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Résolution des  transferts conducto-­‐radiatifs par  la  méthode de  Monte  Carlo  en

milieux poreux Cyril  CaliotResearcher CNRS  (HDR)cyril.caliot@promes.cnrs.fr

Toulouse  UniversityS.  BLANCOR.  FOURNIER

B.  PIAUD,  C.  COUSTETV.  EYMET,  V.  FOREST

M.  El  HAFI

JERT  2017CEMHTI  Orléans

Outline• Introduction

• Stochastic model

• Simulation  configuration  

• Results and  discussion

• Conclusion  and  future  work

Solving combined conduction-­radiation  problems

• Deterministic methods =>  Need a  mesh– Finite differences/volumes/elements– Lattice boltzmannCompute the  temperature field

• Stochastic methods =>  Meshless– Monte  CarloCompute the  local  temperature

Résolution  de  la  conduction  par  Monte  Carlo

Figs.  fromTalebi et  al.  Prog.  Nuc.  Energy 96  (2017)

𝝏𝑻𝝏𝒕 + ∆𝑻 = 𝒇 et  CI  +  CL• Fixed random walk

(Curtiss IBM  Corp.  1949  ;  Emery  and  Carson  ASME  JHT  1968)

• Semi  floating random walk(Talebi et  al.  Prog.  Nuc.  E.  2017)

• Floating random walk (Walk-­‐On-­‐Sphere)(Haji-­‐Sheikh  and  Sparrow ASME  JHT  1966,  Grigoriu ASME  JHT  2000)λ hétérogène  (Burmeister ASME  JHT  2002  ;  Bahadori et  al.  IJHMT  2017)

• Brownian motion  (Itô processes)(Grigoriu ASCE  JEM  1997,  ASME  JHT  2000)

Monte  Carlo  pour  les  transferts  couplés  Cond-­Ray

• Calcul  de  la  conductivité  effective  (cond-­‐ray)  dans  un  milieu  poreux  solide-­‐gaz  au  stationnaire– Conduction  (Itô-­‐Taylor)  et  MC  pour  ETR

• Solide  opaque :  Vignoles  IJHMT  2016CL  avec  linéarisation  du  transfert  radiatif• Solide  semi-­‐transparent :  Dauvois Thèse  2016Couplage  non-­‐linéaire    de  la  conduction  et  du  rayonnement  :  itérations

• Calcul  de  T  locale  dans  un  solide  :– Transitoire,  cond-­‐conv-­‐ray  :  Fournier  et  al.  

Eurotherm 2015– Stationnaire,  cond-­‐ray  (Caliot et  al. SFT  2017)

𝝏𝑻𝝏𝒕 + ∆𝑻 = 𝒇 +  ETR  dans  des  milieux  semi-­‐transparents  et  CI  +  CL

From Vignoles  IJHMT  2016

Stochastic method

𝑇 𝒙𝒃 =  𝜆/𝛿/𝜆𝛿/+ ℎ1

𝑇 𝒙𝒃 − 𝛿/𝒏  +  ℎ1

𝜆𝛿/+ ℎ1

𝑇145 𝒙𝒃

ℎ1 = 4𝜖8𝜎𝑇1:;<

𝑝5>;; =𝜆/𝛿/𝜆𝛿/+ ℎ1

𝛿5>;; =𝛿/2

02

2

2

2

2

2

=¶¶

+¶¶

+¶¶

zT

yT

xTSolid:  Opaque,  diffuse,  

homogeneous,  complex geometry in  vacuum  

Conduction-­‐radiation  flux  balance  at  the  boundary:  𝛿/ and  ℎ1

Stationnary Conduction-­‐Radiation  problem

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = F  𝑝G  𝑇 𝑟 𝑑𝐴G

(r)   𝑝G =LG

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≅  1𝑁P𝑇/,>

Q

>RL

Dirichlet  BC

Linearization of  the  radiative  exchange

𝑞LT = 𝜎 𝑇LU − 𝑇TU

𝑞LTV = 4𝜎𝑇1:;< 𝑇L − 𝑇T 𝑅𝑒𝑙. 𝐸𝑟𝑟 =  𝑞LT − 𝑞LTV𝑞LT

𝑻𝒓𝒆𝒇 =  𝑻𝟏 + 𝑻𝟐

𝟐

𝑇L [K]

𝑇T [K]

𝑅𝑒𝑙. 𝐸𝑟𝑟

Simulation  configuration

Case 𝝀,  W.m-­‐1.K-­‐1 𝒑𝒅𝒊𝒇𝒇 Tmin -­‐Tmax,  K

1a 40 ~1 300-­‐310

1b 10-­‐3 ~0.65 300-­‐310

2a 4.2  10-­‐3 0.1 1000-­‐1500

2b 3.765  10-­‐2 0.9 1000-­‐1500

Objective: compute  the  average  temperature  along  the  plane

  𝑇 = F  𝑝G  𝑇 𝒙 𝑑𝒙G

 Plate2  mm

Plate2  mm 3  Kelvin’s cells

3*4  mm

𝛿/ = 0.1  𝑚𝑚  ;  𝛿5>;; =  𝛿/2

Strutdiameter:    0.6  mm

Strutemissivity:0.85

Stochastic method:C++  code  Startherm (GPL)

Deterministic method:ANSYS  Fluent  -­‐ Energy balance  eq.  

2nd order upwind-­‐ Radiative  transfer eq.  

Discrete ordinates-­‐ 1st  order upwind,  

6*6  disc.  Octant,  pixelation 6*6

Results:  Low temperature difference 10  K

𝜆 =  40  W.m-­‐1.K-­‐1     𝑝5>;;~  1   𝜆 =  10-­‐3 W.m-­‐1.K-­‐1     𝑝5>;;~  0.65  

High  conductivity:  no  influence  of  radiation Low conductivity:  Temperature homogeneization by  radiation

Plate2  mm

Plate2  mm

The  stochastic method isvalidated with low temperaturedifferences

Results:  High  temperature difference 500  K

𝜆 =  3.765  10-­‐2 W.m-­‐1.K-­‐1     𝑝5>;;~  0.9   𝜆 =  4.2 10-­‐3 W.m-­‐1.K-­‐1     𝑝5>;;~  0.1  

High  influence  of  radiation

The  stochastic method isvalidated with high  temperaturedifferences

Conclusion• A  Monte-­‐Carlo  algorithm  was  established  to  solve  the  

combined  conduction  and  radiation  heat  transfers  in  complex  geometries  and  at  the  stationary  regime.

• A  comparison  was  conducted  with  the  results  obtained  with  the  finite  volume  method  (ANSYS  Fluent).

• When  conduction  or  radiation  dominates  the  heat  transfers,  the  stochastic  method  reproduces  well  the  results  of  the  finite  volume  method  and  it  is  considered  numerically validated.

Future  work• Accelerate the  diffusion  (conduction)  random path:  

using the  Walk-­‐On-­‐Rectangle  technique.• Extend the  algorithm to  a  non-­‐stationary regime• Introduce the  convection  heat transfer mode

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