N• d'ordre: 4138

THÈSE présentée à

L'UNIVERSITÉ BORDEAUX 1 ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCES PHYSIQUES ET DE L'INGÉNIEUR

par Cyril Regan

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR SPECIALITÉ : Astrophysique, Plasmas, Corpuscules

Modèles réduits pour le transport de particules rapides dans le cadre de la Fusion par Confinement Inertiel

Soutenue le 03 Décembre 2010

Après avis de

Mr D. Batani, Professeur, Universita di Milano Bicocca Mr E. Lefebvre, Chef de Laboratoire CEA

Devant la commission d'examen formée de

Mr L. Mieussens, Professeur d'université de Bordeaux1 Mr D. Batani, Professeur, Universita di Milano Bicocca Mr E. Lefebvre, Chef de Laboratoire CEA Mr J-F. Clouet, Directeur de recherche CEA Mr M. Temporal, Chargé de Recherche, Universidad Politécnica Mr V. T. Tikhonchuk, Professeur, Université Bordeaux 1 Mr J-L Feugeas, Chargé de recherche CEA, CELlA Mr Ph Nicolaï, Chargé de recherche CEA, CELlA Mr J. J. Honrubia, Professeur, Universidad Aeronauticos

Rapporteur Rapporteur

Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur de thèse Encadrant de thèse Encadrant de thèse Invité

A tons ceux qui le

Remerciements

belle oeuvre rien sans de bons chefs d'orchestre. Ainsi en est il du sujet thèse et de son encadrement. un de peut des plus une bonne thèse une harmonie de travail entre thésard et ses pendant quelques miennes me laisseront un bon

notamment à mon directeur Vladimir, et mes encadrants .Jean-Luc et Philippe .

.Je te remercie donc, Vladimir, de m'avoir encadré et d'avoir toujours disponible pour répondre à mes nombreuses interrogations sur cette physique plasmas (qui m'était très obscure il y a trois ans) . .Je te remercie aussi .Jean-Luc, de tes conseils en maths et salue ton enthousiasme inébranlable pendant toute la conduite de ma thèse, sauf peut être au où il nous reste une belle à disputer. te Philippe, d'avoir mes pas dans la physique et de toujours donné de très bons conseils en ou dans d'autre domaine, connne ne pas marcher en chaussette dans couloirs .

.Je les rapporteurs Dimitri Batani et Erik Lefebvre pour leur remar-pertinentes sur le fond et la forme du manuscrit. .Je remercie également tout

le jury d'avoir examiné ma thèse. Pendant ces trois j'ai eu la collaborer avec plusieurs chercheurs. Je remercie donc Théodor rigueur scientifique sur nos travaux d'allumage par ions. Volpe qui en plus de sa bonne humeur m'a permis mieux comprendre le radio­graphie par protons . .Je enfin Mauro Temporal d'avoir disponible et m'avoir aider sur le

bien Guy ainsi tous les sur machine qui marche taphysique ... Je aussi Ludo, qui m'entraîne dans une autre physique en post-doc. De manière générale, j'ai beaucoup apprécié l'ambiance ce laboratoire, en particulier à la cafète où j rencontré la plupart des (;ELIA-tains autour d'une tasse de café ou pendant les pots thèse. tiens particulièrement à remercier Candice qui a partagé mon bureau pendant trois ans, et donc supporté blagues

pourris et mon désordre caractéristique. Merci à François V,

qui a toujours répondu présent pour un petit café, un petit sandwich voir aussi gros verres mais le soir. Enfin à toi pour tes uv>HJ''""

barbee ou raclette, merci Hartmut et tes soirées colocs, merci Anna et verres partagés en Bulgarie, merci Marion, Céline, Rémi, Capu, Antoine et ses débardeurs, autres Benjamin, Charles ainsi que tous les avec qui J de bons moments dans ce laboratoire.

Je veux aussi remercier chaleureusement le staff technique du pot qui sont Greg roi des sushis, Sami mon partenaire de raquette en tout genre, Yohann mon conseillé en vin, Alice reine du guronsan, Tom champion punch et sangria, Jess camarade de soirée et pic-nic hebdomadaire. Merci aussi à mes nombreux amis supporté au quotidien comme Dam, Djé, .Joe, Sam,

Anaïs et à tous ceux qui sont venus ou qui m'ont soutenus, de Bordeaux, de Toulouse, de d'Antibe, de et d'ailleurs.

''"''"Yl"·'"''''" bien sùr rna famille qui malgré distance depuis a toujours là dans mon coeur. Merci à rna mère d'être venue Bordeaux me voir défendre ce travail de trois ans.

Merci finalement à Josepha, qui en plus d'être l'organisatrice en chef la soutenance, illumine rna vie tous les jours.

Je remercie également tous ceux qui ne sont pas et qui me pardoneront les avoir oubliés.

Table des matières

1 Introduction

1.1 Contexte

1 1 L'allumage par attaque directe ou indirecte 0

1.202 L'allumage rapide 0 0 1.203 L'allumage par choc

2 Génération et transport des particules rapides

201 Grandeurs caractéristiques des plasmas

201.1 Quelques constantes plasma 0 0 0 0 0 0 201.2 Section et logarithme Coulombien 201.:3 La conductivité électrique 0 0 0 0

202 Génération d'électrons rapides 0 0 0

1 Régimes de l'interaction des tenses avec la matière

20202 Absorption résonnante 0 0 2020;~ Chauffage par Brunei (ou chauffage

lasers

202.4 Chauffage pondéromoteur (ou J x B) 0 0 0 0 0 0 0 Accélération des électrons dans un plasma sous

203 Les phénomènes collisionnels du transport de particule

14

14

16 18 20

22

22

22 25 28

3 'J ,)

:16 36

38

20301 Description cinétique 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 38 20:302 Le ralentissement collisionnel 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Les phénomènes collectifs du transport de particule

2.'101 Le chauffage du courant de retour Le pincement magnétique

3 l\!Iodèles réduits pour le transport de particules rapides 56

301 Le modèle Tr-umpet 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56

301.1 La méthode du modèle Trumpet 57 301.2 Le modèle Trumpet avec straggling blooming 60 301.3 Le modèle Trurnpet avec les corrections densité 63

