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Théorie de lafonctionnelle de la densité :Comment aller au−delà
Andreas Savin
Toulouse, 14 mai 2007
Résumé
£ DFT£ Kohn−Sham£ Hybrides£ Résultats£ Perspectives & obstacles
DFT £ Explication du sigle£ Succès£ Limites
Systè mes électroniques
Equation de Schrö dinger
H Y = E Y Y : antisym.H = T + Vne + Vee
T = - ���12 Úi=1,N Ñi2
Vne = Úi=1,N vneHriL vneHr L = -ÚA ZA � È r - RA ÈVee = Úi<j veeI É ri - rj ÉM veeHr L = 1 � r
Vnne=1, me = 1, @ =1
DFT: Explication du sigle
D
density, nHr L = XΨ È Úi=1,N ∆Hr - riL È Ψ\ nHr L d3 r = pHe1; r L + pHe2; r L + ... + pHeN; r LÙ nHr L d3 r = N
DFT: Explication du sigle
F
functional
universelle (ne dépend que de nHr L, pas de vneLExemple d’une fonctionnelle de la densité:
U@nD = ���12 Ù nHr L nHr ’L � É r - r ’ É
DFT: Explication du sigle
T
theory· théorèmes (de Hohenberg−Kohn, etc.)· définitions, choix (méthode de Kohn et Sham, ...)· approximations (DFA)
LDA (local density approximation)GGA (generalized gradient approximation)B3LYP (auteurs)
DFT: Succè s
DFT: Succè s
Publications
1980 1985 1990 1995 2000 2005
1000
2000
3000
4000
5000
DFT
Web of Science: Topic=Density Functional Theory
DFT: Succè s
Mode?
1980 1985 1990 1995 2000 2005
1000
2000
3000
4000
5000
DFT
1980 1985 1990 1995 2000 2005
100
200
300
400
500
600
High Tc
Web of Science: Topic=Density Functional TheoryWeb of Science: Topic=High Temperature Superconductivity
DFT: Succè s
Loi de Moore?
1980 1985 1990 1995 2000 2005
1000
2000
3000
4000
5000
DFT
1980 1985 1990 1995 2000 2005
500
1000
1500
Moore’s law
Web of Science: Topic=Density Functional Theoryhttp://www.intel.com/technology/mooreslaw/
DFT: Succè s
Qualité des résultats?
Méthode Erreur moyenneEat. HG1, kcal � molL
CCSD HTL � aug - cc - pVQZ 2.8Diffusion Monte Carlo 2.9
B3LYP 2.5J.C. Grossman, Benchmark quantum Monte Carlo calculations, JCP 117, 1434 (2002)
DFT pour molécules avec ® 103 atomes, cristaux, ...
DFT: Limites
DFT: Limites
Quasi−dégénérescenceErreurs E dans la série du Be (Be, B+, C2+, ..) et du Ne
V. Staroverov et al, PRA 70, 12502 (2004); J. Perdew et al. PRA 23, 2785 (1981)
DFT: Limites
Self−interactionDissociation de X2
+: exacte, DFA, �����������H1�2L2
R
R
E
R.Merkle, AS, H. Preuss, JCP 97, 9216 (1992)B. Braïda, P.C. Hiberty, AS, JPC A 102, 7872 (1998) J.C. Slater (1974)
DFT: Limites
van der WaalsDeIcm-1M pour RgAm
0 20 40 60 80 1000
500
1000
1500
CCSDHTL CBS
LDA
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
CCSDHTL CBS
PBE
E. Goll, H. Stoll, H.−J. Werner, Th.Leininger, P. Gori−Giorgi, AS, CP 329, 276 (2006)Y. Andersson, D. C. Langreth, and B. I. Lundqvist, PRL 76, 102 (1996).W. Kohn, Y. Meir, D.E. Makarov PRL 80, 4153 (1998)
DFT: Limites
Modalité d’amé lioration des résultats?
En DFT ? Par contre, en CC, QMC, ...
20 40 60 80 100CCSDHTL CBS
20
40
60
80
100
120
exper.
