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Les fractions et les nombres
décimaux
Cycle 3: CM1-CM2
Mars 2016BW FR
2
L’objectif de la démarche
• Améliorer les apprentissages
mathématiques des élèves dans le domaine
des fractions et des nombres décimaux et
vaincre la permanence des difficultés des
élèves dans leur compréhension des
fractions et des nombres décimaux .
3
Quelle permanence des difficultés ?
• « Par rapport à 7, quel est le nombre
le plus proche : 6,9 ou 7, 08 ? »
Classe CM1 CM2 6e 5e
Réussite 22% 30% 27% 29%
4
La double problématique
• Comment faire surmonter aux élèves les difficultés rencontrées lors de la découverte des nombres décimaux ?
• Comment faire progresser les élèves dans leur conceptualisation des fractions et des nombres décimaux ?
5
Plan de l’animation
• I. Les difficultés
• II. Les contraintes
• III. Les réponses
6
I. Les difficultés
• 1. Les changements mathématiques.
• 2. Les obstacles liés aux représentations des
élèves.
• 3. Les connaissances antérieures nécessaires.
7
1. Les difficultés mathématiques
- La notion de successeur ou de prédécesseur n’a pas de
sens : entre deux décimaux on peut toujours en intercaler
autant que l’on veut.
- Les règles de comparaison, propres aux décimaux, ne
sont pas les mêmes que pour les entiers : il ne s’agit pas de
considérer la fraction ou le nombre décimal comme un
couple d’entiers.
- Le sens des opérations est à reconsidérer pour la
multiplication et de la division : l’utilisation du signe « x »
ne signifie pas l’agrandissement et l’utilisation du signe
« : » ne signifie pas que l’on est dans une situation de
réduction. De plus tout quotient peut être approché
d’aussi près que l’on veut.8
2. Les obstacles liés aux
représentations des élèves
9
- Les élèves confondent partage égalitaire et partage non égalitaire.
- Les élèves ne prennent pas en compte l’unité donnée pour écrire la
fraction d’une représentation géométrique donnée (le plus souvent
dans le cadre de fractions supérieures à 1).
- Les élèves confondent l’écriture fractionnaire et le nombre qu‘elle
représente.
- Les élèves ne prennent pas en compte l’échelle donnée pour lire la
graduation d’un point sur une droite graduée.
- Les élèves ne respectent pas la nécessité d’un partage à parts égales
pour placer un nombre sur une droite graduée.
- Les élèves ne savent pas lire une fraction.
- Les élèves ne savent pas écrire une fraction.
- Les élèves ne savent pas reconnaître l’égalité de deux fractions.
- Les élèves ne savent pas comparer deux fractions.
- Les élèves confondent l’écriture a/b et a,b.10
- Les élèves n’admettent pas qu’un nombre entier est un nombre décimal.
- Les élèves n’admettent pas qu’un nombre écrit sous forme de fractions décimales
est un nombre décimal.
- Les élèves n’appliquent pas le système de la numération de position aux chiffres
après la virgule (exemple : après 3,9 on trouve 3,10 puis 3,11 etc...
- Les élèves appliquent aux nombres décimaux les règles qui fonctionnent avec les
nombres entiers.
- Les élèves ne comprennent pas que les notions de prédécesseur et de successeur
n’ont aucun sens pour les nombres décimaux et qu’on toujours intercaler un
nouveau nombre entre deux nombres.
- Les élèves comparent les nombres décimaux en comparant la longueur de leur
écriture (leur nombre de chiffres).
- Les élèves croient qu’un nombre décimal est composé de deux parties distinctes
(disjointes) qu’ils peuvent traiter indépendamment.
- Les élèves confondent dizaine et dixième, centaine et centième.
- Les élèves ne font pas de relation entre la désignation orale et la désignation écrite
des nombres décimaux (4 unités et 5 centièmes est écrit 4,5).
- Les élèves ne prennent pas en compte des zéros situés entre la virgule et la partie
décimale (ils pensent que les zéros à droite de la virgule sont inutiles : 24,1 = 24,01
= 24,001).
