View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
[ I- Y ( C C
•—• .-MILIARIA. A L ENERGIE ATOMIQUE
CENTRE D'ETUDES DE LIMEIL-VALENTON
Dc?ar:e=ier.t de MATHEMATIQUES APPLIQUEES
v i c e de Machéoa t iques e t Codes Numériques
B .F . n° 27
9-190 VILLENEUVE Sr GEORGES
CEA-N-
QUELQUES SCHEMAS NUMERIQUES DE HAUTE PRECISION .
POUR L'INTEGRATION DES EQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE
PRESENTATION ET RESULTATS
J . C . DESGRAZ
J u i n 1985
COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE CENTRE D'ETUDES DE LIMEIL-VALENTON
Département de MATHEMATIQUES APPLIQUEES Service de Mathématiques et Codes Numériques
B.P. n* 27
94190 VILLENEUVE St GEORGES
CEA-N-
QUELQUES SCHEMAS NUMERIQUES DE HAUTE PRECISION
POUR L'INTEGRATION DES EQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE
PRESENTATION ET RESULTATS
J.C. DESGRAZ
Juin 1985
PLAN
RESUME
I - INTRODUCTION
II - LE SCHEMA P.P.M.
11.1 - Description
11.2 - Résultats
I I I - LES SCHEMAS DE TYPE PREDICTION CORRECTION
111.1 - Présentation
111.2 - Calcul des valeurs intermédiaires (prédiction)
111.3 - Calcul des valeurs finales (correction)
111.4 - Les formules d'interpolation
111.5 - Résultats
IV - CONCLUSION
ANNEXE A : Interpolation
ANNEXE B : Analyse de Fourier
REFERENCES
RESUME
Nous présentons quelques schémas numériques d i t s de haute préc i s ion
pour l ' i n t é g r a t i o n des équations de l a dynamique des gaz en une dimension
d'espace.
Dans l e cas des coordonnées d'Euler, l e s schémas sont décomposés en
deux phases : une phase lagrangienne su iv i e d'une phase projec t ion .
Nous ins i s tons sur l e s r é su l ta t s numériques.
ABSTRACT '
We present here some high resolution schemes for gas dynamical simulations in on space dimension.
In case of Eulerian coordinates the schemes are formulated as a lagran-gian step followed by a.remap.
We insist on numerical results.
1.
I - INTRODUCTION
Le but de ce t rava i l e s t d'étudier quelques schémas numériques d i t s
de haute préc i s ion ( c ' e s t à dire dont l 'ordre de préc is ion e s t presque par
tout supérieur à un) pour l ' i n t é g r a t i o n des équations de l a dynamique des
gaz en une dimension d ' t pace. C'est donc l a su i te logique de notre précédent
travai l qui n ' é t a i t consacré qu'à la seule phase de project ion / 3 / e t qui
s'appuyait sur l e s travaux de B. VAN LEER / I 4 _ / .
Nous poursuivons par l 'étude plus approfondie de la seule phase l a -
grangienne. Une méthode s ' e s t imposée depuis peu par l a qual i té de ses r é s u l
t a t s , c ' e s t l a méthode P.P.M.* de P. COLLELA et P.R. WOODWARD /~ l_7 - Nous l u i
consacrons l e paragraphe suivant .
P.P.M u t i l i s e la réso lut ion de problèmes de Riemann, ce qui peut pré
senter quelques d i f f i c u l t é s pour appliquer c e t t e méthode à des équations
d'état quelconques. Nou« nous sommes alors tourné vers d'autres types de
schémas : l e s schémas S* de A . LERAT e t R. PEYRET /~8 ~l. Leur étude forme o — -
l e troisième paragraphe.
Cette c lasse de schémas qui dépendent de deux paramètres a e t B con
t i en t en part i cu l i er l e s schémas bien connus de Lax-Wendroff e t de Mac Cormack.
Ce sont des schémas e x p l i c i t e s , â tro i s po in t s , précis à l 'ordre deux. * * — —
Tls présentent donc le grave défaut de ne pas être T.V.D. A. HARTEN / 5 /.
Nous montrons toutefois qu'il est possible de les améliorer (sans les rendre
T.V.D. pour autant) et d'obtenir des résultats acceptables.
Il sera intéressant de profiter de la robustesse des schémas T.V.D.
Des travaux récents / 2_/, / 11_/ et / 13_/ laissent espérer des progrès dans
ce sens. Ce sera l'objet de notre prochain travail.
P.P.M. :Piecewise Parabolic Method.
m . . . . T.V.D. : Total Variation Diminishing.
2 .
Avant de passer à l a descr ipt ion des schémas, rappelons l e s équations
l a dynamique des gaz é c r i t e s en coordonnées de Lagrange en une dimension
d'espace e t en symétrie plane sous forme conservative :
(D
(2)
(3)
31/P 3 t
_ 3u dm
3u 3t 3m
JE + l £ l i . o 3t 3 D
P est la densité, u la vitesse, E l'énergie totale par unité de vol
m est la coordonnée lagrangienne reliée à la coordonnée d'espace par :
(A) m(x) - / P(C) dÇ
x o
• / •
Si nous écrivons E » e +1/2 u , ou e est l'énergie interne spécifique,
(3) peut s'écrire (formulation en énergie interne) :
<"•> t * ' 1 ^ - »
3.
II - LE SCHEMA P.P.M.
Comme l e s méthodes de B. VAN LEER / 15_7 c ' e s t une extension de l a mé
thode de S. GODOUNOV / ~ W dans l e sens d'une meil leure préc i s ion . E l l e a déjà
f a i t l ' o b j e t d'une étude par H. JOURDREN /~6_7.
Avant de reprendre la descript ion de cet algorithme, nous a l lons i n d i
quer les dif férences qui e x i s t e n t entre ce que nous evens programmé e t l a
méthode P.P.M. or ig ina le t e l l e q u ' e l l e e s t déf inie dans / 1 / • Nous avons
systématiquement u t i l i s é la décomposition en deux phases : une phase lagran
gienne su iv i e d'une phase projec t ion . Dans la première phase, nous avons
u t i l i s é la coordonnée d'espace x plutôt que la coordonnée lagrangienne m.
Enfin, l e s quantités qui sont interpolées sont : l a d e n s i t é , l a v i t e s s e e t
la press ion . Pour la phase de projec t ion , nous avons u t i l i s é p lus ieurs v a
riantes qui ont toutes l e même ordre de préc i s ion .
I I . 1 - Description de l 'algorithme
Neus ne ferons qu'une rapide descript ion de toutes l e s étapes qui com
posent l 'algorithme P.P.M. de la phase lagrangienne. Pour s i m p l i f i e r l ' e x p o s é ,
nous nous plaçons dans l e cas d'une géométrie monodimensionnelle p lane .
Soit un mailiage de l 'axe Ox :
A x i 4 l / 2
0 V l x i V l
Le» valeurs a f fec tées aux mai l les sont indicées par i + I / 2 , l e s valeu
aux noeuds (ou aux c lo i sons ) par i .
At e s t le pas en temps.
m, q e t e désignent respectivement la masse, la quantité de mouvement
et l ' énerg ie to ta l e d'une m a i l l e .
p , u e t p désignent la dens i t é , la v i t e s se e t la press ion .
4.
L'algorithme que nous al lons décrire ast donc la su i t e des opérations qui permettent de passer des quantités connues à l ' i n s t a n t t à c e l l e s , inconnues, à l ' i n s t a n t t ' . Nous partons des valeurs déf in ies dans l e s mail les à l ' i n s t a n t t . Les d i f férentes étapes de l 'algorithme sont l e s suivantes :
I) Détermination des valeurs des dens i tés p, des pressions p e t des v i t e s s e s u aux c lo i sons des mai l les oar in terpo la t ion . Pour une descr ipt ion d é t a i l l é e des formules d ' in terpo la t ion , consulter / 9_/ e t l'annexe A de l a présente note .
