Morphologie Mathématique Ouvertures, fermetures, Niveaux ...Ouvertures et fermetures par adjonction...

Morphologie MathématiqueOuvertures, fermetures, Niveaux de Gris

CS 2019

Hugues Talbot (CVN, CentraleSupelec)Mars 2019

Plan de la séance

1 Filtres : ouverture et fermeture

2 Ouvertures et fermetures par adjonction

J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 2/18

Filtres : ouverture et fermeture

Filtre

Définition

Un filtre (sur E ) est un opérateur croissant et idempotent8X ,Y 2 P(E ), X ✓ Y =) (X ) ✓ (Y )8X 2 P(E ), ( (X )) = (X )

Fermeture et ouverture

Définition

Une fermeture (sur E ) est un filtre extensif8X ,Y 2 P(E ), X ✓ Y =) (X ) ✓ (Y )8X 2 P(E ), ( (X )) = (X )8X 2 P(E ), X ✓ (X )

Une fermeture (sur E ) est un filtre anti-extensif8X ,Y 2 P(E ), X ✓ Y =) (X ) ✓ (Y )8X 2 P(E ), ( (X )) = (X )8X 2 P(E ), (X ) ✓ X

Propriété

est une fermeture si et seulement ? est une ouverture

Définition

Propriété

Définition

Propriété

Exemple 1

Propriété

L’opérateur ec d’enveloppe convexe sur R2 est une fermeture

L’opérateur ec? est donc une ouverture

Exercice.Pouvez cette propriété en démontrant les trois relations suivantes

8X ,Y 2 P(R2), X ✓ Y =) ec(X ) ✓ ec(Y ) (croissance de ec)8X 2 P(R2), ec(X ) = ec(ec(X )) (idempotence de ec)8X 2 P(R2), X ✓ ec(X ) (extensivité de ec)

Exemple 1

Propriété

Exemple 1

Propriété

Exemple 1

Propriété

L’opérateur ec d’enveloppe convexe sur R2 est une fermetureL’opérateur ec? est donc une ouverture

Ouvertures et fermetures par adjonction

Problématique de l’adjonction

La notion d’adjonction est centrale en morphologie

Elle permet de bâtir une ouverture et une fermeture à partir de

toute dilatation (i.e., un opérateur qui commute avec l’union)

Question

Existe-t-il un opérateur inverse �0 pour toute dilatation � ?En d’autres termes, peut-on trouver �0 tel que

8X 2 P(E ), �0(�(X )) = X ?

Problématique de l’adjonction

La notion d’adjonction est centrale en morphologie

Elle permet de bâtir une ouverture et une fermeture à partir de

toute dilatation (i.e., un opérateur qui commute avec l’union)

Question

Existe-t-il un opérateur inverse �0 pour toute dilatation � ?En d’autres termes, peut-on trouver �0 tel que

8X 2 P(E ), �0(�(X )) = X ?

Ensemble �-inférieur

Définition

Soient � une dilatation et X ,X 0 2 P(E )

X 0 est �-inférieur à X si�(X 0) ✓ X

Propriété

Soient � une dilatation et X 2 P(E )

Parmi les ensembles �-inférieurs à X , il existe un plus grandélément X

X = [{X 0 2 P(E ) | X 0 est �-inférieur à X}

Ensemble �-inférieur

Définition

Soient � une dilatation et X ,X 0 2 P(E )

X 0 est �-inférieur à X si�(X 0) ✓ X

Propriété

Soient � une dilatation et X 2 P(E )

Parmi les ensembles �-inférieurs à X , il existe un plus grandélément X

X = [{X 0 2 P(E ) | X 0 est �-inférieur à X}

Preuve

Par définition de l’union, X est le plus petit ensemble qui contient tous

les �-inférieurs à X . Pour compléter la démonstration, il suffit donc de

prouver que X est aussi �-inférieur à X , c’est-à-dire que �(X ) ✓ X .

D’après la définition d’un ensemble �-inférieur, on peut

écrire X = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}.Donc, �(X ) = �([{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}). Comme l’opérateur de

dilatation commute avec l’union, on peut également

écrire �(X ) = [{�(X 0) | X 0 2 P(E ), �(X 0) ✓ X}. Ainsi, par définition

de l’union, on obtient la relation �(X ) ✓ X , ce qui complète la preuve

de la propriété.

Exercice. Montrer qu’en général il n’existe pas de plus petit élément

parmi les ensembles �-supérieurs à X .

Preuve

Par définition de l’union, X est le plus petit ensemble qui contient tous

les �-inférieurs à X . Pour compléter la démonstration, il suffit donc de

prouver que X est aussi �-inférieur à X , c’est-à-dire que �(X ) ✓ X .

