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Module n°3 :Initiation au raisonnement
déductif
Le but de ce chapitre est de découvrir la démonstration en mathématiques.
On devra faire une démonstration lorsqu’il sera demandé lors d’un énoncé de :
« montrer que », « prouver que », « justifier que » …
I – Activités - Vocabulaire
1) Il faut se méfier de ce que l’on voit :http://pat.sage.perso.neuf.fr/
2) Il faut se méfier des évidences :Le prix d’un meuble est diminué de 50% puis
augmenté de 50%. Quel est alors son prix ?Vérifier en prenant 400€ comme prix de départ.
3)Rôle du contre-exemple
Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver que cet énoncé est faux. Cet exemple est appelé contre-exemple
On vient de voir avec ces activités, qu’en mathématiques, on ne peut pas prouver qu’un énoncé est vrai seulement à partir de constatations ou en effectuant des mesures sur un dessin. Elles permettent seulement d’établir une conjecture c’est-à-dire un énoncé qui semble vrai alors qu’on ne l’a pas prouvé.
Lorsque cet énoncé est justifié en s'appuyant exclusivement sur les données du problème et des propriétés (ou des théorèmes), alors vous avez élaboré une DÉMONSTRATION.
TEXTE DU PROBLEME
Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla
•Xwzrr tqscx zaxg xsxw ?
On distingue deux parties
Il était une fois …. un problème
La description d’une situation
Une question
Que faire ?
II – En route vers la démonstration.
Chercher dans le livre de math. si le problème résolu ne serait pas écrit par hasard ???
Chercher sur le Net sur le site élèvesoucieux.com ???
Demander à son cousin Emile de passer à la maison dans les plus brefs délais (il est bon en math, lui !!!)
Offrir quelques bonbons au meilleur élève de la classe ???
Ou alors !!!
Résoudre ce problème soit même
Sans méthode, difficile !!!
Avec méthode, cela peut devenir presque facile
Comment ?
Le but de la démonstration est à cet instant fixé .
3) En regardant le dessin, tenter de répondre à la question .
Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla
•Xwzrr tqscx zaxg xsxw ?Comment procéder ?
Ce n’est pas nouveau
Ça non plus
Très important de savoir dans quelle direction aller !!
D’où l’importance d’une construction soignée
Ce n’est pas si simple
1) Lire le texte attentivement .
2) Représenter la situation par un dessin .
4) Sortir une à une les informations contenues dans le texte .
Un petit essai ?
Lire le texte attentivement .
Représenter la situation par un dessin . (m) A B
(d) (d’)
En regardant le dessin, tenter de répondre à la question . Le but de la démonstration est à cet instant fixé .
BUT : (d) // (d’)
Sortir une à une les informations contenues dans le texte . )(mA
)(mB
)(dA
)'(dB(d) (m)
(d’) (m)
Données
La phase de préparation est maintenant achevéeLa phase suivante est la
démonstration
Soit une droite (m) et deux points A et B de (m) . Par A tracer la droite (d) perpendiculaire à (m) et par B la droite (d’) perpendiculaire à (m) .
Que peut-on dire des droites (d) et (d’) ?
(m) A B
(d) (d’)
BUT : (d) // (d’)
)(mA)(mB
)(dA
)'(dB(d) (m)
(d’) (m)
Données
Donc (d) // (d’)
ConclusionOn commence par la
fin !étonnant , non ???
Pour construire une démonstration, l’ouvrier mathématicien a besoin d’outils
Ces outils portent entre autres le nom de propriétés
Ces propriétés nombreuses sont réunies sur des fiches par thème
Laquelle de ces fiches contient-elle la précieuse propriété ?
Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est isocèle
Fiche :Comment démontrer que deux distances sont égales
Fiche :Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Fiche :Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle
Fiche :Comment démontrer que deux droites sont parallèles
Fiche :Comment démontrer que deux distances sont égales
Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est rectangle
(m) AB
(d) (d’)
BUT : (d) // (d’)
)(mA
)(mB
)(dA
)'(dB
Données
(d) (m)
(d’) (m)
C’est bien cette fiche .
Quelles propriétés contient-elle ?
(m) AB
(d) (d’)
BUT : (d) // (d’)
)(mA
)(mB
)(dA
)'(dB
Données
(d) (m)
(d’) (m)
Comment démontrer que deux droites sont parallèles
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles .
Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-internes de même mesure alors elles sont parallèles
Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-externes de même mesure alors elles sont parallèles
Si deux droites déterminent avec une sécante des angles correspondants de même mesure alors elles sont parallèles
Si un quadrilatère est un trapèze alors ses bases sont parallèles
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles
Quelle propriété semble être le
mieux adapté à ce problème ?
C’est sûrement la bonne propriété.
Observons là
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles
Cette propriété permet de démontrer que deux droites ….
Sont parallèles
Mais il faut savoir que …
deux droites sont perpendiculaires à une même droite
BUT : (d) // (d’)
)(mA
)(mB
)(dA
)'(dB
INFORMATIONS
(m) AB
(d) (d’)
(d) (m)
(d’) (m)
Conclusion
(d) // (d’)
Propriété
Données
Ces informations nécessaires étaient-
elles données ?
OuiGénial !
Le problème est résolu
Cet ensemble sera appelé :
bloc logiqueUn seul bloc
logique a permis de
répondre à la question
Nous dirons que c’est un
problème de niveau 1
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles
(d’) (m)
(d) (m)
Résumons :
Une démonstration en géométrie est une succession de chainons
déductifs qui partent des données et arrivent à la conclusion.
Un chainon déductif est un enchainement de phrases qui peut se présenter sous la forme :
On sait que Données
Or si condition alors conclusion
Propriété
Donc conclusion
Chainon déductif
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