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Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques
C. Morel, DER/SSTH
Plan de l’exposé
• Partie I: Etablissement des équations de bilans: masse, quantité de mouvement, enthalpie totale (Eqs. primaires)
• Partie II: Présentation des principales relations de fermetures
• Partie III: Equations de bilans supplémentaires: exemple de l’énergie cinétique turbulente et de l’aire interfaciale volumique en écoulement à bulles.
• Partie IV: Illustrations et références
PARTIE I
ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DE BILANS PRIMAIRES:
• Masse
• Quantité de mouvement
• Enthalpie totale
Les équations locales et instantanées pour la phase k (1)
• Masse:
• Quantité de mouvement:
• Enthalpie totale:
G,Lk0v.t kkk
G,Lk.gpvv.t
vkkkkkk
kk
G,LkQv.q.
v.gt
pv
2
vh.
2
vh
t
kkkkk
kkk
k
2k
kk
2k
kk
Les équations locales et instantanées pour la phase k (2)
• Pour un fluide de Stokes et de Fourier:
• Loi d’état pour chaque phase:
• Qk et g sont des données du problème
kkkk
kkkk
h,pTT
h,p
kkk
kT
kkkk
k
Tq
vvIv.3
2
Opérateur de moyenne et règles de Reynolds
• Statistique (opérateur le plus général)
• Temporel (écoulement stationnaire en moyenne)
• Spatial (écoulement homogène en moyenne)
• Linéarité de l’opérateur de moyenne
• Idempotence de l’opérateur <<F>> = <F>
Utilisation des distributions
• Traitement des discontinuités aux interfaces
• Fonction Indicatrice de Phase (FIP):
• Equations vérifiées par la FIP:
contrairecasledans0
tttanins'làkphaseladansestxsi1t,xk
Ikk
kk
n
0.wt
Extension des équations locales-instantanées au diphasique
• Les dérivées de k ne sont non nulles qu’au sens des distributions, et on a:
• Exemple: bilan de masse: k = k
Ikkkkk
kkkk
k
Ikkkkkkkkkk
n.wtttt
n
IkI
m
kkkkkkkk mˆn.wvv.
tk
Quantité de mouvement et enthalpie
• Quantité de mouvement:
• Enthalpie totale Hk = hk + vk.vk/2:
Ikkkkkk
kkkkkkkkkkkkk
n.npvm
.gpvv.t
v
IkkkIkkIkkkkkkkk
kkkk
kkkkkkkkkk
n.v.n.qHmg.vQ
v..t
pq.vH.
t
H
Opérateur de moyenne (1)
• < > = opérateur de moyenne d’ensemble
• Moyenne phasique:
• Taux de présence phase k:
• Moyenne de Favre:
k
kk
kk ˆt,x
kk ˆt,x
kk
kkk
kk
kkkk ˆt,x
Opérateur de moyenne (2)
• Moyenne aux interfaces:
• Aire interfaciale volumique:• Moyenne aux interfaces pondérée par le
changement de phase:
• Taux de production de masse:
I
kI
Ik aˆt,x
II ˆt,xa
Ikk mˆ
k
IkkI
Ik
Ikkk
ma
m
mˆt,x
Equations moyennées
• Masse:
• Quantité de mouvement:
kkkkkkkk V.
t
ynoldsRedetenseur:VVvvˆ
mouvementdequantitéde
erfacialinttransfert:n.npvmˆM
M.gp
VV.t
V
kkkkkkkkT
k
Ikkkkkkk
kT
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkk
Décomposition du transfert de quantité de mouvement
• Cas d’un écoulement à bulles:
turbulentedispersionM
)lift(cetanporM
ajoutéemasseM
trainéeMM
reculdeforceVM
MpMM
TDk
Lk
Ak
Dkk
kkk
kkIkkk
Quantité de mouvement: forme non conservative
• En soustrayant Vk*bilan masse:
...)ajoutéemasse,trainée(forcesautresM
reculdeforceVV
)stratifiéssécoulement(pressiondeécartpp
turbulenteetemoléculairdiffusion.
