Problème 1 A. BL 20 OsDans tout }e problème, n esi un entier de Ài. ûxé. On noie .,u{"r(iR) I'espace vectoriei des mairices carrées d'ordre ru,

TR[X] celui des polynômes à coefficieirts réels et J la rnatrice identité de ",14"(R).Pourtoute matriceM de M"(R), on a M0: I, et pourtout entier naturel k nonnul., onpose : Mk: M x M x...x NI .

Si P n'est pas le poiynôme nul, son degré est noté d'(P).On rappelle Ie théorème de Ia clivision euclidienne dans IR[X] : si A et B sont deux éléments cte IR.[.{], B n'étant pas le poly-nôme nul, alors iI existe un unique couple (Ç,-R) de polynômes de R[X] tels que A: BQ *R avec R:0 ou d'(Æ) <d"(B).De plus, si ,R est nul, on dit que Ie polynôme Bdivise le poiynôme A.

Soit P un êlêment de IR[X] s'écrivant P(X) :LorXr et M une matrice de "Â1,(R.). On déflnit alors la matrice P(M) dek:0

^,, /''\ ^^... D/not - S^- r,rft rr.-,. ^..-.--^r,Jvlrn\!\/ rrru . r \rvil - L.ikilr , r.i.! uÀçlulrrè, si P(X):X3 - 5X +2, aiors P(fd) : h'13 _ l[v'f +2!,

) *=oOn po'-ura utiliser sans justiÊcation les propriétés suivantes, valables pour tout coupl.e (À, pl) de réels, pour tout couple (P, Q)de polynômes et pour toute rnatrice M de "iV,(lR) '

(Àp + pq)@) : ^P(tuI)

+ pq]uI) et (P x A)@) : P(M) x Q(M.)

On dit qu'un polynôme ??a?? nul P deR[X] esi un polynôme annulaie's d'une matrice ],1 cle,^4r*(R) si la aatrice .D(jl4) estnulie.

Partie I - Polynôme annulateur d'une matrice carrée

1. Soit M une matrice de,,V,(lR).(a) fuloutrer qu'il exjs.Le un eniier p de Ài" tel que ia famiile (I ,îvI ,îui2,...,IuIe) soii une famille liée.

(b) En déduire q'i:e ioii'ue matrice ae .ilr(R) admei au moils pn poly-nôme anniilaie'ur de degré supérier-ir ou éga1 à 1.

2. On note F I'ensemble des mairices de ,1.{2(1R) admettani ]e polynôme P(X) : X2 - 3X * 2 comme poiynômeannulateur.

(a) Vérifier que .F est rron vide.

(b) Déterminer les matrices A de t dans les deux cas suivants : (A - /) inversible ; (A - 2I) inversible.

(c) Montrer que si A est une matrice de .F telle que (A - 1) et tA - 2I) sont ncn inrærsibles, alom L est semblable àune matrice diagonale que I'on déterminera.

3. Soit A rrne matrice de ,Â'4"(R) dont un polynôme arnule,teur est le pclynôme P(X) : X2 - 5X + 5.

On coneidère un entier nat'.sel vrz fi-xê et on désigne pN Qro et Rl7, respectivernent, !e quotient et le reste dans ladivision euclidienne de X* par P./"\ É+"xt;" l)a-icra11no de deq-r suites réelles (c,iz)nieil et (b,,r),,,Ep telles que, pour tout entier naturel rn, on a:

R*(X): a*X tb*'(b) P" utilisant les racines de P, détermi*er a* et b- en fonction de rn.

(c) En déduire l'expression àe A* en fonction àe m, A ei i.(d) On suppose dans celute queÊtioir que le polynôme ,5(X) : X2 - 4X + 4 est âûnulâteur de 4.

On note encore Qn et R,* respectivement, le quotient et Ie reste dans la division euclidienne de Xm par ,9.

Déierminer l'expression de A-' en fcnction de tn, A et -I (on pourra dériver la relation détrrissant Q^ eT R^).4. Soii A une ma,iiice de /z{r{R), À uiie valer-rr propre cie é et I,/ r-rn vecteur-(-;(llonre propre de A associé à, À.

(a) Établir, poul tout entiei natuiel, rli, Ià relàtion : A^V : À*V.(b) En dêduire, pour tout polynôme P de R[X], ]'égaiité : P(A)V: P(À)y.(c) On suppose que P est un polynôme annulateur de.4. Montrer que I'ensemble des vaieurs propres de A est inclus

dans I'ensemble des racines de P.

