Induction  électromagnétique  

 

Exercice  1  :  Freinage  électromagnétique  

On  étudie  le  freinage  électromagnétique  d’une  spire  conductrice  rectangulaire  𝑀𝑁𝑃𝑄  mobile,  de  côtés  𝑎  et  𝑏,  de  masse  𝑚  négligeable,  de  résistance  𝑅  et  d’inductance  propre  négligeable.  Cette  spire  est  en  translation  selon  l’axe  (𝑂𝑥).  Elle  traverse  une  zone  de  longueur  𝑑   𝑑 > 𝑏  dans  laquelle  règne  un  champ  magnétique  uniforme  de  la  forme  :  

𝐵 = 𝐵𝑢!  On  admet  que   le   champ  est  nul  en  dehors  de   cette   zone.  On  néglige  aussi   toute   force  autre  que  magnétique.  𝑋(𝑡)  représente  l’abscisse  du  côté  𝑀𝑁  et  𝑣(𝑡)  désigne  la  vitesse  du  cadre.  

 

La  spire  entre  dans  le  champ  avec  une  vitesse  𝑣!.  A  quelle  condition  en  ressort-­‐elle  ?  Si  cette  condition  est  vérifiée,  déterminer  la  diminution  de  vitesse  ∆𝑣.  

Correction  :  

Loi  de  modération  de  Lenz  :  l’induction  électromagnétique,  par  ses  effets,  doit  s’opposer  aux  effets  qui  lui  donne  naissance,  ici  une  augmentation  du  flux  du  champ  magnétique  lorsque  la  spire  entre  dans  la  zone  de  champ  magnétique.  Ainsi,  l’induction  électromagnétique  va  :  -­‐ freiner  la  spire  (effet  mécanique)  -­‐ générer   un   courant   induit   (effet   électrique),   qui   va   créer   un   champ  magnétique   induit   de   sens  opposé   au   champ   magnétique   extérieur.   La   règle   de   la   main   droite   nous   indique   donc   que   le  courant  induit  va  circuler  dans  le  sens  𝑁 → 𝑀.  

Choix  d’une  orientation  pour  le  courant  induit  :  on  choisit  d’orienter  le  courant  induit  dans  le  sens  𝑁 → 𝑀.  Cette  orientation  impose  le  sens  de  la  surface  𝑑𝑆  permettant  de  calculer  le  flux  du  champ  magnétique  : le  vecteur  surface  élémentaire  apparaissant  dans  le  calcul  du  flux  du  champ  magnétique  sera  alors  orienté  selon  :  

𝑑𝑆 = −𝑑𝑆𝑢!

Equation   électrique  :   Pour   qu’il   y   ait   induction   électromagnétique,   il   faut   que   le   flux   du   champ  magnétique  à  travers  la  spire  soit  non  nul,  donc  que  la  spire  soit  au  moins  partiellement  entrée  dans  la  zone  de  champ  magnétique.  On  distingue  alors  3  situations  :  

0 < 𝑋(𝑡) < 𝑏   𝑏 < 𝑋 𝑡 < 𝑑   𝑑 < 𝑋 𝑡 < 𝑑 + 𝑏  La  spire  n’est  pas  intégralement  entrée  dans  la  zone  de  champ  

magnétique  

 Calcul  du  flux  :  

𝜙 = 𝐵.𝑑𝑆  

!"#$%

 

 𝜙 = 𝐵!

!

!(!)

!

𝑢! . −𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢!  

⇔     𝜙 = −𝑎𝐵𝑋(𝑡)  

Calcul  de  la  f.é.m.  induite  :  on  utilise  la  loi  de  Faraday  

𝑒 𝑡 = −𝑑𝜙𝑑𝑡  

⇔    𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵𝑑𝑋𝑑𝑡  

⇔     𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵𝑣  

Circuit  électrique  équivalent  :    

 Calcul  du  courant  induit  :  L’intensité  du  courant  induit  dans  le  circuit  se  calcule  en  appliquant  la  loi  des  mailles  :

𝑒(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) = 0  

⇔     𝑖 𝑡 =𝑒𝑅=𝑎𝐵𝑅𝑣  

La  spire  est  intégralement  entrée  dans  la  zone  de  champ  

magnétique  

 Calcul  du  flux  :  

𝜙 = 𝐵.𝑑𝑆  

!"#$%

 

𝜙 = 𝐵!