2) Construction dans chaque B a i l l e e t pour chacune des quantités p, p et u de l 'arc de parabole qui passe par l e s valeurs déf in ies en 1) e t qui respecte la conservation. Pour chaque quant i té , l ' a i r e sous l ' arc de parabole es t égale au produit de la valeur moyenne par l e volume de l a mai l le .
3) Préservation de l a monotonie : Si l 'arc de parabole présente un extremum dans une m a i l l e , on corrige l e s valeurs aux c lo isons de façon à l ' é l iminer . On obtient a ins i la dé f in i t ion d'un nouvel arc de parabole.
4) Ca al de la valeur moyenne de l a v i t e s s e du son C dans chaque
mail le e t détermination des zone» d ' in f luence . On désigne a ins i l e s deux
zones qui entourent chaque c lo i son e t qui sont t e l l e s qu'une onde conique
issue d'un de leur point atte igne l a c l o i s o n dans l ' i n t e r v a l l e de temps
At « t n+1
5) Détermination des valeurs Moyennes de p, u et p dans chaque zone d'influence. Pour chaque cloison , ces valeurs définissent deux états constants, le gauche et le droit.
V i
états constants
C. • C l - # 4 f c X. l -M/ t dt i+1
6.
6) Mise en oeuvre de la méthode de S. GODOUNOV : l'interaction entre
les deux mailles est considérée conme étant un problème de Riemann dont les
états initiaux sont constitués par les deux états constants définis en 5).
La résolution de ce problème de Riemann fourni les valeurs des pression et
vitesse au voisinage de la discontinuité en x. (qui joue le rôle d'une dis
continuité de contact). Ce sont ces valeurs que nous affectons aux cloisons.
Nous les appelerons dans la suite valeurs intermédiaires. Elles sont notées r r
u. et p.. î r i
7) U t i l i s a t i o n des valeurs intermédiaires pour résoudre les équations
de conservation. Connaissant l e s masses, quantités de mouvement et énergie
de chaque maille à l ' i n s t a n t t , e t sachant que la masse r e s t e constante ,
nous pouvons évaluer l e s nouvel les quantités de mouvement e t énergies en
d i scré t i sant l es équations de conservation (1) â ( 3 ) .
( 5 ) V l / 2 " V l / 2 ' < P i + l " P i } û t
, , . n+I n t r r r r \ .» ( 6 ) V l / 2 * « i t l / 2 ' ( V l P i+1 " "i P i ) A t
Les valeurs des v i t e s s e s e t pressions s ' en déduisent
, , . n+l n+1 . ^ 7 ) V l / 2 ' V l / 2 / B i + l / 2
(8) x. • x. • u. At
, 0 v n+1 "i+1/2 w p i + l / 2 ' . n+I n+h
K*i*\ ' i '
n+1 /iftx e n + 1 e i + l / 2 1 ,„n+l .2 ( , 0 ) € i + ) / 2 ' m . M / 2 " 2 ( V l / 2 >
. . . . n+1 t , n+1 -,n+I .
7.
f représente l 'équation d'état ,
Z l ' énergie spéc i f ique .
Te l les sont l e s sept étapes de la phase lagrangienne de l 'algorithme
P.P.M.
Mentionnons l e f a i t que la résolut ion du problème de Riemann e s t i c i
f a c i l i t é par l ' u t i l i s a t i o n d'une équation d'état de type gaz parfa i t :
f (P, t ) - (Y - I ) p l .
Le l ivre de S . GODOUNOV déjà c i t é / 4_/ donne toutes l e s prec i s ions
voulues pour résoudre ce problème dans le cas p a r t i c u l i e r des i o i s de gaz
par la i t .
La phase de transport e s t assurée par l e s v i t e s s e s u. .
Pour la phase de project ion , nous disposons de t r o i s p o s s i b i l i t é s :
- La première e s t l a méthode que nous avions u t i l i s é e dans / 3 _ / .
La monotonie e s t préservée par l a formule qui provoque l e moins de correct ion ,
c ' e s t donc la moins sévère parmi c e l l e s que nous avions e s s a y é e s . El le semble
bien adaptée au schéma que nous venons de décrire;
- La seconde e s t l a project ion P.P.M. elle-même ( / ' _ / ) .
- La troisième e s t une variante de la précédente proposée par
B. MELTZ ( /"*_?) .
Toutes ces méthodes ont formellement l e seat ordre de préc i s ion .
E l l e s seront désignées dans la su i t e respectivement par P I , P2, P3.
8.
II.2 - Résultats numériques
Dans / 3_/, nous avions utilisé un problème de tube à choc proposé
par D. Bailey / 10 / à l'occasion d'un séminaire sur les méthodes de remail
lage. Les comptes rendus de ce séminaire contiennent en outre des précisions
intéressantes sur la méthode P.P.M.
Le problème en question privilégiait en fait le phénomène de la détente
dans un gaz peu dense. Nous préférons dans un premier temps reprendre l'exem
ple maintenant classique du tube à choc de G. SOD / 12_/. Cela permettra de
comparer nos résultats avec tous ceux qui paraissent dans la littérature.
Rappelons cet exemple :
II.2.1 - Le problème du tube_à_choc
Un gaz parfait de coefficient Y m 1,4 est placé dans un tube et main
tenu dans deux états différents séparés par un diaphragme : Etat haute pres
sion (numéroté A) : (unités réduites) pression p, • 1, densité p, » 1,
énergie spécifique e, • 2,5. Etat basse pression (numéroté 1) : p • 0,1,
1 0,125, e
Les vitesses sont nulles : u, * u." 0. H 1
Soit x- la position initiale du diaphragme. Après éclatement de celui-
ci, il se forme la configuration caractéristique suivante donnée par un
diagramme (x, t) :
9.
Les états 4, 3, 2 et 1 sont des états constants.
Il est possible de calculer la solution exacte de ce problème.
II.2.2 - Choix des_paramètrès numériques
La géométrie étudiée est la suivante :
H.-'ute pression Basse pression
fc.
0 0,4 0,9
Le mai11age i n i t i a l e s t constant. Le pas ' e s p a c e Ax vaut 0 , 0 1 .
Le temps final e s t tf » 0,14154. I l n'y a aucun traitement par t i cu l i er de l a
discontinuité de contact , ce qui veut dire qu'en coordonnées d'Euler, c e l l e - c j
sera éta lée sur quelques m a i l l e s .
I I . 2 . 3 - Les_çalculs
Nous avons programmé la iiéthode qui v ient d'être d é c r i t e . Nous pré
sentons deux sér i e s de r é s u l t a t s . Les premiers sont consacrés aux coordonnées
de Lagrange ( c ' e s t â dire sans phase p r o j e c t i o n ) .
Nous comparons la méthode P.F .M. avec l es méthodes antérieures :
la méthode de G0DOUN0V et la méthode de RICHTMYUR. Nous avons u t i l i s é d i f f é
rentes valeurs de pas de temps, ce qui correspond à des nombres de Courant
\ - max C-j.,,0 r-=^ valant environ 1, 1/2 e t 0 , 0 3 . Le schéma de RICHTMYER l 1+1/2 Axi+i/2
e s t u t i l i s é avec l a pseudo-viscos i té h a b i t u e l l e .
La première comparaison concerne le schéma de RxJHTMYER e t le schéma
P.P.M., avec \ - 0 .54 .
La deuxième concerne l e schéma de G0D0UN0V et l e schéma P.P.M. avec
X - 1.
10.
Les planches I à VIII montrent les profils (respectivement densité,
énergie inten-e spécifique, pression et vitesse) obtenus dans ces différents
cas.
Les meilleurs résultats sont ceux du schéma P.P.M. Seuls deux petits
défauts très localisés se manifestent : au pied de la détente où les valeurs
de densité, énergie et pression sont légèrement surévaluées et au voisinage
de la discontinuité de contact pour la densité et l'énergie. Le choc est
bien restitué : l'étalement est très faible : un seul point intermédiaire.
