Projet Cardie Courlis 2019/2020 Never le 6/11/19

Projet Cardie Courlis 2019/2020

Never le 6/11/19

Fabien EMPRIN

Maître de conférence

en didactique des mathématiques

Plan de l’atelier

• Point de départ : vos questions

• La question du contrat didactique

• Analyse de quatre exemples

• Analyse de la place du langage

• Des exemples de problèmes et de démarches

• La gestion des temps de mise en commun

Vos questions • Comment « lancer » le travail sur la résolution de problème et la

modélisation ?

• Quelle(s) schématisation(s) proposer aux élèves : 1 seul modèle (en barre ?)du CP à la 6e ?

• A quel moment de la séance et/ou de la séquence faire la structuration ? Quelle trace écrite laisser aux élèves sur la résolution de problèmes?

• Quels outils pour aider à la vérification de sa propre résolution en autonomie ?

• Comment faire la correction des problèmes donnés ? Et pour quels élèves (tous ?)

• Quelle progression mettre en place ?

• Comment aider les élèves à passer à l’abstraction ?

• Y a-t’ il une « bonne » démarche en résolution de problèmes ?

• Qu’est-ce qu’un laboratoire en résolution de problèmes ?

Vos questions : mon analyse Une démarche, des démarches ? Différenciation pédagogique

• Y a-t’ il une « bonne » démarche en résolution de problèmes ?

• Quelle(s) schématisation(s) proposer aux élèves : 1 seul modèle (en barre ?)du CP à la 6e ?

• Comment aider les élèves à passer à l’abstraction ?

La structuration d’une situation d’apprentissage

• Comment « lancer » le travail sur la résolution de problème et la modélisation ?

• A quel moment de la séance et/ou de la séquence faire la structuration ? Quelle trace écrite laisser aux élèves sur la résolution de problèmes?

• Comment faire la correction des problèmes donnés ? Et pour quels élèves (tous ?)

• Quels outils pour aider à la vérification de sa propre résolution en autonomie ?

Au delà de la séance

• Quelle progression mettre en place ?

• Qu’est-ce qu’un laboratoire en résolution de problèmes ?

Des connaissances didactiques

• Définitions de problèmes (typologie) : (Douaire, Emprin, nombre au cycle 3)

• Contrat didactique (Brousseau, Vergnaud) • Problèmes ouverts (démarche, enjeu) (Arsac, Mante) • Typologie de Vergnaud (structure +/- et x/) • Le paradoxe des automatismes : necessaires / limitent le sens

(Butlen) • Situation de communication / place du langage dans les

apprentissages (Brousseau) (Emprin, rallyes) • Situation d’action / apprentissage par adaptation et accomodation

(Brousseau; Piaget) • malentendu scolaire (Bautier, Rayou) • L’énoncé mathématique comme type d’écrit (ERMEL, Comment

font-ils) • Les registres et cadres (Duval, Douady)

FAIRE EN SORTE QUE LES ÉLÈVES RÉPONDENT AUX QUESTIONS QU’ON LEUR POSE

Premier enjeu :

Mais l’énoncé du problème n’est pas tout

les apprentissages en jeu

• Rôle du contexte : – Éviter le repérage par les mots inducteurs – Apprendre à lire des problèmes (l’énoncé

comme type d’écrit ) • Rôle de l’écrit

– Apprendre à planifier et rédiger une solution

• Rôle de l’oral – Place de l’argumentation

importance des mises en commun

Delphine et Marinette in Les contes rouges du chat perché Folio junior n°434

• « Est-ce qu’il est vraiment difficile ce problème ? • S’il est difficile ! soupira Marinette. C’est bien simple.

On n’y comprend rien. • Si je savais de quoi il s’agit, dit le chien, j’aurais peut-

être une idée. • Je vais te lire l’énoncé, proposa Delphine. « Les bois

de la commune ont une étendue de seize hectares. Sachant qu’un are est planté de trois chênes, de deux hêtres et d’un bouleau, combien les bois de la commune contiennent-ils d’arbres de chaque espèce ? »

• Je suis de votre avis, dit le chien, ce n’est pas un problème facile...