!

!(!)

!(!)!!

𝑢! . −𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢!  

⇔     𝜙 = −𝑎𝑏𝐵  

Calcul  de  la  f.é.m.  induite  :  on  utilise  la  loi  de  Faraday  

𝑒 𝑡 = −𝑑𝜙𝑑𝑡  

⇔     𝑒 𝑡 = 0  

Il   n’y   a   pas   de   phénomène  d’induction   électromagnétique  car  le  flux  du  champ  magnétique  à  travers  la  spire  est  constant.  Pour   qu’il   y   ait   freinage,   il   faut  que   la   spire  entre  ou   sorte  d’une  zone  de  champ  magnétique.  

Calcul  du  courant  induit  :  ⇔     𝑖 𝑡 = 0  

La  spire  est  en  train  de  sortie  de  la  zone  de  champ  magnétique  

 Calcul  du  flux  :  

𝜙 = 𝐵.𝑑𝑆  

!"#$%

 

𝜙 = 𝐵!

!

!

! ! !!

𝑢! . −𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢!  

⇔     𝜙 = −𝑎𝐵 𝑑 − 𝑋 𝑡 + 𝑏  

Calcul  de  la  f.é.m.  induite  :  on  utilise  la  loi  de  Faraday  

𝑒 𝑡 = −𝑑𝜙𝑑𝑡  

⇔    𝑒 𝑡 = −𝑎𝐵𝑑𝑋𝑑𝑡  

⇔     𝑒 𝑡 = −𝑎𝐵𝑣  

Circuit  électrique  équivalent  :    

 Calcul  du  courant  induit  :  L’intensité  du  courant  induit  dans  le  circuit  se  calcule  en  appliquant  la  loi  des  mailles  :

𝑒(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) = 0  

⇔    𝑖 𝑡 =𝑒𝑅= −

𝑎𝐵𝑅𝑣  

 

Equation  mécanique  :  Connaissant  le  courant  induit  dans  la  spire,  nous  pouvons  calculer  la  résultante  des  forces  de  Laplace  qui  s’exercent  sur  la  spire.  

0 < 𝑋(𝑡) < 𝑏   𝑑 < 𝑋 𝑡 < 𝑑 + 𝑏  

Calcul  des  forces  de  Laplace  :  

𝐹! = 𝑖𝑑𝑙⋀𝐵  

!"#$%  !"#$  !

 

⇔ 𝐹! = 𝑖𝑑𝑥𝑢!⋀𝐵𝑢!

! !

!

 

+ 𝑖𝑑𝑦 −𝑢! ⋀𝐵𝑢!

!

!

+ 𝑖𝑑𝑥 −𝑢! ⋀𝐵𝑢!

!(!)

!

 

⇔ 𝐹! = −𝑖𝐵𝑎𝑢!  

⇔ 𝐹! = −𝑎!𝐵!

𝑅𝑣  𝑢!  

On  trouve  bien  le  résultat  prédit  par  la  loi  de  Lenz,  à  savoir  que  la  résultante  des  forces  de  Laplace   est   une   force   freinante   qui   s’oppose  au  mouvement.  

Equation  mécanique  :  on  applique  le  PFD  à  la  spire,  la  résultante  des  forces  de  Laplace  étant  la  seule  force  appliquée  à  la  spire  :  

𝑚𝑎 𝑀 = 𝐹!  On  projette  cette  équation  sur  l’axe  (𝑂𝑥)  :  

𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡

= −𝑎!𝐵!

𝑅𝑣    

⇔ 𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡

= −𝑎!𝐵!