E. Goll, H. Stoll, H.−J. Werner, Th.Leininger, P. Gori−Giorgi, AS, CP 329, 276 (2006)
DFT: Conclusions
DFT: Conclusions
· Qualité exceptionnelle pour effort raisonnable· Exceptions existent (systèmes, propriétés)
· Comment faire mieux?
Kohn−Sham (KS) £ Soubassement£ Méthode£ Propriétés£ Approximations
KS: Soubassement
Principe variationnel
E = minΨ XΨ È H È Ψ\Out[2]=
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
KS: Soubassement
Le théorème de Hohenberg et Kohn
E = minΨ XΨ È H È Ψ\ = minn minΨ®n XΨ È H È Ψ\Out[5]=
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
KS: Soubassement
Le théorème de Hohenberg et Kohn
E = minn minΨ®n XΨ È T + Vee + Vne È Ψ\ =
minn minΨ®n XΨ È T + Vee È Ψ\ + Ù vneHr L nHr L d3 r
pHe1, r L I- ������������ZAÈr-RAÈ - �����������������ZBÈr-R1 B+ - ..M + pHe2, r L H ...L + ...
n, vne: grandeurs "conjuguées"
KS: Soubassement
Le théorème de Hohenberg et Kohn
E = minn minΨ®n XΨ È T + Vee È Ψ\«¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ®¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬F @nD + Ù nHr L vneHr L d3 r
KS: Soubassement
Le théorème de Hohenberg et Kohn
E = minn F @nD + Ù nHr L vneHr L d3 r
F @nD: fonctionnelle ’universelle’
P. Hohenberg, W. Kohn, PR 136, B864 (1964)M. Levy, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 76, 6062 (1979)E. H. Lieb, IJQC 24, 243 (1981)
KS: Soubassement
La partition de Hohenberg et Kohn
F @nD = ���12 Ù nHr L nHr ’L � É r - r ’ É +G@nD
KS: Soubassement
Motivation de la partition HK: électrostatique Ù n Hr L vneHr L d3 r + ���12 Ù nHr L nHr ’L � É r - r ’ É +Vnn
’exacte’, sinon erreurs dans forces de Madelung, etc.
KS: Soubassement
Partition HK: effets à prendre en compte
G@nD = F @nD - ���12 Ù nHr L nHr ’L � É r - r ’ É· Principe de Pauli· Self−interaction, pHe1, r L pHe1, r ’L· Corrélation pHe1, r ; e2, r ’L ¹ pHe1, r L pHe2, r ’LApproximations?
KS: Méthode
KS: Méthode
La partition de Kohn et Sham
G@nD = minΨ®n XΨ È T È Ψ\«¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ®¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬Ts@nD + Exc@nD
W. Kohn, L.J. Sham, PR 140, A1133 (1965)
KS: Méthode
Motivation: Répulsion de Pauli
T @n ¬ YbosonsD £ T @n ¬ YfermionsDXΨ È T È Ψ\: principe de Pauli dans Ψ
Principe de Pauli pas uniquement dans XT \
KS: Méthode
Exc @nD
Ce qui reste.Exc@nD: fonctionnelle d’échange et de corrélation,
existe mais difficile à produire (’inconnue’)
KS: Méthode
Atteindre la valeur correcte de Exc @nD
R. Pollet, F. Colonna, Th. Leininger, H. Stoll, H.−J. Werner, A.S., IJQC 91, 84 (2003)
KS: Méthode
Approximations pour Exc @nD
Approximations, car la valeur exacte est aussi difficile àobtenir que résoudre l’équation de Schrödinger.Justification de la partition: qualité des approximations.Succès de la DFT
KS: Méthode
Principe variationnel
E = minn minΨ®n«¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ®¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ XΨ È T È Ψ\+Ù nΨHr L vneHr L+ ���12 Ù nΨHr L nΨHr ’L � É r - r ’ É d3 r d3 r ’
+ExcAnΨE
KS: Méthode
