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BCPST2

952 13Variables aléatoires à densité

I Variables aléatoires à densité

A) Dénition

Dénition :Soit f : R→ R. On dit que f est une densité de probabilité si et seulement si :

G f est positive ou nulle.

G f est continue sauf éventuellement en un nombre ni de points.

G

∫ +∞

−∞f(t) dt converge et

∫ +∞

−∞f(t) dt = 1

Remarque: RappelOn note x1 < x2 < · · · < xn sont les points de discontinuité de f , x0 = −∞ et xn+1 = +∞

On dit que l'intégrale∫ +∞

−∞f(t) dt converge si et seulement si toutes les intégrales∫ xi+1

xi

f(t) dt avec 0 ≤ i ≤ n convergent.

Et on dénit : ∫ +∞

−∞f(t) dt =

n∑i=0

∫ xi+1

xi

f(t) dt

Exemple :

© Soit f dénie sur R par f(t) =1

2e−|t|.

Montrer que f est une densité de probabilité.

Dénition :Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé (Ω,A,P) et F sa fonction derépartition.

On dit que X est une variable aléatoire à densité s'il existe une densité de probabilité f telle que :

∀x ∈ R, F (x) =

∫ x

−∞f(t) dt

f est appelée densité de X

Remarque:On note x1 < x2 < · · · < xn sont les points de discontinuité de f , x0 = −∞ et xn+1 = +∞Soit x ∈ R. Il existe un unique k ∈ J0, nK tel que : xk ≤ x < xk+1. On a alors :

F (x) =k−1∑i=0

∫ xi+1

xi

f(t) dt+

∫ x

xk

f(t) dt

Remarque:Une telle fonction f n'est pas unique. C'est pourquoi dit que f est une densité de X.En particulier, si g est une fonction qui ne dière de f qu'en un nombre ni de points, gest aussi une densité de X.

2014-2015 C. Courant page 1

BCPST 952 Variables aléatoires à densité Lycée du Parc

Proposition :

Soit f une densité de probabilité, on admet qu'il existe une variable aléatoire X admet f commedensité.

B) Fonctions de répartition

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité, de densité f , et F sa fonction de répartion.

G F est croissante.

G limx→−∞

F (x) = 0, limx→+∞

F (x) = 1

G F est continue sur R.G F est de classe C1 sauf éventuellement en un nombre ni de points.

En dehors de ces points, on a F ′ = f .

Démonstration :

Proposition : Réciproque

Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F . On suppose :

G F est continue sur R.G F est de classe C1 sauf éventuellement en un nombre ni de points.

Alors X est à densité et une densité est donnée par f = F ′ aux points où F est dérivable, et par cequ'on veut ailleurs.

Démonstration :

Comment montrer qu'une variable aléatoire est à densité ?

Méthode

G Calculer sa fonction de répartition de F .

G Vérier que F est continue sur R.G Vérier que F est C1 sauf éventuellement en un nombre ni de points ;

G Aux points où F est dérivable, la densité est donnée par f = F ′ et par ce qu'on veutailleurs. (souvent on choisit 0).

Proposition :

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densité f . On a :

G ∀a ∈ R, P([X = a]) = 0

G ∀a, b ∈ R2, P([a ≤ X ≤ b]) =

∫ b

af(t) dt

C) Fonction d'une variable aléatoire à densité

Positionnement du problème :

Soit X une variable aléatoire à densité f et φ une fonction telle que X(Ω) ⊂ Def(φ).On considère Y = φ(X) et on souhaite savoir si Y est à densité.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité f et (a, b) ∈ R2. On suppose a 6= 0.Alors Y = aX + b est une variable aléatoire à densité.

Démonstration :

Étudier P(Y ≤ y) suivant le signe de a.



Remarque:

Si a = 0, Y est certaine, et donc elle n'est pas à densité.

Cas général

Méthode Si φ est de classe C1, étudier P(Y ≤ y) = P(φ(X) ≤ y) (et sa dérivée) en faisant intervenir

le sens de variation de φ.