11
3. Connaissances mathématiques
préalables à l’étude des fractions et
des nombres décimaux
12
ORGANISATION DE LA SEQUENCE 1 : ACTIVITES PREALABLES
Cette séquence doit permettre aux élèves de construire ou de
reconstruire l’ensemble des connaissances suivantes :
Dans le domaine « Nombres et calcul », il faut :
13
- maîtriser les tables de multiplication au moins par 2, 3, 5, 10 ;
- maîtriser la multiplication ou la division par des puissances de 10 ;
- être capable de trouver des multiples et des diviseurs d’un nombre donné ;
- connaître et utiliser les expressions comme « n fois plus » et
« n fois moins » ;
- savoir faire la différence entre partage égalitaire et non égalitaire ;
- connaître la notion de graduation ;
- savoir placer et repérer un nombre entier sur une droite graduée ;
- contrôler les écarts entre les nombres sur la droite numérique.
Dans le domaine « Géométrie », il faut :
- savoir partager un segment de longueur
donnée en plusieurs segments de même
longueur.
14
ORGANISATION DE LA SEQUENCE 6 : ENTRETIEN : Rationnel
mesure – Rationnel partage – Décimal abscisse
Cette séquence doit permettre aux élèves de reconstruire l’ensemble des connaissances
suivantes :
15
- connaître la notion de fraction ;
- connaître l’écriture fractionnaire d’une représentation
graphique ou géométrique ;
- nommer les fractions en utilisant le vocabulaire adéquat
(numérateur, dénominateur,
demi, tiers, quart, dixième, centième, etc..) ;
- savoir reconnaître des fractions égales ;
- savoir comparer des fractions ;
- savoir décomposer une fraction décimale en somme de fractions
décimales ou en somme d’un entier et d’une fraction décimale
inférieure à 1 ;
- trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas
des entiers naturels ;
- connaître la notion de graduation régulière (avec le choix d’une unité) ;
- savoir placer et repérer quelques fractions simples sur une droite
graduée ;
- connaître la notion de numération de position en base dix (savoir
effectuer des échanges et des groupements par dix) ;
- connaître la notion de nombre décimal et plus précisément le sens du
décimal abscisse ;
- savoir passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture à virgule d’un
nombre décimal et inversement ;
- savoir comparer, encadrer, intercaler des nombres décimaux
16
Durant cette séquence, des exercices d’entraînement seront également proposés
pour que les élèves sachent effectuer la somme de deux fractions (Programmes
2008).
Le maître pourra reprendre les séances de la séquence 1 et faire additionner
certaines fractions (les demis, quarts, dixièmes et centièmes).
II. Les contraintes
• 1. Les contraintes des programmes
• 2. Les contraintes didactiques
17
1. Les contraintes des programmes
Quid des nouveaux programmes?
Extraits…
18
Nombres et calculs
Au cycle 3, l’étude des grands nombres permet d’enrichir la compréhension
de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et
de mobiliser ses propriétés lors de calculs.
Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux
nombres introduits pour pallier l’insuffisance des nombres entiers,
notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur
une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à
propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des
relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités,
dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes,
centièmes… Les caractéristiques communes entre le système de numération
et le système métrique sont mises en évidence. L’écriture à virgule est
présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou
d’une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature
des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se
différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul.19
Attendus de fin de cycle
• Utiliser et représenter les grands nombres
entiers, des fractions simples, les nombres
décimaux.
• Calculer avec des nombres entiers et des
nombres décimaux.
• Résoudre des problèmes en utilisant des
fractions simples, les nombres décimaux et
le calcul.20
Connaissances et compétences associées Exemples de situations, d’activités et de
ressources pour l’élève
Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les
nombres décimaux
Comprendre et utiliser la notion de
fractions simples.
Écritures fractionnaires.
Diverses désignations des fractions
(orales, écrites et décompositions).
Repérer et placer des fractions sur une
demi-droite graduée adaptée.
Une première extension de la relation
d’ordre.
Encadrer une fraction par deux
nombres entiers consécutifs.
Établir des égalités entre des
fractions simples.