Principe variationnel
E = minΨ 9XΨ È T È Ψ\+ Ù nΨHr L vneHr L+ ���12 Ù nΨHr L nΨHr ’L � É r - r ’ É d3 r d3 r ’
+ ExcAnΨE=Ψmin = F ¹ Y
KS: Méthode
Equations de Euler−Lagrange∆ E � ∆Ψ Þ HKS F = EKS F
HKS = T + VKS
VKS = Úi=1,N vKSHriL; vKSHr L = vneHr L + vhHr L + vxcHr Lvne ¬ ∆ Ù nHr L vneHr Lvh ¬ ∆ ���12 Ù nHr L nHr ’L � É r - r ’ Évxc ¬ ∆ Exc@nD
KS: Méthode
Equations de Euler−Lagrange
VKS = Úi=1,N vKSHriL Þ équation de Schrödinger en 3D:I- ���12 Ñ2 +vKSM jj = Εi jj
F = È j1 ... jN ÈEKS = Úi=1,N Νi Εi
KS: Proprié tés
KS: Proprié tés
La densité
F ® nHr L = ÚΝi É jjHr L È2
KS: Proprié tés
Le potentiel KS (He)
® nexacte
-4 -2 0 2 4
-2
-1
0
1
2
3
4
x
v n
vKS, vne
KS: Proprié tés
Le potentiel KS (He)
® IP exact
1 2 3 4r
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
v
IP
vKS, vne
KS: Proprié tés
Les valeurs propres KS (He)KS, excitation exactes (triplet, singulet)
2 4 6 8 10 12 14r
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
vKS
AS, C. Umrigar, X. Gonze, CPL 288, 391 (1998)
KS: Approximations
KS: Approximations
Ansatz pour Exc @nD· LDA (local density approximation)
Exc@nD » Ù nHr L ¶xcHnHr LL d3 r
· GGA (generalized gradient approximation)
Exc@nD » Ù nHr L ¶xcInHr L, È ÑnHr L È2M d3 r
· ...
KS: Approximations
Straté gies pour obtenir Exc· conditions exactesExemple: comportement pour n ® Λ3 nHΛ r L; Λ ® ¥
· choix ’raisonnable’Exemple: PBE, ansatz par approximant de Padé
· systèmes de référence (ex.: gaz homogène pour LDA, He ...)Exemples: − gaz homogène pour LDA
− He pour Colle−Salvetti ou Lee−Yang−Parr− jeux de molécules (d’entreinement) pour Scuseria et al., ...
KS: Approximations
La recette pour avoir Exc en LDAE = XT \ + Eelectrostat.@nD + Exc@nD
KS: Approximations
La recette pour avoir Exc en LDAE = XT \ + Eelectrostat.@nD + Exc@nDGaz homogène: nHr L = n ; vne et vKS: const.I- ���12 Ñ2 +vKSM jj = Εi jj
jj : ondes planes ; È k È < kF Þ F Þ XT \.
KS: Approximations
La recette pour avoir ¶xc en LDAE = XT \ + Eelectrostat.@nD + Exc@nDGaz homogène: nHr L = n ; vne et vKS: const.I- ���12 Ñ2 +vKSM jj = Εi jj
jj : ondes planes ; È k È < kF Þ F Þ XT \. E : analytique & calculs (QMC,...)
E - XT \ - Eelectrostat = Exc := Ù n ¶xcHnL d3 r = N ¶xc
KS: Approximations
¶xc HnL = Exc @nD � N pour le gaz homogè ne
0 2 4 6 8 10 12 14
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
n
¶xc
KS: Approximations
Contribution de ¶xc à l’énergie de liaisonExc » C Ù nHr L4�3
r
n
Exc@nA + nBD » C Ù HnA + nBL4�3 ³ C Ù nA4�3 + C Ù nB
4�3 » E@nAD + E@nBD· densité promolécule Þ liaison en DFT
· Problème van der Waals: HnA + nBL4�3 » nA4�3 + nB
4�3 + OHexpL
KS: Approximations
vKS approché s
Les propriétés des potentiels approchés sont, engénéral, différentes des celles du potentiel exact( ® F ® n, IP, DE, ...)
KS: Approximations
v pour He
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-5
-4
-3
-2
-1
0
r
v
KS exact, LDA
KS: Conclusions
KS: Conclusions
· La méthode qui a permis le succès de la DFT
− équations solvables (1 particule)− approximations simples
· Comment faire mieux?