La solution C’est la petite poule blanche qui trouve la

solution : "Les bois de la commune sont

tout près d’ici. Le seul moyen de savoir combien il y a de chênes, de hêtres et de

bouleaux, c’est d’aller les compter". Le résultat ne sera pas celui que la

maîtresse attendait, et pourtant il est juste, l’inspecteur d’académie qui passait par là en atteste : "Les bois de la commune sont

les bois de la commune, dit-il, c’est indiscutable."

Réfléchir sur le contexte

• Vrai concret projet

• Faux concret Marcel Aymé

• Abstrait mathématiques

UNE TYPOLOGIE Différents types de problèmes

Problèmes pour

apprendre

Situation d’apprentissage

APPRENDRE À RÉSOUDRE DES PROBLÈMES

L’élève dispose t-il d’une procédure de résolution ?

Oui Non Les questions : L’énoncé

comme type d’écrit

Structure du problème (Vergnaud)

…

Cette procédure sera -t-elle apprise bientôt ?

•Oui •Non

•Problèmes ouverts

•Problèmes de rallye

•…

•Le savoir visé •La procédure •Le contrat didactique

Est-ce que ce sont des problèmes ? Quel type de

problème ?

Analyse de 4 exemples

Communication de figure en CM

Résolution de problème en CM

Les aimants en CE

Tous les quadrilatères: une situation de synthèse

Durée Modalités de travail tâche enjeu

5’ Individuel Feuille blanche

Dessiner tous les quadrilatères différents que tu peux à main levée

Faire émerger les représentations et augmenter le nombre de productions

15’ Groupe de 4 Sur une feuille, dessiner à main levée tous les quadrilatères différents que le groupe a trouvés

Éliminer les « monstres ». Régler les problèmes de tailles et d’orientation par des arguments collectifs

20’ Mise en commun Chaque groupe, un par un vient dessiner au tableau un quadrilatère qui n’y est pas déjà

Permettre à tous les groupes de contribuer au travail collectif en évitant le jugement du travail de chaque groupe

10’ Synthèse collective Rédaction d’une affiche pour la classe

Qu’est-ce que ce travail nous apprend ?

Évacuer le problème de la taille

• Des élèves dessinent beaucoup de carrés … puis s’arrêtent… on n’y arrivera jamais…

• Arguments des autres : c’est la même forme, grande ou petite c’est comme la couleur. Si tu en es là,

un carré rouge et un carré bleu

c’est pas le même alors tu vois ça peut pas aller, il faut faire un seul

carré et puis des « pas carrés ».

Le travail d’une classe (22 élèves) Figures correctes quantité Carré 22 Rectangle 22 Losange 20 Trapèze isocèle 9 Trapèze rectangle 10 Quadrilatère à deux angles droits 1 Quadrilatères 1 angle droit 1 Chevron avec un angle droit 2 Chevron isocèle 6 Chevron quelconque 3 Quadrilatère quelconque 2 parallélogramme 2 Cerf-volant 1 Figures non correctes Étoile 4 branches 2 Trapèzes redondants 4 Chevrons redondants 1 Forme arrondie 2 Triangles 4 Figure ouverte 1 Beaucoup plus de 4 côtés 3

Le travail des groupes Fiche 1 2 3 4 5 6 Bilan Carré X X X X X X X Rectangle X X X X X X X Losange X X X X X X X Trapèze rectangle X X X X X Trapèze isocèle X X X X X X X Trapèze quelconque X X X Quadrilatère avec un angle droit

X X X X

Quadrilatère quelconque X Cerf-volant X X parallélogramme X X X Chevron avec un angle droit X X Chevron isocèle avec un angle droit

X X

Chevron isocèle X X X X Non correctes

Figure avec des courbes X Redondance des trapèzes X X Redondance chevron isocèle X

Ce qui reste au tableau

Échanges lors de la mise en commun : le codage • Un nouveau dessin ressemble beaucoup à un

dessin déjà présent (premier avec le second) • L’élève qui vient de dessiner dit alors « oui

mais nous il n’y a pas d’angles droits là et là (où il a les flèches) c’est donc pas le même »

• L’enseignante « comment expliquer aux autres sur le dessin ce que vous avez voulu dessiner ? »

• Les élèves décident : – De mettre de la même couleur les côtés

parallèles. – De mettre des mesures fictives pour côter la

figure et montrer les côtés de même mesure.

– De coder les angles droits par le codage usuel.

