View
25
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Filtres linéaires(1er ordre - 2ème ordre)
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ I - Intérêt de l’étude ; définitions générales :
Système linéaire électrique ou mécanique
(réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des
ondes lumineuses, …
Contraintes extérieures
Réponse du système
ve(t)=Emcoswt« Filtres »
mécaniques ou électriques
vs(t)=Smcos(wt+j)
L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponseharmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis àune entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation w.
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Filtre du 1er ordre :
ve(t)=EmcoswtFiltre du
1er ordrevs(t)=Smcos(wt+j)
( ) ( ) ( ) ( )1
s e e
Kv t H j v t v t
jw
w= =
+(Filtre passe-bas)
Filtre du 2ème ordre :
ve(t)=EmcoswtFiltre du
2ème ordrevs(t)=Smcos(wt+j)
2
2
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
1 2s e e
Kv t H j v t v t
j
ww w
w w
= =
− +
(Filtre passe-bas)
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Notations et définitions générales :
tjjsms
tjeme eeVtveVtv wjw == )(;)(
j est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée du filtre.
jw j
em
sm
e
s eV
V
v
vjH ==)(
H(jw) est la fonction de transfert en tension du filtre :
em
sm
V
VjHG == )()( ww G(w) est le gain réel
==
em
smdB
V
VGG log20)(log20)( ww GdB(w) est le gain en décibels
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Diagramme de Bode :GdB
j
Échelle logarithmique pour w
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
On pose :
1) Circuit (R,C) :
a) Aux bornes de C (filtre passe – bas) : étude qualitative
R
C
YA YB
ve vs
(Sortie ouverte)
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
es v
jCR
jCv
w
w
1
1
+
=
ww
jRCv
vjH
e
s
+==
1
1)(
RC
10 =w
0
1
1)(
w
ww
jv
vjH
e
s
+
==
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Le gain et le déphasage s’en déduisent :
2
0
1
1)(
+
=
w
w
wG0
tanw
wj −=
0cos j
− 0,
2
j
Etude asymptotique du gain :
dBGetG dB 01)(:)10
(1 0
0
ww
ww
w
−
0
00
0
log20)(:)10(1w
w
w
wwww
w
wdBGetG
( ) dBGetG dB 32log202
1)(: 00 −−== www
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Diagramme de Bode :
GdB
log(w / w0)
w0 / 100 w0 / 10 w0 10w0 100w0
Pente de -20 dB/décade
w0 est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3 dB
[0,w0] est la bande passante du filtre
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Diagramme de Bode :
j
log(ww0)
−
Filtre passe-bas
es vvPour = :10w
w
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
On pose :
1) Circuit (R,C) :
b) Aux bornes de R (filtre passe – haut) : étude qualitative
R
CYA YB
ve vs
(Sortie ouverte)
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
es v
jCR
Rv
w
1+
=
w
ww
jRC
jRC
v
vjH
e
s
+==
1)(
RC
10 =w
w
w
w
w
w
w
w0
0
0
1
1
1
)(
jj
j
v
vjH
e
s
−
=
+
==
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Le gain et le déphasage s’en déduisent :
2
01
1)(
+
=
w
w
wGw
wj 0tan =
0cos j
2,0
j
Etude asymptotique du gain :
00
0
0
log20)(:)10
(1w
w
w
ww
ww
w
wdBGetG
dBGetG dB 01)(:)10(1 00
wwww
w
( ) dBGetG dB 32log202
1)(: 00 −−== www
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
GdB
log(ww0)
Diagramme de Bode :
Pente de
20 dB/décade
w0 est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3
dB
[w0,∞] est la bande passante du filtre
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
j
log(ww0)
Diagramme de Bode :
Filtre passe-haut
es vvPour = :10w
w
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
On pose :
2) Circuit (R,L) :
a) Aux bornes de R (filtre passe – bas) : étude qualitative
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
es vjLR
Rv
w+=
w
w
R
Lj
v
vjH
e
s
+
==
1
1)(
L
R=0w
0
1
1)(
w
ww
jv
vjH
e
s
+
==
R
LYA YB
ve vs
(Sortie ouverte)
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
On pose :
es vjLR
jLv
w
w
+=
w
ww
R
Lj
R
Lj
v
vjH
e
s
+
==
1
)(
L
R=0w
w
w
w
w
w
w
w0
0
0
1
1
1
)(
jj
j
v
vjH
e
s
−
=
+
==
L
RYA YB
ve vs
(Sortie ouverte)
2) Circuit (R,L) :
b) Aux bornes de L (filtre passe – haut) : étude qualitative
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
éqéq
éq
e
s
yRRz
z
v
vjH
+=
+==
1
1)( w
L
RYA
YB
vevsRu
3) Cas d’une sortie « non ouverte » :
On reprend l’exemple du circuit (R,L) : la bobine est reliée à une résistance d’utilisationRu.