Utiliser des fractions pour :
» rendre compte de partage de
grandeurs ou de mesure de grandeurs
dans des cas simples,
» exprimer un quotient. Situation
permettant de relier les formulations la
moitié, le tiers, le quart et 1/2 de, 1/3 de,
1/4 de, etc. (fractions vues comme
opérateurs).
Par exemple, en utilisant une demi-
droite graduée, les élèves établissent que
5/10 = 1/2, que 10/100 = 1/10, etc.
Écrire une fraction sous forme de
somme d’un entier et d’une fraction
inférieure à 1. 21
Connaissances et compétences associées Exemples de situations, d’activités et de
ressources pour l’élève
Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres
décimaux
Comprendre et utiliser la notion de nombre
décimal.
» Spécificités des nombres décimaux.
Associer diverses désignations d’un nombre
décimal (fractions décimales, écritures à virgule
et décompositions).
» Règles et fonctionnement des systèmes de
numération dans le champ des nombres
décimaux, relations entre unités de numération
(point de vue décimal), valeurs des chiffres en
fonction de leur rang dans l’écriture à virgule
d’un nombre décimal (point de vue positionnel).
Repérer et placer des décimaux sur une demi-
droite graduée adaptée.
Comparer, ranger, encadrer, intercaler des
nombres décimaux.
» Ordre sur les nombres décimaux..
Situations nécessitant
» d’utiliser des nombres décimaux pour
rendre compte de partage de grandeurs ou
de mesure de grandeurs dans des cas
simples.
» d’utiliser différentes représentations :
mesures de longueurs et aires, une unité
étant choisie,
» de faire le lien entre les unités de
numération et les unités de mesure
(dixième/dm/dg/dL,
centième/cm/cg/cL/centimes d’euros, etc.).
La demi-droite numérique graduée est
l’occasion de mettre en évidence des
agrandissements successifs de la graduation
du 1/10 au 1/1000.
22
Repères de progressivité
Fractions et décimaux : Les fractions sont à la fois objet
d’étude et support pour l’introduction et l’apprentissage des
nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le
CM1 l’étude des fractions simples (comme 2 _ 3 ; 1 _ 4 ; 5 _ 2
) et des fractions décimales. Du CM1 à la 6e, on aborde
différentes conceptions possibles de la fraction, du partage de
grandeurs jusqu’au quotient de deux nombres entiers, qui sera
étudié en 6e. Pour les nombres décimaux, les activités peuvent
se limiter aux centièmes en début de cycle pour s’étendre aux
dix-millièmes en 6e.
23
Proposition de progression pour
la rentrée 2016
• a. La progression CM1
• b. La progression CM2
24
a. La progression CM1
25
Fractions
- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le
vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième.
- Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de
codage de mesures de grandeurs.
Nombres décimaux
- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale
en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème).
- Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée,
. les comparer, les ranger,
. les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,
. passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et
réciproquement.
Calcul
- Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10,
100, 1 000.
- Addition et soustraction de deux nombres décimaux.
- Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier.
26
b. La progression CM2
27
Fractions
- Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction
inférieure à 1.
- Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions.
Nombres décimaux
- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en
fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème).
- Savoir :
. les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence,
. les comparer, les ranger,
. produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant
10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...
- Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième
près.
Calcul
- Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les
nombres entiers et décimaux.
- Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000.
- Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers
ou décimaux.
- Division d’un nombre décimal par un nombre entier.
28
2. Les contraintes didactiques
• a. L’écriture sous forme de quotient.
• b. L’écriture sous forme d’une somme.
• c. L’écriture sous forme d’un produit.
29
a. L’écriture sous forme d’un
quotient
30
14
5
5 sens de la fraction
• Rapport ou division-quotition
• Fractionnement de l’unité
• La proportion
• Rationnel
• Division-partition de la pluralité
31
i – La proportion
• Les nombres 14 et 5 renvoient à des grandeurs
différentes. La fraction désigne une proportion,
elle est souvent définie par la formulation « 14
pour 5 ».
• On peut ainsi interpréter 14/5 comme :
- le fait de faire 14 kilomètres en 5 minutes (une
vitesse) ou de prendre 14 cuillères de sucre pour
5 cuillères de farine (proportion).