Le schéma de RICHTMYEF présente des défauts bien plus importants : un creux
caractéristique dans les profils de densité, de pression et d'énergie toujours
au pied de la détente qui affecte deux points. Le choc est étalé sur trois
points. Le coefficient de pseudo viscosité qui a été choisi ici réalise
toutefois un bon compromis entre l'étalement et l'amplitude des oscillations
qui reste faible. Les différents paliers ne sont pas bien restitués. Le schéma
de GODOUNOV donné d'excellents résultats au niveau du choc et du palier qui
le suit. Il est en revanche très peu précis au niveau de la détente, ce qui
est une caractéristique des schémas d'ordre un.
Nous constatons en comparant les deux résultats du schéma P.P.M. que
le nombre de Courant à une certaine influence. Afin de préciser cela nous
avons passé deux calculs supplémentaires avec un nombre de Courant petit
(A - 0,03).
Les planches IX l XII montrent les résultats comparatifs RICHTMYER-
P.P.M.
Le schéma P.P.M. présente dans ce cas une évidente degradation.
Nous ne constatons pas csla du tout dans le cas du schéma de RICHTMYER.
La raison en est que lorsque X est petit les zones d'influence sont elles-
mêmes petites et les valeurs des états constants se rapprochent des valeurs
interpolées aux cloisons. Dans ce cas, résoudre un problème de Riemann ne
sert â rien. Nous savons qu'un schéma avec des valeurs intermédiaires sim
plement interpolées présente de fortes oscillations (instabilité du schéma
centré). Ceci nous paraît être le défaut le plus grave de la méthode.
12.
Pour être tout à f a i t complet, nous avons f a i t un autre ca lcul en
prenant l es formules d ' interpolat ion t e l l e s q u ' e l l e s sont données dans / 9 ~j
sans autre modification que la correct ion de p o s i t i v i t é .
P. COLLELA e t P.R. WOODWARD proposaient en e f f e t dans /~1 7 des modi
f icat ions à ces formules d ' interpolat ion que nous avons pr i ses c i compte
jusqu'à présent . Les planches XIII à XVI montrent les dif férences obtenues
en effectuant ou non ces modif icat ions . Sans modif icat ion, le défaut loca
l i s é au pied d? la détente d i spara î t . En revanche, l e voisinage du choc se
trouve légèrement perturbé. Sur ce t exemple, l ' i n t é r ê t des modifications
proposées par COLLELA-WOODWARD ne semble pas évident . Des d é t a i l s au sujet
de c e l l e s - c i sont donnés en annexe A.
La deuxième s l r i e de ca lculs concerne les coordonnées d'Euler.
Le pas d'espace vaut 0 , 0 1 . Nous ne retenons que le schéma P.P.M. pour la
phase lagrangienne. Nous comparons l e s t ro i s méthodes de project ion que
nous avons désignées par PI, P2, P3. Les planches XVII à XX montrent l es
résu l ta t s obtenus avec l e s project ions PI et P3, les planches XXI â XXIV,
ceux obtenus avec P2 qui e s t la project ion P.P.M.
w
Les deux premiers calculs ont été faits avec un nombre de Courant
X «max((u£+]/2 + ci+i/2^ A • 0,9. Les deux suivants qui utilisent la
projection P2 ont été faits avec deux nombres différents : 0,9 pour comparer
avec les deux premiers calculs, et 0,02 ; ceci afin de voir «si la méthode
P.P.M. présente également des défauts en coordonnées d'Euler en cas de nombre
de Courant petit. Nous remarquons de suite qus les trois méthodes donnent des
résultats très voisins. Si nous considérons les profils de pression et de
vitesse, il est facile de voir que les résultats de PI sont légèrement moins
bons. Par contre, les profils de densité et d'énergie contredisent cette
première conclusion. En définitive, nous avons pourtant tendance à préférer
les résultats de P2 et de P3 extrêmement proches l'un de l'autre, simplement
parce que la discontinuité de contact est moins étalée (trois mailles au lieu
de quatre). Cela indique une diffusion moins importante. Ces résultats sont
comparables à ceux obtenus par B. VAN LEER / 15_7• En ce qui concerne l'essai
sur les nombres de courant petits, nous voyons que la méthode P.P.M. laisse
bien apparaître quelques légers défauts, mais cela n'a pas l'ampleur constatée
dans le cas des coordonnées de LAGRANGE.
12.
1
•M . H
W C m o
/I i s
:
.
• j 4
• J J i 2 1
ST
IX OH
u z < -J
u 0)
u Of
PLANCHE II : Energie interne
X = 0,54
3.5
.3.0
• 3 r - •S-
*.a
3.s
3.0
?.5 •»•*»••»
\ V
Richtmyer
. A .R INtU'-H
.'.i':Y:lp
X
—
U" "•""—ni
.4 .fi
P.P.M.
mm
PLANCHE III : Pression
X = 0,54
1. 9 u... ...
• •' t
' • " it»n>'
Dr '. ;W(W
Richtmyer P.P.M.
15.
01 0) <n ai
s: a. a.
sr m o ii
u z <
y
(0
c CD
c
16.
s:
to.
= %
z < -1 0-
> o e 3 o "S
PLANCHE VI : Energie spécifique
01 -9 >V«-;»
1.0
3.5
?.5
r.fi
Godounov
X"
» * % > ,
\ \
P.P.M.
PLANCHE VII : P r e s s i o n
!.«<
0» A V V . » * . *
0 lf 't"'i
m f.pi 'n.n
Godounov P.P.M. 00
PLANCHE VIII : Vitesse
**•• .\u.nv
.B
UNI' .'. U W Dl I*. (Vil.il
Godounov
...-----Wv'^
P.P.M. «
20.
ï ft.
m c
X
ci © ©
21
- « G! S
X O 35
< 6.
ai
* fî o
5*
PLANCHE X : Energie interne
X - 0,03
9>
i.H
3.0
2. r .
Richtrayer ' 1411 p ' .«Hlll l
IH
P . P . M . N>
22.
t
c o • M en u> 0) lu m eu o •• 3
t—1 ; X r<
w 3S u 12 <. 0»
ft. 0-
« 4-1
23.
i
0 1 CO
eu eu
s:
0-
i i • ^ >
[ I 1
* • 4
î j i
• 4 4 f c t
H
w X u z •s
m o o* il
! •g
PLANCHE XIII : D e n s i t é
I
P.P.M. A = 0 , 5 4
•Q » ,
.4 .
TEMPS -0.1 i?m 01 "P.lV.-iV
Interpolation / 9 / Interpolation modifiée / ]_/
PLANCHE XIV : Energie interne
P.P.M. X = 0,54
3.S
01 -t.M?W
3.0
?.[) ..
t'I (•.fW.'KP
Interpolation / 9 / Interpolation modifiée / I 7
PLANCHE XV : Pression
P.P.M. A = 0,54
1.0
0' -e.w.w Interpolation / 9_/ Interpolation modifiée / 1 / to a»
PLANCHE XVI : Vitesse
P.P.M. X = 0,54
— --
f r
9
7_
à - - • • • • - 6 - (T
0' -».PP.JW
Interpolation / 9 /
I
\
Interpolation modifiée / I /
s»
PLANCHE XVII : Coordonnées d'Euler
Densité
I E K " ; a. i»tS4 01 =».»41S
L " T J
L 01 - .W41F.
iw i i r
Projection 3 Projection I N i OS
PLANCHE XVIII : Energie spécifique Coordonnées d'Euler
4 0
3.5 _.
?.5
?.0
?EWS -t. I11S1 t» -».ieii6
Projection 3
4.0
3.5
2.S
i.9
TW> - .mi* 01 - .MM M
i
Pr -jection I
NI
PLANCHE XIX : Pression
Coordonnées d'Euler
i .p
.6
» • * » . * » » * . • * * » * * * * • * •-• » • * » . * » » * . • * * » * * * * • * •-•
\
i
\
i TEWS :g .MlU
.i .B
PffcSSinN IEWS = . m u DT ^ .MMI6
Projection 3 Projection 1 o
PLANCHE XX : Vitesse
Coordonnées d'Euler
IffPS -».IJI5J
Projection 3 Projection I
32.