Si φ n'est pas monotone, dresser le tableau de variation de φ et s'aider du graphe de φ.

Exemple :

© Soit X une variable à densité f . Etudier Y = exp(X).

Proposition :

Soit X une variable à densité f et soit n un entier.Alors Xn est à densité.

D) Somme de variables aléatoires à densité indépendantes

Dénition : Produit de convolutionSoit f et g deux densités de probabilités sur R.On appelle produit de convolution de f et de g l'application :

f ? g : z 7→∫ +∞

−∞f(x)g(z − x) dx

Cette intégrale impropre est eectivement convergente pour tout z ∈ R.

Théorème :Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes de densité respectives fX et fY .Alors Z = X + Y est une variable à densité dont une densité est

fX ? fY

Ainsi, une densité de Z est :

fZ : t 7→∫ +∞

x=−∞fX(x)fY (t− x) dx

et sa fonction de répartition est :

P(Z ≤ z) = F (z) =

∫ z

t=−∞

∫ +∞

x=−∞fX(x)fY (t− x) dx dt

Corollaire :Si de plus X et Y sont à valeurs positives ou nulles, alors une densité de X + Y est l'application

f : R → R

z 7→

∫ z

0fX(x)fY (z − x) dx si z > 0

0 sinon



E) Minimum et maximum de variables aléatoires à densité indépendantes

Soit (Xk)16k6n n variables aléatoires à densité indépendantes. On note fk une densité de Xk et Fk safonction de répartition.

On s'intéresse à Mn = max16k6n

Xn et mn = min16k6n

Xk.

Maximum

Méthode

G Soit x ∈ R, on étudie F (x) = P(Mn 6 x) en remarquant :

P(Mn 6 x) = P(X1 6 x,X2 6 x, . . . ,Xn 6 x)= P(X1 6 x)P(X2 6 x) . . .P(Xn 6 x)= F1(x)F2(x) . . . Fn(x)

G On remarque que F est continue sur R et C1 sauf en un nombre ni de points carF1, . . . , Fn le sont.

G On conclut que Mn est à densité et on obtient une densité par dérivation de F .

Minimum

Méthode

G Soit x ∈ R, on étudie F (x) = P(mn 6 x) en remarquant :

P(mn > x) = P(X1 > x,X2 > x, . . . ,Xn > x)= P(X1 > x)P(X2 > x) . . .P(Xn > x)= (1− F1(x))(1− F2(x)) . . . (1− Fn(x))

G On a alors F (x) = 1− (1− F1(x))(1− F2(x)) . . . (1− Fn(x))

G On remarque que F est continue sur R et C1 sauf en un nombre ni de points carF1, . . . , Fn le sont.

G On conclut que mn est à densité et on obtient une densité par dérivation de F .

II Espérance et variance

A) Dénition

Dénition : Espérance

Soit X une variable aléatoire réelle de densité f .

Si∫ +∞

−∞tf(t) dt est absolument convergente, on dit que X admet une espérance.

Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note E(X) la valeur∫ +∞

−∞tf(t) dt.

B) Linéarité de l'espérance

Proposition :

Soit X variable aléatoire à densité sur R admettant une espérance. Soient α et β deux réels.

Alors, αX + β admet une espérance. De plus :

E(αX + β) = αE(X) + β



Théorème : Linéarité de l'espérance

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant toutes deux une espérance.On suppose que X + Y est aussi à densité.Alors X + Y admet une espérance et on a :

E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

Dénition :

Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et que celle-ci est nulle.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance.Alors X −E(X) est centrée.

C) Théorème de transfert

Théorème :Soient X une variable aléatoire de densité f , et φ une fonction continue sur un intervalle I, sauf enun nombre ni de points.On suppose que Y = φ(X) est une variable aléatoire à densité.

Y admet une espérance si et seulement si∫ +∞

−∞φ(t)f(t) dt est absolument convergente.

Dans ce cas, E(Y ) =

∫ +∞

−∞φ(t)f(t) dt.