Mise en commun : les propriétés

Les élèves débattent sur le fait que les deux trapèzes ci-contre sont identiques ou non :

− c’est le même parce qu’il y a deux angles droits et deux côtés parallèles

− oui mais là c’est bancal et là c’est pas bancal − c’est pas le même parce que même si on le tourne c’est pas le

même − Un élève propose de découper. − il y en a un qui vient plus du carré et l’autre qui vient plus du

losange − c’est pas la taille qui est important celui-là (le second) il suffit de

l’étendre et de le retourner et c’est le même. − Oui mais alors si tu étends le carré tu as un rectangle c’est bien

pas pareil … − Oui mais là t’as pas de côtés égaux…et là non plus alors que

sur le carré t’as tous les côtés égaux. Les élèves finissent par conclure que « c’est plus simple de

regarder les propriétés » Lors du bilan les élèves restent sans exception sur les propriétés et

non plus sur les aspects perceptifs ou liés à l’orientation.

Conclusion de cette situation

• Il faut distinguer enjeu de la situation et tâche de l’élève: – L’enjeu est de se rendre compte que les figures géométriques

sont définies par leurs propriétés géométriques

– La tâche est de trouver tous les quadrilatères possibles (donc ce n’est pas grave si on ne les trouve pas tous)

• La mise en commun doit permettre à tous de s’exprimer: il faut donc bien réfléchir aux modalités

Vos questions Une démarche, des démarches ? Différenciation pédagogique

• Y a-t’ il une « bonne » démarche en résolution de problèmes ?

• Quelle(s) schématisation(s) proposer aux élèves : 1 seul modèle (en barre ?)du CP à la 6e ?

Premier enjeu : définir par les actes (les situations, le fonctionnement) le contrat par rapport à la résolution de problème

Place des automatismes : nécessaire … mais masque le sens … paradoxe ?

Vos questions : mon analyse La structuration d’une situation d’apprentissage

• Comment « lancer » le travail sur la résolution de problème et la modélisation ?

• A quel moment de la séance et/ou de la séquence faire la structuration ? Quelle trace écrite laisser aux élèves sur la résolution de problèmes?

• Comment faire la correction des problèmes donnés ? Et pour quels élèves (tous ?)

• Quels outils pour aider à la vérification de sa propre résolution en autonomie ?

Différencier la tâche de l’objectif Deux niveaux d’institutionnalisation :

locale --> voilà ce qu’on a trouvé Global Comment a-t-on fait ?

Situations de synthèses et problèmes ouverts

• Est-il possible de construire un triangle avec 1 angle droit?

• Est-il possible de construire un triangle avec 2 angles droits ?

• Est-il possible de construire un quadrilatère avec deux angles droits ?

• Est-il possible de construire un quadrilatère avec trois angles droits ?

Triangle à 2 angles droits?

Quadrilatère à 2 angles droits?

Quadrilatère à 3 angles droits?

COMPRENDRE LES DIFFICULTÉS

La question des registres sémiotiques

• prezi

Les typologies

Typologie

• Composition d’états

– e1 e2 Ef

– E1 e2 ef

• Transformation d’états

– ei t+/- Ef

– Ei t+/- ef

– ei T+/- ef

• Comparaison d’états

– e1 c+/- E2

– e1 C+/- e2

• Composition de transformations

– t1+/- t2+/- Tf

– t1+/- T2+/- tf

problèmes catégories taux de

réussite procédures

Taux/total

problème 1

Le compteur de la photocopieuse marque 132.

La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant, que marque le compteur ?

e t + E 65%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

68 %

15 %

1 %

6 %

10 %

problème 2

Corinne a 37 images dans une boîte,

Elle en colle 12 dans son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant ?

e t - E 66%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

21 %

61 %

3 %

4 %

12 %

problème 3

Paul joue au jeu de l'oie. Son pion est sur une case

bleue. II avance de 14 cases. II arrive sur une case rouge marquée 37.

Quel était te numéro de la case bleue ?

E t + e 43%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

36 %

36 %

3 %

5 %

18 %

problème 4

La maîtresse a 42 cahiers dans l'armoire.

Le directeur lui apporte un carton de cahiers, La maîtresse a maintenant en tout 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers ?

e T + e 39%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

45 %

15 %

14 %

5 %

24 %

problème 5

Dans une école, il y a 68 filles et 52 garçons.