gravitéetpressiongradientgp
kphasemoyenneonaccélératiDt
VD
k
kkk
kkkIk
T
kkkk
kkkkkk
kkkkk
Forme simplifiée dans code NEPTUNE_CFD
• Hypothèse simplificatrices: et
pression unique: d’où:kk VV
PppkkIk
...)ajoutéemasse,trainée(forcesautresM
turbulenteetemoléculairdiffusion.
gravitéetpressiongradientgP
kphasemoyenneonaccélératiDt
VD
k
T
kkkk
kkkk
kkkkk
Bilan moyen d’enthalpie totale
• Hk: enthalpie totale moyenne
tpn.v.n.qHmˆE
Eg.VQ
v..t
pqq.
VH.t
H
kkIkkkIkkIkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkT
kkkk
kkkkkkkkk
Décomposition du transfert d’enthalpie totale
négligéstermest
Ppn.v.
moyennepressionentermet
P
erfaceintkphasechaleurdetransfertaq
phasechangementassociéenthalpie'dtransfertHˆE
kkIkkk
k
Iki
kkk
Enthalpie totale: forme non conservative
chaleuretmasseerfacialinttransfertaqHH
)gravité,chaleur(cetandisàsourcesg.VQ
itécosvisdeetpressiondetermesv..t
P
turbulenteetemoléculairdiffusionqq.
totaleenthalpie'diationvarDt
HD
Ikikkk
kkkkkkkk
kkkkk
T
kkkk
kkkkk
Forme simplifiée dans code NEPTUNE_CFD
chaleuretmasseerfacialinttransfertaqHH
)chauffanteparoi.g.e,chaleur(cetandisàsourceQ
pressiondetermest
P
turbulenteetemoléculairdiffusionqq.
totaleenthalpie'diationvarDt
HD
Ikikkk
kkkk
k
T
kkkk
kkkkk
PARTIE II
PRESENTATION DES PRINCIPALES RELATIONS DE FERMETURES:
• Transferts interfaciaux de masse et de chaleur
• Transfert interfacial de quantité de mouvement
• Transferts turbulents
Transferts interfaciaux de masse et de chaleur
• Forme simplifiée du bilan interfacial d’enthalpie (Ishii, 1975; Ishii & Hibiki, 2005):
• Densité de flux de chaleur:
12
2,1kIki
122,1k
Ikikk HH
aq
0aqH
)ddiamètrebulles.g.e(PTTd
Nuq satk
kkki
Transferts interfaciaux de quantité de mouvement
• Ecoulement à bulles (diamètre d):
• Trainée:
• Masse ajoutée:
• Portance (lift):
• Dispersion turbulente:
LGLGDLiDL
DG VVVVCa
8
1MM
Dt
VD
Dt
VD
1
21CMM LLGG
LAAL
AG
LLGLLLL
LG VVVCMM
LLTDTDL
TDG KCMM
Transferts turbulents
• Tenseur de Reynolds (e.g. phase liquide):
• Viscosité turbulente:
• 2 inconnues à fermer: KL et L
)V.K(I3
2)VV( L
TLLLLL
TL
TLL
T
L
L
2LT
L
KC
Partie III: Equations de bilans supplémentaires
• Moyenne d’un scalaire passif (scalaire convecté et diffusé par l’écoulement)
• Quantités turbulentes liées à l’écoulement (tensions de Reynolds, énergie cinétique turbulente…) ou au scalaire passif (variance et flux turbulent du scalaire passif)
• Quantités géométriques (e.g. aire interfaciale volumique aI, nombre volumique moyen de bulles…)
Méthodes de dérivation des équations
• A partir des équations de bilans primaires (masse, quantité de mouvement, énergie) en gardant le même formalisme général (particulièrement difficile pour les grandeurs géométriques)
• Pour les écoulements DISPERSES, utilisation d’un formalisme particulaire introduisant une fonction de distribution des particules fluides: en taille, en vitesse…
Exemple 1 (méthode 1): Energie Cinétique Turbulente (ECT)
• Intérêt: l’ECT est une des 2 variables principales du modèle K- permettant de fermer la viscosité turbulente.