;302 Le modèle Mi 66

~30201 Construction G6 :3.202 Analyse . 0 0 69

;303 Description numérique des modèles de transport et valida-tions 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 74

;L)o1 Description numérique des modèles Tr-urnpet et Ml 30302 Validation du transport en milieu homogène 77 ;L)o;~ Validations du transport d'électrons en milieu non-homogène 81 303.4 Validation du transport d'ions en milieu homogène 87 30305 Validation du transport d'ions en milieu inhomogène 89

304 Intégration dans le code hydrodynamique CHIC 91

1 Dépôt sur les électrons du plasma 91 ~3.402 Couplage entre les modèles de transport et CHIC 91 Discussion 0 . . 0 0 0 . . 0 0 . . 0 0 0 . . 0 . . 0 0 . . 0

4 Applications des modèles de transport 96

401 Simulation d'un diagnostic d'imagerie protonique d'une ex-périence de compression d'un cylindre par laser 0 0 0 .. 0 0 96

401.1 Présentation de l'expérience 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~1.1.2 Présentation du diagnostic 0 0 0 .. 0 .. 0 0 . 401.;~ Pouvoir des protons dans du plastique ~1.1A 0 0 .. 0

96 98

101

401.5 Simulations Tr-urnpet et Ml 105 11.1.6 Résultats 0 0 0 .. 0 0 .. 0 111 401.7 Discussion 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120

402 Allumage du combustible par des ions accélérés au moyen d'impulsions laser ultra-intenses 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 Introduction 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Modèle théorique du piston laser 0 0 0 0 0 0 124

40203 Paramètres pour l'allumage par ions rapides 126 11.2A d'allumage avec ions Deuterium Tritium 131

40205 Schéma d'allumage avec 40206 Discussion 0 0 0 0 0 0

5 Conclusions et perspectives

ions Carbone

152

consommation mondiale croit d'environ 2 % par an, à moins qu'une solution ne soit trouvée pour la réduire, il est de répondre à une demande croissante. l'heure la plus utilisée dans le monde est essentiellement d'origine fossile gaz, charbon), et près de 78 %de consommée. Les autres d'énergie proviennent de la combustion de biomasse (10 %), ou sont d'origine nucléaire (6 %), hydraulique (6 %) et renouvelable (0.5%). énergies fossiles ont un fort impact écologique et elles sont responsables augmentation importante la concentration de gaz carbonique ( C'02) l'atmosphère. plus, les ressources fossiles les réserves sont à environs 50 ans pour le gaz et le pétrole, et à 200 ans pour le charbon.

provenant du peut en répondre aux besoins liés à la économique mondiale et à des ressources Il

la fission et fusion. nucléaires actuellement en fonctionnement exploitent

de cette réaction, le noyau d'un atome lourd contenant un grand nombre de nucléons, comme l'uranium ou le plutonium, est en plusieurs nucléides plus Cette réaction nucléaire s'accompagne d'émission neutrons et d'un dégagement important. Par exemple collision d'un neutron avec un atome d'uranium 235 un isotope l'uranium qui peut se scinder en

fragments, le krypton et le baryum, et trois neutrons :

(1)

beaucoup ( rv 200 électron-Volt (MeV)) au regard des réactions chimiques qui sont de l'ordre l'électron Volt

. Par exemple, une tonne de pétrole en à 1.7 tonnes de charbon, 3.3 tonnes de bois et 0.5 g d'uranium. Mais ce procédé a un défaut

fission des radioactifs à longue durée de stockage est problématique. d'uranium ne sont En des est à une

centaine d'années si la demande mondiale n'augmente pas. Néanmoins, d'autres projets réacteur (dit quatrième génération), exploitant l'isotope d'uranium 2;38 permettraient de bénéficier de ressources d'uranium nettement plus a bon-

et l'activité les plus dangereux. L'autre de source d'énergie est la fusion. La réaction fusion

nucléaire est un au cours duquel deux former un noyau plus lourd. La fusion de ces noyaux tantes quantités d'énergie ( rv 20 réaction est nr.r:>ccm

en particulier dans le Soleil. produits de la fusion eux de ne sont radioactifs.

neutrons qui peuvent les en transformant les qm capturent en isotopes radioactifs.

Sur la réaction de fusion fréquemment est du deutérium D et du tritium T T), de l'hydrogène.

D~ + T13

- He~+ Tl.(~· (2)

en est O. g de D-T. cette réaction est difficile à car a lieu seulement dans un milieu tem-pérature (T ?: 1.5 x 108K) pendant un certain temps confinement. Dans le Soleil, le confinement gravitationnel qui permet l'entretien tions de fusion l'hydrogène. Sur il principalement deux techniques pour fusion nucléaire : la Fusion par c:onfinement Ivlagnétique (FC:M), et la Fusion par Confinement Inertiel (FCI) dont il est question dans cette étude.

principe du confinement inertiel sur la compression d'une cible de D-T par des faisceaux nanosecondes intenses (1015 VV.cm- 2

) de haute (jusqu'au Megajoule). lasers sont aussi sous nom de

de compression. Certains schémas prévoient l'ajout d'un laser encore plus (1018

- 1021 \IV ), avec des impulsions plus courtes de l'ordre de centaines de femtoseconde (fs) ou quelques picosecondes (ps), pour

particules rapides afin transporter du laser à l'intérieur et de déclencher réactions fusion. Ce schéma avec ces de grande puissance (P?:1015 YV), est appelé d'allumage rapide.