«8 C
C l
c I
X w X y z < a.
CM
PLANCHE XXII : Energie spécifique
P2
4 4>
I
>.S l
'€'*•- ir. m u 01 -».(V.HS
*.v
3.B
?. 5 ••**»»•••**•••»•*••
2.B
iFtt'S •« . Ml n 01 ;» .KWIP
\
•i, I
. « / . r. r ni I ' M
A - 0 ,9 A - 0 ,03
PLANCHE XXIII : Pression
P2
i. s* i.......
. 0 _
P" -*».«MI* 0' =».«'•.>!
A = 0,9
1 l
\ - 0,03
PLANCHE XXIV : Vi tesse
P2
i.f)
.h .6
. i l .
r-1FHP1 p. M I r,i> 01 "B.KWH
X - 0 ,9 X = 0 ,03
36.
Ill - LES SCHEMAS DE TYPE PREDICTION-CORRECTION
Le but de ce paragraphe est de présenter une famille de schémas qui
n'utilisent pas la solution d'un problème de Riemann. Malgré cela, nous dési
rons conserver la même structure que le schéma P.P.M., structure qui découle
du fait que toutes les quantités sont définies au centre des mailles. Il faut
alors calculer les valeurs intermédiaires autrement qu'en résolvant un pro
blème de Riemann. Nous nous sommes tournés vers la classe des schémas S 0
de A. LERAT et R. PEYRET / 8_/. Ce sont des schémas explicites, précis au
second ordre, du type prédicteur-correcteur à trois points.
III.1 - Présentation des schémas
Nous allons tout d'abord présenter ces schémas dans le cas d'une équa
tion scalaire :
3t + IS f ( U ) " ° '
Nous.partons de trois valeurs connues en n At
Vl/2 ' Vl/2 e t Ui +3/2'
Nous calculons dans une première phase des valeurs intermédiaires
notées u? et u? (valeurs prédites). Nous calculons ensuite dans une 1 1 + n+1
seconde phase (dite correction), la valeur finale u-.i/ 2
e n (n+l)ût.
a, 6 sont des paramètres, a J4 0.
37.
n+1 n+1
u
-m-
\
-v-n+c<
A<*t
i-1/2 * 3 f-
i+1/2 i+3/2
Posons : Ax. - x. + 1 / 2 - x . _ ] / 2 A x . + 1 / 2 - 6 A x i + ! + (1-3) AXi
Phase prédict ion
u i = ( 1 - s ) Vi/2 + e n At I ,n f n
U i + l / 2 " a Ax. i+1/2 ' £ i - l / 2
Phase correction
n+1 u. n u. At i+1/2 i+1/2 2a Ax. i + 1 / 2
(«-B)fJ + 3 / 2
+ (2 6 - l ) f n
+ 1 / 2
+ ' , - ^ > f i - l / 2 + f P
p - f? 1 i+1 i
l>- d i f férents ^ e f f i c i e n t s qui interviennent dans ce t te deirnifcre
formule garantissent l 'ordre deux du schéma. Le cas a • 8 " 1/2 correspond
au schéma ce Lax-Wendïoff.a • 1» 6 * 0 et a • 1» (3 • J correspondent aux
deux s o é n a s de Mac Cormack.
38.
Aucun de ces schémas n 'es t T.V.D. I l s fournissent donc des so lu t ions
avec des o s c i l l a t i o n s p a r a s i t e s .
Plusieurs méthodes nont été proposées pour résoudre c e t t e d i f f i c u l t é .
Parmi c e l l e s - c i l e s méthodes d i t e s de "pseudo-viscosité" (ajout d'un terme
d i s s i p a t i f ) sont semble t - i l l e s plus f a c i l e s à introduire dans les programmes
de c a l c u l . Les plus récentes découlent de la théorie des schémas T.V.D. :
: . F . DAVIS /~2_7, P.K. SWEBY /~13_7» P.L. ROE / ~ H _ / . Nous n'introduirons pas
pour l ' i n s t a n t de termes de pseudo-viscosi té dans nos schémas. Nous avons
en e f fe t l ' i n t e n t i o n par la su i t e d'effectuer une étude plus approfondie de
ces dernières méthodes. Nous ne nous intéresserons maintenant qu'à la sous
c l a s s e S. ,^.
Nous décrivons maintenant de façon préc ise l ' app l i ca t ion de ce schéma
au système de la dynamique des gaz é c r i t en coordonnées de Lagrange. Pour l e
cas des coordonnées d'Euler, nous décomposerons en phase lagrangienne plus
phase project ion .
I I I . 2 - Calcul des valeurs intermédiaires (prédict ion)
Nous les noterons maintenant u. e t p. î r i
Nous partons des valeurs déf inies dans les mai l les :
V l / 2 ' V l / 2 ' e i + l / 2 e t P i + l / 2 '
Nous avons *• se in des valeurs de dens i t é , v i t e s s e , pression et énergie
spécif ique sur l e s c l o i s o n s . I l y a un grand nombre de p o s s i b i l i t é s pour
dé f in ir ces valeurs :
- par interpolat ion l i n é a i r e ,
- par moyenne sur deux ou quatre m a i l l e s ,
- interpolat ion polynomiale,
- interpolat ion de l 'algorithme P.P.M.,
- e t c . .
39
Nous déta i l l erons dans l'annexe A l e s d i f férentes formules que nous
avons u t i l i s é dans nos e s sa i s numériques.
Nous supposons donc connues l e s valeurs : P. , u . , p. e t 1., a ins i que
la masse m. attachée à une c l o i s o n . î
La vitesse intermédiaire est donnée par :
n+a n , n n •. At = u. - a(p.
î î i+] (12) u, = u, - a ( p , M / 2 - P . _ 1 / 2 ) -
î
c ' e s t l a d i s cré t i sa t i on directe de l 'équat ion ( 2 ) .
Pour le calcul de l a pression intermédiaire p. , nous proposons deux
schémas :
- Calcul de p. : premier schéma
Nous pouvons nous s e r v i r de l 'équat ion de l ' énerg ie formulée en éner
gie interne (équation 3 b i s ) , car nous n'avons pas à nous préoccuper de la
conservation exacte durant ce t t e phase. I l e s t a lors poss ib le de procéder
comme dans l e schéma de RICHTMYER. L'énergie interne spécif ique fc? et l a
pression p. sont ca lculées en résolvant le système :
y n+a on n+a / 1 1 \ * i ' \ " ^i l ~n+3 " ~H}
p i p i (13) l 1 x
n+a c / n+a »n+a\ p £ - f ( p i , V )
où f es t l 'équation d ' é t a t . \ . et p. sont ca lculés par in terpo la t ion .
p. e s t donné par : ( d i s c r é t i s a t i o n de (1)) :
/ w \ 1 1 ^ a At , n n . ( 1 4 ) - n T a - - - + — ( u i + l / 2 " V l / 2 5 '
p i P i
40.
Le système (13) e s t en genera 1 résolu par une méthode i t é r a t i v e de
type Newton. Dans le cas par t i cu l i er d'une l o i de gaz p a r f a i t , i l v ient immé
diatement :
z , . n+a —n
( . 5 , p ~ - ( ï " " 0 i *» (1 • C - 1) ( P ° - P " * V O " )
Remarque : Nous pourrions dans la première formule de (13) centrer la
pression ; c ' e s t à dire écr ire :
n+a n
do) t r a - t ? - (ÎL-1ZL—) (_! L) i i v 2 ' „n+a n'
P i p i Dans le cas, où la cloison considérée est une interface entre deux
matériaux différents, nous ne pouvons plus définir p. et%..
Les relations (13) à (16) ne sont plus valables. Par contre, la for
mule (12) qui donne la vitesse reste correcte. Nous proposons un autre
schéma pour calculer p. qui reste valable dans tous les cas.
