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Chapitre IV
LES efforts DE la Rsistance des Matriaux
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 2010-
1
1 notions de forces internes : 1.1- Introduction :
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
2
1.2- Relation entre forces internes et efforts externes : F1 F2coupe
F1 q
F2
F1df 1
F2 qdf 2 df 3 df i -df 2 -df 3 -df i "D" -df 1
RA
RB
RA
" G"
On note :
{F} {F}
G
: ensemble des forces externes appliques sur la partie gauche " G " : ensemble des forces externes appliques sur la partie droite " D "
D
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
3
1.3- Rduction des forces internes :
df i1 = df iX + df iY + df iZF1
M1
q
F2 M2
Y
df i1 df iyRA RB
df iz df iXX
x
M
CZ
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
4
Y
FYMz
FZZ
C
My
X
FXMx
S : section de coupeENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 5
2 les efforts internes dans le cas plan : 2.1- Dfinition du cas plan :
Poutre plan moyen
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
6
Y
N(x) : effort normal (selon X) T(x) : effort tranchant (selon Y) TMCX
M(x) : moment de flexion (autour de Z)
NZ
Rduction des efforts intrieurs dans le cas plan S : section de coupexENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 7
Exemple sur leffet du moment flchissant :
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
8
Exemples sur leffet de leffort tranchant :
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
9
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
10
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
11
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
12
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
13
Y
TC df i C
M
X
NRsultantes des forces internes
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
14
2.2- Dtermination des efforts internes - Convention de signes : q FX HB VA VB
l1HA
x
a)- Rduction des forces situes gauche de (S) :
l1qHA
T>0 M> 0 N>0
X
VA
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
15
b)- Rduction des forces situes droite de (S) :M> 0 N>0
FHB VBT>0
X
3- Exemples de base : 3.1- Exemple 1 : qX A
Donnes : q, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)
l
B
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
16
1re tape : calcul des ractions aux appuis : qHA A VA X HB
lVB
B
2me tape : qHA
T M N
q.x x/2HA
T M N
VA
VAx
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
17
- Rcapitulatif :
N(x) = 0 T(x) = q. l/2 - q.x M(x) = q lx/2 - q.x2/2
- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)
0A
lB
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
18
- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)
ql/2= VA
0A
+
l/2
-
lB
x
- ql/2= - VB - Diagramme du Moment flchissant M(x) :
0
l/2
l
x
A
+q.l 2/8
B
M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 19
- Remarques :
- T(x) = dM(x) dx - Si M(x) est de degrs n alors T(x) est de degrs n-1, - Si T(x) passe par zro de manire continue alors M(x) admet un extremum (minimum ou maximum), - On choisit de prendre laxe M(x) vers le bas pour que diagramme du moment flchissant renseigne sur lallure de la dforme.
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
20
qFibre suprieure Zone comprime
Fibre infrieure
Zone tendue
- Si la poutre est en bton : Bton : - bonne rsistance la Compression, - faible rsistance la Traction : apparition des fissures dans la zone tendue. Il faut donc la renforcer par un matriau qui rsiste la traction : lacierArmature de montage
Armature principale CadresENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 21
- Les cadres :
Empcher les fissures engendres par leffort tranchant proximit des appuis Relier les armatures
- Si M(x)> 0 : les fibres suprieures sont comprimes, les fibres infrieures sont tendues. - Si M(x)< 0 : les fibres infrieures sont comprimes, les fibres suprieures sont tendues.
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
22
3.2- Exemple 2 :l/2
FX
A
l
B
Donnes : F, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)
1re tape : calcul des ractions aux appuis : FHA A VA X HB
lVB
BENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 23
2me tape : effectuer une coupe en x et considrer soit les forces de gauche soit celles de droite. Dans cet exemple, il faut faire deux coupes : FS1 S2
A
l
B
1er Cas : Si 0 < x < l/2T M N
N(x) = 0 T(x) = VA
HA
VA
M(x) = VA.xxENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 24
2me Cas : Si l/2 < x < l : on considre les forces de droite :N M T
N(x) = 0 T(x) = - VB M(x) = VB.(l-x)
HB
l-x
VB
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
25
- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)
0A
lB
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
26
- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)
F/2= VA
0A
+
l/2
-
lB
x
- F/2= - VB - Diagramme du Moment flchissant M(x) :
0A
l/2
lB
x
+F.l/4
Point anguleux
M(x)
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
27
- Remarques :
- Dans le cas o T(x) passe par O dune manire discontinue (saut de T(x)), le diagramme de M(x) prsente un point anguleux, - On a un saut de T(x) au niveau de la section o on a une charge concentre. La valeur de ce saut est gale la charge concentre, - Lorsque le saut fait passer T(x) des valeurs positives vers celles ngatives, le point anguleux de M(x) se prsente sur un chapeau renvers.
