Les nombres non entiers Linvention du continu. Plan du cours 1. Quelques représentations et...

Les nombres non entiers

L’invention du continu

Plan du cours

1. Quelques représentations et difficultés…

2. L’invention de nouveaux nombres – quels usages en fait-on ?

3. Caractérisation mathématique des nombres non entiers

4. Analyse d’erreurs d’élèves

5. Démarches d’enseignement

1- Quelques représentations

2,5 est un décimal 5/2 est une fraction 3 n’est pas décimal, c’est un entier Un décimal, c’est un nombre avec une virgule Une fraction c’est deux nombres avec un trait

entre les deux Pi est un nombre infini La partie décimale de 2,364 est 364

Erreurs d’élèves…

2,4 + 3,6 = 5,10 2,6 x 4 = 8, 24 Entre 1,5 et 1,6 il n’y a pas de nombres 1,5 < 1,16 Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1 1,9 = 1/9 = un neuvième 2,9 x 10 = 20,9 2,9 x 100 = 20,90

Taux de réussite - EVA6eme06

80% - 77 % - 77%

Taux de réussite - EVA6eme06

50%

Taux de réussite - EVA6eme06

34% - 20% - 22%

Taux de réussite - EVA6eme06

90% - 30%

Taux de réussite - EVA6eme06

26%

2- l’invention de nouveaux nombres- approche historiqueQuels problèmes ?

Problèmes de mesures

Problèmes de partage (division)

Rapport de proportions

Problèmes de mesure :

u

Entre 2 et 3 u

Problème de partage

5 : 4 = ?

Soit 1 + un quartSoit 5 quarts

4 x …. = 5

Rapport de proportion

Si 3 pommes coûtent 500 francs, combien coûtent 6 pommes ?

15 filles sur 24 élèves

3 est à 5 ce que 60 est à 100

Raccourci historique

Les babyloniens : fractions de 60

Les égyptiens : fractions unitaires de puissances de 2

Les grecs : les proportions

Les fractions décimales

L’invention de la virgule - Simon STEVIN - La disme 1585

Le système décimal - les décimaux

Une idée géniale…

Le prolongement du tableau de numération.

100 10 1 1/10 1/100

3 , 2 9

3,29 = 3 + 2/10 + 9/100

3- Caractérisations mathématiques des nombres non entiers. L’ensemble Q des rationnels.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un rapport de deux entiers.

Exemples : 1/3; 2=2/1; 0,1=1/10…

Il faudrait distinguer fraction et rationnel…

Les décimaux

Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur)

Exemples : 2 = 20/10 ; 0,25 = 25/100…

1/3 n’est pas décimal, 12/15 l’est.

Autre caractérisation

Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture fractionnaire irréductible est de la forme N/2a5b.

Exemples : 14/5 ; 18/25; 13/40.

Nombres à virgule

Un nombre décimal possède une écriture à virgule dont la partie décimale a un nombre fini de chiffres

Un nombre rationnel non décimal possède une écriture à virgule illimitée, avec une période dans la partie décimale.

Attention : nombre à virgule ne veut pas dire nombre décimal !

Existe-t-il d’autres nombres ?

Quand on a rajouté tous les rationnels sur la droite numérique y a-t-il de la place pour d’autres nombres ?

Réponse : oui…

Représentation par les coupures.

Les irrationnels, des nombres fantômes… Impossibles à écrire, à « voir », ils existent

pourtant…

Caractérisation :o Ils ne s’écrivent pas sous la forme a/bo Leur écriture à virgule est illimitée et non

périodique…

Avantages, inconvénients de l’agrandissement de l’ensemble des nombres.

Toute division a un résultat On peut tout mesurer On peut prolonger les opérations… On perd l’idée d’ordre « naturel »… L’infiniment petit est difficile à imaginer…

Erreurs d’élèves - explicationsremédiations Un décimal est un couple de nombres entiers

séparés par une virgule…

La virgule « flotte » (on peut l’enlever)

Démarches d’enseignement

Introduction par la mesure.

à éviter ! Obstacle didactique…

Introduction par les problèmes de fractionnement

Démarche type : pour comprendre les maths.

Exercices d’application directe.

Quelle est la nature du nombre 0,1234567891011121314… ?

Quelle est la nature du nombre 0,121212… Quelle est la nature des nombres 17/12,

12/60 ? Complétez le nombre 3_5_/45 pour qu’il soit

décimal Rangez dans l’ordre : 2/3 - 8/11 - 1/2 - 0,66 -

0,7