• Définition: L’ECT est la différence entre la moyenne de l’énergie cinétique du mouvement total (local et instantané) et de l’énergie cinétique du mouvement moyen:
2
V
2
vˆK
2L
L
2L
L
Eq. pour l’ECT (2)
• On suppose que le liquide (phase considérée) est incompressible et indilatable (L = cte).
• La méthode de dérivation suit celle employée en monophasique, et découle directement de la définition de la grandeur (ici KL) et des propriétés de l’opérateur de moyenne.
Eq. pour l’ECT (3)
VI
I
2L
L
V
ILLLILLLL
IV
LLLLL
III
LLLL
L
L
L
2L
LLLLLLLLL
LLLLL
2
vmn.v.n.vp
1
V:vvv:
IIv2
vv.vp.
1
IVK.t
K
Eq. pour l’ECT (4)
• I: transport par vitesse moyenne• II: diffusion turbulente• III: dissipation visqueuse• IV: production par le gradient de vitesse
moyenne• V: production/destruction interfaciale• VI: transfert d’ECT par changement de
phase
Fermeture de l’Eq. d’ECT (1)
• I et IV ne nécessitent aucune modélisation supplémentaire
• III sera donnée par son équation (Eq. d’L)
• II: les 3 termes sont modélisés collectivement par une loi gradient:
LK
TL
L
L
L
2L
LLLLLLL Kv2
vv.vp
Fermeture de l’Eq. d’ECT (2)
• VI est généralement supposé égal à LKL, et disparaît en mettant l’Eq. sous forme non conservative.
• V: terme difficile (production ou destruction de turbulence liquide par les interfaces).
Modèle simple en bulles (e.g. Lance, 1984): LGDG
LILLLILLL
L
VV.M1
n.v.n.vp1
Eq. d’ECT fermée
LLLGDG
LLLLLLLL
LK
TL
LL
LLLLL
KVV.M1
V:vv
K.1
VK.t
K
Equations de bilans géométriques
• Hypothèse d’écoulement à bulles sphériques (diamètre d)
• Introduction d’une fonction de distribution: f(d;x,t) telle que f(d;x,t)d = nombre volumique de bulles de diamètre compris entre d et d + d en (x,t)
• f(d;x,t) vérifie l’équation de Liouville-Bolzmann:
Equation de Liouville-Bolzmann
• Variation du diamètre (bilan masse d’une bulle):
breakup/ecoalescencG fDt
Ddf
dvf.
t
f
oncondensati/névaporatio
G
G
gazdutédilatabili/ilitécompressib
GGG
G
m2.v
t3
d
Dt
Dd
Exemple du nombre volumique
• Définition du nombre volumique de bulles:
• Equation de bilan pour n:
• avec les définitions:
dt,x;dfˆt,xn0
breakup/ecoalescencnG nvn.t
n
dt,x;dft,x;dvn
1ˆvetdfˆn
0 GnG0 breakup/ecoalescencbreakup/ecoalescenc
Aire interfaciale volumique
• Définition de l’aire interfaciale volumique:
• Equation de bilan pour aI:
• avec les définitions:
dt,x;dfdˆa 2I
breakup/ecoalescencI
oncondensati/névaporatio
GG
gazdutédilatabili/ilitécompressib
GIGG
G
IIGI
I adfmd4
.vt3
a2va.
t
a
dt,x;dft,x;dvda
1ˆv
dfdˆa
G2
IIG
breakup/ecoalescenc2
breakup/ecoalescencI
Sur les équations du modèle à deux fluides
• Ishii M., 1975, Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow, Eyrolles, Paris.