Exemple :

©Soit X une variable à densité f et Y = exp(X).Montrer le théorème de transfert dans ce cas.Si X admet pour densité la fonction f dénie par f(t) = 1

2 exp(−|t|), étudier E(Y ).

D) Variance

Dénition : VarianceSoit X une variable aléatoire à densité.On dit que X admet une variance et on note

V(X) = E((X −E(X))2

)si cette espérance existe.

Remarque:

X2 admet une espérance si et seulement si X admet une espérance et une variance.

Proposition : Formule de Koenig

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une espérance et une variance.On a :

V (X) = E(X2)− (E(X))2

Démonstration :



Dénition : Ecart-type

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance.

On dénit l'écart-type de X par σ(X) =√V(X)

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. Soit a, b ∈ R. Alors :

V(aX + b) = a2V (X), σ(aX + b) = |a|σ(X)

Dénition :Soit X une variable à densité admettant une variance.On dit que X est centrée et réduite si E(X) = 0 et V (X) = 1.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance.On appelle variable aléatoire centrée réduite associée à X, la variable aléatoire X∗ dénit par :

X∗ =X −E(X)

σ(X)

Elle est centrée réduite.

E) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème :Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance.On note m = E(X) et σ = σ(X) =

√V (X). Soit ε > 0.

P ([|X −m| ≥ ε]) ≤ σ2

ε2

Démonstration :

Lemme : Inégalité de Markov

Soit Y une variable aléatoire positive et à densité, admettant une espérance.Soit t ∈ R∗+. On a :

P ([Y ≥ t]) ≤ E(Y )

t

Démonstration : Appliquer le lemme à Y = (X −m)2.



III Loi uniforme

A) Dénition

Dénition :Soit a et b deux réels a < b.On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet pour densité la fonction

f : R → R

x 7→

1b−a si x ∈ [a, b]

0 sinon

On note X → U([a, b]).

B) Fonction de répartition

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b].Notons F sa fonction de répartition. On a :

F : R → R

t 7→

0 si t < at−ab−a si a ≤ t ≤ b1 si t > b

1−→i

−→j

1

Oa

f

b

1b−a

1−→i

−→j

1

Oa

F

b

C) Espérance et variance

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b].On a :

E(X) =a+ b

2, V (X) =

(b− a)2

12



IV Loi exponentielle

A) Dénition

Dénition :Soit λ > 0.On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour densité la fonction

f : R → R

x 7→

0 si x < 0λe−λx si x ≥ 0

On note : X → E(λ).


Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ.Notons F sa fonction de répartition. On a :

F : R → R

t 7→

0 si t < 01− exp(−λt) si t ≥ 0

1−→i

−→j

1

O

f

1−→i

−→j

1

O

F


Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ. On a :

E(X) =1

λ, V (X) =

1

λ2

D) Invariance temporelle

Théorème :Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.Soient s, t ∈ R+.

P[X>t](X > s+ t) = P(X > t)



V Loi normale

A) Dénition

Dénition :

On dit que X suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densitéla fonction

f : R → R

x 7→ 1√2π

exp

(−x

2

2

)On note : X → N (0, 1)

Dénition :Soit m ∈ R et σ ∈ R∗+.On dit que X suit la loi normale de paramètre m et σ2 si elle admet pour densité la fonction

f : R → R

x 7→ 1√2πσ

exp

(−(x−m)2

2σ2

)On note : X → N (m,σ2)


Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale centrée réduite.Notons Φ sa fonction de répartition. On a :

Φ : R → R

t 7→∫ t

−∞

1√2π

exp

(−x

2

2

)dx

Φ vérie les propriétés suivantes :

â Φ(0) = 12

â ∀t ∈ R+, Φ(−t) = 1− Φ(t)

â φ ne s'exprime pas simplement, on utilise des tables de la loi normale.