𝑅𝑑𝑋𝑑𝑡  

⇔ 𝑑𝑣 = −𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑑𝑋  

On   intègre  cette  équation  sur   la   longueur  de  trajet  où  la  spire  subit  l’induction  (b)  :  

𝑑𝑣

!(!)

!(!)

= −𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑑𝑋

!

!

 

𝑣 𝑏 − 𝑣(0) = −𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑏  

⇔Δ𝑣2=𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑏  

Calcul  des  forces  de  Laplace  :  

𝐹! = 𝑖𝑑𝑙⋀𝐵  

!"#$%  !"#$  !

 

⇔ 𝐹! = 𝑖𝑑𝑥 −𝑢! ⋀𝐵𝑢!

!

! ! !!

 

+ 𝑖𝑑𝑦𝑢!⋀𝐵𝑢!

!

!

+ 𝑖𝑑𝑥𝑢!⋀𝐵𝑢!

!

! ! !!

 

⇔ 𝐹! = 𝑖𝐵𝑎𝑢!  

⇔ 𝐹! = −𝑎!𝐵!

𝑅𝑣  𝑢!  

On  trouve  bien  le  résultat  prédit  par  la  loi  de  Lenz,  à  savoir  que  la  résultante  des  forces  de  Laplace  est  une  force  freinante  qui  s’oppose  au  mouvement.  

Equation  mécanique  :  on  applique  le  PFD  à  la  spire,  la  résultante  des  forces  de  Laplace  étant  la  seule  force  appliquée  à  la  spire  :  

𝑚𝑎 𝑀 = 𝐹!  On  projette  cette  équation  sur  l’axe  (𝑂𝑥)  :  

𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡

= −𝑎!𝐵!

𝑅𝑣    

⇔ 𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡

= −𝑎!𝐵!

𝑅𝑑𝑋𝑑𝑡  

⇔ 𝑑𝑣 = −𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑑𝑋  

On  intègre  cette  équation  sur  la  longueur  de  trajet  où  la  spire  subit  l’induction  (b)  :  

𝑑𝑣

!(!!!)

!(!)

= −𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑑𝑋

!!!

!

 

𝑣 𝑑 + 𝑏 − 𝑣(𝑑) = −𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑏  

⇔Δ𝑣2=𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑏  

Pour  que  la  spire  sorte  de  la  zone  de  champ  magnétique,  il  faut  donc  que  :  

Δ𝑣 =2𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑏 > 𝑣!  

Exercice  2  :  Rail  de  Laplace  vertical  

On  considère  un  dispositif  de  rail  de  Laplace  vertical,  dans  lequel  une  barre  métallique  𝑃𝑄,   de  masse  𝑚,   peut  glisser  sans  frottement  le  long  de  deux  rails  verticaux  distants  de  𝑎.   Ces   rails   sont   reliés   à   un   générateur   de   tension,  délivrant  une  force  électromotrice  continue  𝑈!.  La   résistance   totale   du   circuit   est   notée   𝑅   et   elle   est  indépendante   de   la   position   de   la   barre  𝑃𝑄.   On   suppose  enfin  que  l’inductance  propre  du  circuit  est  négligeable.  Dans  l’espace  où  peut  se  déplacer  la  barre  règne  un  champ  magnétique  stationnaire  et  uniforme  :  

𝐵 = 𝐵𝑒!  A  l’instant  initial,  la  barre  est  lâchée  sans  vitesse  initiale.  

1) Ecrire  l’équation  électrique  du  dispositif.  

2) Ecrire  l’équation  mécanique  du  dispositif.  

3) Résoudre   le   système  d’équations   couplées   ainsi   déterminé.   En   déduire   les   expressions   de   la  vitesse  𝑣(𝑡)  de  la  barre  et  de  l’intensité  𝑖(𝑡)  du  courant  électrique  circulant  dans  le  dispositif  et  les  représenter.  

4) Quelle  condition  doit  satisfaire  la  résistance  𝑅  du  circuit  pour  que  la  barre  tombe  ?  

5) Déterminer  la  vitesse  limite  prise  par  la  barre.  

