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Ondes dans les plasmas

(PC*)

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Ondes dans les plasmas

I – Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma :

1 – Définition d’un plasma :

Un plasma est un milieu composé d’atomes ou de molécules ionisés mais qui reste globalement électriquement neutre.

Un plasma d’hydrogène est composé de protons (les noyaux d’hydrogène) et d’électrons libres.

La magnétosphère et l’ionosphère terrestres.

Le cœur des étoiles, exemple de plasma chaud et très dense.

Les tubes à néon et le phénomène de la foudre (décharges électriques).

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Le 4ème état de la matière :

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Applications des plasmas :

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Où trouve t’on des plasmas dans la nature ?

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Sous quelle forme se trouvent ces plasmas ?

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Densité volumique de courant dans un plasma :

On note Vr

et vr les vitesses mésoscopiques d’un ion et d’un électron.

Si un champ électrique extérieur Er

est appliqué au plasma :

Eedt

vdmetEe

dt

VdM

rr

rr

−==

dt

vd

M

m

dt

Vdrr

−=

mV v (V v )

M= − <<

r r

On note n la densité particulaires (nombre d’électrons et de protons par unité de volume).

La densité volumique du plasma est : (pratiquement celle des électrons)

vnevM

mneVnevnej

rrrrr−≈

+−=+−= 1

et E

m

ne

t

vne

t

j rrr

2

=∂

∂−=

∂

∂

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2 – Equations de Maxwell dans le plasma :

L’ionosphère est la partie de la haute atmosphère (75 à 250 km d’altitude en plusieurs couches) où les gaz sont ionisés par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : c’est un exemple de plasma.

On s’intéresse à la propagation d’une onde EM plane progressive monochromatique dans un plasma.

On note BetErr

les champs électrique et magnétique associés à cette onde.

Ces champs agissent sur les électrons du plasma et les mettent en mouvement.

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Equations de Maxwell dans le plasma :

t

EjBrot

t

BErot

Bdiv

Ediv

∂

∂+=

∂

∂−=

=

=

rrr

rr

r

r

000

0

0

µεµ avec E

m

ne

t

vne

t

j rrr

2

=∂

∂−=

∂

∂

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3 – Relation de dispersion des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques :

On cherche une solution complexe des équations de Maxwell sous la forme :

i( t k .r ) i( t k .r )

0 0E E e et B B eω ω− −= =r rr rr r r r

1ère méthode :

Les équations de Maxwell donnent :

0 0 0ik .E ik .B 0 ; i k E i B ; ik B j i Eω µ ωε µ= = − ∧ = − − ∧ = +r r r rr r r r r rr

Or :

Em

neijsoitE

m

neji

rrrr

ωω

22

−==

Avec 00

2 1

µε=c

et m

necp

2202 µ

ω = (pulsation plasma) :

2 2

2 p

2k

c

ω ω−=

(Equation de Klein-Gordon)

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2nde méthode :

On utilise la relation d’analyse vectorielle :

rotrotE grad( divE ) E∆= −uuuruuur uuuuurr r r

Soit :

2 2

0 0 0 0 0 0 2

E ne ErotrotE ( rotB ) j E

t t t m t

grad( divE ) E E

µ ε µ µ ε µ

∆ ∆

∂ ∂ ∂ ∂= − = − + = − −

∂ ∂ ∂ ∂

− = −

r ruuuruuur uuurr r rr

uuuuur r r r

D’où : 2 2

0 2 2

ne 1 EE E

m c tµ ∆

∂+ =

∂

rr r

En régime harmonique forcé :

222

2

EE et E k E

tω ∆

∂= − = −

∂

rr r r

, d’où :

2 2

2 p

2k

c

ω ω−=

(Equation de Klein-Gordon)

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A haute fréquence, ck

ω≈ et cv ≈ϕ : le comportement du

plasma est proche de celui du vide

(à cause de l’inertie des électrons).

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Si pωω < , alors k est imaginaire pur :

2 2

p

2k i ik"

c

ω ω−= ± = ±

Seules les ondes planes monochromatiques de pulsations pωω > se propagent

dans un plasma.

Dans le cas contraire, les ondes sont stationnaires et dites évanescentes (évolution exponentielle de l’amplitude selon la direction de l’onde).

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4 – Structure de l’onde plane progressive harmonique :

* Vitesse de phase et indice de réfraction du plasma :

On se place dans le cas où pωω > (il y a propagation) :

2 2

pk k

c

ω ω−= =

La relation entre k et ω est non linéaire : le milieu est dispersif.

La vitesse de phase est :

ck

v

p

2

2

1

1)(

ω

ω

ωωϕ

−

==

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L’indice de réfraction du plasma est défini par :

ωϕ

ck

v

cn ==

soit 11

2

2

<−=ω

ω pn

On remarque que :

cv >)(ωϕ et n < 1

Ceci n’est pas paradoxal car cette vitesse ne correspond pas à la vitesse de l’information ou de l’énergie (c’est le cas de la vitesse de groupe).

