Rencontres : non-linéaire et bruit1 Quelques méthodes adaptatives de suivi/estimation de...

Rencontres : non-linéaire et bruit 1

Quelques méthodes adaptatives de suivi/estimation de fréquences

Cédric Duchêne, Yann Prudat, Laurent Uldry et Jean-Marc Vesin

Laboratoire de Traitement des Signaux 1

Estimation de fréquences instantanées de signaux non-stationnaire

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Méthodes adaptatives – Pourquoi ?

Motivations identiques à la théorie de l’analyse temps/fréquence

Localisation du contenu fréquentiel

Exemple : deux signaux différents qui possèdent le “même spectre”

Signal

Densi

té s

pect

rale

de

pu

issa

nce

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Méthodes adaptatives – Pourquoi ?

Problème : interprétation du plan temps/fréquence

Trouver des trajectoires dans le plan temps/fréquence

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Plan de la présentation

1. Introduction

2. Signal mono-composante

3. Signal multi-composantes

4. Extension multi-signaux

5. Perspectives & Conclusion

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Signal mono-composante - Présentation

Méthode inspirée par les travaux de Liao (2005) mais étendue au cas complexe

[ Liao H (2005), IEEE Trans Signal Processing, 53(2), 528-538 ]

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Signal mono-composante - Filtrage

1

1( , )

1 ( )B z n

n z

Fonction de transfert du filtre à l’instant n :

avec un pole en β (n),

0 << β < 1, contrôle la largeur de bande

( )( ) j nn e fréquence centrale

normalisée

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Signal mono-composante - Adaptation

( ) ( 1)xjx n e x n

( ) e xj nx n Si l’entrée est une composante oscillatoire pure :

le signal d’entrée est décrit par

l’équation d’un oscillateur complexe

Si la fréquence centrale du filtre est : ( ) xn

( ) ( ) ( 1) (1 ) ( )y n n y n x n ( ) ( 1).xjy n e y n

la sortie du filtre est définie par équation aux différences

( ) xjn e alors

défini le pole du filtre

Si l’entrée est bruité et que ( ) xn ( ) ( 1)xjy n e y n alors

Idée : écrire ( ) ( ) ( 1) ( )y n n y n e n et chercher

2*( ) min ( )n Arg e n

Rencontres : non-linéaire et bruit 8

Signal mono-composante - Adaptation

On cherche donc une solution à : 2*( ) min ( )n Arg e n

On montre que la solution est unique :

( ) ( ) ( ) ( 1)e n y n n y n avec

2

( ) ( 1)( )

( 1)

y n y nn

y n

Estimation par méthode récursive pondérée avec

néanmoins impossible à déterminer en pratique

2

( ) ( 1) (1 ) ( ) ( 1)ˆ( )( ) ( 1) (1 ) ( 1)

Q n Q n y n y nn

P n P n y n

ˆ ( )

ˆ( )( 1)

ˆ( )xj nn

n en

0 1

l’estimée de la fréquence instantanée est : ˆ ( ) ( 1)x n Arg n

Rencontres : non-linéaire et bruit 9

Signal mono-composante - Résultats

Bruit gaussien, SNR 1 dB

Bruit gaussien, SNR 1 dB

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Plan de la présentation

1. Introduction

2. Signal mono-composante

3. Signal multi-composantes

4. Extension multi-signaux

5. Perspectives & Conclusion

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Signal multi-composantes - Méthode

On suppose maintenant que l’entrée est un signal à p composantes périodiques :

Idée : utiliser un filtre adaptatif pour chaque composante

banc de filtre adaptatif p branches

Problème : les filtres ne sont pas parfaits interférences entre branche (cross-talk)

Solution : placer des filtres coupe-bande devant chaque passe-bande

( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

p pj n

k kk k

x n s n b n A n e b n

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Signal multi-composantes - Méthode

1

1

( , ) ( ) 1 ( )p

k k iii k

N z n C n n z

( )( ) ij ni n e

Fonction de transfert :

avec

p-1 zéros au fréquences :

1,( )

p

i i i kn

En pratique, les vraies fréquences sont inconnues

Utilisation des estimées

1,( )

p

ii i k

n

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Signal multi-composantes - Résultats

Bruit gaussien, SNR total 20 dB

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Plan de la présentation

1. Introduction

2. Signal mono-composante

3. Signal multi-composantes

4. Extension multi-signaux

5. Perspectives & Conclusion

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Extension multi-signaux - Méthode

Cas où l’information utile provient de M capteurs

Idée : estimer conjointement les fréquences

instantanées plutôt que de faire les estimations

séparément

Comment : utiliser le même banc de filtre adaptatif pour

tous les signaux, et mettre à jour les paramètres de

manière pondérée en privilégiant les signaux respectant

au mieux le critère d’oscillation

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Extension multi-signaux - Exemple

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Perspectives & Conclusion

Cas mono-composante : analyse de la convergence biais et variance de l’estimation

Cas multi-composantes : comprendre avantages/inconvénients de la méthode

dans le cas réel et dans le cas complexe intérêt d’avoir des largeur de bande variable

(adaptative) estimer le nombre de composantes afin de modifier

la taille du filtre pendant le traitement (naissance et mort de processus)