Æ fois

Partie II - Polynôme minimal dtune matrice carrée

Soit A une màtrice de "lvl,(lR).1. L'ensembie des degrês des polynômes annulateurs de A possède, en tant que partie non vide de N*, -an plus petrt

éiément noté d.Établir, à l'aide d'une démonstration par- l'absurde, I'existence d'un unique poiynôme annulateur de,4 de degré d etde coefficient dominant égal à 1.

Ce polynôme s'appelle le polynôme mi,ni,nzal d,e Ia matri,ce A et est noté 1ta.

2' (a) Soit P un polynôme non nul de R[X]. Montrer que si le potynôrne pa divise ]e polynôme P, a]ors p est un polynômeannulateur de -.4.

(b) En utiiisant le théorèrne de la division euclidienne, rnontrer réciproquernent que p4 digise tout polyngpe annulateurde.4.

(c) Déduire de ce qui précède une caractérisation des poiynômes annulateurs de A.3. (a) Montrer, à I'aide d'une démonstration par I'absurde, que toute racine de pa est valeur propre de A.

(b) Utiliser la question I.4(c) pour établir que les \,?leu$ propres d.e â sqnt exactemeat les racines d" p,e.a' (a) ÉtaUlir, pour toute matrice inv-ersible À de ll*(lR) ei tout polynôme Q de R.[)l], I'égalité matricielle suivante :

@(-R-1r4:!) : â-1Ç(,4)g (oa pourra écrire Ç: IonX*).É:0

(b) En déduire que deu-x matrices semblables ont le même polynôme miniooal.

Partie IIï - Quelques exei:i-rples

1. (a) Quel est le polynôme minimal de la matrice nulle ?

(b) Quei est ie polynôme minimai de ia matrice identité ?

(c) Soit p un entier natrrrel non nul et .4 une matdce ae ,À4,(R) nilpotente d'indice p, c'est-à-dire vérifiani AiD :0 etAp-t 10. Déterminer Ie polynôme minimal de.A.

2. On considère la matrice A de -Ms(R) définie par : A : ( !, ; ?)\r L oJ

(a) Calcuier (A - I)'.(b) En déduire, en utilisant la question II.2(b), le polynôrne minimal de A.

(c) Déterminer les valeurs propres de la matrice ,4.. La matrice A est-elle diagonalisable ?

/t -1 1\3. Soit L la matrice de ,Â43(R) définie par : A: | 2 -2 1 I .

\r -1 o)(a) Montrer que le polynôme X2(X * 1) est uu polynôme annulateur de ,4.

(b) Montrer que I'ensemble des valeurs propres de L est I'ensemble {-1,0}.(c) Verifier que Ie polynôme minimal de I es*, X2(X + 1).

(d) La rnatrice A est-eile diagonalisable ?

CORRIGÉ

Problème 1

I)Polynôme annulateur d'une matrice carrée

1. (a) La clirnension de l'espace vectoriel Ilr(R) est n2. La farniile {r,O,A2,...,^"'} qui contient n2 +L."ecteurs est donc une farnilie liée.

(b) La question précédente uoirtre qu'il existe n2 scalait'es, uoii tous nuis,';g, iL!,...,4r,:, tels qtte

ctol * atA+ . .. + {t,n,zAn2 :0.

Conclusiou :

De pius, si ce po @tP(X):0,0etdonc,commec,esturipolynôrrreannu.lateur Ce A, asI: 0, soit aû : 0, ce qui inpiiqrrrait que tcus 1es c.;sollt nuis, ce qui eest ccntladictoire.

Conclusion : ce polynôme est bien de degré au rnoins égal à 1.

(c) Si P est rrn polynôme anulateur de A. le poiynôme PQ est encore annrrlateur de A, puisque I'on a(Pq)@): P(A) x Q(A) : s.

Ceci montre que Ia rrratrice A ne possède pas un seui polynôme annulateur car tout polynôme multiple

ci'un polynôme annulateur de A est encore un polynôme annulateur de A.

; Tout ceci prouve en fait clue toute matrice de.ÂA"(lR) possède une infinitê de polynômes annulateurs.

2. (a) On consta,te par e;<emple, que Ia matrice f est élément de ir.(b) On a donc A2 - 3A + 2I :0, cl'où (A - r)iA - 2i) : it'

i. Si la matrice A - I est ir-rversible, on obtient alors, en multipliani l'égalité précéderrte par son inverse

(A - I)-1, A - 2I : 0, soit A: 21.