32
ii – La division-groupement ou le
rapport
- Les nombres 14 et 5 renvoient à des grandeurs de
même nature. La fraction désigne un rapport, elle est
souvent définie par la formulation « en 14 combien
de fois 5 ? ». Il est lu « 14 divisé par 5 ».
On peut ainsi interpréter 14/5 comme :
- la solution de l’équation 5x ? = 14.
- le quotient décimal de la division de 14 par 5 (ou
14 divisé par 5).
33
• Le nombre 14 renvoie à une grandeur alors que le
nombre 5 est sans dimension. La fraction désigne
une division-partage de la pluralité, elle est
souvent définie par la formulation « 14 partagé en
5 parts égales » et est lu « le cinquième de 14 ».
• On peut ainsi interpréter 14/5 comme :
- le fait de prendre 14 fois la grandeur-unité et de
réaliser ensuite un partage en 5 parts égales.
iii – La division-partage
34
iv – Le fractionnement de l’unité
Le nombre 14 est sans dimension et il opère sur 1/5. La
fraction désigne un fractionnement de l’unité et est
souvent définie par la formulation « 14 cinquièmes ».
- On peut ainsi interpréter 14/5 comme :
- le fait de partager une grandeur-unité en 5 parties
égales et d’en prendre 14 morceaux (14 fois 1/5 de l’unité)
35
v – Le rationnel
• Le nombre rationnel compris en 2 et 3 qui peut
s’écrire 2,8.
36
Au cycle 3
• Deux situations de référence conduisent à une utilisation de la fraction telle qu’elle est définie dans le fractionnement de l’unité :
– des situations de comparaison conduisant à la mesure de longueur dans lesquelles la fraction prendra un sens que nous désignerons par rationnel-mesure.
– des situations de fractionnement conduisant à la mesure d’aire dans lesquelles la fraction prendra un sens que nous désignerons par rationnel-partage.
37
b. L’écriture sous forme d’une
somme
Le nombre décimal peut également s’écrire sous
la forme d’une somme explicite (n = 2 + 8/10 +
5/100) ou implicite (n = 2,85 et dans ce cas 8 est
considéré comme 8 dixièmes et 5 comme 5
centièmes). Le nombre décimal est alors présenté
sous la forme d’une somme (de fractions
décimales) ou sous celle d’une écriture à virgule.
38
Au cycle 3
Deux situations de référence conduisent à une utilisation du nombre décimal sous cette forme de somme :
• des situations d’approximation de repérage de points sur la droite numérique dans lesquelles le décimal prendra un sens que nous désignerons par décimal-abscisse.
• des situations d’approximation de mesure de longueur de segment dans lesquelles le décimal prendra un sens que nous désignerons par décimal-mesure et qui engendrent les subdivisions successives de l’unité de mesure.
39
c. L’écriture sous forme d’un
produit
Le nombre décimal peut également s’écrire sous la forme d’un
produit. Ce produit est implicite puisque la puissance de dix est
éliminée par le choix de l’unité (n= 2,85 m = 285 x 10-2 m = 285
cm) Le nombre décimal ainsi exprimé permet la mesure d’une
longueur en référence au système métrique. La situation de
référence qui correspond à cette utilisation du nombre décimal est
la situation de mesure des grandeurs familières dans lesquelles le
décimal prendra un sens que nous désignerons par décimal-
système métrique.
40
III Les réponses
La découverte des concepts de fractions et de nombres
décimaux par les élèves va suivre la même chronologie que la
découverte de ces nouveaux nombres par l’Homme.
41
Un peu d’histoire• C’est vers 3000 avant J.-C que l’on trouve chez les scribes égyptiens la
symbolisation de fractions unitaires c’est-à-dire des « fractions de numérateur
1 ».
• Et dès 2000 avant J.-C, les Babyloniens utilisaient une écriture mathématique
qui leur permettait de représenter des grands nombres et certaines fractions
(1/120 ; 1/60 ; 1/30 ; 1/10 ; 1/5 ). L’utilisation de ces fractions particulières
découle du fait que leur système de numération n’était pas décimal comme le
nôtre mais sexagésimal c’est-à-dire en base 60.
