = 𝑒𝐴.𝑇 X(kT)+ 𝐺𝑢. U(kT) + 𝐺𝑝1. P((k+1)T) + 𝐺𝑝0. P(kT)

𝐺𝑢 = � 𝑒𝐴.(𝑡−𝜏)𝐵𝑢.d𝜏 = 𝐴−1(𝑒𝐴.𝑇−𝐼)𝐵𝑢𝑇

𝐺𝑝1 =𝑇2

.𝐵𝑝

𝐺𝑝0 =𝑇2

. 𝑒𝐴.𝑇 .𝐵𝑝

Objectif : reconstruire la perturbation en même temps que l’état : nécessite de faire des hypothèses sur la dynamique de la perturbation

𝑋𝑒(k+1)= 𝐹 (𝐺𝑝1+ 𝐺𝑝0)𝑂 1

=𝐹𝑒.𝑋𝑒(k) +𝐺𝑒 . U(k)Y(k) =𝐶𝑒 .𝑋𝑒(k) + D.U(k)

P(k+1) =P(k) Cas d’une perturbation de type constante :

On introduit un vecteur d’état étendu : 𝑋𝑒(k) = 𝑋(k)𝑃(k)

Objectif : reconstruire la perturbation en même temps que l’état Nécessite de faire des hypothèses sur la dynamique de la perturbation

𝑋𝑒(k+1)= 𝐹 2.𝐺𝑝1+ 𝐺𝑝0 −𝐺𝑝1

𝑂 2 −11 0

P(k+1)−P(k)=P(k)−P(k−1) Cas d’une perturbation de type rampe :

Objectif : reconstruire la perturbation en même temps que l’état Nécessite de faire des hypothèses sur la dynamique de la perturbation

P(k+1)=2𝛾P(k)−P(k−1) 𝛾 = cos(ωT)

Cas d’une perturbation de type sinusoïde :

𝑋𝑒(k+1)= 𝐹 2.𝐺𝑝1+ 𝐺𝑝0 −𝐺𝑝1

𝑂 2𝛾 −11 0

Observateurs à entrées inconnues

Temps continu

��̇�(t) = A.X(t) + 𝐵𝑢.U(t) + 𝐵𝑑.d(t)S(t) = C.X(t)

Comment construire un observateur dont le résultat soit indépendant de d(t)

��̇�(t) = N.Z(t) +M.U(t) +H.S(t) 𝑋𝑜(t) = Z(t) − E.S(t)

Hypothèse concernant la structure d’un tel observateur :

Peut-on trouver les matrices N, M, H, E telles que : 𝑋𝑜(t) − 𝑋(t) → 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 d(t) ?

Avec P = I + E.C Conditions à satisfaire (3 équations pour 4 « inconnues ») :

𝜀(t) = 𝑋(t) − 𝑋𝑜(t) = 𝑋(t) − Z(t) + E.S(t) = (I+E.C) X(t) − Z(t)

� 𝑃.𝐵𝑑= 0

𝑃.𝐵𝑢 − M= 0P.A − N.P−H.C = 0

Analysons : 𝜀̇ 𝑡 = �̇�(t) − 𝑋�̇� (t)

𝜀̇ 𝑡 = (I+E.C)(A.X(t) + 𝐵𝑢.U(t) + 𝐵𝑑.d(t)) − (N.Z(t) +M.U(t) +H.C.X(t))

𝜀̇ 𝑡 = N. 𝜀(t)+(P.A−N.P−H.C).X(t)+(𝑃.𝐵𝑢 − M).U(t) 𝑃.𝐵𝑑.d(t)

𝑃.𝐵𝑑= 0 (I + E.C).𝐵𝑑= 0

𝐸 = −𝐵𝑑 .𝑝𝑖𝑝𝑝( 𝐶.𝐵𝑑)

𝑃.𝐵𝑢 − M = 0 M = (I + E.C).𝐵𝑢

P.A − N.P−H.C = 0 P.A − N.(I + E.C)−H.C = 0

N = P.A − (N.E + H).C = P.A − K.C

On ne résout pas directement cette équation à deux inconnues : - On cherche K pour fixer les valeurs propres de (P.A – K.C), donc de N, ce qui conduit indirectement à N - Puis on résout H = K – N. E

Temps discret

�𝑋(k+1) = F.X(k) + 𝐺𝑢.U(k) + 𝐺𝑑.d(k)S(k) = C.X(k)

Comment construire un observateur dont le résultat soit indépendant de d(k)

�𝑍 (k+1) = N.Z(k) + M.U(k) + H.S(k) 𝑋𝑜(k) = Z(k) − E.S(k)

Hypothèse concernant la structure d’un tel observateur :

Peut-on trouver les matrices N, M, H, E telles que : 𝑋𝑜(k) − 𝑋(k) → 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 d(k) ?

Avec P = I + E.C Conditions à satisfaire (3 équations pour 4 « inconnues ») :

𝜀(k) = 𝑋(k) − 𝑋𝑜(k) = 𝑋(k) − Z(k) + E.S(k) = (I+E.C) X(k) − Z(k)

� 𝑃.𝐺𝑑= 0

𝑃.𝐺𝑢 − M = 0P.F − N.P − H.C = 0

Analysons : 𝜀(k+1) = 𝑋(k+1) − 𝑋𝑜(k+1)

𝜀(k+1) = (I+E.C)(F.X(k) + 𝐺𝑢.U(k) + 𝐺𝑑.d(k)) − (N.Z(k) +M.U(k) +H.C.X(k))

𝜀(k+1) =N. 𝜀(k) +(P.F − N.P − H.C).X(k) + (𝑃.𝐺𝑢 − M).U(k) + 𝑃.𝐺𝑑.d(k))

𝑃.𝐺𝑑= 0 (I + E.C).𝐺𝑑= 0

𝐸 = −𝐺𝑑 .𝑝𝑖𝑝𝑝( 𝐶.𝐺𝑑)

𝑃.𝐺𝑢 − M = 0 M = (I + E.C).𝐺𝑢

P.F − N.P−H.C = 0 P.F − N.(I + E.C)−H.C = 0

N = P.F − (N.E + H).C = P.F − K.C

On ne résout pas directement cette équation à deux inconnues : - On cherche K pour fixer les valeurs propres de (P.F – K.C), donc de N, ce qui conduit indirectement à N - Puis on résout H = K – N. E

Détection de défauts

Illustration sur un exemple : - Système de chauffage de quatre cellules couplées - Deux entrées de commande - Deux sorties mesurées - Défauts sur résistance thermique de paroi

Voir programme Matlab

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