1−→i

−→j

1

O

f

1−→i

−→j

1

O

F




Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale de paramètre m et σ. On a :

E(X) = m, V (X) = σ2

D) Loi de aX + b

Proposition :

Soit X une variable aléatoire admettant une espérance m et une variance σ2 avec σ > 0.Soit a ∈ R∗ et b ∈ R. On a :

aX + b → N (am+ b, a2σ2)

Remarque:Soit X une variable aléatoire. On suppose X → N (m,σ2)

Alors X∗ → N (0, 1)

E) Sommes de gaussiennes indépendantes

Théorème :Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On suppose :

X → N (m,σ2) e t Y → N (m′, σ′2)

Alors

X + Y → N (m+m′, σ2 + σ′2)

Ce résultat se généralise au cas de n variables aléatoires gaussiennes et indépendantes.



F) Table de la loi normale centrée réduite

On tabule ici les valeurs de la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite N (0, 1). Pardénition,

φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−t

2/2 dt

Les décimales se lisent sur les lignes, et on ajoute les centièmes rangés en colonnes. Par exemple, lavaleur de Φ(1, 93) est donnée à l'intersection de la ligne 1, 9 et de la colonne 0, 03, et l'on peut lireΦ(1, 93) = 0, 9732, à 10−4 près. Au delà de la valeur x = 3, 9, la valeur de Φ(x) est presque égale à 1(toujours à 10−4 près), elle n'est donc plus tabulée. Enn, pour les valeurs négatives de x, on utilise larelation Φ(−x) = 1− Φ(x)

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .5 .5039 .5079 .5119 .5159 .5199 .5239 .5279 .5318 .53580.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7793 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 8849 .8869 .8888 .8906 .8925 .8943 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9986 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .99983.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .99983.6 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .99993.7 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .99993.8 9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .99993.9 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000



VI Simulations de loi

A) Obtenir un tracé expérimental de la densité

L'objectif est le suivant :

G On dispose d'un nombre important de simulations d'une variable aléatoire dont on soupçonnequ'elle puisse être à densité.

G On voudrait un tracé expérimental d'une densité.

On note X la variable aléatoire, F sa fonction de répartiton, et f une densité.

Obtenir un graphique d'une densité

Méthode

G Soit L la liste comprenant les simulations de la variable aléatoire.

G On calcule le minimum m et le maximun M de la liste L

G On discrétise l'intervalle [m,M ] en un certain nombre N de petits intervalles.(Par exemple N = 30)

On pose alors h =M −mN

et pour i ∈ J0, NK, on pose xi = m+ i ∗ h

G Une valeur approchée de la fonction de répartition F en x est donnée par la fréquencedes simulations vériant X 6 x.

G Une valeur approchée de la densité en xi est donnée parF (xi+1)− F (xi)

hG On compte donc le nombre ni de simulations dans l'intervalle [xi, xi+1] et on considère

donc que f(xi) ≈ni

len(L) ∗ hG Faire un graphique !

from random import random

import matplotlib . pyplot as plt

from math import ∗import numpy as np

de f densite (L ) :m = min(L )M = max(L )h = (M−m ) /30f = [0 ]∗31f o r x in L :

k = floor ( ( x−m ) /h )f [ k ] += 1

f o r k in range ( l en (f ) ) :f [ k ] = f [ k ] / ( l en (L ) ∗h )

re turn f

de f densite_graphe (L ) :f = densite (L )m = min(L )M = max(L )X = [ m + i∗(M−m ) /30 f o r i in range (31) ]plt . plot (X , F )plt . show ( )

On peut aussi faire :

histogramme tout fait

import matplotlib . pyplot as plt

plt . hist (s , 100 , normed=True ) # normed = True permet l a repr é s en ta t i onde l a den s i t é .

plt . show ( )



B) Loi uniforme

Loi uniforme

de f uniforme (a , b ) :r e turn (b−a ) ∗random ( ) +a

C) Loi exponentielle

Loi exponentielle

de f expon (mu ) :x=random ( )re turn (−log(1−x ) /mu )

Loi exponentielle toute faite

np . random . exponential (beta , N ) # simule N f o i s une l o i e xpon en t i e l l e# de paramè t r e mu=1/beta

D) Loi normale

G On cherche à simuler une loi normale centrée réduite.