• La notation fractionnaire avec la barre est un héritage des Arabes. Le Perse
Abu l-Wafa (940 - 998) a donné un statut de nombre à tout rapport de
grandeurs.
• Jamshid al Kashi (1380 - 1429) a été le premier à donner une définition des
fractions décimales. Il a montré comment décomposer toute fraction en somme
de fractions décimales.
• Et plus tard, le Belge Simon Stevin (1548 - 1620) a donné naissance aux
nombres décimaux dont l’écriture en ligne a grandement facilité les calculs.
42
43
Pour construire les chemins d’apprentissage, il s’agira donc
de répondre: - à des situations de comparaison conduisant à la mesure de
longueur,
- à des situations de fractionnement conduisant à des
mesures d’aire,
- à des situations d’approximation de repérage de points,
- à des situations d’approximations de mesure de longueur,
- à des problèmes de division-partage
- à des problèmes de division-groupement.
- Par ailleurs, la découverte dans un cadre géométrique
d’un concept sera suivie par son utilisation dans un cadre
numérique puis son réinvestissement dans un cadre
graphique ou inversement.
• Sept situations de référence :
• - Le jeu des segments
• – La droite graduée
• – Les feuilles et enveloppes
• – Les détectives
• – Le carré d’aire donnée
• – Les feuilles blanches
• – L’agrandissement et la réduction d’un
puzzle
44
Programmation proposée
45
46
Situations de
référence
Techniques
opératoiresP
RO
GR
AM
MA
TIO
N
CM
1Période 1
Séquence 1 : Activités préalables
Période 2
Séquence 2 :
La fraction: un nombre pour comparer des longueurs (Rationnel
mesure)
La fraction: un nombre pour fractionner l’unité en parts égales
(Rationnel partage)
Le jeu des segments
La droite graduée
Les feuilles
(enveloppes)
Période 3 Séquence 3 :
La fraction décimale: un nombre pour approximer un point sur la
droite graduée ( Décimal abscisse)Les détectives 1 et 2
Période 4
Séquence 4 :
Le nombre décimal: un nombre pour approximer un point sur la
droite graduée (Décimal abscisse), construction l’intérêt de l’écriture à
virgule
Les détectives 3Addition et
soustraction de 2
nombres décimaux
Période 5 Séquence 5 :
Comparer – Encadrer – Intercaler des nombres décimaux
Multiplication d’un
décimal et d’un entier
et division décimale de
2 entiers
CM
2
Période 1Séquence 6 :
Entretien : Rationnel mesure – Rationnel partage – Décimal abscisse
(sens découverts lors des séquences 2, 3 et 4)
Entretien
Périodes
2 à 4
Séquence 7 :
Le nombre décimal pour approximer la mesure de longueur de
segment (Décimal mesure)
Le carré d’aire
donnée
Multiplication de 2
nombres décimaux et
division d’un nombre
décimal par un entier
Période 5Séquence 8 :
Vers la 6ème : la division partage
et la division groupements comme autres sens de la fraction.
Les feuilles blanches
Agrandissements d’un
puzzle
Séquence 2: La fraction: un nombre
pour comparer des longueurs
(Rationnel mesure)
dans le cadre géométrique
47
• Objectif de séquence : Construire deux des sens de la fraction :
– le « rationnel mesure », un nombre pour comparer des grandeurs et conduisant à la mesure
• 1 situation de référence :
- Le jeu des segments
Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)
Suite de la Séquence 2: La fraction: un nombre
pour comparer des longueurs (Rationnel mesure)
dans le cadre graphique
• Objectif de séquence : Construire un premier sens de la fraction: le rationnel-mesure, un nombre pour se repérer sur la demi-droite graduée et conduisant à la mesure
• 1 situation de référence :
-La droite graduée
Changement de cadre : Géométrique ► Graphique
48
Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)
Suite de la Séquence 2 : La fraction:
un nombre pour fractionner l’unité en
parts égales (Rationnel-partage)
• Objectifs de séquence :
• - Construire un des sens de la fraction : le « rationnel-partage », un nombre conduisant à fractionner l’unité en parts égales et conduisant au partage
• 1 situation de référence :
- Les feuilles (enveloppes)
49
Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)
Séquence 3 : La fraction décimale: un
nombre pour approximer un point sur la
droite graduée ( Décimal abscisse)
• Objectifs de séquence :
• - Construire un des sens de la fraction : le « décimal-abscisse », un nombre conduisant à l’approximation aussi précise que souhaitée d’un point sur la droite graduée.