Le développement des a débuté il y a 50 ans. lasers nanosecondes (de compression) sont capables aujourd'hui délivrer jusqu'à 1 MJ en quelques nanosecondes, et les lasers de puissance atteignent actuellement Peta VVatt, soit quelques kJ en quelques picosecondes. cas de 1 'installation National Ignition (NIF) [1], en au Lawrence Livermore National Laboratory. a, à ce jour, une sur cible de 1 et a pour but de démontrer expérimentalement l'allumage d'une cible de D-T avec un supérieur à 10 (l'énergie est dix fois supérieure à l'énergie investie). En Europe, un projet laser est le Laser Joule (LMJ) [2], situé sur

du CEA-CESTA (Centre d'études scientifiques et techniques Aquitaine). Il a pour objectif de déposer une énergie de 1.8 MJ (mégajoules) avec 240 uu.,R·"""

convergents. Dans le du schéma d'allumage rapide, lasers puissance sont souvent couplés aux lasers de haute C'est le cas des Peta \IVatt Ol'vlEGA-EP [3, 4] qui sont couplés aux nanosecondes OMEGA [5]. L'in-stallation des lasers est composée d'une soixantaine de faisceaux de compression délivrant une énergie de 30 kJ. de puissance OMEGA-EP délivrent

plusieurs kJ en quelques ps (de 1 projets sont en cours, comme le projet PETawatt Aquitaine (PET AL) [6], qui prévoit de coupler au Joule (LMJ) un laser de puissance capable de délivrer ""' :3 kJ en 500 fs, soit 6 PvV.

au installations ouvrant des perspectives nou-velles aussi bien en physique fondamentale qu'en physique appliquée, il est indis­pensable développer des modèles et numériques pro­cessus mis en jeu. nous intéresserons dans ce travail à la modélisation réduite du transport et du dépôt de particules pour l'allumage rapide.

transport des particules et les processus de dépôt d'énergie sont complexes et une description détaillée à l'aide calculs cinétiques multidimension-nels précis. Cependant, ces codes beaucoup de calcul et ne

mis en oeuvre dans codes hydrodynamiques qui l'allumage et la combustion des matériaux fusibles.

décrivant principaux mécanismes cinétiques du transport, et suffisamment rapides pour être compatibles avec les temps de calculs

hydrodynamique, pourraient donc avoir leur utilité dans la FCI. Nous présentons dans ce manuscrit deux modèles réduits de transport de par­ticules chargées, développés dans le cadre cette thèse et suffisamment rapides pour être intégrés dans des codes hydrodynamiques.

Le premier modèle baptisé 'Trumpet' est une extension en dimensions (2D) du modèle 1D de Petrasso [7, 8]. second modèle ) sur la résolution des deux premiers moments angulaires de fonction de distribution des particules avec une fermeture sur un critère de minimisation de tropie [9]. Tmmpet est un modèle stationnaire rapide, utile pour obtenir dépôt d'énergie global dans un plasma en quelques secondes. modèle A11 est non stationnaire et plus précis Tmmpet. Il modélise non seulement dépôt

mais aussi la du faisceau, les courants et champs électro-magnétiques induits par le de particules. Les simulations Ml demandent

temps calculs. Les modèles Trumpet et Ml au code hydrodynamique CHIC [10] et l'on facile-

ces modèles suivant précision attendu. document se compose deux parties principales. avoir le con-

ainsi que les nous décrirons respectivement modèles

au CHIC [10[. en partie deux applications faites au cours de cette : la simulation d'un diagnostic à protons au cours d'une expérience de compression d'un cylindre par des lasers, et l'étude l'allumage réactions fusion par ions rapides à l'aide d'impulsions laser ultra-intenses.

Chapitre 1

Introduction

1.1 Contexte

Pour que le combustible, à l'état de plasma, puisse produire suffisamment de réactions thermonucléaires, il faut le maintenir dans un volume limité et l'éloigner de toute paroi matérielle afin de maintenir sa température élevée : c'est la notion de confinement. Il a pour but de porter le plasma à une température de 100 millions de degrés pendant un temps déterminé par le critère de fusion thermonucléaire de Lawson. Le critère de Lawson définit les paramètres nécessaires pour brûler une partie importante du combustible. Il impose que la densité initiale N et le temps T pendant lequel les conditions de température sont maintenues soient tels que :

1 NT~ (Jv), (1.1)

avec (Jv) le taux de réaction qui dépend de la température. Pour du DT à la température de 40 keY, le taux de réaction (Jv) atteint son maximum proche de 10-15 cm3 s- 1

. Le critère de Lawson s'écrit donc dans ce cas

(1.2)

Dans le cas du confinement magnétique, dont le projet phare est le Réacteur Expérimental Thermonucléaire International (ITER) [11], le temps de confine­ment de l'énergie est long, de l'ordre de la seconde. La densité minimum pour brûler au moins un tiers du combustible doit être de 1015 noyaux par cm3

. Dans ces installations, le plasma est donc peu dense, très chaud avec des dimensions caractéristiques de l'ordre de quelques mètres. Le champ magnétique est créé par une série d'aimants entourant le plasma et assurant le confinement. Les aimants

14

principaux tout à fait suffisant pour le confinement. Pour minimiser encore les lignes champ doivent être hélicoïdales. est réalisé en ajoutant un autre champ H«<J:;L.nc

poloïdal. Une fois plasma à l'intérieur d'une structure est confiné, il doit Tout d'abord, courant qui circule dans le sert à

champ poloïdal et à chauffer le plasma par l'effet Joule. Ce dernier reste une température l'ordre de 10 millions degrés. delà, la

résistivité du plasma devient trop faible et l'efficacité de cette méthode décroît. Le chauffage injection d'atomes neutres peut alors utilisé pour encore la température du plasma. Ces particules injectées sont ionisées et confinées par le champ Les collisions redistribuent l'énergie et la du plasma autre technique sur l'absorption par plasma de

aux fréquences du milieu, qui par des antennes qui tapissent une partie de de confine-

ment. Grâce à ces méthodes de complémentaires, que réactions de fusion peuvent se

Le confinement inertiel a une approche totalement différente. Il consiste à com-primer une bilie combustible solide composé de deutérium tritium de façon isotrope par pression d'ablation soit par rayonnement laser, soit par rayonnement L'implosion de la cible des conditions température et pression suffisantes pour réactions de fusion se déclenchent. Le temps confinement inertiel est très court, la densité minimum peut devenir énorme. effet, le temps de combustion est de l'ordre Hl ps, ce qui conduit à une densité supérieure à 1026 noyaux cm3

, soit de 1000 la densité du solide. Nous allons présenter ci-dessous différents schémas d'allumage relatif au confinement inertiel.