Comme réciproquenent ia matri ce 2i - I est bierr inversible, orr en décluit que l'ensemble cles matrices

de F telles que A - 1 soit inversible est I'ensembie {2/}'ii. De même, en multipliant par (A - 24-r, on obtient que des matrices cle -F telles que ,4 - 21 soit

inversible est l'ensembie {Ii.(c) Si les cleux matrices A - i et  - 2i son'r, non inversibLes, ,:elrr sigirifie qi-:re i

cle ,4. Coinme  est une mairice cairées il'orCre 2, ie fait qu'elle pcssè<ie Ceux

On a donc alcrs

et 2 sont vale':rs pr'fpres-valeurs piopr€s clisiinvte

prouve qu'e1le esi 4rqgqqqlqllg

A:P(l !) "-'3. (a) I,aclivisioneuclidiennedeX-parX2-5X+6s'écrit X*:8(X)(X'-5X+S)+R(X), avecd"(-R) < 2

on Ê:0.On a donc bien : x,n : Q6)62 - 5X + 6) -t a*X *b*

(b) Les racines de P(X) soni 2 er 3. En rempiaçant successivement X par 2 et par 3 dans i'égaiité obtenue

. grâce t\ la divisioii errclidienne dc X"' Pd P, on trotil-e le système sui-v-ant :

{ Zo- *b- - )nt

I ln- +b* - 3-

En résolvant, on tl'ouve :

^tmrmunt-ù -Lb-:3 x2* -2 xZ-

(c) trn appliquant 1a relation de la division euclidienne à la matrice A, on a donc, pour tout entier naturel

rrt, A* : P(A)Q@) + a*A + b*.1.

Comrire le poiynôme P esi un polynôùe annulateur de A, cet'te reiation clevient en fait " A* : itn,A+b*I .

11 suflfrt alors de remplacer arr" et brn par leur valeur pour obtenir :

n2

Le polynôme P(X) : t a4XÀ est un polynÔrne annulateur cle ,4

k:0

(ci) pour les rnêmes raisons que précéclern-"*, or *r: Otx)s(;r)+ c*'\+d'^et donc A" : c*A+d^I'

Le pol;,,nôme s possè<ie une seule r";i;;; à sa.rcir le rléel i' b; remplaçant x par 2' on obtient *ne

i;remière équation : 2c* * dm' :2* '

Pour obtenir uûe seconde équation, on clérive la rclatioir de la division euclidieilne'

On obtient : mXn,-r: Ç'(X)S(f;^+ç1X;S'(X) +' cn'' Comme 2 est iacine d'oidre 2 de S' rl est

également racine de son polynôr:re derivlà' b"'r"mpl*çant X par 2 Ca*s cette égaiitê' or airtient :

^"-_1fn'L"' ' - cm

' n2'' -1

F inalernent : -,"' /rtr,- 11 -m)2*

Conclusion :

. (a) On rnontre faciienentm,

(b) Scit P(x) : Intx*5:t)

1:ar récnrr:ence qrle, pour torrt entier natrtreh'''''W7: X"4'

ir,*ar et Ccnc P(A)v: E clAÀi'r' Ccrnrne AÈr/

!t::0

: ^kV,

177

on c,btient P(A)V: t aPÀkV '

On obtient donc bieir : i'r'(Airl : r('r;v

I'

SiPestulrpc}ynôm**îoT.,t"-,,**,d"A,1ar.e}atici#ï1"*edevientP(À)y:fJClcmtrte y *it llt t'*gtcur prc'pl'e rle '4' on sail clrie V / 0'

concrusiongi^f-q:"'îl'"sp-iaj â P' -- '"""Jx- b tett"s

PiA)v: P(À)1"

d*?

Il)Polynôme minimal <i'une matrice carrée

l.supposonsquelamatriceApossèdecieuxpolyriômesannulateursPTetP2,<iedegré,-neiiiecoefficien*'

àH'Ëil; ) : rr(a): 0 et aonc (pr - pz)(A) : 0. comme pi et p2 sonr tous ies deux de coe{ficients

clorninarrtsl,orràcionctl(p-1-à-z)i'rrr-1.or-rat-ro'cconst-ruii.*poly'ôrrreannulate.rdeAdeclegré rn - 1 à partir cluquel on peut obienir un polynome annulateur de coefficient dominant 1 de degré

rn-1.Ceci contreclit ia rninimaliiê cie nr'

2. (a) P,"risqile ;ari di."'is,e ]e polynôrne P, cn peu"t êcrire P : Qi-te et clolc P(A) : Q{A}pte(A)' comme

Éi.l(A) : c, oÛ en eléchrit que P('4) :0'Conclusion : P est bien un polynôme annulateur de A'

(b) Rêciproquemenr, soii P un poiynôrne annuiareur,àe A' si on effectue la division euclidienne de P par

FA, anp*.rt "c"'" : P : P'aQf Ë' ar"ec tJ(Ë) < dip'r) ou il: C'