• Ishii M., Hibiki T., 2006, Thermo-fluid dynamics of two-phase flow, Ed. Springer.
• Oesterlé B., 2006, Ecoulements multiphasiques, Ed. Hermès, Lavoisier. • Drew D.A., Passman S.L., 1999, Theory of Multicomponent Fluids, Applied
mathematical sciences 135, Ed. Springer. • Ishii M., 1990, Two-fluid model for two-phase flow. Multiphase Science and
Technology, Hewitt G.F., Delhaye J.M., Zuber N. Eds., Vol. 5, pp. 1-58. • Kataoka I., 1986, Local instant formulation of two-phase flow, Int. J.
Multiphase Flow, Vol. 12, No. 5, pp. 745-758. • Kolev, N.I., 2002a, Multiphase Flow Dynamics 1: Fundamentals, Ed.
Springer.• Nigmatulin R.I., 1991, Dynamics of multiphase media, Vol. 1, Hemisphere
Publishing Corporation, New-York, Washington, Philadelphia, London.
Sur la turbulence diphasique
• Kataoka I., Serizawa A., 1989, Basic equations of turbulence in gas-liquid two-phase flow, Int. J. Multiphase Flow Vol. 15, No. 5, pp. 843-855.
• Lance M., Bataille J., 1991, Turbulence in the liquid phase of a uniform bubbly air/water flow, J. Fluid Mech., Vol. 222, pp. 95-118.
• Lance M., Marié J.L., Bataille J., 1984, Modélisation de la turbulence de la phase liquide dans un écoulement à bulles, La Houille Blanche, No. ¾.
• Lance M., Marié J.L., Bataille J., 1991, Homogeneous turbulence in bubbly flows, J. Fluids Engineering, Vol. 113, pp. 295-300.
• Lance M. & Lopez de Bertodano M., 1994, Phase distribution phenomena and wall effects in bubbly two-phase flows, Multiphase Science and Technology, Vol. 8, Hewitt G.F., Kim J.H., Lahey R.T.Jr., Delhaye J.M. & Zuber N., Eds, Begell House, pp. 69-123.
• Lopez de Bertodano M., Lahey R.T., Jones O.C., 1994, Phase distribution in bubbly two-phase flow in vertical ducts, Int. J. Multiphase Flow Vol. 20, No 5, pp 805-818.
• Lopez de Bertodano M., Lahey R.T.Jr., Jones O.C., 1994, Development of a K- model for bubbly two-phase flow, Transactions of the ASME, J. of Fluids Eng., Vol. 116, pp. 128-134.
• Morel C., 1995, An order of magnitude analysis of the two-phase K- model, Int. J. Fluid Mech. Research, Vol. 22, Nos. 3&4, pp. 21-44.
Sur l’aire interfaciale volumique
• Lhuillier D., Morel C., Delhaye J.M., 2000, Bilan d’aire interfaciale dans un mélange diphasique: approche locale vs approche particulaire, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série IIb, pp. 143-149.
• Morel C., Goreaud N., Delhaye J.M., 1999, The local volumetric interfacial area transport equation: derivation and physical significance, Int. J. Multiphase Flow 25, pp. 1099-1128.
• Yao W., Morel C., 2004, Volumetric interfacial area prediction in upward bubbly two-phase flow, Int. J. Heat Mass Transfer 47 (2), pp. 307-328.
• Morel C., 2007, On the surface equations in two-phase flows and reacting single-phase flows, International Journal of Multiphase Flow 33, pp. 1045–1073
• Delhaye J.M., 2001, Some issues related to the modeling of interfacial areas in gas-liquid flows, Part I: The conceptual issues, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, pp. 397-410.
• Delhaye J.M., 2001, Some issues related to the modeling of interfacial areas in gas-liquid flows, Part II : Modeling the source terms for dispersed flows, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, pp. 473-486.
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