Combien y a-t-il d'enfants dans cette école ?

e e E 73%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

88 %

3 %

0 %

1 %

9 %

problème 6 - Dans une classe ü y a 28 enfants. Le mCre a compté les garçons. II y en a

12. Combien y a-t-il de filles dans la classe ?

e E e 56%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

30 %

31 %

10 %

8 %

22 %

problème 7

Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus ?

e C + e

47%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

36 %

29 %

8 9'0

10 %

18 %

problème 8

Marie a 39 ans; elle a 23 ans de plus que son

fils Thomas. Quel est l'âge de Thomas ?

E c + e 45%

addition

soustraction

addition à trou

surcomptage ou décomptage

autres

23 %

49 %

4 %

5 %

21 %

Comment utiliser cet apport ?

• NE PAS DISSOCIER + et -

• Analyser les difficultés des élèves (fiches)

• Programmer l’étude des situations additives (essai de programmation CR)

Proportion simple La structure de proportion simple met en jeu deux espaces de mesures (grandeurs) différents, M1 et M2, liés par la relation f(x) = x f(1). f est une fonction linéaire

• Multiplication

Calcul de f(x) connaissant x et f(1).

Exemple : Quel est le prix de 16 albums vendus chacun 2 € ?

• Division de type 1 (partition)

Calcul de f(1) connaissant x et f(x).

Exemple : L’achat de 47 livres de lecture a coûté 564 €. Quel est le prix d’un livre ? • Division de type 2 (quotition)

Calcul de x connaissant f(1) et f(x).

Exemple : Un tube de colle est vendu 2 €. Combien peut-on en avoir pour 8 € ?

• Quatrième proportionnelle

Calcul de f(x’) connaissant x, f(x) et x’. Remarque : Le calcul de f(x’) connaissant x, f(x) et x’ revient au même compte tenu de la symétrie de la relation de proportionnalité entre deux grandeurs.

Exemple : 15 stylos coûtent 45 €. Combien coûtent 139 stylos ?

Proportion simple composée La structure de proportion simple composée met en jeu trois espaces de mesures, M1, M2 et M3, une fonction linéaire f lie M1 à M2 et une fonction linéaire g lie M2 à M3. M1 et M3 sont liés (transitivité) par g°f, la composée de f et g. Nous retrouvons les trois types de problèmes précédents (multiplication, partition et quotition). • Exemple 1 (multiplication) : Une institutrice commande 4 boîtes de

feutres. Dans chaque boîte il y a 8 feutres. Un feutre coûte 3 €.

Combien l’institutrice paye-t-elle en tout ?

• Exemple 2 (partition) : Pour les fêtes de Noël, le comité

d’entreprise commande des cartons de ballons. Dans chaque carton il y a 36 ballons. La facture s’élève à 6 156 €. Quel est le prix d’un ballon ?

• Exemple 3 (quotition) : Pour les fêtes de Noël, le comité

d’entreprise commande des cartons de 36 ballons. Chaque ballon est vendu 3 €. La facture s’élève à 6 156 €. Combien y aura-t-il de

cartons ?

Produit de mesures

La structure de produit de mesures renvoie à la composition cartésienne de deux espaces de mesures, indépendants, M1 et M2, en un troisième, M3, lié aux deux précédents par 1 la relation f(x1,x2) = x1 x2.

f est une fonction bilinéaire, en particulier si on fixe la valeur x2 de M2, M1 et M3 sont proportionnelles et, si on fixe la valeur x1, M2 et M3 sont proportionnelles.

Notons que f(1,1) = 1, seuls les types « multiplication » (calcul de f(x1,x2) connaissant x1 et x2) et « quotition » x1

(calcul de x2 connaissant x1 et f(x1,x2)) relèvent de cette structure.

• Exemple 1 (multiplication) : Quelle est l’aire d’un rectangle de 24 m sur 11 m ?

• Exemple 2 (multiplication) : Julie a 4 robes et 5

corsages différents. De combien de manières peut-elle se vêtir ?

Proportion double

C’est la généralisation du cas précédent, la relation liant l’espace de mesure M3 aux deux espaces indépendants M1 et M2 est f(x1,x2) = x1 x2 f(1,1).

Trois types de problèmes font partie de cette structure :

• Multiplication

Calcul de f(x1,x2) connaissant x1, x2 et f(1,1).