6) Application  Numérique  :  𝑚 = 0,5  g  ;  𝑈! = 1,5  V  ;  𝐵 = 0,5  T  ;  𝑅 = 8  Ω  ;  𝑎 = 5  cm  

Correction  :  

Lorsque  la  barre  se  déplace  dans  le  champ  magnétique,  elle  est  le  siège  d’un  phénomène  d’induction  de  Lorentz.  Elle  se  comporte  donc  comme  un  générateur  de  tension,  délivrant  une  f.é.m.,  égale  à  la  f.é.m.  induite  donnée  par  la  loi  de  Faraday.  Le  circuit  est  donc  parcouru  par  un  courant  induit,  dont  le  sens  de  circulation  est  donné  par  le  loi  de  modération  de  Lenz.  

Loi   de  modération   de   Lenz  :   l’induction,   par   ses   effets,  doit  s’opposer  aux  effets  qui  lui  donne  naissance,  ici  une  augmentation  du  flux  du  champ  magnétique  lorsque  la  se   déplace   dans   la   zone   champ   magnétique.   Ainsi,  l’induction   électromagnétique   va  vouloir   s’opposer   à  cette   augmentation   du   flux   du   champ   magnétique   en  créant,  par  l’intermédiaire  du  courant  induit,  un  champ  magnétique   induit   de   sens   opposé   au   champ  magnétique  extérieur.  La  règle  de  la  main  droite  nous  permet  alors  d’affirmer  que  le  courant  induit  va  circuler  dans  le  sens  𝑄 → 𝑃.    

Cette   orientation   impose   le   sens   de   la   surface   𝑑𝑆  permettant  de  calculer  le  flux  magnétique  (cf.  figure  ci-­‐contre)  :  

𝑑𝑆 = −𝑑𝑆𝑒!  

 

 

1) On  calcule  tout  d’abord  le  flux  du  champ  magnétique  à  travers  le  circuit  :  

𝜙 = 𝐵𝑒! . −𝑑𝑆𝑒!

 

!"#!$"%

 

 𝜙 = −𝐵 𝑑𝑆  

!"#!$"%

 

⇔     𝜙 = −𝑎𝐵𝑧(𝑡)  

Calcul  de  la  f.é.m.  induite  :  on  utilise  la  loi  de  Faraday  

𝑒 𝑡 = −𝑑𝜙𝑑𝑡  

⇔    𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵𝑑𝑧𝑑𝑡  

⇔     𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵𝑣  

Circuit  électrique  équivalent  :    

 

Calcul  du  courant  induit  :  L’intensité  du  courant  induit  dans  le  circuit  se  calcule  en  appliquant  la  loi  des  mailles  :

𝑈! + 𝑒(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) = 0  

⇔    𝑖 𝑡 =𝑈! + 𝑒𝑅

 

⇔     𝑖 𝑡 =𝑈! + 𝑎𝐵𝑣

𝑅  

2) Référentiel  :  référentiel  du  laboratoire  supposé  galiléen  Système  :  tige  PQ  de  masse  m  Système  de  coordonnées  :  cartésien    Bilan  des  forces  :  -­‐  poids  :  𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔𝑒!      -­‐    force  de  Laplace  :  𝐹!  

𝐹! = 𝑖𝑑𝑙⋀𝐵  

!"#$  !"

 

⇔ 𝐹! = 𝑖 −𝑑𝑥𝑢! ⋀𝐵𝑢!

!

!

 

⇔ 𝐹! = −𝑖𝐵𝑎𝑢!  

On  trouve  bien  le  résultat  prédit  par  la  loi  de  Lenz,  à  savoir  que  la  résultante  des  forces  de  Laplace  est  une  force  freinante  qui  s’oppose  au  mouvement.  Equation  mécanique  :  on  applique  le  PFD  à  la  tige  PQ  :  

𝑚𝑎 𝑀 = 𝑃 + 𝐹!  

