Prix Marcel Dassault 2001

Prix Marcel Dassault 2001

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Prix Marcel Dassault 2001 Prix Marcel Dassault 2001

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Prix Marcel Dassault 2001

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Optimisation de forme Optimisation de forme

Méthodes et AlgorithmesUniversité Paris VI, INRIA & IUF

Olivier Pironneau

Conférence dédiée à Jacques-Louis Lions

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ApplicationsApplications

Diminution du poids Amélioration de la solidité Diminution de la trainée Diminution de la visibilité radar Manoeuvrabilité (avion déformable?) Avion, bateau, voiture, moteur, électronique

Références:

G. Allaire, Thèse Baron

Un nombre très varié d’applications:

Simulation => Contrôle

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FormulationFormulation

Sd=ensemble des formes admissibles u est la fonction « état »

min{ ( , ) : ( , ) 0}ds SJ s u A s u

2

{ : | | 1}min { | | : 0, | 0, | }ss s

u u p u u u

Su

Exemple didactique

la forme optimale à très petite vitesse

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Références:

OP: Springer 1982

P. Neittaanmakki, J. Cea, P. Zolezio, M. Delfour…

HistoriqueHistorique

Hadamard (1907): 1ère variation / forme NASA: une optimisation de tuyère ~ 1970 Autour de J.L. Lions 1973-1976

Cea et al Optimization topologique, ‘’ Chenais Existence S/ Lipschitz uniform

‘’ Dervieux… Vitesse de déformationF. Murat et al Transformation de domaine

O. Pironneau Variation normale

L. Tartar Fonction caractéristique

Ph. Morice

T

n

x

q q+vt

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Condition d’optimalitéCondition d’optimalité

Calcul des variations

( ) | 0, | 0 |x n xu u u u u n 2| |J u

Théorème

2 2| | 2 | |J u J u u u

0, 0u p u avec

n

x

2 21 ( )m m m mu u => algorithme:

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Premières solutionsPremières solutions

Une itération de gradient à la main Etendu au cas laminaire => adjoint Angles (Lighthill) => sensible / C.L. Cas discret (avec A.Marrocco)

Références:

O. Pironneau JFM(72 & 73) ,

Glowinski-OPJFM(75), Marrocco-OP(Num Meth eng(77)

( )i ii

i

J q J q

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OscillationsOscillations

Le pb du poids minimal est mal posé (L. Tartar)

Ref. G. Allaire

Les itérations de gradient sortent de l’espace des contraintes défini par F. Murat ou D. Chenais

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L’homogénéisationL’homogénéisation

Murat, Tartar, Lurie, Kikuchi, Bensoe Cioranescu, Sverak

Références:

Bensoussan-Lions-Papanicolaou

C. Conca, Y. Achdou (thèse)

0

lim A

• La difficulté est elle physique ou algorithmique?

• Sverak: s’il y a un nombre fini de trous alors l’objet de trainée minimale existe

•Trouver le bon espace et régulariser le critère

SolutionSolutionS

J J dx

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Normes / régularisationNormes / régularisation

Le Problème régularisé

Références:

DiCesaré: Thèse (1999)

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{ : | | 1}min { | | : 0, | 0, | }

H ss

u u p u u u

Le Problème discrétisé FEM (2D)

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{ }min{ | | : : 0, | 0" ...|Sh h h h sq Q

q q

u u v uq

. 0 ( ) ( )det ( )j Th j h h h hq q w q n I q I q I q Id

Convergence: h->0 OK car

n

x

Gradient Conjugué dans H2 smoother

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De la théorie aux applicationsDe la théorie aux applications

Solveurs Géométries complexes Equations transsoniques => Euler => N.S. Chimie (Desideri-Rostand) Turbulence (Begue-Chacon) Lois de Parois (Mohammadi)

Le Cray

Références:

B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001

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Méthodes variationnellesMéthodes variationnelles

Navier-Stokes incompressible.

Taylor-Hood, par gradient conjugué (+Glowinski),

l’élément P1isoP2/P1 (+Bercovier),

le décentrage (v.s. R. Lohner, T. Hughes).

Euler Compressible

Lax-Roe-Van Leer: Vyjayasundaram, Dervieux -Stoufflet v.s. Jameson

Navier-Stokes Compressible.

Maillage adaptatif (C. Johnson), formulation entropique (T. Hughes, M. Mallet), correction potentielle (+Eldabaghi).