Exemple : Un groupe de 79 personnes passe 12 nuits à l’hôtel. Le prix de la chambre est de 37 € par personne et par jour. Combien le groupe doit-il payer pour les 12 nuits ?

• Division de type 1

Calcul de f(1,1) connaissant x1, x2 et f(x1,x2).

• Division de type 2

Calcul de x2 connaissant x1, f(1,1) et f(x1,x2).

À quoi servent les typologies ?

Surtout pas à être enseignées aux élèves !

• Analyse des difficultés

• Programmation des problèmes

• s’assurer d’avoir touché à l’ensemble de la variété des problèmes

Vos questions : mon analyse Une démarche, des démarches ? Différenciation pédagogique

• Y a-t’ il une « bonne » démarche en résolution de problèmes ?

• Quelle(s) schématisation(s) proposer aux élèves : 1 seul modèle (en barre ?)du CP à la 6e ?

• Comment aider les élèves à passer à l’abstraction ?

Au delà de la séance

• Quelle progression mettre en place ?

S’aider des typologies

S’abstraire c’est changer de registres jouer sur les congruences et les non congruences

L’ÉNONCÉ LE LANGAGE…

Un petit test d’intelligence

En 12 questions…. Pourquoi 12 ?

Q1 : Est-ce qu'il y a un 14 juillet en Belgique?

A. Je ne sais pas

B. Oui

C.non

Q2 : Combien un homme moyen a de jour d'anniversaire?

A. Jnsp

B. 1

C.+de 50

D.+de60

E. +de70

F. +de 80

Q3: Certains mois ont 31 jours; Combien en ont 28?

A. Jnsp

B. 1

C.2

D.3

E. 6

F. 9

G.12

Q4 : Combien d'animaux mangent avec leur queue?

A. Jnsp

B. 1

C.2

D.Tous

E. aucun

Q5 : Est-il légal en Californie d'épouser la sœur de sa veuve?

A. Jnsp

B. Oui

C.non

Q6 : Diviser 30 par 1/2 et ajouter 10. Combien cela fait-il?

A. Jnsp

B. 10

C.25

D.50

E. 70

F. 90

Q7 : S'il y a 3 pommes et que vous en prenez 2, combien

vous en avez? A. Jnsp

B. 1

C.2

D.3

Q8 : Un docteur vous donne trois cachets ´ prendre toutes les demi-heures. Combien de

temps allez-vous tenir avec ces trois cachets? A. Jnsp

B. 20

C.40

D.60

E. 90

Q9 : Un fermier a 17 moutons, tous sauf 9 meurent. Combien

en reste-t-il? A. Jnsp

B. 1

C.5

D.7

E. 8

F. 9

Q10 : Combien d'animal de chaque sexe Moïse emmena-t-il

sur l'arche? A. Jnsp

B. 3

C.2

D.1

E. 0

Q11 : Combien y a-t-il de paire de chaussettes dans une

douzaine? A. Jnsp

B. 1

C.2

D.6

E. 12

F. 24

Q12 : Un gardien de nuit décède de jour. A-t-il droit à une

pension ? A. Jnsp

B. Oui

C.Non

Et le corrigé….

Q1 : Est-ce qu'il y a un 14 juillet en Belgique?

A. Je ne sais pas

B. Oui

C.non

Q2 : Combien un homme moyen a de jour d'anniversaire?

A. Jnsp

B. 1

C.+de 50

D.+de60

E. +de70

F. +de 80

Q3: Certains mois ont 31 jours; Combien en ont 28?

A. Jnsp

B. 1

C.2

D.3

E. 6

F. 9

G.12

Q4 : Combien d'animaux mangent avec leur queue?

A. Jnsp

B. 1

C.2

D.Tous

E. aucun

Q5 : Est-il légal en Californie d'épouser la sœur de sa veuve?

A. Jnsp

B. Oui

C.non

Q6 : Diviser 30 par 1/2 et ajouter 10. Combien cela fait-il?

A. Jnsp

B. 10

C.25

D.50

E. 70

F. 90

Q7 : S'il y a 3 pommes et que vous en prenez 2, combien vous en avez?

A. Jnsp

B. 1

C.2

D.3

Q8 : Un docteur vous donne trois cachets ´ prendre toutes les demi-heures. Combien de temps allez-vous tenir avec ces trois cachets?