1.2 Différents schémas d'allumage pour le confine­nlent inertiel

1.2.1 L'allumage par directe ou indirecte

L'allumage par attaque directe

Parmi schémas de fusion inertielle, le plus évident semble celui l'attaque directe. Ce principe fut exposé pour la première fois publiquement en par

physiciens américains du laboratoire de Lawrence Livermore [121. Il consiste à comprimer une bille Deuterium-Tritium (D-T) au moyen de plusieurs UA'''"'"""

lasers, (figure 1. des est en partie absorbée les électrons à la surface

de la coquille, produisant un plasma d'une température de kilo-électrons Volt ( 1 1.160410 7

. La vaporisation de une pression (dite d'ablation) pouvant atteindre centaines de l'vléga-bars. Sous l pression d'ablation, un choc centripète est produit. réglant la forme de l'impulsion laser, on peut optimiser l'implosion de cible. Partant d'une

de quelques centaines k.J, coquille peut se comprime à plusieurs centaines de g/cm 3 (aoo ?: p ?: 1000 g.cm- 3

) et un point chaud central pouvant atteindre une température de 5 à 10 keV. Cette élévation déclenche réactions de fusion. si les conditions densité

assez d'énergie d'autres de proche en Une onde de combustion thermonucléaire se central vers et brûler l'ensemble du combustible.

fusion du point

approche présente un certain nombre particulier, ce schéma est sensible au développement d'instabilités hydrodynamiques. Elles sont même nature l'instabilité dite Rayleigh-Taylor, qui se produit lorsqu'un fluide surmonte un autre fluide plus dans le champ gravitationnel : la moin-dre perturbation renverse le système, le corps le plus dense ayant tendance à se retrouver en bas. Dans l'implosion, l'accélération ou la décélération la co-quilie qui joue le rôle de la gravité. On trouve que instabilités de type Rayleigh-Taylor peuvent naître à partir des initiaux du micro-ballon. Elles conduisent alors à la pollution du mélange chaud du DT fusible par matériau froid de l'ablateur ou à la sphérique et à l'impossibilité de former un point chaud. Or les défauts d'uniformité de l'illumination du micro­ballon par faisceaux laser, au même titre que défauts d'homogénéité dans la

servent à la croissance ces instabilités. On estime que, pour limiter leur développement, la non-uniformité du dépôt d'énergie doit rester in-férieure à 1 En directe, une telle ne qu employant un grand nombre de faisceaux, optiquement, avec un contrôle

précis de l'énergie de chacun d'eux en fonction du temps. Des instabilités paramétriques peuvent aussi réduire l'efficacité de ce schéma.

Elles réduisent l'absorption de la lumière incidente et provoquent un rendement inefficace du chauffage de la cible. Elles se composent essentiellement de la diffusion Raman et Brillouin. La diffusion Raman est une décomposition de l'onde laser en une onde électromagnétique diffusée et une onde plasma électronique. Des électrons peuvent être piégés dans cette onde plasma et accélérés jusqu'au déferlement de celle ci. La diffusion Brillouin est aussi une décomposition de l'onde laser en une onde électromagnétique diffusée et, à la différence de la diffusion Raman, une onde plasma ionique (ou onde acoustique). L'onde diffusée quitte le plasma en diminuant fortement l'absorption.

On limite les effets néfastes des instabilités paramétriques en passant les fais­ceaux de compression à la troisième harmonique (355 nm) et en utilisant le lissage des faisceaux laser avec des intensités inférieures à 2-3 1015 vV.cm- 2

.

Attaque directe Attaque indirecte

Faisceaux laser

a b

FIGURE 1.1- Schéma d'allumage par attaque directe a) et indirecte b).

L'allumage par attaque indirecte

Pour augmenter la pression d'ablation et lisser les in-homogénéités des faisceaux laser, le schéma d'attaque indirecte permet de les transformer en rayonnement X de corps noir. Ce schéma s'inspire du principe à l'oeuvre dans la bombe dite H [13], où l'explosion d'une bombe A déclenche un rayonnement X qui entraîne la réac­tion de fusion. Il consiste à placer la cible de D-T de quelques millimètres dans une cavité d'un matériau de numéro atomique (Z) élevé (en or par exemple), et d'utiliser le rayonnement de cette dernière pour imploser la cible, (figure 1.1-b).

17

intérieures de la y sont absorbés et est en partie sous forme d'un rayonnement X quasi Planckien qui

sera absorbé dans les couches externes de la cible et qui provoquera sa compression. densités du combustible implosion vont de 300 à 1000 g.cm-:3. L'attaque

indirecte une compression plus isotrope et souffre moins des instabilités hydrodynamiques. plus, les instabilités paramétriques de la lumière incidente

les parois sont moins Bien que l'attaque est un procédé plus robuste, une partie importante de du laser est perdue dans la con-

en rayonnement par les parois la Par le rendement cette méthode est assez faible et semble moins intéressant pour la production

1.2.2 L'allumage rapide

Au contraire des deux qui consistent à allumer cible par le point le schéma d'allumage rapide fonctionne création d'un point chaud externe. II a proposé initialement par Tabak et al. en 1994 [14]. Cette technique n'a permise qu'avec la nouvelle génération des laser ultra-intenses pouvant des éclairements relativistes supérieurs à 1018 vV.cm- 2

.

Concrètement, elle consiste à découpler phase d'implosion et la phase d'allumage cible. On distingue trois principales étapes : la compression, le creusement du

canal et l'allumage dernière est divisée en trois phases : la génération des électrons le transport des

dans la matière comprimée et la création d'un point chaud.

La compression

cible est tout d'abord comprimée d'impulsions longues et d'éclairements modérés (::; 1015 .cm-2

), attaque ou indirecte. but n'étant plus l'obtention d'un point chaud central, on peut comprimer la cible avec des d'implosion permettant conserver le D-T sur une isentrope basse, de limiter le développement instabilités hydrodynamiques et d'arriver aux densités élevées l'ordre ;300-.500 g.cm- 3

. figure 1.2-1 illustre la compression cible par laser nanosecondes.