- Calcul de p. : deuxième schéma
., , , - n+a „ n+a „ n n+a Nous évaluons séparément p. .,_ et p. , ,-. Par exemple, P-.i/o e s t
obtenu en résolvant le système :
• n+ct «n n+a / 1 1 \ 1+1/2 * 1+1/2 " pi+l/2 n+a " n I
\ pi+l/2 pi+I/2 7
(17)
avec
n+a , / n+a *n+a \ p i + l / 2 t k P i + l / 2 ' c i + l / 2 ;
. , „ . 1 1 At , n n. ( , 8 ) -**r - - — + a s — : ( V i - V
Pi+l/2 pi+l/2 1 + 1 / 2
p. est ensuite calculée par interpolation à partir de P-.i/ ?
e t
n+a Pi-l/2'
41.
En résumé, le premier schéma consiste à calculer l'accroissement de
pression directement sur les cloisons à partir des valeurs interpolées.
Dans le second schéma, au contraire, les accroissements sont évalués dans
les mailles et c'est la pression en t + aAt qui est calculée par interpolation.
Dans le cas où i est l'indice d'une interface, nous utiliserons donc
toujours le second schéma. Nous l'avons dans ce cas particulier quelque peu
modifié :
- les densités P*+1/o e t P-_i/2 s o n t calculées à partir des formules
(18) dans lesquelles les vitesses u._., u. et u. . sont remplacées n+a n+a .. n+a
par u. ,, u. et u. , ; v 1-1 i 1+1
- la vitesse de l'interface est recalculée avec la formule (12) dans
laquelle les pressions P + 1 / 2
e t P'_i/2 s o n t remplacées par P- + 1/ 2
n+a et p. , ,. et en prenant a = 1. ri-1/2
Ces modifications qui tendent a rendre les calculs des vitesses et des
pressions aux interfaces un peu plus "implicites" améliorent sensiblement les
résultats.
42
I I I . 3 - Calcul des valeurs f ina le s en t + At (phase correction)
Cette phase u t i l i s e les valeurs prédites u. e t p. ca lculées précé
demment a ins i que l e s valeurs u. e t p. pour certaines valeurs de ex de façon
à conserver l'ordre deux. La d i s c r é t i s a t i o n d irecte des l o i s de conservation
conduit aux équations :
(19) n+1 At q i + l / 2 = q i + l / 2 2a
,_ 1 W n n, n+a n+a I ( 2 a - l ) ( p . + 1 - P . ) + p. + 1 - p . J
(20) n+1 n At e i + l / 2 * e i + l / 2 2a
/« , , / n n n n. . n+a n+a ( 2 a - l ) ( p . + 1 u . + 1 - P . u . ) + p . + 1 u . + 1
n+a n+a
(21)
La v i t e s s e 4e déplacement des sommets e s t donnée par :
(2g- l ) u. + u. w l / 2
u. = = • u. i 2a i
par appl icat ion de la formule (12) . Nous en déduisons
(22) n + l n ^ *. v&\/2 x. • x. + At u. î i i
(23) n+1 , , n+1 n+1. P i + l / 2 " m i + l / 2 / ( x i + l " X i }
(24) n+1 n+1 ,
u i + l / 2 * V l / 2 / m i + l / 2
(25)
(26)
tn+1 n+1 . . . _, n* 1 ,. 2
1*1/2 " e i + l / 2 / Œ i + l / 2 -• 1 / 2 ( u i + l / 2 }
n+î , , n+1 tn+1 . ? i + l / 2 " f ( 0 i + l / 2 ' t i + l / 2 )
4 3 .
I I I . 4 - Les formules d ' interpolat ion
Classiquement ce sont des interpolat ions l inéa ires qui sont u t i l i s é e s .
Dans l e cas de maillage i r r é g u l i e r , s i Y.est une des quantités que l 'on dés ire
interpoler :
I ( m
Y i + l / 2 A 3 C i - l / 2 * Y i - l / 2 A x i » l / 2 (27) y . • I(Y
"* i - I /2 ' a " i + l / 2 i i x . , ,„ • &x_.
Dans la pratique, certaines quantités sont évaluées avec des formules
p a r t i c u l i è r e s . I l en e s t a ins i pour la pression e t l a v i t e s s e .
Pour la press ion , l a formule habituellement u t i l i s é e peut se j u s t i f i e r
de la façon suivante :
Plaçons nous sur une c lo i son i e t désignons par p. la press ion (incon
nue à p r i o r i ) qui s 'exerce SUT ce t te c l o i s o n . Nous pouvons ca lculer une v i
tesse â gauche u. au temps t + aAt :
n 2aAt , n -n * u. * u. • - = = — (p. . , » - p. )
i , g i m
i _ i / 2 1-1/2 i
de même â droite :
n ^ 2xAt , -n n . U i , d " U i + m - T 7 : ( p i - p i + l / 2 > 1+1/2
La valeur de p. se déduit de l a cont inuité des v i t e s s e s : u. • u. , i i » g i . d
d'où :
-n p H / 2 " i - 1 / 2 * P H / 2 V l / 2 o _ * ^ i ^ « i ••
"i-l/2 + V l / 2
(28) p^
ce que nous pouvons écrire d'après (27) :
- I * (29) p. f-( - )
44.
C'est toujours une interpolat ion l i n é a i r e , mais pondérée par l e s i n
verses des masses. Nous pouvons u t i l i s e r une t e l l e formule dans le deuxième
schéma de calcul de p. , mais pas dans le premier. Dans ce cas , l a valeur
de p. e s t l i é e en e f f e t à l ' i n t e r p o l a t i o n de l ' énerg ie interne (formule 15) ,
c ' e s t à dire l inéa ire sans pondération. Or, c e t t e manière d' interpoler l es
pressions ne convient pas dans certains c a s . C'est ce qui se passe pour le
deuxième problème t e s t proposé dans / 10 / . Ce lu i -c i e s t un tube à choc avec
des valeurs i n t i a l e s des pressions et des densités t e l l e s que l e s deux for
mules envisagées donnent des valeurs des pressions interpolées qui sont dans
un rapport mil le ! En f a i t , ce calcul ne peut être f a i t qu'avec l ' i n t e r p o l a
t ion pondérée par l e s inverses des m a i l l e s , formule ( 2 9 ) . Pour s 'affranchir
de c e t t e d i f f i c u l t é dans le premier schéma, nous pouvons procéder comme
s u i t :
_ . n - , n ton. Soit : p i - f ( i t C i )
Calculons p. par (15). Nous en déduisons l'accroissement de pression
sur la cloison i au cours du pas de temps aAt :
.a n+a n A « p. - p. . p i i
Si maintenant, nous posons
-„ ^
Nous pouvons faire porter l'accroissement A sur cette dernière P
expression pour obtenir
,,», -n+a -n . .a (30) p £ ' ? i * A p
et, nous utiliserons p. dans la phase correction a la place de p.
Pour les v i t e s s e s , on u t i l i s e le plus souvent l ' i n t e r p o l a t i o n des quan
t i t é s de mouvement d'où :
/TI\ - I(P") ( 3 1 ) u i " -ûôT-
Nous utiliserons une formule analogue pour les énergies internes :
I(pe) (32) £ i 1(F) "
Les interpolat ions l i n é a i r e s peuvent introduire une di f fus ion impor
tante . Des interpolat ions plus préc ises sont u t i l i s é e s . L' interpolat ion pro
posée par COLELLA e t WOODWARD dans /~1_7 pour l'algorithme P.P.M. en e s t un
exemple. Nous l a noterons I _ n u . Une autre p o s s i b i l i t é e s t l ' i n t e r p o l a t i o n FFM
polynômiale sur quatre mailles. Nous la noterons I „ . Ces deux dernières
interpolations seront détaillées en annexe A de façon à disposer dans cette
note de toutes les formules. Nous ne ferons que reprendre, à cette occasion,
les calculs exposés dans / 9_/.
