Masse et masse volumique -...

CUEEP Département Mathématiques E 812 Masse volumique 1/12

Masse et masse volumique Enoncés 1) La masse volumique du mercure est de 13,6 3/ cmg (on note aussi g.cm-3). Quelle est la masse de 54 cm3 de mercure. 2) Quel est le volume d�un morceau de cuivre pesant 120g. La masse volumique du cuivre est de 8,9 3/ cmg

3) Un flacon vide pèse 75g, On le remplit avec 250 ml de sang, il pèse alors 337,5 g. Quelle est la masse volumique du sang ? 4) Une bille de fer a un diamètre de 5 cm, quelle est sa masse sachant que la masse volumique du fer est de 7,8 kg.dm-3

5) Un cylindre de métal est large de 4 cm et haut de 8 cm, il pèse 1, 146 Kg. Quelle est sa masse volumique ?

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6) Quelle est la masse volumique de l�alcool à 70% ? Rappel : masse volumique de l�alcool pur : 0,8 3/ cmg . Masse volumique de l�eau 1 3/ cmg

7) On veut calculer la masse volumique du métal dans lequel a été fabriqué un objet. On dispose d�une balance et d�un récipient gradué de base carrée de 10 cm de côté. On pèse l�objet, sa masse est de 675 g. On y verse de l�eau dans le récipient jusqu�à une hauteur de 15 cm, puis on y introduit l�objet en question, la hauteur d�eau est alors de 17,5 cm. En déduire la masse volumique du métal. 8) Dans une coopérative laitière on veut vérifier que le lait livré n�est pas coupé avec de l�eau. Pour cela on prélève 5 litres de lait et on pèse. Le poids est de 5,135 Kg. Sachant que la masse volumique du lait est de 1,03Kg/l, est-ce que ce lait est coupé et si oui avec quelle quantité d�eau ? 9) On désigne sous le nom de laiton des alliages de cuivre et de zinc dans des proportions variables. Quel est le % en vol de zinc dans un laiton dont masse volumique est de 8,5 3/ cmg ? La masse volumique du zinc est de 7,14 3/ cmg . Celle du cuivre est de 8,92 3/ cmg . 10) On mélange un liquide A avec de l�eau. La masse volumique de A est 1,5 3/ cmg .

La masse volumique du mélange est de 1,3 3/ cmg

Quel est dans ce mélange, le rapport des volumes de A et de l�eau ?

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Rappels

Qu�est ce que la masse volumique ?

Un oreiller pèse environ 500 g.

Ainsi si vous placez un oreiller sur le plateau d�une balance, pour équilibrer la balance vous n�aurez besoin que d�un petit cylindre en laiton. Deux corps ayant la même masse n�ont pas forcément le même volume. Deux corps de composition différente n�ont pas la même masse pour un volume équivalent. Un 3cm de plumes est plus léger qu�un 3cm de laiton.

La masse volumique (ρ ) d'un corps est la masse par unité de volume.

Elle s'exprime généralement en :

33 .

cube centimètregrammes −= cmg

cmg = ou en 3

3 .cube decimètre

skilogramme −= dmKgdmKg =

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Formules

volumemasse volumiquemasse =

VM=ρ

masse volumiquemassevolume =×

MV =× ρ

gcm

gcm =× 33

volumiquemassemassevolume =

ρMV =

3

3

cmggcm =

Tableau de quelques masses volumiques ( ρ )

Aluminium 2,7 3/ cmg Fer 7,8 3/ cmg Cuivre 8,9 3/ cmg Argent 10,5 3/ cmg Mercure 13,6 3/ cmg Plomb 11,4 3/ cmg Or 19,5 3/ cmg Pétrole 0,96 3/ cmg Laiton * 7,3 à 8,5 3/ cmg

* Le laiton est un alliage de deux ou plusieurs métaux principalement cuivre et zinc, sa masse volumique dépend de sa composition.