Pour le cas général, on utilise que si X → N (0, 1) alors σX + µ → N (µ, σ2).

G On peut utiliser la même idée que pour la loi exponentielle. Cependant, on ne connait pas deforme explicite Φ−1.

Il faudra utiliser des approximations : la fonction norm.ppf du module scipy.stats nous fournitla fonction.

Loi normale

from scipy . stats import ∗de f normal (mu , sigma ) :

x = random ( )re turn sigma∗norm . ppf (x )+mu

Mais bien sûr, c'est déjà programmé dans python (avec des méthodes bien plus précises) :

Loi normale toute faite

np . random . normal (mu , sigma , N )


BCPST2

952 13 V. A. à densité

Je ne connais rien d'autre si propre à frapper l'imagination que cette merveilleuse forme d'ordrecosmique donnée par la Loi de Fréquence des Erreurs(*)... Elle règne avec sérénité et en toute abné-gation au milieu de la confusion sauvage. Francis Galton(*) loi normale

© Exercice 1: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd07.tex

On note f la fonction dénie sur R par :

∀x ∈ R, f(x) =1

π(1 + x2)

1)Montrer que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire admettant f commedensité : on dit que X suit la loi de Cauchy

2) a) Déterminer la fonction de répartition de X .

b) Calculer les probabilités : P (X ≤ 0), P (X ≥ 0), P (X ≤ −1) et P (X ≥ 1).

c) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

3) Soit V une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur]−π

2, π2

[Montrer que tanV suit la loi

de Cauchy.

4) a) On pose h la fonction dénie sur R \ 1 par h(x) =1 + x

1− xÉtudier les variations de h.

b) On dénit la variable aléatoire Y =1 +X

1−X. Montrer que Y suit également la loi de Cauchy.


1) Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1].On dénit Y = X2. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer unedensité de Y .

2) Espérance et variance de Y ?


Soit X une va suivant une loi normale de paramètre m et σ. On pose Y = exp X. Déterminer lafonction de répartition de Y , ainsi que son espérance et sa variance.


Pour cet exercice, on utilisera une table de la loi normale centrée réduite.Une société de service en informatique veut répondre à un appel d'ore pour réaliser le portail web

2014-2015 C. Courant Exercices : I

BCPST 952 Exercices : V. A. à densité Lycée du parc

d'une entreprise. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pourréaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres m et σ où m vaut 400 jours et σ, 20jours.

1) Quelle est la probabilité qu'il soit eectivement ni avant 400 jours ? Avant 410 jours ?

2) Quelle durée devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de nir dans les temps ?

3) Le commercial décide qu'on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que leprojet est réalisable en 350 jours. Quelle est la probabilité que le projet soit ni dans les temps ?


La Société Anonyme B.-N. fabrique des nains (de jardin) d'une hauteur moyenne de 1 mètre.Notons X la hauteur d'un nain en bout de la chaîne de fabrication. On supposera que X suit uneloi normale de paramètres m et σ, telle que E(X2) = 1, 01.

1) Déterminer m et σ.

2) Quelle est la probabilité qu'un nain mesure entre 98 centimètres et 1, 02m?

© Exercice 6: Loi du χ2/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd06.tex

Soit Y une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Déterminer la fonction de répartition de lavariable aléatoire X = Y 2 et montrer que X admet une densité que l'on déterminera. Déterminerespérance et variance de X.

© Exercice 7: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad17.tex

Soit f(x) = xe−x si x > 0 et f(x) = 0 sinon.

1)Montrer que f est une densité de probabilité.

2) Trois personnes A, B, C arrivent à deux guichets. C, par courtoisie, laisse passer A et B puisprendra la place du premier parti.On note TA et TB les temps de passage au guichet de A et B. On suppose que ces deux variablesaléatoires sont indépendantes et admettent f pour densité. Soit M le temps d'attente de C.TA admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

3) Donner la loi de M .