Creusement d'un canal

la conditions sur densité à la corn-il manque le point chaud pour allumer la cible. Il est donc

un surplus afin que réactions thermonucléaires

18

1. Compression

• Faisceaux laser

2. Creusement du tunnel

Cible combustible compressée

3. Ignition via électrons ou ions rapides

Electrons-ions rapides

Impulsion intense n "2

FIGURE 1.2- Schéma de l'allumage rapide par création d'un canal

s'enclenchent. Cet apport va être assuré dans ce schéma par des électrons rela­tivistes qui vont devoir se propager dans le plasma pour déposer leur énergie au coeur de la cible. La génération de ces électrons doit se faire au plus près de la partie dense afin de diminuer la longueur de trajet et donc les pertes d'énergie à cause de la divergence des électrons. Il est donc nécessaire de creuser un canal dans le plasma : c'est la deuxième étape. Soit le plasma ablaté est irradié par une impulsion ultra-intense (> 1018 vV.cm-2

) qui creuse un canal jusqu'à des den­sités de l'ordre de la densité critique (2.29), (figure 1.2-2) soit la cible est pourvue initialement d'un cône en or qui pointe près du centre de la cible. En effet, des expériences réalisées sur le laser G EKK 0 XII [ 15-17], à Osaka en 2001, ont mon­tré que les électrons relativistes créés par une impulsion Peta vVatt à travers un cône en or provoquaient une production de neutron (issus de réactions de fusion) de trois ordres de grandeur supérieure à celle obtenue en compressant une cible sphérique en attaque directe simple. Ces expériences sont reprises actuellement à Rochester [5, 18], et à Osaka [19].

19

La génération (1) , le transport (2) et le dépôt d'énergie des électrons relativistes (3)

canal ou le cône sert de guide à une impulsion ultra-intense (> 1019

\V.cm- 2 - 1 ps) qui transporte à l'allumage. Elle se rapproche

ainsi du coeur comprimé et un d'électrons au bout du canal. Ce laser intense transfère une partie importante de son énergie (ao -à électrons.

(2) Ces électrons rapides vont transporter leur vers le centre cible, (figure 1.2-3).

(3) Si les conditions de densité surfacique et de température sont assez élevées dans le point chaud, déclenche de fusion et provoque une onde combustion thermonucléaire qui se et brûle reste du com-bustible.

découplage du chauffage et compression permet de minimiser quelque peu sur la symétrie l'implosion et sur pour l'allumage. également permise.

plus grande tolérance aux instabilités hydrodynamiques est

L'allumage par ions rapides

II est tout à fait envisageable concevoir le même '"j''~''"'·k

ions rapides 120,21], au lieu d'électrons pour transporter l bustible comprimé. En effet, les ions qui sont plus lourds les plus et plus important du coeur cible. D'autre leur (pic de Bragg)

sont la

améliorer la création du point chaud. Cependant le rapport trans-aux ions est plus faible que celui transféré aux et l'intensité

pour les ions est plus importante (1021- 1022 \V.cm-2

).

dans le chapitre 4 un de rapide avec ions principe du piston laser.

1.2.3 L'allumage par choc

Ce schéma d'allumage récent proposé par Betti et al [22] en 2007, utilise un choc fort pour augmenter la température du point chaud et enflammer le combustible. L'allumage par choc consiste tout d'abord à compresser de D-T par l'attaque directe ou indirecte. choc fort sphérique

avant la par une brutale augmentation de laser de compression ou avec un autre de forte intensité. Ce choc vient entrer en collision avec choc divergent, issu de la réflexion du choc principal créé par

20

laser de compression. pression du point chaud alors brutalement et permet l'allumage. Par rapport à l'allumage rapide, l'allumage par choc requiert une puissance d'allumage de 200-300 TW beaucoup moins importante et réalisable avec les lasers comme NIF et Ll'vlJ disponibles nos jours ou dans un proche. projet Power laser [23, qui doit démontrer faisabilité d'un réacteur de Fusion par Confinement Inertiel, a retenu l'allumage par choc et l'allumage rapide comme solutions possibles.

Cl1apitre 2

Génératio11 et transport des particules rapides

Après l'introduction de certaines grandeurs caractéristiques nécessaires à la description du transport des rapides un plasma et différents procédés de génération particules nous nous attacherons à la de-scription prédominants et collisionnels.

phénomènes collisionnels sont des collisions avec les particules du plasma. collisions provoquent un une diffusion entre incidente et la particule cible du plasma. phénomènes collectifs sont d'origines électromagnétiques. L'un phénomènes collectifs rencontrés est la création d'un courant d'électrons du plasma dit le courant retour. Ces électrons sont par le champ électrique créé par courant électrons rapides incidents. Ils assurent la quasi neutralité du plasma et induisent un chauffage. Ces courants ainsi les gradients resis-

électrique au chauffage, induisent également champs magnétiques importants qui collimater ou faire le d'électrons rapides.

2.1 Grandeurs caractéristiques des plasn1as

2.1.1 Quelques constantes plasma

plasma un état constitué particules (ions et électrons). les grandeurs ce mémoire vont exprimé en unités CGS : (Centimètre, Gramme, Seconde).

La masse proton (mp = 1.6726 10-24g) étant 18~37 fois l'électron (me = 9.1094x 10-28g), les comportements de ces deux constituants du plasma sont

22

très différents. On peut, dans une approche similaire à celle de l'étude d'un gaz, considérer que le plasma est constitué de deux fluides parfaits, composés d'élec­trons et d'ions, caractérisés par des grandeurs macroscopiques comme la densité, la vitesse moyenne, la température et la pression.

Dans un modèle fluide, on définit dans un plasma : - la densité électronique ne(resp ionique ni) (en cm-3

), la vitesse moyenne v'; (resp v:i) (en cm.s- 1

) et la température Te(resp Ti) (en K). - la densité n0 , la vitesse u'b, et la température T0 des particules neutres (pour

un plasma non totalement ionisé) La densité ionique s'exprime en fonction du nombre d'Avogadro Na, de la masse ionique A (en unité de masse de protons) et de la densité massique p :

(2.1)

avec p = L njmj la masse volumique . j=e,i

Distance moyenne ionique (électronique) et longueur de Landau

Si l'on suppose que les électrons (resp ions) sont répartis dans le plasma de façon homogène, on peut définir la distance moyenne entre les électrons (resp ions) par:

d - 1/3 d - 1/3 e - ne et i - ni 0 (2.2)

La longueur de Landau ÀL est la distance minimale d'approche de deux élec­trons. Elle correspond à la distance à laquelle l'énergie cinétique moyenne d'un électron est égale à l'énergie potentielle d'interaction de deux particules :

1 e2

2mev; = kBTe = ÀL, (2.3)

où Ve est la vitesse la plus probable d'un électron correspondant à l'énergie moyenne d'agitation thermique kBTe avec kB = 1.3807 x 10- 16 erg/deg(K), la constante de Boltzmann. L'énergie potentielle d'interaction est définie par e2

/ ÀL avec e =

4.8032 x 10-10 (statcoul). On définit donc la longueur de Landau par :

(2.4)

Dans un plasma faiblement collisionnel, la longueur de Landau est très inférieur à la distance moyenne des particules.