En résumé, nous retiendrons :
- Les interpolations linéaires pondérées : ""
P £ « I(P)
p = *(P/P> Pi I(l/p)
u. Kpu) T-(p)
&i I(P)
Les interpolations polynomiales, I est remplacé par Ip0,«
Les interpolations dites "PPM", est remplacé par ïppM-
46.
L ' u t i l i s a t i o n des formules d ' interpolat ions l e s plus préc ises (sur
quatre mai l les) changent l a nature du schéma : c e l u i - c i devient un schéma
à cinq po in t s , et i l s e r a i t intéressant d'avoir une idée de l ' in f luence que
ce la peut avoir sur la préc is ion e t la s t a b i l i t é .
Dans ce but, nous avons plus particulièrement étudié l e s cas des i n
terpolations "PPM" e t polynomiale appliquées au cas de l 'équat ion s c a l a i r e ,
l inéa ire :
3u du - „ T- + a r - « 0 avec a > 0 , dt dx
à l ' a ide d'une analyse de Fourier.
Les ca lculs e t l e s conclusions sont exposés dans l'annexe B.
I I I . 5 - Les ré su l ta t s numériques
Nous désirons connaître l ' in f luence des paramètres suivants :
- l e s schémas de calcul de p. î
- le coefficient a
- les formules d'interpolation.
En ce qui concerne l e s deux premiers p o i n t s , nous avons obtenus l f s
réponses suivantes :
- Le premier schéma de calcul de p. (formîles ( 1 3 ) , (14) e t (15))
donne de bien meil leurs ré su l ta t s que le second (formules (17) , ( 1 8 ) ) .
L amplitude des o s c i l l a t i o n s e s t moindre e t surtout: c e l l e s - c i s 'amortissent
plus rapidement (planche XXV : p r o f i l s des d e n s i t é s ) .
- Le c o e f f i c i e n t a n'a qu'une f a ib l e influence : nous obtenons une
légère diminution de l'amplitude des o s c i l l a t i o n s en u t i l i s a n t et • 2 , par
rapport à a - 1/2 (planche XXVI).
47.
Dans tous ces calculs, nous avons utilisé les interpolations linéaires
pondérées pour évaluer les quantités sur les cloisons.
En conséquence, dans les essais suivants nous avons utilisé le premier
schéma de calcul pour la pressiont prédite, sauf là où le second schéma est
nécessaire, c'est à dire dans nos exemples sur la discontinuité de contact
en coordo mêes de Lagrange. Le coefficient a a été fixé à 1/2.
Les quatre planches suivantes (XXVII à XXX) montrent les résultats
obtenus avec le schéma que nous continuons à appeler Lax-Uendroff, c'est à
dire :
a = 1/2
- premier schéma de calcul pour la pression prédite,
- interpolations linéaires pondérées.
Ces planches montrent les profils des densités, énergies internes
spécifiques, pressiors et enfin, vitesses dans le cas des coordonnées de
Lagrange (A = 0,54) à gauche et dans le cas des coordonnées d-'Euler
(X = 0,4) à droite. Ces résultats sont caractéristiques des schémas de type
Lax-Wendroff en l'absence de pseudo-viscosité. Ils montrent la présence
d'oscillations parasites importantes. L'amplitude de ces oscillations reste
bornée. C'est l'illustration des résultats théoriques concernant les schémas
de type Lax-Wendroff (/~8_/) .
Les essais numériques suivants ont pour but de mettre en évidence
l'influence des formules d'interpolation. Ils reprennent les mêmes données.
Nous avons fait trois séries de calculs :
- La première utilise les interpolations polynomiales sur quatre
mailles : planches XXXI à XXXIV.
- La seconde utilise les interpolations proposées par COLELLA-
WO0DWARD [ \ J : planches XXXV à XXXIX.
- La troisième, enfin, utilise les modifications préconisées par
ces mêmes auteurs pour le même type d'interpolation : planches XXXIX â XLII.
48.
Ces e s s a i s i l l u s t r e n t parfaitement l 'analyse décr i te en annexe B.
Nous constatons effectivement une diminution des erreurs de caractères d i s -
persif ( l e creux s i tué au pied de la détente , par exemple). En revanche, dans
le cas des coordonnées de Lagrange, i l se produit une augmentation des o s c i l
lat ions paras i tes au vois inage du choc. C'est tout à f a i t évident dans l a
dernière s ér i e d ' e s s a i s . Ces o s c i l l a t i o n s sont l ' i l l u s t r a t i o n de la moins
bonne s t a b i l i t é des schémas.
Dans le cas des coordonnées d'Euler, l ' i n v e r s e se produit : c ' e s t la
dernière sér ie ( interpolat ion de COLLELA-WOODWARD modifiée) qui présente le
moins d ' o s c i l l a t i o n s .
I l e s t permis de penser que ces o s c i l l a t i o n s de caractère non l inéa ire
ont été en part ie él iminées par la d i f fus ion introduite par l a méthode de
project ion.
En résumé, i l n'apparaît pas souhaitable , dans le cas des coordonnées
de Lagrange d ' u t i l i s e r l e s formules d ' interpolat ion sur quatre mai l les propo
sées par COLELLA et WOODWARD. Par contre, dans l e cas Eulerien, ce t te u t i l i
sat ion conduit à améliorer quelque peu l e s r é s u l t a t s . Les interpolat ions
polynomiales sur quatre mai l les donnent de bons ré su l ta t s dans tous les c a s .
C'est donc c e l l e s - c i que nous ret iendrons.
PLANCHK XXV : D e n s i t é
0' ».»>.%•
.4
01 C.IV W
Second schéma Premier schéma
! .P ..
.4 .6 nFNMIF
a = 2
PLANCHE XXVI
I.H
.B
.4 \ " • A i
L
a = 1/2
o
PLANCHE XXVII : D e n s i t é
1 l
1.0
.6
?' i \ ; Y \ v TEMPS -P. l4?W
.6
PLANCHE XXVIII ; Energie interne
?.s» ..
-
\
V
3.5
3.0
?.S
?.H
or = B . W 7 ( W
.-I .6
. P i . i
X. V
[•' V . i V ' L V
I
PLANCHE XXIX : P r e s s i o n
TEW1; rn.ij. 'P? OT -r..m!m
.2
*• . - ^ * * » * » « . » . « ^ . „ * '. fi L
. t .P ppf. '- . i ' i - .
u>
3 4 .
en
ta
X X X
ï
PLANCHE XXXI : Densité
Interpolation polynomiale
\
A,
D! -B.«T,(tl<
PLANCHE XXXII : Energie interne
Interpolation polynomiale
à ;' ;
f"1
u
3.H
2.0 \ Y»
PLANCHE XXXIII : Pression
Interpolation polynomials
'i«". • . M i .'•
K.s~ »»«»«»•»!, 4 0' A
MU.". lMt".1> 01 = ».!W.'(M
-•4
. -1 ;
î» :».W.W
/ \ ,\^\>
PLANCHE XXXIV : Vitesse Interpolation polynomiale
1. .?
« r , -î-, ,.< .M OT s).«MM
> « i «>»»<.*
00
PLANCHE XXXV : Densité
Interpolation COLLELA-WOODWARD
1.0
.fi
,fi
irw p. \A w
PLANCHE XXXVl : Energie interne
Interpolation COLLELA-WOODWARD
• s ^ ^ V
{*H
t.9
?.f
?.S
?.H
.?
[)• *». A». iV oi -(.«".'lie
• , • . « • • * • * • • '
\ /
./l .6
O
PLANCHE XXXVII : Pression
Interpolation COLLELA-WOODWARD
..-WlrViA/l
L
I.R
't ir . WW", p. ! I ;•• 01 «.(W.'flO
PLANCHK XXXVIII : Vïtesse
Interpolation COLLELA-WOODWARD
VAA l.fl
i II
. „ _
V.
.s
.4
r *
^•. . - . . / V
UW", P. ! ' ."
ni n.w.iw
PLANCHE XXXIX : D e n s i t é
I n t e r p o l a t i o n COLI-LLA-WOODWARD m o d i f i é e
i .»
