STAGtr E,CT 2VENDREDT7 MARS

ALGEBRL,EDHEC-LYON-ECRICOMtr

Exercice3 HDHHC Ë-Ûth'Soit/l'endomorphisme de IR3 dont la matrice relativement à la base canonique 6: ("t, e2, 4) de

(t -1 1\ttN est A:l -l 1 -11 . On pot" u= (1,-1' l) et v: (3'-i' 1)'

IIr -1 1)

1) a) Montrer que la famille (a,v) est une base de Imlb) Déterminer Ker/et en déduire que 0 est vareur propre def L'endomorphisme/est-ii bijectif ?

2) a) Justifier sans calcul que/est diagonalisable'

b) En déduire que f aut' -ôint une valeur propre non nulle'

3) On se propose de trouver les autres valeurs proples def Pour ce faire' on considèIe une valeur

propre 2 non nulle defa) Montrer,

"n 1..ulrrunt à la définition, que les vecteurs propres de/associés à la vaieur propre 2

sont éléments de Imfb) Vérifier que u n'est pas vecteur propre de/puis justifier alots, en utilisant ia question 3 a), qr'ie

l,on peut trouver un vecteur propre w def associé à la vaieur prople 2 sous la forme w: a u*v(avec a réel).

c) Justifier que I'on peut écriref(u) et/(v) comme combinaisons linéaires de u etv.

Déterminer les coefficients de ces combinaisons linéaires et en déduire que a et )" sont solutions du

lçz- t1a+2=0systeme 1 .

li=a+Jd) Résoudre ce système et en déduire ies vaieurs propres non nulles de / ainsi que les sotts-

espaces propres associés-

L*çJl.;!?t- 5

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