23

Longueur et sphère de Debye

La longueur de Debye ÀD [25] est définie comme une distance où le potentiel coulombien d'une particule est fortement écranté par ses voisines. Au delà de cette longueur, les particules sont complètement indépendantes.

(2.5)

(2.6)

La sphère de rayon ÀD autour d'un ion s'appelle la sphère de Debye. La notion d'écran de Debye n'a de sens que si le nombre d'électrons ND dans la sphère de De bye est grand :

(2.7)

C'est le cas d'un plasma idéal où ÀD »de » ÀL

Fréquence plasma électronique,

Les électrons d'un plasma au repos et soumis à une perturbation électrique vont tendre vers leur position d'équilibre en oscillant à la fréquence plasma électronique:

(2.8)

Son inverse, correspond au temps caractéristique de réponse des électrons à la perturbation extérieure. Il y a une relation simple entre les trois paramètres électroniques dans un plasma maxwellien : le produit de la longueur de Debye (2.6) par la fréquence plasma (2.9) correspond à la vitesse thermique électronique Vre :

(2.9)

24

Longueur de De Broglie, et l'énergie de Fermi

La longueur de De Broglie Àth [26] est la longueur en dessous de laquelle des phénomènes de diffraction quantiques apparaissent.

- li Àth = -,

JLU (2.10)

avec u = 17i a - 1f 131 la vitesse relative des particules a et f3 considérées et JL =

mamf3/(ma + m13) la masse équivalente. L'énergie de Fermi EF [27] est l'énergie en dessous de laquelle sont groupés

tous les états électroniques quand la température électronique tend vers 0 .

ou (2.11)

avec TF la température de Fermi. On prend en compte cette température dans le cas d'électrons dits dégénérés caractérisés par une longueur de De Broglie propre au plasma très supérieure à la distance moyenne des électrons : Àth » de.

2.1.2 Section efficace et logarithme Coulombien

Section efficace différentielle

La section efficace différentielle dJ ou ~~ d Ô représente la probabilité qu'un

faisceau de projectiles présentant une surface de 1 cm2 réagisse avec la cible et soit envoyé dans l'angle solide 0 (donc dans une direction donnée) à dO près. On peut relier la section efficace au paramètre d'impact b :

bdbdrp = ~~sin ededrp ou b db

(2.12) sine de'

avec e l'angle de déviation. Dans le cas d'une interaction coulombienne en régime classique en régime non relativiste, Rutherford a déterminé une formulation de la section efficace [28] :

dJ (ZaZf3e2

)2

1 dO = 2jLu2 sin4 e /2'

(2.13)

avec Za (resp Z13 ) le numéro atomique de la particule a (resp /3), JL = mam13 j(ma+ m 13 ) la masse équivalente et u = 17i a - 1f 13 1 la vitesse relative.

25

En mécanique quantique, les particules incidentes sont considérées comme des ondes planes. Cependant, la formule de Rutherford fonctionne bien même en mé­canique quantique et en régime relativiste [29] :

(2.14)

avec p = 1 p 1 = 1 fL 1t 1 la quantité de mouvement (ou impulsion). Cette section efficace décrit les collisions élastiques pour un angle de déviation

e donné. Elles sont dues aux champs électrostatiques générés par les particules cibles et incidentes. Ces collisions élastiques sont caractérisées par la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie. C'est à dire que si on considère deux particules (a, p) avec (pa, p 13 ) et (p~, p~) leurs quantités de mouvement avant collision et après collision, la condition suivante est respectée : p = pa + p f3 =

p~ + p~ = p' 0

Ce type d'interaction contribue au ralentissement et à la diffusion angulaire des particules concernées dans la collision. Cependant, quand une particule incidente très légère (un électron) collisionne avec une particule très lourde (un ion), le ralentissement de celle-ci va être négligeable par rapport à la diffusion angulaire. Inversement, un ion qui collisionne avec un électron, va dévier très peu de sa trajectoire initiale mais va se ralentir progressivement.

Les collisions qui ne conservent pas la quantité de mouvement sont appelées collisions inélastiques. Elles existent notamment lorsqu'il y a changement d'état des particules après la collision. L'ionisation des atomes est un exemple de collision inélastique. En effet, quand un électron collisionne avec un atome, ce dernier peut s'ioniser et perdre un ou plusieurs électrons. Ce processus nécessite de l'énergie. Par contre, la quantité de mouvement est toujours conservée même dans la collision inélastique.

Section efficace de transfert de quantité de mouvement

La section efficace de transfert de quantité de mouvement est utile pour décrire la diffusion angulaire due aux collisions élastiques. Elle se calcule par le moment angulaire à l'ordre 1 de la section efficace différentielle :

(2.15)

Si on prend pour section efficace celle de Rutherford (2.14) on obtient :

26

11r 1

0"1 = (1 -cos e) . 4 1 27r sin ede= 47rb~ [ln(sin e /2)]~' 0 sm e 2

(2.16)

Z Z e2

avec b0 = a f3 le paramètre d'impact correspondant à une défiection angulaire pu

Logarithmes Coulombiens

La section efficace de transfert de quantité de mouvement (2.16) diverge pour les petits angles, e rv O. Cette divergence provient du fait que pour une partic­ule cible seule, la force coulombienne est de très longue portée. Le phénomène d'écrantage résout cette divergence.