On a cionc P(A) -- Q@)yta(A|+ R(A),ut àn--* p(Â) : LIA(A): 9' :l en clécluit R'(A'\ : (l' Si 'R I 0'

on obtient .ionc ,in polynôrne unnrriut*.r' iie A <ie aàtâ .t.;.tàment iuférieur au clegré à* it''4'' ce qiii est

3. (a) soit cionc À une racine dà p, er a son ordre cie m'itlpiiciié. o' a aiors p,1(ii) : (x - ^)*8iË)'

on a cionc rXA-: {a- lii" x Q@) d'où : (-4 - ÀtJ" x Ç(A) : g'

on montre uto"j pu' I'absurde' q'-re 4 - À1 n'est pas inversil-rle :

(.) trtilisant ies deux résuitat précédent=' on peut dorfuln tltrlllsinllL ICS ucu^ r(ùur"" r,%

Un poly1ôrrie est annulat",r, d" A *i "t .n'ffi tott poiytôttt" otitti*ui

Si A - À1 étaii inversible, alors, comntc Ie produii t-lc mairices inversibles esi invcrsible, (A - ^i)'serait inversible et er inultipliant i'égaiité précéCente par soil iin'erse, on obtierciraii Ç{é) : û. Ceci estirnpossible car Q est un polyrrô à celui du l,to.Conclusion :

(b) On ainontré à la question rl.(c) cie 1a partie L que l'eiisernble des ialeurs pîûpres éiait rnclus clans 1'en-semble des racines d'un polynôme annulateur de A.Cornme pl3 est un poiynôme annulateur cle A, tor-rte vtrier-u propre cie A est racine cle p.4.En utilisant le résuiiat précédent, on a doiic :

Les vaieurs plopres de .A soirt exactement les racines de uap

4. (a) Considérons ie polynôrne A :DanXk.

o ':oOn a alors Q@-1AR): t ak(R-rAR)È. Or, classiquement (rR-1a6;,t : R-7AkR

*;n p

Orr a cLonc Q@,-rAn: f ar.fi-rAkR: fi-t(f ,LpAk)R..

k:0 k:0Conclusion :

k:0

Q(R-lAR): R-rg(A)R(b) Si A el B sont deux matrices seurblables, alors il existe une matrice inversible .R teile que B : R-TAR

^! l^-^ l)eL ur-,1r1:, u après la question précé'Cente, Q@) : R-|Q(A)R..n,. o .1.'-. 8@) :0 <+ fi-1Ç(rt)fi : 0 et en rmltipiiant cette rlernière égaiité par .R et Ë-1, on' obtient finalernr:nt , Q@) - S q4 Q(A) : 0

Le résuiiat précédent prouve que si cieux matrices sembiabies, eiles ont exaciernent ie mêrne ensemblede polynômes anulateurs.Comnte Ie polynôme minimal est I'unique polynôme de cet ensernble qui soit de coefficient dominantégai à I ei de tiegré minimum, on en rléduit qiie L ei B ont le même poiynôme minimal.

III)Des exemples1. (a) C'est le pol.ynôme P(X) : X

(c'est bien un polynôme annulateur de la rnairice nulle, il csi de coefficient doininani égai à 1 et comrleil est de degré 1, c'est bien celui de degré minirnum) .

(b) C'esi, porir ies rnêmes raisons qrie précédemment, le poiynômc P(X) : X - 1,

(c) Puisque Ap :0, ie polynôme X?'est un poiynôme annulateur de,4, Le polynôme minimal de,4 est undiviseur de ce pcl5'nôme. Il es+" donc de la forme XÀ avec k { p. N{ais comme Ak + 0 pour k < i;, lepolynôme minimal de A est P(X) :7ç2.

on trour,,e , lL4 JP : ol

Le polynôme (X - 1)2 esi donc un polynôme annulateur cle ,4. Le po}vnôme minimal est un polynômede degré au moins 1, de coefficient dominant égal à 1et dir.iseur de tout polynôme annulateur de,4,cionc ici de (X - 1)2.

lcsdeu-rsculcspossibilitésserlt (-{-1) et (-Y- l)2. Corlrrrc A-I / 0. on adolc

On a vu ctue si P est unracrnes de P. Conchnion

polviiôiiie annulaieur ,-li-, A a,lors les r"rleur'> i)r(^)pre:j de A soni exacienieiii lcs

r /^\

(b)

\ul

Si ia matrice A était diagonalisabie, alors on aurait A: PA.P-I , a'.ec À:7 -'----,,- À I T A 1 r t: 1: I tL,Urrrrrre A T I t li u ebl pitb olaB0rlallbaure.

ltoo\ln r nl\à o 1)'

soit A: f.

) *) ^"-* ,: A\ =-A" e, A3tA'= O

L) x'(;t ";) ù Y re*s o ak - | =) Sf (^) c' l-t'o)

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