Hybrides £ Théorie£ Approximations£ Résultats
Hybrides: Théorie
Hybrides: Théorie
Extension de la séparation de Kohn−ShamW = Úi<j w IrijME = minΨ XΨ È T + W È Ψ\
+Ù nΨHr L vneHr L + ���12 Ù nHr L nHr ’L � Ë r - r ’ Ë+E
���xcW @nD
Hybrides: Théorie
Limites
W HW E���
xcW VW
0 HKS E���
xc VKS
Vee H 0 Vne
Hybrides: Théorie
Familles de W
W Μ = Úi<j wΜH È r - r ’ ÈL
Exemple:
w Μ = erfHΜ È r - r ’ ÈL � È r - r ’ È
Hybrides: Théorie
w Μ = erf HΜ È r - r ’ ÈL � È r - r ’ È
Èr-r’È
wΜ
Μ = ¥, Μ = 2, Μ = 1,Μ = 0H.J. Flad, AS (1995), AS (1996)
Hybrides: Théorie
Motivation
S’approcher du système réel:
· systématique
· approximations raisonnées
Hybrides: Théorie
Equations de Euler−Lagrange∆ E � ∆Ψ Þ H Μ YΜ = E Μ YΜ
H Μ = T + W Μ + V Μ
V Μ = Úi=1,N v ΜHriL; v ΜHr L = vneHr L + vhHr L + vxcΜHr L
vne ¬ ∆ Ù nHr L vneHr Lvh ¬ ∆ ���12 Ù nHr L nHr ’L � É r - r ’ Évxc
Μ ¬ ∆ ExcΜ@nD
Hybrides: Théorie
Equations de Euler−Lagrange
H Μ Þ équation de Schrödinger pour N électronsH Μ YΜ = E Μ YΜ
YΜ = c0 È j1 ... jN È + ...
Hybrides: Théorie
YΜ YΜ = c0 È j1 ... jN È + ...
· Pour Μ = 0, YΜ = FKS
· Pour Μ ’petit’, rôle des états (quasi−)dégénérés
Hybrides: Théorie
Μ ® ¥
E���
xcΜ@nD Ü région È r - r ’ È » 0, transférable
LDA, GGA, ...: valides
P. M. W. Gill, R.D. Adamson, J.. Pople, Mol. Phys. 88, 1005 (1996)J. Toulouse, F. Colonna, AS PRA 70, 62505 (2004); P. Gori−Giorgi, AS , PRA 73, 32506 (2006).
Hybrides: Approximations
Hybrides: Approximations
Μ −LDA pour ¶�xcΜHnHrLL
n
¶��
xcΜ
Μ = ¥, Μ = 2, Μ = 1,Μ = 0 S. Paziani, S. Moroni, P. Gori−Giorgi, G.B. Bachelet, PRB 73, 155111 (2006)
Hybrides: Approximations
E���
xΜ (He)
1 2 3 4 5 6Μ
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Ex
Μ−LDA , exact
J. Toulouse, F. Colonna, AS, PRA 70, 062505 (2004)
Hybrides: Approximations
E���
cΜ (He)