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Surfaces et volumes de quelques figures géométriques

SPHERE ! S = ²4 Rπ V = R3 34 π

CONE ! V = h R 31 2π

CYLINDRE ! V = HR²π S latérale = RHπ2 Fond = ²Rπ

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Aide

Exercices 1 à 5

Il n�y a pas de difficultés particulières, il suffit d�appliquer les formules en faisant attention à la cohérence des unités.

Exercice 6

L�alcool à 70% est un mélange d�alcool éthylique pur et d�eau, les proportions sont données en volume.

La masse volumique ρ d�un mélange de deux composés de masses volumiques 1ρ et 2ρ et de volumes respectifs 1V et 2V est donnée par la formule:

21

2211

VVVV

+×+×

=ρρρ

Exercice 7

Le volume d�eau déplacé correspond au volume de l�objet.

Exercice 8 et 9

Utiliser la formule donnée à l�exercice 6 pour écrire un système de deux équations à deux inconnues. Dans l�exercice 8 on connaît le volume total. Dans l�exercice 9, on le fixera à 100 3cm

Exercice 10

Utiliser toujours la même formule mais faites apparaître le rapport des volumes 1

2

2

1 ou VV

VV

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Correction

Exercice 1 :

On cherche la masse, volumiquemasse volume masse ×= Le volume est exprimé en 3cm , la masse volumique en 3/ cmg , la masse sera exprimé en g . La masse de 54 3cm de mercure est de 734,4 g (54 x 13,6 = 734,4)

Exercice 2 :

On cherche le volume volumiquemassemassevolume =

La masse est en g, la masse volumique en 3/ cmg , le volume sera exprimé en 3cm

Le volume du morceau de cuivre est d�environ 13,5 cm3 ( 48,139,8

120 ≈ )

Exercice 3 :

On cherche la masse volumique volumemasse volumiquemasse =

La masse de sang est de 337,5 � 75 soit 262,5g Le volume de sang est de 250 ml soit 250 3cm

La masse volumique du sang est de 1,05 3/ cmg ( 05,1250

5,262 = )

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Exercice 4 : Il faut d�abord calculer le volume de la bille, en appliquant la formule du volume d�une sphère. Le diamètre de la bille est de 5 cm, son rayon est de 2,5 cm

45,655;234 3 ≈××= πV

Le volume de la bille est de 65,45 3cm . La masse volumique est exprimée en 3/ dmKg . Il faut :

soit exprimer le volume en 3dm et garder la masse volumique en 3/ dmKg , dans ce cas la masse sera exprimée en Kg 65,45 3cm = 0,06545 3dm La masse de la bille est d�environ 0,511 Kg ( 0,06545 x 7,8 ≈ 0,51051) soit laisser le volume en 3cm et exprimer la masse en 3/ cmg la masse sera alors en g. Comme la masse volumique s�exprime avec la même valeur en 3/ dmKg ou en 3/ cmg , la masse volumique du fer est de 7,8 3/ cmg . La masse de la bille est de 510,51 g (65,45 x 7,8 ≈ 510,51)

En arrondissant le résultat au gramme près: La masse de la bille est de 511g ou 0,511Kg Remarque : Pourquoi la masse volumique a la même valeur numérique qu�elle soit exprimée en 3/ dmKg ou en 3/ cmg ? 1 kg = 1000 g 1 3dm = 1000 3cm

333 1000 1000

cmg

cmg

dmKg ==

Si 1 3dm de fer pèse 7,8 Kg ; 1 3cm pèse 1000 fois moins, c'est-à-dire 7,8g

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Exercice 5 : On détermine le volume du cylindre, les dimensions sont en cm, le volume sera en 3cm . R = 2 cm H = 8 cm

53,1008²2 ≈××= πV Ce cylindre a une masse de 1,146 Kg soit 1146 g.

Masse volumique = 4,1153,100

1146 ≈ .

La masse volumique de ce cylindre est de 11,4 3/ cmg . C�est probablement un cylindre en plomb.

