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UNIVERSITE D’AIX-MARSEILLETELE-ENSEIGNEMENT

ANALYSE ET STRUCTURES ALGEBRIQUES, RNMDCC1 NOVEMBRE 2014

Envoyez vos solutions a pittet@math.cnrs.fr avant le 24 decembre 2014.

1. Algebre

Exercise 1.1. Les equations suivantes ont-elles des solutions dans Z/4Z ?

(1) 3x = 1.

(2) 2x = 1.

Memes questions dans Z/5Z et Z/6Z.Exercise 1.2. Soit E = {f : R ! R telle que fest deux fois derivable}. Ondefinit (f + g)(x) = f(x) + g(x) et (�f)(x) = �f(x). Verifiez que E est unespace vectoriel sur R. Soit V = {f 2 E : f

00(x) + f(x) = 0, 8x 2 R}. Verifiez

que cos(x) et sin(x) sont des elements de V . Pouvez-vous trouver f 2 V telleque f(0) = 2, f(⇡/2) = �1 ? Indication : verifiez que V est un sous-espacevectoriel de E. Prouver que cos(x) et sin(x) sont lineairement independants.

Exercise 1.3. La conjugaison complexe ⌧ : C ! C, ⌧(z) = z verifie

⌧(w + z) = ⌧(w) + ⌧(z),

mais n’est pourtant pas une application lineaire de C dans C. Pourquoi ? Parcontre si l’on considere C comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R (etnon plus comme un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-meme), l’application⌧ est lineaire. Prouver ceci et trouver la matrice de ⌧ dans la base {1; i}.Exercise 1.4. Soit A : R3 ! R3 la rotation d’angle ⇡ autour de l’axe 0x. SoitB : R3 ! R3 la rotation d’angle ⇡ autour de l’axe 0y. Determiner dans labase canonique les matrices M(A), M(B), M(AB), et verifier que M(BA) =

M(AB).

Exercise 1.5. Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps K.Soit L un endomorphisme de V . Soit e1, . . . , en une base de V et soit M e

(L)

la matrice de L dans cette base. Montrer que la somme

Tr(M

e

(L)) =

nX

i=1

m

ii

1

2 ANALYSE ET STRUCTURES ALGEBRIQUES, RNM

des coe�cients diagonaux de la matrice M

e

(L) ne depend pas du choix de labase. C’est-a-dire si v1, . . . , vn est une base de V et si M v

(L) est la matrice deL dans la base v1, . . . , vn, alors Tr(M

e

(L)) = Tr(M

v

(L)). Cette somme, qui nedepend donc que de L, est appelee la trace de l’endomorphisme L. Indication :prouver que si A,B sont deux matrices carrees alors Tr(AB) = Tr(BA), puisappliquer la formule du changement de base

M

v

(L) = M

e

(P )

�1M

e

(L)M

e

(P ).

2. Analyse

Exercise 2.1. Donner un exemple d’application continue de ]0, 1[ dans R quin’admet pas de maximum. Determiner l’image de ]�⇡/2, ⇡/2[ par l’applicationtg(x). Donner un exemple d’application de [0, 1] dans [0, 1[ qui n’admet pas demaximum.

Exercise 2.2. Soit P (x) un polynome de degre impair a coe�cients reels.Prouver que pour tout b 2 R l’equation P (x) = b admet une solution dansR. Indication. Montrer que P prend des valeurs positives et negatives dontles normes sont arbitrairement grandes et appliquer le theoreme de la valeurintermediaire.

Exercise 2.3. Montrer que la suite x1 = 1, xn+1 = x

n

/2 + 1/x

n

est une suitede Cauchy de Q muni de la distance d(x, y) = |x�y|, mais qu’elle ne convergevers aucun point de Q.

Exercise 2.4. Soit (X, d) un espace metrique. Supposons que toute suite deX admet une sous-suite convergente. Montrer que pour tout r > 0, il existe unsous-ensemble fini F de points de X, tel que X est recouvert par les boules derayon r centrees en les points de F :

X =

[

x2F

B

r

(x).

Indication. Soit x0 2 X et soit Br

(x0). Si X\Br

(x0) est vide on pose F = {x0}.Sinon soit x1 2 X \ B

r

(x0). Si X \ (B

r

(x0) [ B

r

(x1)) est vide, on pose F =

{x0 x1}. En iterant cette construction, montrer que deux cas se presentent : soitla construction se termine, soit elle produit une suite sans sous-suite conver-gente. Conclure.