Les particules dans un plasma font partie d'un grand nombre de particules qui elles aussi génèrent leur propre champ électrostatique. Ces champs électrostatiques peuvent s'opposer de tel sorte qu'à partir d'une certaine distance, le champ d'une particule est complètement annihilé par celui des particules environnantes. On définit ainsi une sphère autour d'une particule, qui définit la distance au delà de laquelle le champ électrostatique de cette dernière située au centre de la sphère est négligeable. Cette sphère porte le nom de sphère de Debye et possède un rayon ÀD

(2.6), la longueur de Debye.

FIGURE 2.1 -Schéma de la section efficace totale et de la section efficace différen­tielle en angle.

Dans un plasma, le potentiel coulombien est donc écranté à la longueur de Debye, et lors d'une collision coulombienne, on définit un paramètre d'impact

27

maximum par bmax = ÀD, (figure 2.1). On corrige ainsi la divergence de 0"1 pour les petits angles en définissant un angle minimum emin qui s'exprime en fonction du ratio entre le paramètre d'impact critique ba et le paramètre d'impact maximum bmax = ÀD [30] :

0 emin ba sm--~-.

2 ÀD (2.17)

La section efficace de transfert de quantité de mouvement peut donc s'écrire

0"1 = 47rb~ ln A,

et on définit ainsi le logarithme coulombien :

ÀD ln A= ln z;·

(2.18)

(2.19)

Pour tenir compte des effets quantiques, il est nécessaire [7, 8, 31] de prendre en compte la correction aux petits paramètres d'impact si le paramètre d'impact critique est inférieur à la longueur de De Broglie (2.10). Nous obtenons l'expres­

À sion générale : ln A = [ D ]. Si la densité du plasma est forte, le plasma

max ba, Àth devient non-idéal et il est nécessaire de minorer la longueur de Debye classique ÀD par le rayon inter-atomique ri= (3/47rni) 113 afin de tenir compte des effets de corrélation ionique à basse température et à densité élevée [32]. Enfin, pour des électrons incidents de très faible énergie, les phénomènes quantiques dans les colli­sions peuvent être assez importants pour que le logarithme Coulombien devienne négatif. Dans ce cas, on minore le logarithme Coulombien à une valeur fixée pour assurer sa positivité :

l A _ (l max [ÀD, ri] ) n -max n ,2 . max [ba, Àth]

(2.20)

2.1.3 La conductivité électrique

Pour étudier le phénomène collectif lié au courant de retour, il est nécessaire de -+ connaître la conductivité électrique. La loi d'Ohm relie le courant de retour ( j t)

au champ électrique (Ê) :

---:+ Ê )t = O"E , (2.21)

28

où JE est la conductivité électrique du milieu. D'après le modèle de Spitzer et de Braginskii (description purement classique

du mouvement des électrons) [33, 34], la conductivité électrique dans le plasma sans champ magnétique et électrique quasi statique peut s'écrire en fonction de la fréquence de collisions des électrons ve et la charge des ions :

2 ne 32 0.87 + Z JE=e ---

meve 37r 2.2 + Z (2.22)

Pour les plasmas chauds, de température très supérieure à la température de Fermi (2.11), la fréquence de collisions électronique s'écrit suivant la formulation de Spitzer Vsp [34] :

(2.23)

Quand la température diminue (5 ou 10 fois la température de Fermi (2.11)), le libre parcours moyen devient formellement inférieur à la distance moyenne entre deux ions d = ni13 , ce qui n'est pas correct. Une approche simplifiée de correction consiste à ramener le parcours minimal à la distance moyenne entre les particules. On maximise par une fréquence de collisions Vc telle que Ve = min(vc = Ve/d, Vsp)·

L'expression complète de la fréquence de coupure est une moyenne harmonique entre la vitesse thermique et vrp = JkbTtfme la vitesse correspondante à la température de Fermi, divisée par la distance moyenne ionique entre les particules [35,40]:

(v~P + kBTe/me) 112

1/3 ni

avec vrp = JkbTtfme la vitesse correspondante à la température de Fermi.

(2.24)

Dans la limite des solides à froid quand la température est égale ou inférieure à la température de Fermi, les électrons sont partiellement dégénérés. Les élec­trons sont diffusés à la fois par les phonons, correspondant au réseau, et les autres électrons. La fréquence de collisions entre électrons et phonons ve-ph s'écrit [36] :

(2.25)

avec ks une valeur à ajuster suivant le matériau. Par exemple k~1 = 1.8 pour l'aluminium et k~u = 0.4 pour le cuivre [37, 40]. Dans les métaux, en raison du principe d'exclusion de Pauli, les électrons concernés par la transition sont ceux

29

voisins de la surface de Fermi. Nous nous contentons d'une estimation quantitative simple de la fréquence de collision électrons-électrons en partant du fait que Ve-e

est proportionnelle à r; [38]. La fréquence de collisions Ve-e s'écrit [39] :

(2.26)

avec Av une valeur à ajuster suivant le matériau. Par exemple, A~1 = 1 pour l'aluminium et A~u = 10 pour le cuivre [37]. La fréquence de collisions générale s'écrit comme la moyenne harmonique de tous ces types de collisions [40] :

...... 1

0.01

-2 ( + )-2 + -2 + -2 Ve = Ve-e Ve-ph Vc V 8P .

v e-ph

_ v e-e _ v e-c

v . spitzer

- v 1 tot a

1 Te (eV)

(2.27)

le+17

le+16

FIGURE 2.2- Fréquences de collisions électron-phonon ve-ph (en noir), électron­électron Ve-e (en rouge), de coupure Vc (en vert), de Spitzer Vsp (en bleu) et la fréquence totale Ve (en orange) en fonction de la température électronique.

La figure 2.2 représente en échelle logarithmique dans le cas de l'aluminium les différentes contributions à la fréquences de collisions : électron-phonon ve-ph (en

30

noir), électron-électron Ve-e (en rouge), de coupure Vc (en vert), de Spitzer Vsp (en bleu) avec la fréquence totale Ve (en orange). On retrouve la prédominance de la fréquence des collisions électron-phonon pour des températures inférieures à 1 eV ("' 0.1Tp) puis de 1 eV à 10 eV("' Tp), on observe une forte hausse de la fréquence de collisions entre électrons dans une même bande d'énergie. Entre 10 eV et 100 eV, cette fréquence est limitée par la fréquence de coupure à quelques 1016 s- 1

.

