View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ
TO ΣTAΣIMO KYMA:
AΠΟΤΕΛΕΣΜΑ
ΜΙΑΣ ΙΔΙΑΖΟΥΣΑΣ
ΑΡΧΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
Σε χορδή έχει δοθεί το περίγραμμα y(x, t=0) = φ(x).
O μηχανισμός που δίνει το περίγραμμα αποσύρεται απότομα τη χρονική στιγμή t=0.
Ποιά εξίσωση y(x,t) περιγράφει τη διαταραχή που θα διαδοθεί στη χορδή;
T T
y
x
y(x, t=0) = φ(x).
)()(),( txgtxftxy
Η γενική λύση είναι:
T T
y
x
y(x, t=0) = φ(x).
( (( , )) )f xx ty tt g x
ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ
ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΠΟΥ ΘΑ ΔΙΑΔΟΘΟΥΝΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΕΡΑ
ΘΑ ΕΧΟΥΝ ΤΟ ΙΔΙΟ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ
T T
y
x
y(x, t=0) = φ(x).
( (( , )) )f xx ty tt g x
ΓΙΑ t = 0
)(21)0,()0,( txgtxf
y(x, t=0) = φ(x) = f(x, t=0) + g(x, t=0
ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ:
T T
-υ +υ
1 (1 ( )) ),2 2
( x ty tt xx
y(x, t=0) = φ(x).
)(21)0,()0,( txgtxf
ΜΙΑ ΙΔΙΑΖΟΥΣΑ
ΑΡΧΙΚΗ
ΧΩΡΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
ΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ
Σε χορδή έχει δοθεί το περίγραμμα:
TI AΠEIKONIZEI Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ λ;TH XΩΡΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ.
Ποιά εξίσωση y(x,t) περιγράφει τη διαταραχή που αποκαθίσταται στη χορδή
μετά την απόσυρση του μηχανισμού;
xaxtxy 2cos)()0,(
1 (1 ( )) ),2 2
( x ty tt xx
)(21)0,()0,( txgtxf
xaxtxy 2cos)()0,(
( (( , )) )f xx ty tt g x
)}(2cos{21)}(2cos{
21),( txatxatxy
}2cos{}2cos{),(
txatxy
}2cos{}2cos{),(
txatxy
T
xaxtxy 2cos)()0,(
)}(2cos{21)}(2cos{
21),( txatxatxy
}2cos{}2cos{),(
txatxy
EXOYME ΔΙΑΔΟΣΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝH EΠΑΛΛΗΛΙΑ ΤΟΥΣ ΕΙΝΑΙ:
ΤΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΕΙΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΑΥΤΗ ;
)}(2cos{),(
xtatxy
H ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΑΥΤΗ EINAI KYMA;
)(),( txftxy
ΟΔΕΥΟΝ ΚΥΜΑ:
}2cos{}2cos{),(
txatxy
ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ!
}2cos{}2cos{),(
txatxy
)}(2cos{),(
xtatxy
ΟΔΕΥΟΝ ΚΥΜΑ!λ
ΔΕΝ ΔΙΕΠΕΤΑΙ ΑΠΟ ΦΑΣΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ
«ΦΑΙΝΕΤΑΙ»ΟΤΙ ΔΕΝ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΚΑΜΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ
ΟΥΤΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΟΥΤΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ.Η ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΤΩΝ ΔΥΟ ΟΔΕΥΟΝΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ
ΕΧΟΥΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΕΝΑ ΣΤΑΣΙΜΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ.
ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ!
cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a
4)12(
nx
2)1(
nx )2cos(),(2)1( T
ttxynx
0),(4)12(
txynx
ΚΟΙΛΙΕΣ
ΔΕΣΜΟΙ
n=. . . -2, -1, 0, +1, +2
cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a
Δ Δ Δ ΔΚ Κ Κ
ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΕΙΣ
ΟΔΕΥΟΝΤΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ
ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ
xtxy
ttxy
),(,
2),(21),,(),(
ttxy
dxtdxxxdKtx
2),(21),,(),(
xtxyT
dxtdxxxdtx
),(),( txtx ),(2),(2),( txtxtx
ΟΔΕΥΟΝΚΥΜΑ
xtxy
ttxy
),(,
),(),( txtx
),(2),(2),( txtxtx
ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ
cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a
Maxtxtx
),(0),(
0),(0),(
txtx
t = 0
t = Τ/4
cos{2 cos{2}( , ) }y txx t a
ΣΤΙΣ ΚΟΙΛΙΕΣ Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ ΜΗΔΕΝ.
Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΕΙΤΑΙ
ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΡΟΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣAΠΟ ΚΟΙΛΙΕΣ ΠΡΟΣ ΔΕΣΜΟΥΣ
ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
t=0
Kt=Τ/4
txatxy
2cos2cos),(
)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx
2),(21),(
xtxyTtx
0),( tx
)2(cos)2(21),( 222 tatx
4
)12( nx
2)1(
nx
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
ΚΟΙΛΙΕΣ
ΔΕΣΜΟΙ
txatxy
2cos2cos),(
)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx
2),(21),(
ttxytx
0),( tx
)2(sin)2(21),( 222 tatx
2)1(
nx
4)12(
nx
Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΟΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
ΚΟΙΛΙΕΣ
ΔΕΣΜΟΙ
txatxy
2cos2cos),(
)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx
)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx
),(),( txtx
txatxy
2cos2cos),(
)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx
22 )2(21),(
atxO
ΚΟΙΛΙΕΣ
t = 0 t = T/4
0),( tx
txatxy
2cos2cos),(
22 )2(21),(
atxO
ΔΕΣΜΟΥΣ
t = 0t = T/4
0),( txk
22 )2(21),(0
atx
)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx
)2(cos)2(sin)2(21),( 2222 txatx
)2(sin)2(cos)2(21),( 2222 txatx
MAXk
MAX
txT
kk
k
kTatx
),(221
21
21
21
21)2(
21),(
22
2222
2222
2222
ΜΙΑ ΑΠΟΡΙΑ!
txatxy
2cos2cos),(
tatxy
2cos),(
0),( tx
x
dxx
dx
y
x txF ,
tdxxF ,
t
tdxxFy ,
+ ),( txFy
= 2
2 ),()(ttxydx
ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ Η ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΗΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΗΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ;
2 2
2 2 2
, ,1y x t y x tx t
1
R
t
ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ
2/32
2
2
1
xyxy
1x 2x
+υ
TO ΣΤΑΣΙΜΟ KYMA
ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ
ΠΟΛΥ ΙΔΙΑΙΤΕΡΟ ΚΥΜΑ!
21
21
ZZZZ
AARi
r
)cos()cos( kxtRAtkxA
ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΤΟΥΣΟΤΑΝ ΕΙΜΑΣΤΕ ΜΕΤΑΞΥ
ΤΩΝ ΔΥΟ ΑΚΡΑΙΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ;R
ΓΙΑ R = +1 ή R = -1 EXOYME ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ.ΓΙΑ R = 0 ΕΧΟΥΜΕ ΟΔΕΥΟΝ ΚΥΜΑ.
1,1
)cos()cos(),( 11 xktRAtxkAtxy
)sin()sin()()cos()cos()(),( 11 xktaAxktaAtxy
21
122
122 )}(sin)()(cos){( xkaAxkaA
21
21
2 })2cos(2{ axkAaA
TO ΠΛΑΤΟΣ ΣΕ ΜΙΑ ΘΕΣΗ x ΘΑ ΕΙΝΑΙ:
21
122 )}2cos(2{ xkAaaA
TO ΠΛΑΤΟΣ ΣΕ ΜΙΑ ΘΕΣΗ xΘΑ METABAΛETAI:
ΑΠΟ (Α+α) ΕΩΣ (Α-α).
RR
AaAa
aAaA
AA
11
1
1
min
max
STANDING WAVE RATIO (SWR)
RR
AaAa
aAaA
AA
11
1
1
min
max
STANDING WAVE RATIO (SWR)
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ:ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΓΙΑ
R = 1, 0, -1;
RR
AaAa
aAaA
AA
11
1
1
min
max
R = 1
R = 1/2
R = 0
R = 1
R = 1/20
R = 0
TA MEΓΙΣΤΑ
ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ!
)cos()cos( kxtRAtkxA
0)sin()sin( kxtRtkx tkxRtkxR sincos)1(cossin)1(
)tan(11)tan( tRRkx
MAX: 0),(
ttxy
)tan(11)tan( tRRkx
x = x (t)ΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ!
ΣΤΟ ΓΝΗΣΙΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ
ΟΙ ΚΟΙΛΙΕΣ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ;
tRtRRR
tx
MAX 2222 sin)1(cos)1(
)1)(1(
kphase
)tan(11)tan( tRRkx
ΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙME TAXYTHTA:
ΓΙΑ tsin(ωt)=0
RR
tx
MAX 11
ΓΙΑ tcos(ωt)=0
RR
tx
MAX 11
H ΔΙΑΤΑΡΑΧΗΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΠΑΣΜΩΔΙΚΑ
tRtRRR
tx
MAX 2222 sin)1(cos)1(
)1)(1(
ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΙΝΗΣΗ
ΤΩΝ ΚΟΙΛΙΩΝ
ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ.
ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΟΔΕΥΟΝΤΟΣ
ΚΑΙ ΟΧΙΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ!
ΟΤΑΝ ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ
R = +1 ή R = -1
Η ΜΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΕΙΝΕΙ ΝΑ ΜΗΔΕΝΙΣΤΕΙ
ΚΑΙ Η ΑΛΛΗ ΝΑΑΠΕΙΡΙΣΤΕΙ.
RR
tx
MAX 11
RR
tx
MAX 11
ΜΙΑ ΚΟΙΛΙΑ ΜΕΝΕΙ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΤΗΣ
ΓΙΑ ΜΕΓΑΛΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑΚΑΙ ΜΕΤΑ
ΚΙΝΕΙΤΑΙ ΓΡΗΓΟΡΑΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ
ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΗ ΘΕΣΗ ΚΟΙΛΙΑΣ.
ΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑΕΙΝΑΙ
ΕΙΔΙΚΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΗΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ
ΟΔΕΥΟΝΤΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΟΤΙ
Η ΚΙΝΗΣΗ ΤΩΝ ΚΟΙΛΙΩΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΤΟΣΟ ΓΡΗΓΟΡΑ
ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΗ.
Recommended