" \
L
if*T'- • -, • •:
0! ».«' *>
PLANCHE XL : Energie interne
Interpolation COLLELA-WOODWARD modifiée
4.0
3.5
3.H
c • 5 »••
?.B
0' :|.W»
PLANCHE XLI : Pression
Interpolation COLLELA-WOODWARD modifiée
• \
l 01 = B.TO. W
PLANCHE XLII : Vitesse
Interpolation COLLELA-WOODWARD modifiée
1.0
.6
.4
.?
\-"
.V" 7EW5 C.M, IV
01 =B. lW?f!'
67.
IV - CONCLUSION
Il es t toujours bien hasardeux de juger une méthode sur un seul cas
t e s t . Toutefois , le problème du tube à choc nous paraît dans un premier temps
bien représentatif des d i f f i c u l t é s de nos c a l c u l s . Nous pouvons dire qu'une
méthode qui présenterait de graves défauts sur ce cas t e s t l e s conserverait
certainement sur des problèmes plus compliqués. Il ne faut donc considérer
nos résul tats présents que comme un dégrossissage, duquel i l e s t quand même
poss ib le de t i r e r quelques enseignements.
Des d i f férents e s s a i s numériques sur ce cas t e s t , i l ressort que :
- Le schéma PPM fourni d ' exce l l en t s ré su l ta t s e t peut ê tre u t i l i s é
avec des nombres de Courant v o i s i n de un. I l présente par contre de graves
défauts en cas d ' u t i l i s a t i o n avec des nombres de Courant très p e t i t s . De p lus ,
son u t i l i s a t i o n avec des équations d 'é ta t quelconque peut soulever certaines
d i f f i c u l t é s .
- Les schémas de type prédict ion-correct ion peuvent, même en l ' a b
sence de termes de pseudo-v iscos i té , fournir des résu l ta t s acceptables .
Nous retiendrons le schéma basé sur ce lu i de Lax-Wendroff avec ca l
cul des valeurs interpolées sur quatre mail les à l 'a ide d'un polynôme du
troisième degré.
Comme nous l 'avons déjà soul igné, des améliorations importantes sont
à attendre du côté de la théorie des schémas T.V.D. Nous avons l ' i n t e n t i o n
maintenait d'approfondir ce t te question e t de t r a v a i l l e r sur de nouveaux
t e s t s .
Nous tenons, enfin à remercier, P. LASCAUX pour l ' i n t é r ê t q u ' i l a
porté à cette étude e t pour les discussions enrichissantes que nous avons
eues .
ANNEXE A
INTERPOLATION SUR UN MAILLAGE IRREGULIER
Interpolation linéaire
Q * QG1
QD1
•^T \
N , \
\ V \
XO DG1 DD1
-*x
Q(X0) = (QG1*DD1 + QD1*DG1)/(DG1+DD1)
Interpolation polynomiale sur quatre mailles
« , k
QD1 ~s'~'\ QD1 / '
> \
Q02 /
f
7 *
QG1 / ; \
/*
; \
QG2
|f ^ |f ^ XG2 XG 1 X< D XD 1 XD2 I =>
• 4 DG2 DG1
•> +• -* *~ DD1 DD2
A.2
On écrit qu'un polynôme du troisième degré passe par les quatre points
(XG2, QC2) , (XG), QG1), (XD1, QD1), (XDZ, QDZ). Soit :
(2) Q(x) * A + B (x - XO) + C (x - XO) 2 + D (x - XO) 3
L'interpolée sera la valeur de Q(x) en x = XO :
Q(XO) = A.
En écrivant (2) pour les quatre points, on trouve un système de quatre
équations à quatre inconnues, les coefficients A, 8, C et D. Le déterminant
de ce système est un déterminant de Van der Monde, et l'on peut résoudre ce
système par les formules habituelles de Cramer / 9_7. Tout calcul fait, la
formule s'écrit, en posant :
AG = DG2 + 2 *DG1 , AD - DD2 + 2 *DDI
(3)
BG = AG + DDI
DG = DGI + DG2
c ;xo) = AG* AD
(DGI + DDI)
BD - AD + DGI
DD - DDI + DD2
DG1*QD1 + DD1«QG1 BG*DD BD*DG
DPI«DG1 (AG*AD)
AD«QG2 AG«QD2 BG*DG BD*DD
Cette formule peut donner une valeur de Q(XO) extérieure à l'ir.t
valle (QGI, QD1). Quand cela se produit nous prendrons comme valeur :
(4) QO - max (min(QGl, QD1), min (Q(X0), max(OGl, QD1)))
3 - Interpolation proposée par COLELLA-WOODWARD / \J
On considère l'intégrale :
(5) F(x) - / q(x)dx ou q(x) - q i + ] / 2 pour x e I x ^ x i + 1 J
XO
A . 3
q-3/2 q- ] /2 q 1/2 q 3/2
x-2 x-1 *0 x 2
F(x) e s t approchée par un polynôme du quatrième degré :
F(x) = a(x-xo) + b(x-xo) + c(x-xo) + d (x -x 0 ) .
La valeur cherchée est la dérivée de F au point considéré :
F'(xo) = a.
On trouve i c i aussi un système de quatre équations à quatre inconnues
qui a l e s mêmes caractér is t iques que l e précédent. Tout calcul f a i t , en con
servant l e s mêmes notations et en posant en outre :
S - DG2 + DG1 + DD1 + DD2
CG - DG/(DD*(DD + DG1))
GC = DD/(DG*(DG + DD1))
(6)
On trouve :
F'(XO) DD*DG (DD1
»DG r f DG1) L
CG*QD1 + CD*QG1 ] DD TT^" [ M * (DD2*QD2+DD1*QD1) • ^ * (DG2*QG2+DG1*QG1) J
COLELLA e t WOODWARD écrivent c e t t e formule d'une autre façon en
mettant en évidence les pentes moyennes de q(x) dans les mai l les à gauche et
â droite de XO.
Pour la mail le DD1, cette pente moyenne dépend des pentes «:n XO e t
en XD :
—! ! !-XG XO XD
DG1 DD1
Elle est donnée par :
( 7 ) A Q D . S£! [ IgGijDDl | } , 2 ^ D D 1 (DGH-DDH-DD2) |_ W ï * m 2 DG1+DDI
COLELLA et WOODWARD limitent cette pente à la manière de B. VAN LEER
/ 13 /. A la place de AQD, ils prennent :
(8) AQM - min (|AQD|, 2|QD1-QG1;, 2[QD2-QD1j) x sign (AQD)
et de même pour AQG.
Tous les calculs PPM ont été faits de cette façon, sauf le calcul
dont les résultats figurent à gauche des planches XIII à XVI qui a donc été
fait avec la formule (6). Dans tous les cas, les formules sont modifiées de
façon que la valeur interpolée resce Jans l'intervalle ((QD1, QG1)
(formule (A)).
B.l
ANNEXE B
Nous présentons i c i l ' a n a l y s e de Four ie r des schémas de type Lax-
WENDROFF appliqués à l ' é q u a t i o n l i n é a i r e :
3u 3u -. n ^— + a -r- = 0 , a > 0 . dt dx
Le premier pas du schéma de Lax-WENDROFF pour cette équation s'écrit,
dans le cas d'un maillage légulier et avec les notations du paragraphe III :
n+1/2 n aAt , n n . U i = Ui " 2Â^ ( V l / 2 ' Ui-l/2>
u. est alors défini par interpolation linéaire entre u. , ,„ et u. , .„, î 1+1/2 1-1/2
soit ici :
n ^ n n . V l / 2 * Ui-l/2
U i " 2
Si, au lieu de cette formule, nous utilisons les formules d'interpola
tion décrites en annexe A, nous aurons affaire à d'autres schémas dont il
convient d'étudier la stabilité. Dans le cas du maillage régulier et en
l'absence de correction de positivitê, les formules d'interpolation s'écrivent
plus simplement :
( 1 ) W V 4 (Vl/2 + Ui-l/2} " TE (ui+3/2 + Ui-3/2}
et :
( 2 ) W V " 17 (V]/2 + Vl/2* ' 17 (ui+3/2 + V 3 / 2 )
posons :
\ A t
À - a — Ax
B.2
Comme suggéré par P. LASCAUX / 1J , nous condenserons les deux for
mules précédentes en faisant usage d'un paramètre £ :
(3) 1 e I(u £) - (y * 4>(
ui +l/2 + ui-l/2 } " 4 ( ui*3/2 + Ui-3/2>
!_., correspond à e = 1/4, I_ n u à e » 1/3 et enfin l'interpolation FOL rrri
linéaire à t = 0. Nous retrouvons dans ce cas le schéma de Lax-WENDROFF.