A. Jnsp

B. 20

C.40

D.60

E. 90

Q9 : Un fermier a 17 moutons, tous sauf 9 meurent. Combien

en reste-t-il? A. Jnsp

B. 1

C.5

D.7

E. 8

F. 9

Q10 : Combien d'animal de chaque sexe Moïse emmena-t-il

sur l'arche? A. Jnsp

B. 3

C.2

D.1

E. 0

Q11 : Combien y a-t-il de paire de chaussettes dans une

douzaine? A. Jnsp

B. 1

C.2

D.6

E. 12

F. 24

Q12 : Un gardien de nuit décède de jour. A-t-il droit à une

pension ? A. Jnsp

B. Oui

C.Non

Le contrat didactique

« Tout énoncé a une fonction communicative. H. Paul Grice explique qu'il existe un principe de coopération linguistique dont il ne faut violer aucune des maximes pour être cohérent :

• Maximes de Grice: – 1. MAXIME DE QUANTITÉ : Fournissez la quantité d'informations

nécessaires, ni plus ni moins – 2. MAXIME DE QUALITÉ : Dites ce que vous considérez vrai. – 3. MAXIME DE PERTINENCE : Parlez à propos. Restez en relation avec le

thème de l'échange. – 4. MAXIME DE MANIÈRE Soyez clair et précis. Évitez l'ambiguïté. Soyez

méthodique. »

• + Rôle du contexte, • Polysémie des termes…

Des exemples de problèmes

PISA ? TIMMS ?

Vos questions : mon analyse Au delà de la séance

• Quelle progression mettre en place ?

• Qu’est-ce qu’un laboratoire en résolution de problèmes ?

Réponse ou résolution

Ce gros cube est constitué de petits cubes.

Combien y a-t-il de petits

cubes ?

Inspiré du Rallye mathématique des écoles des Ardennes.

Nombre de cubes : 23 = 8 Nombre de faces visibles : 2x2x3 = 12

Nombre de cubes : 43 = 64

Nombre de faces visibles : 4x4x3 = 48

Des problèmes à plusieurs entrées :

• Par essais erreurs

• Par manipulation

• Par reconstruction de la situation

• Par tout procédé de calcul

• Par une procédure experte

AVEC PLUSIEURS ENTRÉES

Pour cet exercice

• La démarche par manipulation consiste quant à elle à fabriquer quatre tétraèdres en papier

• Stratégie experte

Dé1 dé2 dé3 dé4

A I A A

V V S S AIAA AIAS AISA AISS AVAA AVAS AVSA AVSS

VIAA VIAS VISA VISS VIAA VVAS VVSA VVSS

La démarche par essais erreurs consiste à faire la liste de

toutes les lettres, puis de toutes les lettres qui peuvent se

trouver sous les faces, puis d’éliminer les mots incohérents. Ici on trouve 4 lettres S, I, A, V. Le tableau ci-dessous

présente les possibles qui sont ensuite déclinés grâce à une

recherche d’exhaustivité

Quel types de problèmes

• CE N’EST PAS UNE APPLICATION DIRECTE DU « COURS »

• AVEC PLUSIEURS ENTRÉES

• SURPRENANT

• ORIGINAL

Dimension historique et outil de remédiation

Un problème à trou

Des données à completer

Des logigrams Tiré de la revue Multilogic, Kessing disponible en

kiosque dans le rayon « sport cérébral » mots croisés…

Friandise

Âge

Bis

c

uit

Ch

o

cola

t Po

mm

e 1

1

an

s 1

2

an

s 1

3

an

s

A B C D E F

Pré

n

om

Alexa

ndre

Lisa

Virgini

e

Â

ge

11 ans

12 ans

13 ans

Indices : •Virginie n’a pas 12 ans. •L’enfant ayant mangé une pomme n’a pas 11 ans. •Lisa, qui a plus de 12 ans, n’a pas mangé un biscuit ni une pomme.