- Construire l’intérêt de l’écriture d’une fraction en fraction décimale: la simplification des calculs
• 1 situation de référence :
- Les détectives 1 & 2
50
Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)
Séquence 4 : Le nombre décimal: un nombre
pour approximer un point sur la droite
graduée (Décimal abscisse), construction
l’intérêt de l’écriture à virgule
• Objectifs de séquence :
- Construire un des sens du nombre décimal : le « décimal abscisse », un nombre conduisant à l’approximation aussi précise que souhaitée d’un point sur la droite graduée.
- Construire l’intérêt de l’écriture à virgule : la simplification des écritures et plus particulièrement de l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal.
• 1 situation de référence :
- Les détectives 3
51
Les détectives 3
• Présentation :
Le jeu des détectives 2 est repris avec les élèves avec un
affinement de la graduation. Il ne s’agit plus de trouver un
encadrement le plus précis possible de cette fraction mais
de déterminer un encadrement au centième près. Il s’agira
d’un jeu à plusieurs équipes de détectives (questionneurs)
contre une équipe adverse qui aura choisi la fraction à
approximer et qui devra répondre aux questions.
Objectifs :
• - Connaître l’écriture à virgule d’un nombre décimal.
• - Construire l’équivalence entre l’écriture fractionnaire et
l’écriture à virgule d’un nombre décimal. 52
Descriptif de la séquence (cliquer sur le lien)
Séquence 5 : Comparer, encadrer
et intercaler des nombres
décimaux• Objectifs de séquence :
• - Savoir comparer deux nombres décimaux ;
• - Savoir encadrer un nombre décimal par deux nombres, entiers ou décimaux.
• Pas de situation de référence.
53
Exemples de situations (cliquer sur le lien)
Lors de cette séquence les éléments de structurations
se porteront sur les règles de comparaison de 2 nombres
décimaux écrits avec une virgule.
Séquence 7 : Le nombre décimal pour
approximer la mesure de longueur de
segment (Décimal mesure)
• Objectifs de séquence :
• - Construire un des sens du nombre décimal: le décimal-mesure, un nombre conduisant à l’approximation aussi précise que souhaitée de mesure de longueur de segment et qui engendre les subdivisions successives de l’unité de mesure
• Pas de situation de référence.
54
Exemples de situations (cliquer sur le lien)
Lors de cette séquence les éléments de structurations
se porteront sur les règles de comparaison de 2 nombres
décimaux écrits avec une virgule.
Séquence 8 : Liens entre les
fractions et la division• Objectifs de séquence :
• - Savoir que la barre de fraction correspond aux deux grands sens de la division : la division-partage et la division-groupement.
• 2 situations de référence :
- Les feuilles blanches (activités de construction d’équivalence de surfaces)
- Agrandissement et réduction d’un puzzle (problème de proportionnalité)
55
Exemples de situations (cliquer sur le lien)
Les feuilles blanches• Présentation :
C’est une situation où les élèves auront à comprendre que 3 divisé par 4 c’est un quart de trois mais c’est aussi trois quarts c’est-à-dire de mettre en œuvre une première équivalence entre la fraction et la division partition.
Objectifs :
• - Faire acquérir à la barre de fraction l’un des deux grands sens de la division : la division-partition.
• - Donner du sens à a/b dans un contexte de partition de la pluralité : a/b désigne un bième de a.
• - Construire l’équivalence entre la partition de la pluralité et le fractionnement de l’unité : un bième de a = a bième.
56
Un quart de trois
Trois divisé par 4
Trois quarts
57
Agrandissement et réduction d’un
puzzle
• Présentation :
Elle va permettre aux élèves de construire une
première équivalence entre la fraction et la
division groupement.
