Math27 P001-012 Debutimages.math.cnrs.fr/IMG/pdf/math38_sommaire.pdf · Les ensembles de Julia et...

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Introduction ................................................................................................................................................. 11

Chapitre 1. La biologie mathématique, une perspective historique ........... 13La naissance de la biologie mathématique ............................................................................... 13 La théorie de l’évolution .............................................................................................................. 16 Le développement mathématique de la théorie de l’évolution ....................... 17L’ordinateur dans l’étude mathématique de la vie ............................................................. 19 Les contributions d’Alan Turing ............................................................................................. 20Les prémices de la biologie des systèmes .................................................................................. 25Les années 1970, la décennie du changement ...................................................................... 28La biologie mathématique moderne ........................................................................................... 30Le modèle mathématique en biologie ........................................................................................ 32L’ordinateur, un tube à essai ............................................................................................................... 33Les logiciels de calcul symbolique ................................................................................................. 35Quelques exemples de mathématiques appliquées à la biologie ............................. 37

La gestion des populations de cerfs, d’écureuils et d’autres animaux de la forêt : la matrice de Leslie ...................................................................................... 37

Les automates cellulaires ............................................................................................................... 41Le modèle prédateur-proie avec des automates cellulaires .................................. 44

Chapitre 2. La vie, un phénomène changeant ............................................................... 47Sortir le jouet « y » de l’œuf de Pâques ..................................................................................... 49

L’équation différentielle de Jurassic Park ............................................................................. 51Malthus, Verhulst et la croissance démographique ............................................................. 53Les équations différentielles en biotechnologie ................................................................... 56

étude mathématique du cancer : traitement des tumeurs par ordinateur ....... 58Le sida, la grippe A et les autres épidémies traitables mathématiquement ........ 62

Chapitre 3. Le microbiologiste qui succomba au chaos ....................................... 65L’équation différentielle y’ 5 ry et ses contraintes .............................................................. 65

Quatre expériences à titre d’exemple ................................................................................. 68étudier le comportement de la nature pas à pas ................................................................. 71La nature est-elle fractale ? .................................................................................................................. 76

Sommaire

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SOMMAIRE

Les ensembles de Julia et de Mandelbrot .................................................................................. 79Le « jeu du chaos » de Barnsley ....................................................................................................... 81

Chapitre 4. Jouer au sudoku avec la vie .............................................................................. 83Tableaux, sudokus et matrices .......................................................................................................... 83Les opérations sur les matrices ......................................................................................................... 87 L’addition ................................................................................................................................................. 87 La soustraction ..................................................................................................................................... 88 La multiplication ................................................................................................................................ 89 L’application du produit d’une matrice par un vecteur ........................................... 91 Obtenir la transposée d’une matrice ..................................................................................... 93Les déterminants ........................................................................................................................................ 93Comment diviser les matrices ? L’inverse d’une matrice

et ses applications en biologie .................................................................................................. 95Les matrices et les pois : les lois de Mendel ............................................................................ 97 L’hérédité est-elle indépendante ? ......................................................................................... 100Les matrices de Markov, l’ADN et la bio-informatique ............................................... 103

Chapitre 5. Grandeurs orientées. Vecteurs en biomécanique,

dans les circuits neuronaux et les systèmes d’équations .............................. 105Les vecteurs et les matrices ................................................................................................................... 105L’addition de vecteurs : la contraction musculaire et la locomotion animale ....... 108La multiplication des vecteurs et son application dans les circuits neuronaux ... 111 L’apprentissage, le cas de la captation des sons .............................................................. 113 Le produit vectoriel ou extérieur .......................................................................................... 116 Un modèle de la mémoire animale et humaine ......................................................... 117La résolution de systèmes d’équations. Qu’a-t-on fait des insectes ? ........................ 120 Un système d’équations a-t-il une solution ? ................................................................ 122 Combien y a-t-il d’insectes jeunes et adultes ? La règle de Cramer ............ 123

Chapitre 6. Écologie et mathématiques, un beau mariage de raison ........ 127La construction de modèles ............................................................................................................... 128Le modèle de Lotka-Volterra : les loups et les lapins ....................................................... 130Les modèles mathématiques du climat. Qu’en est-il du changement climatique ? ............................................................................................................................................ 135Et si l’on modifiait l’atmosphère ? Gaïa et la planète des pâquerettes ................. 142

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SOMMAIRE

Annexe. La magie du complexe .................................................................................................. 147L’addition et la soustraction des nombres complexes ...................................................... 148La multiplication et la division des nombres complexes ............................................... 148Une des plus belles expressions mathématiques : la formule d’Euler .................. 149

Bibliographie ............................................................................................................................................... 151

Index analytique ...................................................................................................................................... 153

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