Inverser les rôles

• Faire construire des énoncés,

Schtroumpfage

Exemple de problème ouvert

• Trouver tous les pentaminos

• Pavages de pentaminos

12 pentaminos

Une seule aire 12x5 unités… plusieurs périmètres

1j 1p

• Un problème

• Une dimension culturelle

• Exemple :

• Jipto

• Erastostène

LA GESTION DES TEMPS D’ÉCHANGE ET DE MISE EN COMMUN

La situation

• 5 enseignants – A, B, C, D, E

• Une situation de communication. – L’émetteur à un solide, – Il doit faire un message (dessin)

– Le récepteur doit fabriquer le solide avec un matériel (pailles)

Des dessins

P5 P3’

P4’ P4’

Au niveau de l’organisation on peut distinguer deux démarches :

• deux enseignants font venir les élèves au tableau pour expliquer leurs procédures. (Etienne et Anne)

• pour les 3 autres, les élèves restent à leur place.

Échanges dans la classe

A B C D E

e/e 11,3% 13,6% 5,5% 7,7% 12%

e/e/e 2,72% 5,8% 3% 5,8% 10%

+ 1% 21% 0 0 3,5%

(Danielle)

« alors essayez tous, au fur et à mesure qu’on va voir les différents dessins justement, d’essayer de voir comment on pourrait faire parce que c’est le problème. Comment on va voir s’il y a 3 ou 4 faces derrière. Donc on va voir après, le problème vient de là. Heu »

La mise en commun est gérée par l’enseignant (Danielle)

• C’est l’enseignant qui pose les problèmes, on peut remarquer de nombreux recadrages, l’enseignant reformule le problème.

• Il y a 28 interventions reprises par l’enseignante et 8 non-reprises car elles ne vont pas dans le sens du débat qui est posé par des interventions de l’enseignante du type :

(Anne / Sylvie / Etienne)

• « Es : faire le bas…

• M : Faire le bas.

• E : faire un trait derrière

• E : il faudrait faire aussi les indications comme Mathieu il a fait les … »

• Si les interventions ne sont pas reprises, elles sont au moins approuvées.

• Chez Anne les 56 interventions d’élèves sont toutes reprises sauf 2.

• Sylvie ne reprend pas les interventions des élèves mais les approuve, exemple :

• « E : parce qu’on a fait le dessin avec les arêtes, pour nous ça fait 3 avec les arêtes pour nous ça fait 3 avec les arêtes…

• E : on a rajouté celle qu’est derrière. • M : d’accord, »

La mise en commun est animée par l’enseignant (Anne / Sylvie / Etienne)

• L’enseignant reprend en miroir les interventions des élèves pour les renvoyer à la classe, mais les problèmes qui sont traités sont issus des interventions des élèves. Quasiment toutes les interventions sont reprises par l’enseignant ce qui sous entend qu’il n’y a pas de « tri »

• La différence entre les deux modes peut être due à l’âge des élèves CE1/CE2 chez Anne et CM1 chez Charlotte et CM2 chez Etienne.

(Etienne)

• « S : en fait, celui là d’Antoine on a pas très bien compris parce qu’en fait on voyait que 3 , on ne doit mettre que 3 tiges en partant du haut et deux tiges à la base. Donc …. Pour la construction… et en fait

• M : Marion

• Marion ; je suis pas d’accord parce qu’en fait elle dit on a vu 3 tiges mais il y en a 4 sur le dessin

• S : oui mais sur le dessin ici celui là derrière on pouvait pas savoir pour y arriver

• M : Montre le solide que tu devais faire. C’est celui-là

• S : parce que.. »

La mise en commun organisée par l’enseignant. (en partie Etienne)

• L’enseignant ne reprend pas les interventions des

élèves parce qu’il laisse les élèves débattre, ses interventions servent à ce moment à organiser les tours de parole :

• Dans tous les cas nous remarquons que les élèves ne sollicitent pas l’enseignant pour savoir si sa production est correcte donc même si la mise en commun est animée, guidée, etc. par ce dernier, la validation est bien à la charge de l’élève.

La mise en commun est guidée par l’enseignant (l’exemple de Béatrice)

Les problèmes sont bien issus des interventions des élèves, mais l’enseignante fait le « tri », les interventions qui ne semblent pas utiles sont éludées.

• Il y a 16 interventions des élèves éludées par l’enseignante dont 3 non mathématiques (« y s’ont du mal… », « ho la vache nous… », « c’est vachement facile ») et 21 interventions reprises.

• L’enseignante s’appuie également sur les élèves qui « savent » répondre. Ici c’est Marie.