On  projette  cette  équation  sur  l’axe  (𝑂𝑧)  :  

𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡

= 𝑚𝑔 − 𝑖𝐵𝑎    

⇔𝑑𝑣𝑑𝑡

= 𝑔 −𝑖𝐵𝑎𝑚

 

3) On  obtient  donc  le  système  d‘équations  couplées  suivant  :  

 𝑖 𝑡 =

𝑈! + 𝑎𝐵𝑣𝑅

𝑑𝑣𝑑𝑡

= 𝑔 −𝑖𝐵𝑎𝑚            

On  injecte  l’expression  du  courant  de  la  première  équation  dans  la  seconde  :  𝑑𝑣𝑑𝑡

= 𝑔 −𝐵𝑎 𝑈! + 𝑎𝐵𝑣

𝑚𝑅  

⇔  𝑑𝑣𝑑𝑡

+𝑎!𝐵!

𝑚𝑅𝑣 = 𝑔 −

𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

 

On  reconnaît  une  équation  différentielle  du  premier  ordre  dont  la  forme  canonique  est  :  𝑑𝑣𝑑𝑡

+1𝜏𝑣 = 𝑔 −

𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

   𝑎𝑣𝑒𝑐    𝜏 =𝑚𝑅𝑎!𝐵!

 

On  résout  cette  équation  différentielle  :  

Solution  générale =     Solutionparticulière    +    Solution  de  l'équationsans  second  membre

       

Solution  particulière  :  on  trouve  la  solution  particulière  en  choisissant  𝑢  constant  :  

𝑣 = 𝜏 𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

 

Solution  sans  second  membre  :  en  posant  A  est  une  constante  d’intégration,  on  a  :  𝑑𝑣𝑑𝑡

+1𝜏𝑣 𝑡 = 0    donc    𝑣 𝑡 = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 −

𝑡𝜏  

Solution  générale  :  

𝑢 𝑡 = 𝜏 𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

+ 𝐴 𝑒𝑥𝑝 −𝑡𝜏  

Pour  trouver  l’expression  de  la  constante  d’intégration  A,  on  se  sert  de  la  condition  initiale  :  

𝑣 𝑡 = 0 = 0 = 𝜏 𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

+ 𝐴      donc    𝐴 = −𝜏 𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

 

𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖     𝑣 𝑡 = 𝜏 𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

1 − 𝑒𝑥𝑝 −𝑡𝜏  

 

On   obtient   finalement   l’expression   de   𝑖(𝑡)   en   reportant   l’expression   de   𝑣 𝑡   dans   la   première  équation  :  

𝑖 𝑡 =𝑈! + 𝑎𝐵𝑣

𝑅  

⇔   𝑖 𝑡 =𝑚𝐵𝑎

1 − 𝑒𝑥𝑝 −𝑡𝜏  

 

4) Pour  que  la  barre  tombe,  il  faut  que  :  𝑣 > 0      

⇔      𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

> 0  

⇔      𝑔 >𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

 

⇔       𝑅 >𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑔

= 7,6  Ω  

5) La  vitesse  limite  prise  par  la  barre  vaut  :  

𝑣!"# = lim!→!

𝑣 𝑡 = 𝜏 𝑔 −𝐵𝑎𝑈!𝑚𝑅

= 2,7  𝑚. 𝑠!!  

 Remarque  :  -­‐ Pour  que  la  barre  descende,  on  vient  de  démontrer  que  la  résistance  doit  être  supérieure  à  une  valeur   critique.   Est-­‐ce   cohérent.   On   peut,   pour   répondre   à   cette   question,   étudier   ce   qui   se  passe  dans   la   limite  𝑅 → ∞.  Dans  cette  situation   limite,   la  résistance  du  circuit  est   tellement  grande  qu’aucun  courant  ne  peut   circuler  dans   le   circuit.  La   force  de  Laplace  exercée   sur   la  barre  doit  donc  s’annuler  et  la  barre  n’est  plus  soumise  qu’à  son  poids  :  elle  va  donc  descendre  le  long  du  rail  horizontal.