uéq
éq RjLy
z
111+==
w
On se ramène à la règle du diviseur de tension :
w
w
L
Rj
R
RjH
u
−
+
=
1
1)(
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Soit l’expression de la fonction de transfert :
w
w1
)(1
1)(
LRR
RRj
RR
RjH
u
uu
u
+−
+=
u
u
u
u
RR
RA
LRR
RR
+=
+= ;
)(0w
On pose :
w
ww
01
1)(
j
AjH
−
= Fonction de transfert « normalisée » d’un filtre passe – haut, de gain maximum A et
de pulsation de coupure w0.
Remarque : 1)(
, 0 →→+
=→ AetL
R
LRR
RRRsi
u
uu w
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
1) Circuit (R,L,C) série :
a) Aux bornes de C en sortie ouverte (filtre passe – bas) :
étude qualitative
C
i
ve
L
R
vsww
ww
ww
jRCLC
jCjLR
jCjH
+−=
++
=21
1
1
1
)(
La règle du diviseur de tension donne :
020
2
21
)(
w
w
w
ww
j
KjH
+−
=
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Par identification :
020
2
21
1)(
w
w
w
ww
j
jH
+−
=
1;2;1
0
20 === KjjRC
LC w
www
D’où :
1;22
1;
100 ==== K
L
CRRC
LCww
2
0
2
20
2
21
1)(
+
−
=
w
w
w
w
wG
)0,,0(sin
1
2
tan
20
2
0 jj
w
w
w
w
j −
−
−=
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Il y a « résonance de tension aux bornes de C (« Résonance de charge »), c’est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation wr du GBF telle que :
2
1avec2
0 21 ww −=r
Et la tension maximale aux bornes de C à la « résonance de charge » est :
merms VV ,2
,
12
1)(
w
−=
En se référant à l’étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation), on obtient :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement (Q = 1/2, et noter que s’identifie au coefficient x utilisé en SI) :
2
1
2
11
20 −= QavecQ
r ww
merms V
Q
QV ,
2
,
4
11
)(
−
=w
Remarque : pour de faibles amortissements ( «faible» et Q «grand»), alors :
merms QVV ,, )( w
Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.
0ww r et
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Comportement asymptotique du gain :
Dans ce dernier cas, on obtient une droite de pente -40 dB/décade.
Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,w0/10] et [10w0,∞].
Dans l’intervalle [w0/10,10w0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de (existence ou non d’une résonance).
2
0
2
20
2
21
1)(
+
−
=
w
w
w
w
wG
dBGetGPour dB 01)(),10
(1 0
0
ww
ww
w
−
0
2
00
0
log40)(),10(1w
w
w
wwww
w
wdBGetGPour
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
GdB
log(ww0)
= 0,02
= 0,05
= 0,2
= 0,6
= 1
= 3
= 5
Pente de -40 dB/décade
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
j
−
−
log(ww0)
= 0,02
= 0,05
= 0,1
= 0,2
= 0,6
= 1
= 3
= 5
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
1) Circuit (R,L,C) série :
b) Aux bornes de R en sortie ouverte (filtre passe – bande) :
étude qualitative
−+
=
++
=
ww
ww
w
CL
R
j
jCjLR
RjH
11
1
1)(
La règle du diviseur de tension donne :
Kj
K
j
j
jH
−+
=
+−
=
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w0
0020
2
0
21
1
21
2
)(
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :
C
ve(t) R vs
L
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Par identification :
1;2
;12
0 === KL
CR
LCw
D’où (rapport membres à membres) :
1;2
1;
2
1 0
0
=== KRCR
L
w
w
−+
=
+−
=
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w0
0020
2
0
21
1
21
2
)(j
j
j
jH
)2
,2
,0(cos2
1tan 0
0
−
−−=
jj
w
w
w
w
j
2
0
024
11
1)(
−+
=
w
w
w
w
wG
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Il y a « résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité »), correspondant à une tension aux bornes de R maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre w0 du circuit (RLC) série :
LC
10 =w
Et la tension maximale aux bornes de R à la « résonance d’intensité » est :
Résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité ») :
mems VV ,, =
Bande passante : (voir définition et calcul en mécanique)
QL
Rcc
002;
12
wwwwww ===−=
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Comportement asymptotique du gain :
Dans les 2 cas, on obtient des droites de pente ±20 dB/décade.
Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,w0/10] et [10w0,∞], en tenant compte de la valeur de .
Dans l’intervalle [w0/10,10w0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de .
)2log(20log202)(),10
(100
0
0
w
w
w
ww
ww
w
w+
dBGetGPour
2
0
024
11
1)(
−+
=
w
w
w
w
wG
)2log(20log202)(),10(10
00
0
w
w
w
wwww
w
w+
− dBGetGPour
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
GdB
log(ww0)
= 0,02
= 0,05
= 0,1
= 0,2
= 0,6
= 1
= 3 20 dB/décade
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
j
−
+
log(ww0)
= 0,02
= 0,3
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
1) Circuit (R,L,C) série :
c) Aux bornes de L en sortie ouverte (filtre passe – haut) : étude qualitative
ww
w
ww
ww
jRCLC
LC
jCjLR
jLjH
+−
−=
++
=2
2
11)(
La règle du diviseur de tension donne :
K
j
jH
020
2
20
2
21
)(
w
w
w
w
w
w
w
+−
−
=
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :
C
ve(t)
R
vsL
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :
1;22
1;
100 ==== K
L
CRRC
LCww
020
2
20
2
21
)(
w
w
w
w
w
w
w
j
jH
+−
−
=
jj += −− baspassehautpasse
2
0
2
2
20
2
20
2
41
)(
+
−
=
w
w
w
w
w
w
wG
Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bas
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
GdB
log(ww0)
= 0,02
= 3
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
j
log(ww0)
= 0,02
= 3
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
1) Circuit (R,L,C) série :
d) Aux bornes de (C + L) en sortie ouverte (filtre réjecteur ou coupe - bande) :
étude qualitative
ve
ww
w
ww
ww
wjRCLC
LC
jCjLR
jLjC
jH+−
−=
++
+
=2
2
1
1
1
1
)(
La règle du diviseur de tension donne :
K
j
jH
020
2
20
2
21
1
)(
w
w
w
w
w
w
w
+−
−
=
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :C
L
R
vs
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :
1;22
1;
100 ==== K
L
CRRC
LCww
−
+
=
+−
−
=
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
0
020
2
20
2
21
1)(
21
1
)(
jjH
j
jH
jj = −baspasseréjecteur
Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bande
2
0
241
1)(
−
+
=
w
w
w
w
wG
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
GdB
log(ww0) = 0,02
= 3
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
j
−
log(ww0)
= 0,02
= 3
Tracé du diagramme de Bode :
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
2) Conclusion sur les filtres du 2nd ordre :
K
Q
jK
j
jH
020
2
020
2
121
)(
w
w
w
w
w
w
w
ww
+−
=
+−
=
2
0
2
000
11
21
+
=
w
w
w
w
w
w
w
w jjj
Qj
PASSE - BAS
PASSE - BANDEPASSE - HAUT
REJECTEUR
w0 : pulsation propre du filtre ; Q : facteur de qualité et : facteur d’amortissement ( = 1/2Q).
Ces grandeurs dépendent de la nature du filtre (voir exemples à suivre).
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
3) Quelques exemples de filtres du 2nd ordre :
(Pont de Wien)
Animation Java
(Wien, Colpitts, …)
Voir également feuilles de TD
Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Olivier GRANIER
➢ III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :
4) Circuit parallèle (RLC) en sortie « non ouverte » :
C
ve(t)
R
vsL Ru
uéq R
jCjL
y11
++= ww
éqe
s
yRv
vjH
+==
1
1)( w
−+
+
=
ww
w
LCjR
R
RjH
u
11
1)(
Etude qualitative
u
u
u
u
u
RR
RR
CC
L
RR
RR
RK
LC
+==
+=
+==
12;
11
2
1
;1
0
0
ww
w
Recommended