Exercice 6 : Dans 100 3cm d�alcool à 70%, il y a 70 3cm d�alcool éthylique pur et 30 3cm d�eau

La masse volumique d�un mélange est donnée par la formule: 21

2211

VVVV

+×+×

=ρρρ

1V est le volume d�alcool 2V est le volume d�eau

1ρ est la masse volumique de l�alcool. 2ρ est la masse volumique de l�eau.

11 V×ρ est la masse d�alcool. 22 V×ρ est la masse d�eau.

2211 VV ×+× ρρ est la masse totale 21 VV + est le volume total

86,0100

1308,070 =×+×=ρ

La masse volumique de l�alcool à 70% est de 0,86 3/ cmg

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Exercice 7 : Le volume de l�objet est égal au volume d�eau déplacé : La hauteur d�eau déplacée est de 2,5 cm, le volume d�eau déplacé est de : :

2505,21010 =×× soit 250 3cm La masse de l�objet est de 675g, la masse volumique sera exprimée en 3/ cmg

7,2250675 = La masse volumique est de 2,7 3/ cmg

Exercice 8 : Le lait livré est coupé si sa masse volumique est inférieure à 1,03 Kg/l.

Calculons cette masse volumique : VM=ρ 027,1

5135,5 = Le lait livré est donc coupé.

Dans la formule 21

2211

VVVV

+×+×

=ρρρ , le numérateur 2211 VV ×+× ρρ représente la masse du mélange c'est-à-dire 5,135 Kg et 21 VV + le

volume du mélange,c'est-à-dire 5 litres. On connaît 1ρ (la masse volumique du lait : 1.03 kg/l) et 2ρ (la masse volumique de l�eau : 1 kg/l) On cherche 1V (le volume de lait) et 2V (le volume d�eau), on peut écrire le système d�équations à deux inconnues suivant :

=+=+

5 )(135,5 03,1 )(

21

21

VVBVVA

5,0 5,4 135,0030 )()(

2

1

1

===−

VVV,BA

Dans le lait livré il y a 4,5 litres de lait et 0,5 litre d�eau

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Exercice 9 : On connaît : ρ (masse volumique du mélange = 8,5 3/ cmg )

1ρ (masse volumique du zinc = 7.14 3/ cmg )

2ρ (masse volumique du cuivre =8.92 3/ cmg ) On doit déterminer 1V et 2V . Si on fixe le volume total à 100 cm3 on aura 10021 =+VV et les valeurs de 1V et de 2V correspondront aux pourcentages demandés.

On remplace ces valeurs dans la formule qui fournit la masse volumique d�un mélange 21

2211

VVVV

+×+×

=ρρρ

10092,814,75,8 21 VV ×+×= d�où 21 92,814,7850 VV ×+×=

On peut écrire le système suivant :

=+=+

100 )(8508,92 14,7 )(

21

21

VVBVVA

6,23 4,76

136781 )14,7()(

1

2

2

≈≈

=−

VV

V,BA

Dans un volume de 100 3cm de ce laiton, il y a 23,6 3cm de zinc et 76.4 3cm de cuivre. Dans ce laiton, il y 23,6% de zinc et 76,4% de cuivre.

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Exercice 10 :

En remplaçant comme précédemment les valeurs connues dans la formule 21

2211

VVVV

+×+×= ρρρ on obtient :

21

215,13,1

VVVV

++

=

On va faire apparaître le rapport 2

1

VV

en divisant le numérateur et le dénominateur par 2V

1

15,13,1

2

1

2

1

+

+=

VV

VV

En appelant r ce rapport on l�équation 1

15,13,1++=

rr

Résolution de l�équation :

115,13,1

++=

rr

→→→→ 15,1)1(3,1 +=+ rr →→→→ 15,13,13,1 +=+ rr →→→→ 3,02,0 =r →→→→ 23=r

23

2

1 =VV

Le rapport des volumes est de 3/2, il y a 3 volumes du liquide A pour 2 volumes d�eau.

NB : On aurait pu comme dans l�exercice précédent fixer le volume total à 100, calculer les volumes 1V et 2V et en déduire le rapport 2

1

VV

.