Références: OP: Wiley 1989 : Finite element methods for fluids

Thanks P. Perrier–J. Periaux

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TurbulenceTurbulence

Homogénéisation (+Mclaughin,

Papanicolaou, Begue, Chacon, Ortegon)

K-epsilon (Launder-Spalding): existence de solution (+Bardos-Mohammadi-Lewandowski) Algorithmes positifs (+Coron-Mohammadi)

Implémentation implicite des lois de parois

(+Mohammadi-Saiac-Hecht)

Références:

B.Mohammadi ,O.P. Wiley 1997: Analysis of the k- model

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CAO et MaillageCAO et Maillage

La CAO est propriété de l’industriel Le maillage adaptatif est crucial mais module externe => Maillage adaptatif de surfaces par reconstruction

de l’objet CAO a partir d’un maillage grossier (Farin) Maillage adaptatif + estimation d’erreur a posteriori

Références:

M. Gopalsamy, P.L. George, F. Hecht, F. Saltel, P. Frey

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Differentiation automatiqueDifferentiation automatique

class ddouble { public: float v[2];

ddouble(double a, double b=0){ v[0] = a; v[1]=b;}

friend ddouble operator*(const ddouble& a,const ddouble& b)

{ ddouble c; c.v[1] = a.v[1] * b.v[0] + a.v[0] * b.v[1]; c.v[0] = a.v[0] * b.v[0]; return

c;}

friend ddouble sin(const ddouble& a)

{ ddouble c; c.v[1] = cos(a.v[0])*a.v[1];

c.v[0] = sin(a.v[0]); return c;}

}; Références: Masmoudi, Thèse Dicésaré, Griewank (academic press), Odyssee (INRIA)

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Calcul parallèleCalcul parallèle

Mortar Element Method (Bernardi-Maday-Patera)

Solveur iteratif (+ Achdou-Kuznetsov) Navier-Stokes (+ Achdou, Hontand, Prud’homme) Constructive Solid Geometry (+JL Lions-DelPino)

Références:

Thèses: Hontand, Prud’homme, DelPino. En cours + JL LionsEtudes faites en liaison avec le Pôle Scientifique

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Intégration à l’optimum designIntégration à l’optimum design

Euler/N.S.+ k-e+wall laws Différentiation automatique Adaptation de maillage Algorithmique optimisée Choix des bonnes normes

Références: Bijan Mohammadi

221 1. | | L

S

J F u dx a F u C

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Optimisation d’un avion d’affairesOptimisation d’un avion d’affaires

Références:

B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001

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Optimisation d’un ventilateurOptimisation d’un ventilateur

3 parameterizations:

Camber, sweep, by-section

at given Q, P,

3 paramètres par sectionscambrure, torsion, aire

Références: Mohammadi-Bouigt

R

Q P

T

10% de gain

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EvolutionsEvolutions

Liens avec la VR

Autres Méthodes (domaines fictifs)

Automatisation: le projet freefem

Hecht,DelPino

border d(t=1,0) { x=0; y=t }; border b(t=0,1) { x=1; y=t };border a(t=0,1) { x=t; y=0 }; border c(t=0,1) { x=1-t; y=1 };border e(t=0,2*pi) {x=0.7+0.15*cos(t); y=0.5+0.15*sin(t)};

E := 21.5; sigma := 0.29; mu := E/(2*(1+sigma));lambda := E*sigma/((1+sigma)*(1-2*sigma));

mesh Sh = buildmesh( b(30)+c(20)+d(20)+a(20) + e(-50));

for i:=0 to 250 do{

varsolve(Sh,0) bb(uu,w,vv,s) with { e11 = dx(uu); e22 = dy(vv); e12 = (dx(vv)+dy(uu))/2; w11 = dx(w); w22 = dy(s); w12 = (dx(s)+dy(w))/2; bb = int()( 2*mu*(e11*w11+e12*w12+e22*w22) + lambda*(e11+e22)*(w11+w22)/2 -s ) + on(a,c)(w)(uu=0) + on(a,c)(s)(vv=0) };sigmanx = (2*mu*e11+lambda*(e11+e22)/2)*nrmlx + mu*e12*nrmly;sigmany = (2*mu*e22+lambda*(e11+e22)/2)*nrmly + mu*e12*nrmlx;surf := int(e)(1);sgx := int(e)(sigmanx)/surf; sgy := int(e)(sigmany)/surf;rho:= 1.5e-6*sqrt(int(e)((sigmanx/sgx-1)^2 + (sigmany/sgy- 1)^2))/surf;

solve(u,v){ pde(u) -laplace(u)*0.1- dxx(u)-dxy(v)=0; on(a,b,c,d) u= 0; on(e) u= rho*(sigmanx/sgx-1); pde(v) -laplace(v)*0.1- dyy(v)-dxy(u)=0; on(a,b,c,d) v= 0; on(e) v= rho*(sigmany/sgy-1);}; mesh Sh = movemesh(Sh,x+u,y+v);}

Références

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Problèmes ouvertsProblèmes ouverts

Le contrôle actif Estimations a posteriori et optimum design Optimisation global, algorithmes génétiques Boîtes-noires: quasi-gradients/algo génétiques Multi-physique (fluides structures…) Multi-critères: Pareto, Nash… Optimum design avec modélisation LES.

Références:

Bernardi,Girault,Maday,Hecht, Schoenauer,

Periaux, Dervieux, Desideri, Lesieur, Candel,

Poinsot, Bercovier, Mohammadi…