Objectif :
• - Interpréter a/b comme quotient de
l’entier a par l’entier b, c’est-à-dire
comme le nombre qui multiplié par b
donne a (programme de 6ème). 58
8
16
6 12
59
Séquences de calcul possibles
• Objectifs de séquence :
• - Savoir additionner, soustraire et multiplier
deux nombres décimaux.
• - Savoir diviser un nombre décimal par un
entier.
• Pas de situation de référence.
60
Progressi
on des
étapes →
ETAPE 1 ETAPE 2 ETAPE 3 ETAPE 4 ETAPE 4 ETAPE 5 ETAPE 6 ETAPE 7
Descriptif
de la
situation
Addition
de deux
nombres
décimaux
Soustracti
on de
deux
nombres
décimaux
Multiplica
tion par
10, 100,
1000.
Multiplica
tion d’un
nombre
décimal et
d’un
entier
Divion
décimale
de deux
entiers
Entretien
Multiplica
tion de
deux
nombres
décimaux
Division
d’un
nombre
décimal et
d’un
entier
Activité
de l’élève
4,28 + 3,6
15,43 +
2,16
38,70 +
9,60
23,64 +
35,45
7,46 –
3,25
9 – 6,4
14,7 –
3,65
7 – 6,82
12,09 –
3,2
0,1 x 10
0,01 x 10
0,1 x 100
0,01 x 100
0,1 x 1000
0,01 x
1000
0,3 x 10
0,05 x 10
0,3 x 100
0,05 x 100
0,3 x 1000
0,05 x
1000
7,3 x 10
4,27 x 10
7,3 x 100
4,27 x 100
7,3 x 1000
4,27 x
1000
43,9 x 5
56,87 x 9
5,06 x 6
32,74 x 4
234,7 x 8
302,8 x 4
23,9 x 3
0,9 x 5
0,87 x 9
0,06 x 6
52,74 x 14
234,7 x 38
302,8 x 25
23,9 x 432
36 : 5
233 : 2
38 : 4
3 : 4
78 : 10
84 : 5
300 : 16
20 : 80
63,9 x 5,1
50,87 x
9,5
5,06 x 6,7
65,24 x
4,8
213,7 x
0,8
32,8 x 0,4
23,91 x
3,6
0,9 x 5,6
0,87 x
9,87
0,06 x 0,6
43,2 : 9
40,6 : 7
73,5 : 6
71,6 : 5
96,48 : 4
165,55 : 7
287,16 : 6
430,74 : 9
61
62
63
Séquence 2
Séance 1
Le jeu des
segments
64
Séquence 2 Séance 2
Le jeu des segments
Obj: Construire un 1er ensemble de fractions
élémentaires et des écritures additives pour
exprimer des mesures de longueur obtenues
en reportant une bande-unité: ½; ¼; 1/8
Structuration:
Les fractions sont des nombres qui permettent
de mesurer des longueurs qui ne peuvent pas
l’être par des nombres entiers.
Les fractions peuvent s’écrire ½; ¼; ¾…
Elles sont constituées d’un numérateur et
d’un dénominateur. Pour la fraction 3/8, 3 est
le N et 8 le D.
Certaines fractions ont un vocabulaire
spécifique: un demi (1/2), un quart (1/4), trois
quarts (3/4).
65
Séquence 2 Séance 4
Le jeu des segments
Obj: Poursuivre la construction du
1er ensemble de fractions
élémentaires et des écritures
additives pour exprimer des mesures
de longueur obtenues en reportant
une bande-unité: 1/3; 1/6.
66
Séquence 2 Séance 5
Le jeu des segments
Obj: Même objectif que les séances
précédentes pour 1/5; 1/10.
Structuration (suite à celle de la séance 2):
Certaines fractions ont un vocabulaire
spécifique: un tiers (1/3), deux tiers (2/3).
Les autres se lisent en utilisant le suffixe –
ième: un dixième (1/10), un cinquième (1/5),
un sixième (1/6), sept dixièmes (7/10)…
67
Séquence 2 Séance 6
Le jeu des segments -
Entraînement
Présentation de la situation:
(écrit-individuel)
Chaque élève s’entraîne à mesurer
des segments en utilisant les
écritures fractionnaires.