4) Soit Y la partie entière de TA . Donner la loi de Y .


Soit (Xi)16i62n+1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute une loi uniforme sur[0, 1]. On les range dans l'ordre croissant et on dénit la médiane Mn, c'est-à-dire la n + 1-ièmevaleur.

1)Montrer : ∀x ∈ [0, 1], P (Mn 6 x) =2n+1∑i=n+1

(2n+ 1

i

)xi(1− x)2n+1−i

2014-2015 C. Courant Exercices : II


2)Montrer que Mn est à densité et qu'elle admet une espérance.

3) Calculer E(Mn).

On rappelle que∫ 1

0

xp(1− x)q dx =p!q!

(p+ q + 1)!.


Soit (Xn)n>0 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi E(1).

1) Loi deXk

k?

2)Montrer que Zn = max(X1, . . . , Xn) etn∑i=1

Xi

isuivent la même loi.

3)Montrer que Zn admet une espérance et une variance.

Montrer que : 1 6 E(Zn) 6 n et1

n6 V(Zn) 6 n


Roméo et une Juliette se donnent rendez-vous à minuit (sous un balcon). L'heure d'arrivée de laJuliette suit une loi normale d'espérance minuit et d'écart-type 4 minutes. L'heure d'arrivée deRoméo suit une loi normale d'espérance minuit et cinq minutes (il a envie de se faire attendre) etd'écart-type 3 minutes. Elle est prête à attendre au plus 10 minutes, lui au plus 5 minutes. Quelleest la probabilité que cette grande histoire d'amour ne commence jamais ?


A l'aide de la loi normale, calculer les intégrales suivantes :

1)

∫ +∞

−∞e−2x

2−4x−2 dx

2)

∫ +∞

−∞xe−2x

2−2x−1 dx

3)

∫ +∞

−∞x2e−2x

2−8x−1 dx

4)

∫ +∞

−1e−2x

2−4x−1 dx

5)

∫ +∞

−∞x3e−2x

2−4x−1 dx

6)

∫ +∞

−∞x4e−2x

2−6x−1 dx


Une usine a une chaine de montage. On commence à fabriquer des objets à l'instant t = 0.Il y a n machines qui travaillent en parallèle. On note Xi le temps de fabrication d'un objet sur lai-ème machine. Lorsque l'objet est fabriqué, la machine s'arrête.On suppose que Xi → U([0, 1]).Soit t ∈ [0, 1].

2014-2015 C. Courant Exercices : III


1) Soit Nt le nombre d'objet fabriqués à l'instant t. Reconnaitre la loi de Nt.

2) Soit Tk le temps nécéssaire à la fabrication de k objets.Montrer P(Tk 6 t) = P(Nt > k).Exprimer P(Tk 6 t) comme une somme.

3)Montrer que Tk est à densité et qu'une densité est donnée par

fk(t) =n!

(k − 1)!(n− k)!tk−1(1− t)n−k

4) Déterminer l'espérance de Tk.


Soit n ∈ N et fn dénie par

fn(t) =

e−ttn

n!si t > 0

0 sinon

1)Montrer : ∀x ∈ R∗+,∫ x

0

fn(t) dt =e−xxn

n!+

∫ x

0

fn+1(t) dt.

Montrer que∫ +∞

0

fn(t) dt = 1. En déduire que fn est une densité de probabilité.

2) Soit Xn admettant fn comme densité de probabilité. Montrer que Xn admet une espérance etune variance et les calculer.

3) Soit Yt → P(t) le nombre de voiture arrivant à un péage entre l'instant 0 et l'instant t. SoitZn le temps nécessaire pour qu'il y ait n voitures de passées.a) Montrer [Zn 6 t] = [Yt > n]

b) En déduire que Zn admet une densité de la forme fk avec k à préciser.

2014-2015 C. Courant Exercices : IV

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