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* Structure de l’onde EM :

Le trièdre ),,( kBErrr

est direct

ϕω v

EkEB ==

La structure de l’onde plane progressive monochromatique est semblable à celle du vide.

Seule la vitesse de phase est différente et dépend de la pulsation de l’onde.

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II – Propagation d’un groupe d’ondes (paquets d’ondes), vitesse de groupe :

1 – Propagation de deux ondes planes progressives harmoniques de fréquences voisines :

On suppose que le vecteur d’onde est réel (on ne prend pas en compte l’absorption).

Soient )( 11 ωkk = et )( 22 ωkk = les vecteurs d’onde réels des deux ondes.

On suppose que 1ω et 2ω sont proches et l’on pose :

2121

21

0

21

0 ;;2

;2

kkkkk

k −=−=+

=+

= δωωδωωω

ω

Avec : 0ωδω << et 0kk <<δ

On suppose de plus que les deux ondes ont même amplitude.

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L’onde résultante, superposition de deux ondes, a pour amplitude :

1 1 2 2( , ) cos( ) cos( )x t A t k x A t k xθ ω ω= − + −

0 0( , ) 2 cos cos( )

2 2

kx t A t x t k x

δω δθ ω

= − −

Avec :

2121

21

0

21

0 ;;2

;2

kkkkk

k −=−=+

=+

= δωωδωωω

ω

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On observe des battements :

Une onde moyenne de vecteur d’onde k0 est enveloppée par une

onde enveloppe de vecteur d’onde δδδδk

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Au cours du temps, l’onde moyenne constitue une onde plane progressive de

vitesse 0

0

k

ω

.

L’onde enveloppe constitue une onde plane progressive de vitesse kδ

δω.

Ces vitesses n’étant en général pas identiques, les crêtes de l’onde moyenne avance à une vitesse différente de celle des crêtes de l’onde enveloppe.

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Animation Regressi

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2 – Généralisation au cas d’un paquet d’ondes :

On appelle paquet d’ondes un ensemble d’ondes planes progressives harmoniques de pulsations voisines.

Plus précisément, leurs pulsations sont comprises dans l’intervalle :

∆+

∆−

2,

200

ωω

ωω

avec 0ωω <<∆

Une illustration de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe.

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On voit apparaître une onde moyenne de pulsation ω0 se propageant à la vitesse de phase :

0

0

kv

ωϕ =

et une onde enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe :

0ω

ω

=

dk

dvg

Les vitesses de phase et de groupe sont a priori différentes et le paquet d’ondes se propage en se déformant.

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dk

dv

kv g

ωωϕ == ;

(Paquet d'ondes avec déformation)

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3 – Retour à la structure de l’onde plane progressive harmonique :

* Vitesse de groupe :

La vitesse de groupe vaut :

dk

dvg

ω=

Pour la calculer, on différentie l’équation de dispersion :

2 2

p2

2k

c

ω ω−=

D’où :

cvp

g 2

2

1ω

ω−=

On constate que : cvg < et que 2

cvv g =ϕ

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Quelques ordres de grandeurs :

L’ionosphère est la partie de la haute atmosphère (75 à 250 km d’altitude en plusieurs couches) où les gaz sont ionisés par le rayonnement cosmique et par le vent solaire. La densité particulaire des électrons dans l’ionosphère est de l’ordre

de 310

10−

m à 312

10−

m et la fréquence plasma de l’ordre de Hzp7

10=ν .

• Pour pHz νν <= 510 , l’ionosphère joue le rôle de réflecteur : ceci explique la

1ère liaison radio transatlantique réalisée par Marconi en 1901. Ainsi des ondes radio en modulation d’amplitude peuvent atteindre des points très éloignés sur le globe.

• Pour pHz νν >= 810 , l’ionosphère est « transparente ». Ces fréquences sont

utilisées pour communiquer avec les satellites.

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Autre exemple : France inter GO et France Info FM

France Inter GO a pour fréquence fGO = 164 kHz et France info FM fFM = 105,5 MHz.

On voit que :

FMpGO ff <<ν

Ainsi, les GO se réfléchissent sur l’ionosphère et pourront être captées à des distances nettement plus importantes du lieu d’émission que France Info dont les ondes se propagent dans l’ionosphère.

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III – Compléments : aspect énergétique (coefficients de réflexion et de transmission) :

Le plasma occupe le demi-espace z > 0.

Une OPPH incidente se propage dans le vide et atteint le plasma sous incidence normale.

• Définir les coefficients (éventuellement complexes) r et τ de réflexion et de transmission en amplitude (pour le champ électrique).

Les exprimer en fonction de )(ωn .

• Définir et calculer les coefficients réels R et T de réflexion et de transmission en intensité.

Tracer la courbe donnant )(ωω

ωR

p

→ . Commenter.

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Effet Faraday dans un plasma :