Rôle des interventions de l’enseignant dans la phase de

mise en commun

• « M : des choses à dire ? Margot. »

Gestion des tours de parole :

• « M : des choses à dire ? Margot. »

• « M : vous pensez que c’est un message qui fonctionne ? »

reprise de la question de départ, de la consigne. Elles

permettent d’animer le débat

• « M : vous pensez que c’est un message qui fonctionne ? »

• « M : Le message-là, est-ce que le message mérite 3 points ?

• Es : non

• M : Pourquoi ? »

• Ou

• « E : en fait le côté là, il est plus petit que l’autre.

• M : qu’en pensez-vous ? »

demandes d’explicitations. Elles peuvent lancer le débat.

• « M : Le message-là, est-ce que le message mérite 3 points ?

• Es : non

• M : Pourquoi ? »

• Ou

• « E : en fait le côté là, il est plus petit que l’autre.

• M : qu’en pensez-vous ? »

• « C : c’est un peu, c’est découpé, c’est ouvert. • M : comment ça s’appelle quand on ouvre une figure ?

Valentin ?

• V : un patron »

• Parfois ce type de question oriente la réponse :

• « M :[…]derrière, alors, puisque c’est derrière est-ce qu’on aurait pu garder les mêmes dimensions que sur le devant. A votre avis ? Est-ce qu’on aurait pu garder les mêmes dimensions ? Est-ce que c’est normal que le triangle ici soit plus petit que celui du tour ? »

des questions de connaissance : elles ne font pas

avancer le débat, elles apportent des éléments de savoir.

Elles ferment le débat.

• « C : c’est un peu, c’est découpé, c’est ouvert. • M : comment ça s’appelle quand on ouvre une figure ?

Valentin ?

• V : un patron »

• Parfois ce type de question oriente la réponse :

• « M :[…]derrière, alors, puisque c’est derrière est-ce qu’on aurait pu garder les mêmes dimensions que sur le devant. A votre avis ? Est-ce qu’on aurait pu garder les mêmes dimensions ? Est-ce que c’est normal que le triangle ici soit plus petit que celui du tour ? »

• « ‘E :[E va au tableau]cette baguette-là,

cette baguette-là si on la replie ça fait une

seule.

• M : C’est le même baguette. »

des reformulations (lors de reprises rectificatrices

• « ‘E :[E va au tableau]cette baguette-là,

cette baguette-là si on la replie ça fait une

seule.

• M : C’est le même baguette. »

• « G : en Relief

• Regarde. Montre à la classe parce que je

suis pas sûr, celle du haut comme

représentation.

• E : en hauteur

• M : Oui , un peu comme une vue du ciel

hein. Comme si on était en hauteur. »

Ou

• « Es : faire le bas…

• M : Faire le bas.

• E : faire un trait derrière

• E : il faudrait faire aussi les indications comme Mathieu il a fait les …

• Donc le statut est similaire aux accords explicites de Charlotte :

• « E : parce qu’on a fait le dessin avec les arêtes, pour nous ça fait 3 avec les arêtes pour nous ça fait 3 avec les arêtes…

• E : on a rajouté celle qu’est derrière. • M : d’accord, »

des institutionnalisations locales : ( non

reprise ou reprises miroir) • « Es : faire le bas…

• M : Faire le bas.

• E : faire un trait derrière

• E : il faudrait faire aussi les indications comme Mathieu il a fait les …

• Donc le statut est similaire aux accords explicites de Charlotte :

• « E : parce qu’on a fait le dessin avec les arêtes, pour nous ça fait 3 avec les arêtes pour nous ça fait 3 avec les arêtes…

• E : on a rajouté celle qu’est derrière. • M : d’accord, »

• « E : mais avec les pointillés c’est fait exprès. • M : qu’est-ce que ça veut dire les pointillés ?

• E : c’est pour montrer ce qu’on voit pas. • E : c’est derrière. • M : c’est pour montrer ce qu’on voit pas comme tu

dis. On montre que c’est quelque chose qui est derrière »

des validations (institutionnalisations) ( reprises rectificatrices)

• « E : mais avec les pointillés c’est fait exprès. • M : qu’est-ce que ça veut dire les pointillés ?

• E : c’est pour montrer ce qu’on voit pas. • E : c’est derrière. • M : c’est pour montrer ce qu’on voit pas comme tu

dis. On montre que c’est quelque chose qui est derrière »