2 4 6 8 10Μ
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
Ec
Μ−LDA , exact
J. Toulouse, F. Colonna, AS PRA 70, 62505 (2004); P. Gori−Giorgi, AS , PRA 73, 32506 (2006).
Hybrides: Approximations
v Μ (He) : exact et Μ - LDA
1 2 3 4r
-5
-4
-3
-2
-1
vΜ
1 2 3
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2vΜ-LDA-vΜ
Μ = ¥, Μ = 2, Μ = 1,Μ = 0 (~ exact, − − − Μ - LDA)
Hybrides: Approximations
E Μ HH2, ReL: Validité de Μ - LDA
0 1 2 3 4
-1.17
-1.16
-1.15
-1.14
Μ
E
Μ > Μ0
Hybrides: Approximations
E Μ HH2, ReL : Y » ÚI=1,M cI FI
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Μ
-1.17
-1.16
-1.15
-1.14
E
9Σg=, 9Σg, Σu=, ..., 9Σg, Σu, Πu, ...=
Hybrides: Approximations
E Μ HH2, ReL : Domaine de validité de F
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Μ
-1.17
-1.16
-1.15
-1.14
E
9Σg=, 9Σg, Σu, Πu, ...=
Hybrides: Approximations
Compromis: choix de Μ
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Μ
-1.17
-1.16
-1.15
-1.14
E
Μ0»0.5E. Fromager, J. Toulouse, H.J.Å. Jensen, JCP 126, 074111 (2007)
Hybrides: Approximations
Autre choix qui donne Μ0 » 0.556 moléculesI. Gerber, J. Angyan CPL 415, 100 (2005)
Hybrides: Approximations
Autre choix qui donne Μ0 » 0.5
1 � rij = erfI0.5 rijM � rij + erfcI0.5 rijM � rij
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ErfcH 1�����2r12L�r12
ErfH 1�����2r12L�r12
1�r12
Hybrides: Résultats
Hybrides: Résultats
Self−interaction HH2+L
I. Gerber, J. Angyan CPL 415, 100 (2005)
Hybrides: Résultats
Self−interaction
· Transfert de charge (TDDFT)· Lanthanides· Barrières de réaction· ...
K. Hirao et al.J. Ángyán et al.G.E. Scuseria et al....
Hybrides: Résultats
Quasi−dé générescence: DEIY » ÚI=1,M cI FI , Ne6+M
2 4 6 8 10 12 14
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
1s2s, 1s2s2p, 1s2s2p3s
Hybrides: Résultats
Systè mes van der Waals· AmRgE. Goll, H.−J. Werner, H. Stoll, Th. Leininger, P. Gori−Giorgi, AS CP 329, 276 (2006)
· Rg2J.Ángyán, I.Gerber, J.Toulouse, AS, PRA 72,12510 (2005)
Am: alkali metal, pas americiumRg: rare gas, pas roentgenium
Hybrides: Résultats
vdW: Donné es de référence IDe, cm -1M
20 40 60 80 100CCSDHTL CBS
20
40
60
80
100
120
exper.
E. Goll, H.−J. Werner, H. Stoll, Th. Leininger, P. Gori−Giorgi, AS CP 329, 276 (2006)
Hybrides: Résultats
vdW: CCSD(T) (VTZ) IDe, cm -1M
20 40 60 80 100CCSDHTL CBS
10
20
30
40
50
60
70
CCSDHTL VTZ
E. Goll, H.−J. Werner, H. Stoll, Th. Leininger, P. Gori−Giorgi, AS CP 329, 276 (2006)
Hybrides: Résultats
vdW: LDA IDe, cm -1M
20 40 60 80 100CCSDHTL CBS
500
1000
1500
LDA
Hybrides: Résultats
vdW: PBE IDe, cm -1M
20 40 60 80 100CCSDHTL CBS
20
40
60
80
100
PBE
E. Goll, H.−J. Werner, H. Stoll, Th. Leininger, P. Gori−Giorgi, AS CP 329, 276 (2006)
Hybrides: Résultats
vdW: CCSD(T)+LDA (VTZ) IDe, cm -1M
20 40 60 80 100CCSDHTL CBS
20
40
60
80
LDA + CCSDHTL VTZ
E. Goll, H.−J. Werner, H. Stoll, Th. Leininger, P. Gori−Giorgi, AS CP 329, 276 (2006)
Hybrides: Résultats
vdW: Autres résultats J.Ángyán, I.Gerber, J.Toulouse, AS, PRA 72,12510 (2005)E. Goll, H.−J. Werner, H. Stoll, Th. Leininger, P. Gori−Giorgi, AS CP 329, 276 (2006)
· BSSEHΜL ` BSSEHΜ = 0L· MP2 peut remplacer CCSD(T)
· Μ - PBE améliore peu Μ - LDA
Hybrides: Conclusions
Hybrides: Conclusions
· Effort en plus, mais − qualité meilleure − flexibilité − systématique · Comment faire mieux?