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
28
3.3- Exemple 3 :
Poutre console uniformment charge.
qX A
Donnes : q, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)
l
B
1re tape : calcul des ractions lappui A :MA HA A VAENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 29
qX
l
B
2me tape : Faire une coupe en x et considrer les forces de droite : qxN M T
N(x) = 0 T(x) = q. (l x) M(x) = - q (l x)2/2
l
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
30
- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)
ql= VA
0A
+l
lB
x
- Diagramme du Moment flchissant M(x) :- q. 2/2
l
0A M(x)
l
lBENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
x
31
- Dforme de la poutre :Poutre avant application de q Poutre dforme
A
l
B
- Pour une poutre en bton arm (B. A.) :
Aciers principaux
Aciers de montage
CadresENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 32
3.4- Exemple 4 :
qA
Donnes : q, l,a Question : Calculer N(x), T(x), M(x)
l
B
a
1re tape : calcul des ractions aux appuis : qA VA
l
B
HB a
VB
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
33
2me tape : effectuer une coupe en x et considrer soit les forces de gauche soit celles de droiteS1 A S2
l
B
a
1er Cas : Si 0 < x < lT
q.xM N
T M N
q
x/2
N(x) = 0 T(x) = VA - q.x
VA
VAx
x
M(x) = VA.x - q.x2/234
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
2me Cas : Si l < x < l + a : on considre les forces de droite. qxN M T
N(x) = 0 T(x) = q.( l + a x) M(x) = - q.( l + a x)2/2
l+a
- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)
0A
l+a lB a
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
35
- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x) VA
qa
0A
+
VA/q
-
+B
l+a
x
VA- ql - Diagramme du Moment flchissant M(x) :- q.a2/2
0A
+
B
l+a
x
M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 36
- Dforme :
Zone tendue
0A B a
l+a
x
Point dinflexionZone comprime Zone tendue Zone tendue Zone comprime
A C1
B
a C2
ACoupe C1
l
B
a
Coupe C237
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- Exercice 1 :
qA
1- Donner la nature de poutre ? 2- Tracer lallure des sollicitations T et M.
l
B
a
1) 2) Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x) VA
qa
0VA- ql
+
VA/q
-
+
l+a
x
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
38
3) Diagramme du Moment flchissant M(x) :T(x) VA
qa
+VA- ql
VA/q
-
+
l+a
x
- MA
- q.a2/2
-
+
-
l+a
x
M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 39
- Dforme :
- Exercice 2 : Poutre bi-encastre q
Tracer la dforme et le diagramme de M(x).A
l
B
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
40
- Dforme :Hachurer les zones tendues A B
- Diagramme du Moment flchissant M(x) : qMA HA HB MB
Par symtrie :ql 2 MA = MB = 12
AVA
l
BVB
V A = VB =
ql 2
M(x) = - MA + VA.x - q.x2/2ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 41
-MA = ql
2
12
-
A
+
ql 2 8
Bql ql 2 8 122
M=
M(x)
- Exercice 3 : qA
l
B
Rotule (ne transmet pas de moments : M=0)
Tracer le diagramme de M(x).ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 42
-MA = - ql
2
8
-
ql 2 8
ql 2 -MB = 8
B
A
M(x)
Remarque : Appuis liaisons et moments :
Appui simple dextrmit ou Appui double dextrmit Encastrement Liaison rotule Appui simple double intermdiaire
M=0 M 0 et M |M B|
M trave h A > h B hA h B
Forme constructive dun pont qui suit lallure du moment flchissantENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 49
- Exemple 2: Pont mtalliqueA B
l
Rgle 1: structure en treillis Rgle 2 :
q lB
A
l
x
+M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 50
3me Rgle : qA
l + a = cte
l
B
a
1er Cas :A
+
B
Mmax = M trave >> |M appui|
M(x)
2me Cas :A
+
B
Mmax = |M appui| >> M trave
M(x)
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
51
3me Cas :A
+
B
M trave |M appui|
M(x) La longueur optimale de la console (longueur avantageuse) est donne par la relation : M trave |M appui| Cette relation permet davoir le moment flchissant maximal sollicitant la poutre le plus petit possible.
- Exemple : qa l L a 1- Donner lallure de M et de T. 2- Allure de la dforme en hachurant les zones tendues. 3- Trouver la longueur avantageuse de la console ? A.N : L = 10 m.ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 52
5- Les portiques :Les portiques sont composs de fermes (ou traverses) et de poteaux. Les principaux schmas statiques peuvent tre regroups en deux catgories : - Portiques pieds de poteaux articuls, - Portiques pieds de poteaux encastrs.
- Exemple 1 : Portique pieds de poteaux encastrs, qB C
-
+
-
-
h AEncastrement
D l
+ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
+53
Encastrement Diagramme des moments de flexion
- Calcul du moment flchissant pour le poteau AB :
- Calcul du moment flchissant pour la traverse BC :
- Exemple 2 : Portique pieds de poteaux articuls, qB C
-
+
-
-
h AArticulation
D l
ArticulationENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
Diagramme des moments de flexion
54
- Exemple 3 : qA
l
B
A
+q.l 2/82
B
q-MA = ql12
-
A
l
B
A
+ l
ql 2 8 ql 2 ql 2 M= 8 12
B
q
ql 2 -MA = 8
ql 2 -MB = 8 ql 2 8
A
B55
l
B
AENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
qB C
-
-
-
h AEncastrement
D l
+
+
Encastrement Diagramme des moments de flexion
ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.
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