68
Séquence 2 Séance 8 (dernière de la séquence)
Le jeu des segments
Présentation de la situation: 1er
changement de cadre (géométrique à
numérique)
2 temps:
- Mesurer une série de segments pour
les ranger
- Ordonner une série de nombres
fractionnaires
Compétences travaillées:
- Utiliser des mesures de longueur
pour comparer et ranger des
segments.
- Comparer des fractions
Retour
69
Séquence 2
La droite graduée
Présentation de la situation: 2ème changement
de cadre (géométrique à graphique)
Suite de séances de communication (émetteur-
récepteur) au cours desquelles les élèves vont
réinvestir leurs connaissances de la fraction-
mesure dans un nouveau cadre (graphique) et
établir une correspondance longueurs-nombres
qui va contribuer à assurer un statut de nombres
à ces mesures formulées en écriture
fractionnaire.
Structuration :
Une droite graduée avec différents points sert
de trace écrite.
Ils placent sur cette droite toutes les fractions
déjà construites jusqu’alors dans la progression.
70
Séquence 2: Séance 5 (dernière de la séquence: de réinvestissement)
La droite graduée
Présentation de la situation:
changement de cadre (graphique à
numérique)
2 temps:
- Placer une série de points sur une ½
droite graduée
- Comparer les nombres
fractionnaires
Retour
71Retour
Séquence 2: 5 séances
Les feuilles
(enveloppes)
Présentation de la situation: les élèves ont à
découvrir un 2ème sens de la fraction, le
rationnel-partage qui permet de répondre à
des situations de fractionnement conduisant
à une mesure d’aire ou de longueur
Objectifs :
-Utiliser les fractions pour coder l’aire de
portions de feuilles de papier
-Donner un statut de nombres aux fractions
72
Autre type d’enveloppes, ici la n°2
Structuration (elle sera progressive au
fil des séances et de la reprise de la
situation):
1/6 + 1/6+1/6 = 3/6= ½ ½+1/2 = 1
1/2 = 5/10 = 4/8
Elle permet également de ranger les fractions
et d’en déduire que quand le numérateur =1,
alors plus le dénominateur est grand plus la
fraction est petite:
1/12<1/6<1/4<1/3<1/2<1
Retour
73
Séquence 3 (7 séances):
• Présentation de la situation des détectives:
- Détective 1 : C’est une nouvelle situation de communication où une équipe de deux élèves jouent contre toute la classe. Il faut que la classe arrive à encadrer au plus près la fraction choisie par les deux élèves. Cette situation oblige les élèves à expliciter et à justifier leurs calculs. L’obligation de communiquer leurs calculs est le moyen utilisé pour que les élèves réfléchissent à la manière de faciliter leurs calculs et se rendent compte de l’économie cognitive faite lorsqu’ils choisissent des puissances de 10. Il s’agit de faire apparaître la fraction comme un nombre et non pas comme un couple d’entiers.
- Détective 2 : Le jeu des détectives est repris avec les élèvesavec un affinement de la graduation. Il ne s’agit plus detrouver un encadrement entre deux entiers de la fractioncherchée mais de trouver un encadrement le plus précispossible de cette fraction.
74
75
Structuration
possible:
76
Exemple
d’exercices
d’entraînement:
Retour
Exemples de situations proposées lors de la séquence 4
77
Points remarquables de structurations:
L’écriture fractionnaire ou l’écriture à virgule sont
2 écritures possibles pour des nombres décimaux
que l’on appelle Nombres décimaux.
Un nombre est un nombre décimal s’il peut écrire
sous les 2 formes: 947/100 = 9,47
Un nombre décimal est composé de la partie
entière et de la partie décimale: 9 est la partie
entière de 9,47 et 47 est la partie décimale de 9,47
Introduction du tableau de numération.
Retour
78
Exemples de situations
proposées lors de la
séquence 6
79
Exemples de situations proposées lors de la séquence 6
Retour
80
81
Exemples de situations proposées lors de la séquence 8
Retour
82
Exemples de situations proposées lors de la séquence 7
Retour
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