0 1 2 3 4
-1.17
-1.16
-1.15
-1.14
Μ
E
Perspectives & obstacles £ Exc
Μ@nD£ Exc
Μ@n, ? D£ W Μ
£ Extensivité
Résumé Systè mes fictifs, méthodes hybrides
Interaction variable, avec champ moyen adapté
Interactions
£ Paris: M. Allavena, F. Colonna, P. Gori−Giorgi, R. Pollet, J. Toulouse
£ Nancy: J. Ángyán, I. Gerber
£ Odense: H.J. Å. Jensen, J. Pedersen, E. Fromager
£ Stuttgart: E. Goll, H. Stoll, H.−J. Werner
£ Toulouse: D. Maynau, T. Leininger
+ C. Gutlé, j.−L. Heully, K. Hirao, J. Krieger, G.E. Scuseria, ...
Perspectives & obstacles £ Exc
Μ@nD£ Exc
Μ@n, ? D£ W Μ
£ Extensivité
Perspectives & obstacles: ExcΜ@nD
Perspectives & obstacles: ExcΜ@nD
PBE
0 2 4 6 8 10
-14.65
-14.60
-14.55
-14.50
-14.45
Μ
E
Be
−−− LDA, 1 conf −−−LDA, 2 conf , ~ PBE, 1 conf ~ PBE, 2 conf ~exact
Perspectives & obstacles: ExcΜ@nD
Rôle de Ñ n
1 2 3 4 5 6Μ
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Ex
Μ−LDA , exact
J. Toulouse, F. Colonna, AS, PRA 70, 062505 (2004)
Perspectives & obstacles: ExcΜ@nD
Coupure locale4 Π r2 nHr L ¶c
Μ=0.5Hr L: précis, Μ−LDA, Μ local I ���12 É Ñn É � nM
0 1 2 3 4 5 6 7-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
r
¶cΜ
J. Toulouse, F. Colonna, AS, JCP 122, 14110 (2005)
Perspectives & obstacles: ExcΜ@n, ? D
Perspectives & obstacles: ExcΜ@n, ? D
f Hr12L : Modèle de Overhauser (He)
P. Gori−Giorgi, AS, PRA 71, 32513 (2005)Uniform electron gas: A. W. Overhauser, Can. J. Phys. 73, 683 (1995), P.Gori−Giorgi and J.P.Perdew,Phys.Rev.B 64,155102 (2001)
Perspectives & obstacles: ExcΜ@n, ? D
EcΜ : Modèle de Overhauser (He)
Ec,Μ: model, accurate, LDA (He)
2 4 6 8 10
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
P. Gori−Giorgi, AS, PRA 71, 32513 (2005)
Perspectives & obstacles: W Μ
Perspectives & obstacles: W Μ
w4Hr12, ΜL = Úi=1,4 ci wHr12, Μ ΜiLci minimise l’erreur en Μ −LDA
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
5
6
7
w4, w
Perspectives & obstacles: W Μ
Erreur Μ - LDA pour ExHΜL nHrL = 2 ����Ζ3
Π ã-2 Ζ r , Ζ =1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.02
0.04
0.06
0.08
w4, w
Perspectives & obstacles: W Μ
Garder Vee, modifier T
C. Gutlé, J.−L.Heully, J. Krieger
J. Rey
S. Iyengar, G. Scuseria
Perspectives & obstacles: Extensivit é
ExtensivitéSous−systèmes: A, B
EHA + BL = EHAL + EHBLDensité intensive (?)
nA+BHr L = : nAHr L, si r Î WA
nBHr L, si r Î WB
Perspectives & obstacles: Extensivit é
Extensivité en LDASous−systèmes: A, B
EHA + BL= ÙWnHr L ¶HnHr LL= ÙWA
nHr L ¶HnHr LL + ÙWBnHr L ¶ HnHr LL
= ÙWAnAHr L ¶HnHr LL + ÙWB
nBHr L ¶ HnHr LL= EHAL + EHBL
Perspectives & obstacles: Extensivit é
Densité intensive (?)
nA+BHr L = : nAHr L, si r Î WA
nBHr L, si r Î WB
Pas si dégénérescence (cf. EPR)
Þ Extensivité n’est pas assurée
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