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CLIL
Les Opérations fondamentales
Sommaire
invariantedistributive
quotient dividende e diviseur : / \ ÷division
commutative
associative distributive
produitfacteurs(multiplicande,
multiplicateur)
x ∙ * multiplication
invariantedifférencetermes de la soustraction - soustraction
commutative
associative
somme (total) termes de l’addition+ addition
propriétésrésultattermessymbole
L’addition
L'addition de nombres entiers est l’opération qui réunit deux (ou plusieurs) nombres quelconques, nommés termes de l’addition, en un seul nombre, nommé somme ou total, obtenu en comptant à partir du premier terme de l’addition toutes les unités contenues dans le deuxième.
L’addition est interne à N. L’ensemble N est fermé pour l’addition.
La soustraction La soustraction est l’opération qui a pour but, étant
donné deux nombres quelconques, nommés termes de la soustraction, dont le premier est plus grand que le deuxième, d’en trouver un troisième, nommé différence, obtenu en enlevant au premier terme les unités contenues dans le deuxième. En d’autres termes: la soustraction du nombre A par le nombre B, c'est trouver le nombre C qui, ajouté à B, redonne A.
La soustraction n’est pas interne à N. L’ensemble N n’est pas fermé pour la soustraction
(mais Z si).
Soustraction avec résultat dans Z
Pour exécuter une soustraction où le premier terme est plus petit que le deuxième, il faut soustraire les deux nombres (majeur – mineur) et on ajoute à la différence le signe négatif. (+) 3 + (-) 8 = 3 - 8 = -5 (parce que 8 – 3 = 5)
La Multiplication La multiplication de nombres est l’opération qui a
pour but, étant donné deux nombres nommés facteurs, d'en trouver un troisième appelé produit qui soit la somme (donc la multiplication découle de la somme !) d'autant de nombres égaux au multiplicande qu'il y a d'unités au multiplicateur.
La multiplication est interne à N. L’ensemble N est fermé pour la multiplication.
La division La division est une opération, qui a pour but, étant
donné deux nombres entiers, l'un appelé dividende, l'autre appelé diviseur, d'en trouver un troisième appelé quotient (résultat appartenant à N et Q) qui soit le plus grand nombre dont le produit par le diviseur puisse se retrancher (donc la division découle de la soustraction) du dividende (la différence étant nommé le reste ou la congruence).
La division n’est pas interne à N. L’ensemble N n’est pas fermé
pour la division (mais Q si).
Le quotient Si D est multiple de d, différent de 0, on parle de
quotient exact, parce que le produit de Q par d est D. (12 : 3=4 donc12=3∙4) D = d ∙ Q Dans les cas des nombre réels il n'y a jamais de reste à la fin de l'opération de division (car le quotient multiplié par le diviseur donne exactement le dividende).
Si D n’est pas multiple de d, on parle de quotient approximé, parce que le produit de Q par d est plus petit que D. Dans ce cas la division a un reste R différent de 0. D'une façon générale dans le cadre des nombres entiers, si nous notons D le dividende, d le diviseur, Q le quotient et R le reste nous avons la relation: (11 : 5=2 reste 1 donc 11=2∙5+1) D = d ∙ Q + R
Les propriétés de l’addition Propriété commutative
La somme de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. C'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont donnés les termes de l'addition n'a pas d'influence sur le résultat :
a + b = b + a ; 2 + 3 = 3 + 2
Propriété associativeLa somme de plusieurs nombres ne change pas si on remplace deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. C'est-à-dire qu'il n'y a pas besoin de préciser par des parenthèses l'ordre dans lequel est effectuée une suite d'additions : 7 + 3 + 5 = 7 + 8 = 10 + 5 = 12 + 3
Les propriétés de la soustraction
Propriété invariante On peut ajouter ou soustraire un nombre identique aux deux termes d’une soustraction sans changer la différence.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
8 5 8 5 5 5 13 10 3
8 5 8 5 5 5 3 0 3
a b a c b c− = ± − ±− = + − + = − =
− = − − − = − =
Les propriétés de la multiplication
Propriété commutativeOn peut changer l'ordre des facteurs sans changer le produit. La multiplication de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des facteurs. C'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont donnés les termes de la multiplication n'a pas d'influence sur le résultat:
Propriété associativeLa multiplication de plusieurs nombres ne change pas si on remplace deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. C'est-à-dire qu'il n'y a pas besoin de préciser par des parenthèses l'ordre dans lequel est effectuée une suite de multiplications :
( ) ( ) a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , ,a b c∀ ∈ Ν 2 5 7 10 7 2 35 14 5 ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
a b b a⋅ = ⋅ ,a b∀ ∈ Ν 2 3 3 2⋅ = ⋅
Propriété distributiveQuand on doit multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, on peut ,au choix, calculer d'abord la somme et multiplier le résultat par le nombre ou bien, multiplier d'abord chaque terme de la somme par ce nombre et ensuite effectuer la somme:
Les propriétés de la multiplication
( ) ( ) ( ) ( ) a b c b c a a b a c⋅ ± = ± ⋅ = ⋅ ± ⋅
( ) 5 3 2 (3 2) 5 (5 3) (5 2) 15 10 25 ⋅ + = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =
( )7 4 2 (4 2) 7 (7 4) (7 2) 28 14 14⋅ − = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =
Les propriétés de la division Propriété invariante
On peut diviser ou multiplier par un nombre identique les deux termes d’une division sans changer le quotient.
Propriété distributive Afin de diviser les termes d’une addition (ou d’une soustraction) par un nombre, il est possible de diviser chaque terme de l’addition (ou de la soustraction) par le diviseur donné et ensuite les additionner (ou les soustraire).