D’après la définition d’un ensemble �-inférieur, on peut

écrire X = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}.Donc, �(X ) = �([{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}). Comme l’opérateur de

dilatation commute avec l’union, on peut également

écrire �(X ) = [{�(X 0) | X 0 2 P(E ), �(X 0) ✓ X}. Ainsi, par définition

de l’union, on obtient la relation �(X ) ✓ X , ce qui complète la preuve

de la propriété.

Exercice. Montrer qu’en général il n’existe pas de plus petit élément

parmi les ensembles �-supérieurs à X .

Erosion adjointe

Définition

Soit � une dilatationL’érosion adjointe de � est l’opérateur � qui à tout X 2 P(E )associe le plus grand ensemble qui est �-inférieur à X :

�(X ) = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}

Théorème

Si � est une dilatation, alors � est une érosion (i.e., � commuteavec l’intersection)

Erosion adjointe

Définition

Soit � une dilatationL’érosion adjointe de � est l’opérateur � qui à tout X 2 P(E )associe le plus grand ensemble qui est �-inférieur à X :

�(X ) = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}

Théorème

Si � est une dilatation, alors � est une érosion (i.e., � commuteavec l’intersection)

Preuve du théorème

Preuve. Soient A,B 2 P(E ).�(A \ B) = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ [A \ B]}= [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ A et �(X 0) ✓ B}= [[{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ A}] \ [[{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ B}]= �(A) \ �(B)

Dilatation adjointe

On peut faire le même raisonnement en partant de l’opérateur

d’érosion au lieu de celui de dilatation

On inverse alors la relation ✓ et on intervertit [ et \Si ✏ est une érosion, sa dilatation adjointe ✏ est définie par :

8X 2 P(E ), ✏(X ) = \{X 0 | X ✓ ✏(X 0)}La relation d’adjonction est une bijection entre dilatations et

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id

Dilatation adjointe

On inverse alors la relation ✓ et on intervertit [ et \

Si ✏ est une érosion, sa dilatation adjointe ✏ est définie par :

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id

Dilatation adjointe

8X 2 P(E ), ✏(X ) = \{X 0 | X ✓ ✏(X 0)}

La relation d’adjonction est une bijection entre dilatations et

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id

Dilatation adjointe

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id

Dilatation adjointe

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id

Adjonction par élément structurant

Propriété

Soit � un élément structurant�� = �?��1

Notation importante

Soit � un élément structurant

On désigne par ✏� l’érosion adjointe de ��✏� = �� = �?��1

Adjonction par élément structurant

Propriété

Soit � un élément structurant�� = �?��1

Notation importante

Soit � un élément structurant

On désigne par ✏� l’érosion adjointe de ��✏� = �� = �?��1

Fermeture et ouverture par adjonction

Théorème

Soit � une dilatation et ✏ = � l’érosion adjointe de �Soient � = ✏ � � et � = � � ✏

� est une fermeture� est une ouverture

Fermeture et ouverture par adjonction

Théorème

Soit � une dilatation et ✏ = � l’érosion adjointe de �Soient � = ✏ � � et � = � � ✏� est une fermeture� est une ouverture

Ouverture et fermeture par un élément structurant

Définition

Soit � un élément structurantLa fermeture par � est l’opérateur �� tel que

�� = �?��1 � ��L’ouverture par � est l’opérateur �� tel que

�� = �� ?��1

Exercice 1

Soit l’objet noir X ✓ Z2 et l’élément structurant � ci-dessousReprésenter l’ensemble ��(X )

Exercice 2

Choisissez et appliquer un opérateur qui “rebouche” les trous del’objet X en noir ci-dessous

Caractérisation d’ouverture/fermeture par élément

structurant

Propriété

Soit � un élément structurant8X 2 P(E ), ��(X ) = [{�(x) | x 2 E , �(x) ✓ X}

�� = �?��1

Caractérisation d’ouverture/fermeture par élément

structurant

Propriété

Soit � un élément structurant8X 2 P(E ), ��(X ) = [{�(x) | x 2 E , �(x) ✓ X}�� = �?��1

Interprétation topographique

On dit que X 2 P(E ) est plus mince que l’élément structurant �si ��(X )? = ;

L’ouverture de l’ensemble X par � a pour effet de supprimer les

parties de X qui sont plus minces que �, c’est-à-dire

des îles (parties isolées)des caps (convexités minces)des isthmes (jonctions entre parties non minces)

La fermeture supprime les parties non-minces de X , c’est-à-dire

des lacs (trous)des golfes (concavités minces)des détroits (jonctions entre parties non minces de X )

On dit que X 2 P(E ) est plus mince que l’élément structurant �si ��(X )? = ;L’ouverture de l’ensemble X par � a pour effet de supprimer les

