UNIVERSITÉ TAHRI Mohamed de BECHAR Faculté des Sciences Exactes Département des Sciences Exactes

EXAMEN FINAL Module : Méthode (Plan d’expériences)

Question du cours : 1. Donner les définitions des mots suivants : [Facteur, Modalité, Mode, Effet principal] 2. Quelle est la différence entre les deux types de concepts (Variables codées | Variables

physique), comment appelle-t-on encore le premier type. 3. Donner la forme générale de l’expression du modèle à priori. 4. Quel est le nombre d’essais pour un cas de PLAN FACTORIEL COMPLET à p niveaux

et k facteurs. EXERCICE 1 Pour un plan d'expérience avec 4 facteurs; A{a1,a2,a3}; B {b1,b2}; C {c1,c2,c3,c4}; D{d1,d2}. Si T représente le facteur, les ti sont les modalités relatives.

• Quel est le nombre d’essais potentiels à tester. • Ecrire l’expression de la fonction de régression permettant de calculer toutes valeurs. • Si nous ne considérons que deux niveaux par facteur, pour quatre essais choisis et

exécutés, écrire la matrice d’Hadamard correspondante. EXERCICE 2 Pour une expérimentation donnée, nous avons le tableau suivant :

Exp Moy x1 x2 x3 Yexp

1 +1 -1 -1 -1 18.1

2 +1 +1 -1 -1 16.0

3 +1 -1 +1 -1 17.1

4 +1 +1 +1 -1 17.0

5 +1 -1 -1 +1 17.8

6 +1 +1 -1 +1 17.2

7 +1 -1 +1 +1 18.1

8 +1 +1 +1 +1 17.0

Divis

Effets

1. Que remarque-t-on ? 2. Remplir, après calcul, les valeurs manquantes. 3. Ecrire l’expression de la fonction de régression.

TAMALI Mohammed, 14/05/2015, UTMB Bonne chance

CORRECTION DE L’EXAMEN Question du cours :

1. Donner les définitions des mots suivants : [Facteur, Modalité, Mode, Effet principal] Facteur : c’est le composant d’un système quelconque et d’en dépend son fonctionnement global. Modalité : qualité, facette ou niveau que peut prendre un facteur dans son intervalle de définition. Mode : état spécifique d’un système ou d’une variable du système. Effet principal : c’est l’influence propre du facteur sur le système.

2. Quelle est la différence entre les deux types de concepts (Variables codées | Variables physique), comment appelle-t-on encore le premier type.

Variables codées Variables physique Représentatives codifiées des entités réelles.

Représentent les facteurs réels du système.

imaginées naturelles Simple d’utilisation Quelque fois difficiles à manipuler Le premier type, sont dites encore VARIABLE REDUITES, CENTREES REDUITES

3. Donner la forme générale de l’expression du modèle à priori. y = a0 + Σai.xi + ΣΣaij.xi.xj + ΣΣaii.xi

2 + … + ΣΣ…Σaijklm…z.xi.xj.xk….xz

4. Quel est le nombre d’essais pour un cas de PLAN FACTORIEL COMPLET à p niveaux et k facteurs.

Le nombre d’essais est Pk REPONSE EXERCICE 1 Pour un plan d'expérience avec 4 facteurs; A{a1,a2,a3}; B {b1,b2}; C {c1,c2,c3,c4}; D{d1,d2}. Si T représente le facteur, les ti sont les modalités relatives.

• Quel est le nombre d’essais potentiels à tester. • Ecrire l’expression de la fonction de régression permettant de calculer toutes valeurs. • Si nous ne considérons que deux niveaux par facteur, pour quatre essais choisis et

exécutés, écrire la matrice d’Hadamard correspondante. Le nombre d’essais potentiels : il est égale à (3 premier facteur)* (2 deuxième facteur)* (4 troisième facteur)* (2 quatrième facteur) Pour un total égale (3*2*4*2=48) L’expression de la fonction de régression : En se basant sur la formule de l’expression à priori

y = a0 + Σai.xi + ΣΣaij.xi.xj + ΣΣaii.xi2 + … + ΣΣ…Σaijklm…z.xi.xj.xk….xz

dans notre cas de quatre facteur seulement : y = a0 + ∑ 𝒂𝒊𝒙𝒊𝟒

𝒊=𝟏 + _ (∑ ∑ 𝒂𝒊𝒋𝒙𝒊𝒙𝒋)𝟒

𝒋=𝟏𝟒𝒊=𝟏 𝒊≠𝒋

+ _

(∑ 𝒂𝒊𝒊𝒙𝒊𝟐)𝟒𝒊=𝟏 + _

(∑ ∑ ∑ 𝒂𝒊𝒋𝒙𝒊𝒙𝒋𝒙𝒌)𝟒𝒌=𝟏

𝟒𝒋=𝟏

𝟒𝒊=𝟏 𝒊≠𝒋≠𝒌

+ _

(�𝒂𝒊𝒊𝒊𝒙𝒊𝟑)𝟒

𝒊=𝟏

a1234x1.x2.x3.x4 la matrice d’Hadamard correspondante pour seulement 4 essais à deux niveaux par facteur :

Essai a0 a1 a2 a3 a4 a12 a13 a14 a23 a24 … a11 … a111 … a1234 1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 1 1 -1 2 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 1 1 +1 3 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 1 1 -1 4 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1

REPONSES EXERCICE 2 Nous remarquons : que seules les effets principaux sont mentionnés, ce qui indique que nous négligeons les interactions. Les valeurs manquantes dans les cases vides :

Divis 8 8 8 8

Effets 17.29 -0.49 0.01 0.24

L’expression de la fonction de régression : Y = 17.29 – 0.49*x1 + 0.01* x2 + 0.24*x3

Remarque : la règle d’or pour la lecture d’un document, nécessite intelligence et attention. De même, répondre aux questions d’un examen est une tâche qui n’exige pas (dire jamais), le fait d’apprendre par cœur les notions mais les appréhender et savoir les utiliser aux moments opportuns. La lecture d’un livre dont le contenu est en rapport avec les notions étudiées dans cours dispensé en salle restera toujours la seule solution pou réussir dans une matière. Les polycopiés ne sont que complémentarités aux différents et multiples références académiques se trouvant sur le marché sinon mises en ligne. Ces même références resteront toujours un effort personnel de l’enseignant qui les a mises en circulation et ne peuvent être prise comme preuve pour démontrer son impertinence par rapport à une notion.

Merci pour votre attention Béchar-Algérie, le 23/05/2013 Pr TAMALI Mohammed mtamali@gmail.com