( ) ( ) ( ) ( )
12 4 (12 2) (4 2) (12 2) (4 2)
a b a c b c a c b c÷ = ÷ ÷ ÷ = ⋅ ÷ ⋅÷ = ÷ ÷ ÷ = ⋅ ÷ ⋅
( ) ( ) ( )
(12 6) 2 (12 2) ( 6 2)
(15 10) 5 (15 5) ( 10 5)
a b c a c b c± ÷ = ÷ ± ÷− ÷ = ÷ − ÷+ ÷ = ÷ + ÷
Le rôle du 0 et du 1. Le 0 et le 1 sont deux nombres particuliers qui se
conduisent de manière différente selon les opérations. Il faut donc les avoir très clair dans la tête.
Ils peuvent être: élément neutre: il laisse tous les autres
éléments inchangés lorsqu'il est combiné avec eux élément absorbant: il transforme tous les
autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux
Le nombre 0
0 : 0 = indéterminé 0 : 0 = x signifie x * 0 = 0 ???? Tout nombre satisfait cette équation
Dividende et diviseur égaux à zéroDivision
a : 0 = impossible il n’existe aucun nombre qui multiplié par zéro donne un autre nombre
10 : 2 = 5 signifie que 5 *2 = 10 6 : 3 = 2 signifie que 2 *3 = 6 7 : 0 = x signifie x * 0 = 5 ????
diviseur égal à zéroDivision
0 : a = 0 parce que a x 0 = 0 10 : 2 = 5 signifie que 5 *2 = 10 6 : 3 = 2 signifie que 2 *3 = 6 0 : 9 = x signifie x * 9 = 0
dividende égal à zéroDivision
a x 0 = 0 x a = 0élément absorbantMultiplication
a - 0 = a a - 0 ≠ 0 - a
élément neutre à droiteSoustraction
a + 0 = 0 + a = aélément neutreAddition
Le nombre 1
1 : a = 1/aélément inverse à gaucheDivision
a : 1 = a parce que a x 1 = aélément neutre à droiteDivision
a x 1= 1 x a = aélément neutreMultiplication
a - 1 < aprécédentSoustraction
a + 1 > asuccessifAddition
Mets-toi à l’épreuve!
Exercices de révision
1. Complète ce texte. a) Les quatre opérations mathématiques sont
…………………………, …………………………, ………………………… et …………………………
b) Les nombres que l’on additionne s’appellent des ………………… et le résultat obtenu se nomme …………………………
c) Les nombres que l’on soustrait s’appellent des …………………… et le résultat obtenu se nomme …………………………
d) Les nombres que l’on multiplie s’appellent des …………………… et le résultat obtenu se nomme …………………………
e) Dans une division, le nombre qui divise l’autre est le …………………………, celui que l’on divise est le ………………………… et le résultat obtenu se nomme …………………………
Exercices de révision
2. François a bien réussi son interrogation de calcul mental. Tu pourrais sûrement en faire autant ! Voici, étape par étape, comment il a procédé pour effectuer ces six exercices. Vérifie si son procédé
est efficace et améliore-le si tu peux.
Explique ce qu’il a fait à chaque étape.
Termine les calculs.……………………………27 x 3 x 0 x 48 = ………………
……………………………91 x 1 x 4 = 91 x 4 = ………………
…………………………………………………………
125 x 6 x 8 = 125 x 8 x 6 = (125 x 8) x 6 = ……………… = ………………
………………………………………………………………………………………
56 + 72 + 0 + 24 = 56 + 72 + 24 = 56 + (72 + 24) = ……………… = ………………
…………………………………………………………
123 + 48 + 17 = 123 + 17 + 48 = (123 + 17) + 48 = ……………… = ………………
ExplicationsProcédé
Exercices de révision3. Les propriétés de l’addition
1- _________________________________ 2- _________________________________
Utiliser judicieusement les propriétés de l’addition permet d’effectuer plus facilement certaines sommes.
Exemple.Calculer rapidement 33 + 38 + 57 + 72
33 + 38 + 57 + 72 = 33 +57 + 38 + 72 car l’addition est ………………………………… = (33 +57) + (38 + 72) car l’addition est …………………………………
= ……… + ……… = ………
Exercices de révision4. Les propriétés de la multiplication
1- _________________________________ 2- _________________________________ 3- _________________________________
Utiliser judicieusement les propriétés de la multiplication permet d’effectuer plus facilement certains produits.
Exemple.Calculer rapidement 8 x 13 x 5 x 1258 x 13 x 5 x 125 = 13 x 5 x 8 x 125 car la multiplication est ………………………………… = (13 x 5) x (8 x 125) car la multiplication est ……………………………… = ……… x ……… = ………
Exercices de révision5. Qu’en est-il de la soustraction et de la division…Réponds aux questions suivantes :
La soustraction est-elle commutative? Si oui, justifie tout choix. Si non, donne un contre-exemple.
La soustraction est-elle associative ? Si oui, justifie tout choix. Si non, donne un contre-exemple.
0, a-t-il un rôle spécial pour la soustraction ? (élément neutre ? élément absorbant ?) 1, a-t-il un rôle spécial pour la soustraction ? (élément neutre ? élément absorbant ?)
Mêmes questions, mais concernant la division cette fois. La division est-elle associative ? Si oui, justifie tout choix. Si non, donne un contre-
exemple. 0, a-t-il un rôle spécial pour la division ? (élément neutre ? élément absorbant ?) La division est-elle commutative ? Si oui, justifie tout choix. Si non, donne un contre-
exemple. a : b ; a peut-il valoir n’importe quel nombre ? b peut-il valoir n’importe quel nombre ? 1, a-t-il un rôle spécial pour la division ?
(élément neutre ? élément absorbant ?)