Plan de la séance

1 Image en niveau de gris

2 Opérateur sur des images en niveaux de gris

Image en niveau de gris

Définition

Soit V un ensemble de valeursUne image (sur E à valeurs dans V) est une application I de Edans VI (x) est la valeur du point (pixel) x pour I

Exemple

Image à valeurs dans R+: carte de distance DX à un ensemble

X 2 P(E )

Image à valeurs dans Z+: carte de distance DX pour une

distance géodésique dans un réseau à longueurs uniformes

Définition

Soit V un ensemble de valeursUne image (sur E à valeurs dans V) est une application I de Edans VI (x) est la valeur du point (pixel) x pour I

Exemple

Image à valeurs dans R+: carte de distance DX à un ensemble

X 2 P(E )

Image à valeurs dans Z+: carte de distance DX pour une

distance géodésique dans un réseau à longueurs uniformes

Images en niveaux de gris

On désigne par I l’ensemble des images à valeurs entières sur E

Une image dans I est aussi appelée une image en niveau (outeinte, ou échelle) de gris

On désigne par I une image quelconque dans I

La valeur I (x) d’un point x 2 E est aussi appelée niveau (de gris)de x , teinte (de gris) de x , luminosité de x

Images en niveaux de gris

On désigne par I l’ensemble des images à valeurs entières sur E

Une image dans I est aussi appelée une image en niveau (outeinte, ou échelle) de grisOn désigne par I une image quelconque dans I

La valeur I (x) d’un point x 2 E est aussi appelée niveau (de gris)de x , teinte (de gris) de x , luminosité de x

Une image I peut être vue comme un relief topographique

I (x) est appelée l’altitude de x

Régions claires : montagne, crêtes, colinesRégions sombres : bassins, vallées

Une image I peut être vue comme un relief topographique

I (x) est appelée l’altitude de xRégions claires : montagne, crêtes, colinesRégions sombres : bassins, vallées

Ensemble de niveaux

Définition

Soit k 2 ZL’ensemble de niveau k de I , désigné par Ik , est le sous-ensemblede E défini par

Ik = {x 2 E | I (x) � k}

I I80 I150 I220

Ensemble de niveaux

Définition

Soit k 2 ZL’ensemble de niveau k de I , désigné par Ik , est le sous-ensemblede E défini par

Ik = {x 2 E | I (x) � k}

I I80 I150 I220

Reconstruction

Propriété

8k , k 0 2 Z, k 0 > k =) Ik 0 ✓ Ik

I (x) = max{k 2 Z | x 2 Ik}

Opérateur sur des images en niveaux de gris

Opérateur à niveaux de gris

Un opérateur (sur I) est une application de I dans I

Définition (opérateur plan)

Soit un opérateur croissant sur EL’extension de à I est l’opérateur sur I, également désignépar , qui est défini par

8I 2 I, 8k 2 Z, [ (I )]k = (Ik)

Exercice. Montrer que l’on ne peut pas utiliser la même construction

pour étendre un opérateur non croissant

8I 2 I, 8k 2 Z, [ (I )]k = (Ik)

Caractérisation des opérateurs à niveau de gris

Propriété

Soit un opérateur croissant sur E[ (I )](x) = max{k 2 Z | x 2 (Ik)}

Remarque. Tous les opérateurs vus jusque là dans le cours IN3M22 sont

croissants

Caractérisation des opérateurs à niveau de gris

Propriété

Soit un opérateur croissant sur E[ (I )](x) = max{k 2 Z | x 2 (Ik)}

Remarque. Tous les opérateurs vus jusque là dans le cours IN3M22 sont

croissants

Illustration : dilatation sur I par �

I I80 I150 I220

��(I ) ��(I )80 ��(I )150 ��(I )220

Illustration : erosion sur I par �

I I80 I150 I220

"�(I ) "�(I )80 "�(I )150 "�(I )220

Illustration : ouverture sur I par �

I I80 I150 I220

��(I ) ��(I )80 ��(I )150 ��(I )220

Illustration : fermeture sur I par �

I I80 I150 I220

'�(I ) '�(I )80 '�(I )150 '�(I )220

Dilatation/Erosion par élément strcuurant : caractérisation

Propriété (dualité)

Soit � un élément structurant"�(I ) = ��1(�I )

Propriété

Soit � un élément structurant[��(I )](x) = max{I (y) | y 2 ��1(x)}["�(I )](x) = min{I (y) | y 2 �(x)}

Dilatation/Erosion par élément strcuurant : caractérisation

Propriété (dualité)

Soit � un élément structurant"�(I ) = ��1(�I )

Propriété

Soit � un élément structurant[��(I )](x) = max{I (y) | y 2 ��1(x)}["�(I )](x) = min{I (y) | y 2 �(x)}

Exercice

Ecrire un algorithme dont l’entré est un graphe (E , �) et image Isur E et dont le résultat est l’image I 0 = ��(I 0)

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