Ceci étant posé, le schéma s'écrit :
n+1 n
r Vi/2 = Vi/2 " x
(4)
[ ( _ T ~ ) ( U i + 3/2 " u i- l /2>
X , n " 4 ( V s / 2 ~ Ui-3/2> " 2 < ui +3/2 ~ 2 V l / 2 + Ui-l/2>
Nous faisons maintenant une analyse de Fourier de la stabilité et de
1'erreur de phase.
Considérons la fonction constante par morceau :
u n(x) * u " ^ w o pour x e | iAx, (i+l)Ax I J".'+..2 pour x £ | iAx, (i+l)Ax
et, appliquons lui la transformation de Fourier
u n ( Q -L f e
i x Ç un(x)dx SF J
Remarquons que :
u t x i À x ) (Ç) - e * l A x Ç u(Ç)
Après transformation de Fourier, le schéma (4) s'écrit en posant
e - ç Ax
"n+1 1 - >2(l-cos6) + U sine (1+e- e cos9)
B.3
Le module du c o e f f i c i e n t d'amplif icat ion vaut :
(5) jCJ2 = I + } . Z ( I - C G S 9 ) | X 2 ( l -cos6) - ( 2 - ( l + c o s 6 ) d + e - e cos;
La condition | G { " < 1 y£ équivaut à :
/ - (1-cosS) - (2 - (1+cosô) ( 1 * E - £ c o s 6 ) : ) * 0 y 6
ou, encore a :
(2 - (1 À 2 < inf l 2 ~ ( 1 + c o s 6 ) ( 1 + E - E c o s 6 ) 2
1 - cosô
Telle est la condition de stabilité. 11 faut préciser la valeur
du minimum de la fonction du second membre de cette inégalité. C'est un poly
nôme du second degré en t - 1 - cos6 . Une analyse détaillée de cette fonction
conduit à la condition : *
(6) X 2 * M e )
où 'y(c) est la fonction suivante :
iKe) - 0 si e < - 2
- - e 2 - 2e si - 2 < e £ - 1
« 1 si - I f £ < 0
- 1 - 4e si 0 * e $ 1/4
- ô si e > 1/4
Cette fonction esf figurée sur le graphique suivant :
. ^ ( O B.A
-1 l> 1/4
I l y a i n s t a b i l i t é pour :
e £ - 2 e t e 5 1/4.
En p a r t i c u l i e r , l e s interpolat ions PPM ou polynomiale conduisent à
des schémas instables puisque £ » 1/3 e t 1/4 ! I l faut toutefo i s remarquer
que nous avons négl igé la correction de p o s s i t i v i t é .
Sa prise en compte détruirai t la l i n é a r i t é du schéma e t empêcherait
une analyse de Fourier.
Dans l e cas du schéma de Lax-WENDROFF (e - 0 ) , nous retrouvons l a
condition de s t a b i l i t é c lass ique :
a At Ax S 1-
Analyse de l ' erreur de phase
Calculons la différence de phase entre deux i t é r é s s u c c e s s i f s ,
Dans le cas de la so lu t ion exacte , c e t t e différence vaut :
ÙSt - AAx Ç * X6. l ex
Dans le cas du schéma :
tgYA >. sin 8(l+e- e cos6)
1 - X2(l-cos9)
Un développement l i m i t é au troisième ordre en 6 , nous donne Af-
L'erreur de phase E s ' é c r i t alors :
(7) E(*f> - C X - A ~ ^ ~ 3 C ) e 2 • 0(6") 'ex
L'erreur de phase e s t d'ordre deux pour )} f l - 3e e t d'ordre quatre
pour À* = 1 - 3c.
En p a r t i c u l i e r , dans l e cas des interpolat ions PPM, e = 1/3 e t l 'erreur
de pahse vaut :
^ e 2
tandis que dans le cas des interpolat ions l i n é a i r e s e = 0 (Lax-WENDROFF),
e l l e vaut :
Nous constatons alors que pour X < — = 0 ,7 l ' erreur de phase du schéma avec
interpolat ion PPM e s t en valeur absolue plus p e t i t e que l 'erreur de phase du
schéma Lax-WENDROFF. El le tend même vers une erreur d'ordre quatre quand X
devient p e t i t . En revanche, pour les valeurs vo i s ines de un, c ' e s t l e schéma
de Lax-WENDROFF qui e s t le plus p r é c i s . I l e s t poss ib le de cho i s i r un couple
(X, e) qui minimise l 'erreur de phase. Par exemple, s i nous chois issons
e = 1/4 ( interpolat ion polynomiale), l ' erreur de phase e s t d'ordre quatre
s i A - 1/2.
De l 'ana lyse précédente, i l découle que les schémas les plus précis sont
malheureusement i n s t a b l e s . Calculons néanmoins l e c o e f f i c i e n t d'amplif ication
pour À « 1/2, e » 1/4 (cas de l 'erreur de phase minimale). I l vaut 1,0018,
ce qui e s t une valeur très proche de un. Ce schéma peut être qua l i f i é de
faiblement i n s t a b l e .
Les e s s a i s numériques en coordonnées de Lagrange ont confirmé ce t t e
analyse (cas des interpolat ions polynoniales e - 1/3) planches (XXXI à XXXIV).
Dans le cas des coordonnées d'Euler, i l faut tenir compte de la phase projec
tion qui joue un grand rôle dans la s t a b i l i s a t i o n . En e f f e t , c e l l e - c i peut
r e s t a b i l i s e r un schéma dont la première phase s e r a i t i n s t a b l e . C'est ce que
confirme les e s s a i s numériques (planches XXXIX à XLII).
REFERENCES
/ \J P. COLLELA, P.R. WOODWARD
The Piece wise Parabolic Method for gas dynamical simulations
J.C.P. Vol 54-1 (1984)
/~2_7 S.F. DAVIS
T.V.D. Finite difference schemes and artificial viscosity
ICASE report n° 8420 (Juin 84).
/~3_7 J.C DESGRAZ
Note interne.
/ 4_/ S. GODOUNOV et Coll.
Résolution numérique des problèmes multidimensionnels de
la dynamique de* gaz
Editions MIR (Moscou 1976)
/"5_7 A. HARTEN
High resolution schemes for hyperbolic conservation laws
J.C.P. Vol 49 (1983)
/"6_7 H. JOURDREN
A paraître
[ l j P. LASCAUX
Communication particulière
/"8_7 A. LERAT et R. PEYRET
Propriétés dispersives et dissipatives d'une classe de schémas
aux différences pour les systèmes hyperboliques non linéaires
La Recherche Aerospatiale (1975) n e 2.
B. MELTZ Note interne
Rezoning Workshop (Asilomar 1983) publ ié par LANL ( J u i l l e t 84)
LA 10112-C
PL. ROE
Generalized formulation of TVD Lax-Wendroff schemes ICASE Report NASI 17070 (Octobre 84)
G. SOD
A survey of several finite difference methods for systems of non linear hyperbolic conservation laws J.C.P. vol 27 (1978)
P.K. SWEBY High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws SIAM Journal of numerical analysis, vol 21 (Oct.
B. Van Leer Towards the ultimate conservative difference scheme, vol IV J.C.P. Vol 23 (1977)
B. Van Leer Towards the ultimate conservative difference scheme, vol. V J.C.P. Vol 32 (1979)
Recommended