C'est à partir de 100 eV que la fréquence de collisions classique de Spitzer devient prédominante.

La conductivité électrique JE (2.3) peut maintenant être calculée avec l'ex­pression de la fréquence de collisions totale ve (2.27). La figure 2.22 représente la conductivité électrique en fonction de la température électronique dans de l'alu­minium à différentes densités (p = 0.1, 2.5 et 5 g.cm- 3

) et pour une température ionique de "' 300 K.

....... 1

,-----,-----.-rT-rrcrr---------,-----,--i - crE p = 0. 1 g/ cc fn----------, 1 e+o9 - crE p = 5 g/cc - crE p = 2.7 g/cc

1e+08

1e+07

1e+06

0.01 1 100 1oobo+05

Te (eV)

FIGURE 2.3 - Conductivité électrique JE en fonction de la température électron­ique dans de l'aluminium à différentes densités (p = 0.1, 2.5 et 5 g.cm- 3

).

La conductivité électrique varie inversement avec la fréquence de collisions, et donc, on retrouve le même comportement inversé à différentes températures. Grâce à la conductivité électrique, nous pouvons calculer le champ électrique Ê

31

en connaissant le courant :

--:-t -:+ -::::tE, }inc rv -}t- -O"E 1

•

Ce champ courants.

pour rétablir la neutralité du plasma en assurant

32

(2.28)

2.2 Génération d'électrons rapides

2.2.1 Régimes de l'interaction des impulsions lasers intenses avec la matière

Afin de bien comprendre les mécanismes de génération et de transport des électrons, nous présenterons ici les différents régimes de l'interaction des lasers avec la matière.

Régime nanoseconde

Quand un faisceau laser nanoseconde de grande intensité irradie une cible solide, la matière est ionisée très rapidement. L'énergie du laser est absorbée par le processus de Bremsstrahlung inverse. Les électrons oscillent très rapidement dans le champ laser, collisionnent avec les ions, et au cours des collisions absorbent des photons laser, (figure 2.4). Le taux d'absorption est proportionnel à la fréquence de collisions électron-ion vei (2.23) et la longueur de plasma [41, 42].

Photon

-~ .... .... • ' ' Ion ' \ ~

Electron

FIGURE 2.4- Schéma d'une absorption collisionnelle

Pour des intensités supérieures à 1015 vV.cm-2, l'augmentation de la tempéra­

ture diminue fortement la fréquence de collisions Vei et les processus d'absorption collisionnelles sont remplacés graduellement par d'autres mécanismes d'absorption non collisionnels.

Pour des intensités pas trop élevées, le faisceau laser de longueur d'onde À ne peut pénétrer au delà d' une certaine densité critique en cm-3

:

(2.29)

avec À la longueur d'onde du laser en microns. Après quelques centaines de pi­cosecondes, on distingue les zones suivantes :

33

T, P

Cible

non

perturbée

Front d'ablation

Température ~~-- ----------------------------

' ' ' ' '

' ' '

,,,''

'

' . ' .

Région de conduction

Couronne

~LASER

Densité

~----------~--------~------------------x

ns ne

FIGURE 2.5- Schéma d' une interaction laser nanoseconde- plasma

- La couronne, avec une densité plus faible que la densité critique ne et une température élevée : c'est une zone où l'énergie du laser est absorbée. La température électronique est de l'ordre du keY pour des intensités laser de quelques 1014 - 1015 vV.cm-2 .

- La région de conduction, dont la densité se situe entre la densité critique et le front d'ablation, qui est la région où l'énergie du laser absorbée dans la couronne est transportée par conduction thermique, ou radiative vers l'in­térieur de la cible. La température varie fortement entre 1 eV dans le front d'ablation et 1 keY dans la couronne. Le transport d'énergie dans cette zone est effectué par les électrons ayant une énergie 3-5 fois plus grande que l'én­ergie thermique. Du fait que leur parcours moyen est assez important, des effets non-locaux entrent en jeu.

- La région sous choc est en amont de la zone de conduction. La densité s'élève 3-4 fois au delà de la densité du solide et la température, de l'ordre de l'eV, dépend de la pression exercée.

Régime picoseconde

Dans le contexte de la fusion inertielle, les impulsions laser picoseconde d'in­tensité relativiste sont utilisées pour générer des particules très énergétiques afin d'amorcer les réactions thermonucléaires.

Les intensités très élevées (1018- 1020 vV.cm-2

) et les impulsions très courtes

34

de ces lasers le du plasma par rapport au nanosec-onde. En effet, l'interaction de ces avec plasma génère électrons de très haute de cent à mille fois supérieur à la des électrons qui transportent absorbée en profondeur dans plasma. L'efficacité de cette accélération peut à des dizaines de pour-cent. Il plusieurs laser d'accélération de particules que nous allons décrire ci-dessous.

2.2.2 Absorption résonnante

n <ne case

laser

par effet tune!

Déferlement d'électron

FIGURE 2.6 Schéma d'une absorption

L'absorption résonnante est le premier processus d'absorption non collisionnel identifié [4~)]. Il suppose une onde de polarisation p et un plasma inhomogène avec un gradient de densité faible: Ln/ À > 10, avec Ln la du gradient de

L'onde d'angle d'incidence e, se propage jusqu'à la densité de plasma ne nccos(e) où ne est la densité critique (2.29), et se réfléchit. Le champ trique peut jusqu'à ne- Tic par effet tunnel où sa composante électrique Ez normale à la cible une onde plasma longitudinale. La croissance l'onde plasma est limité par la convection thermique mais surtout par le déferlement d'électrons résonnants. Ce déferlement est produit la

d'osciUation des électrons dans l'onde plasma est proche de la

phase de l'onde . Les trajectoires des électrons perdent leur périodicité et une fraction d'entre eux à

2.2.3 Chauffage par effet Brunei (ou chauffage d'écrantage)

effet Brunei fonctionne comme l'absorption résonnante par incidence oblique en polarisation p mais avec un fort gradient de densité. Quand le champ pénètre plasma sur une petite distance longueur peau, les électrons la surface de plasma sont éjectés dans le vide par le champ laser longitudinal Ez puis réinjectés la période laser dans la cible par le champ électrostatique de rappel. Le champ électrique disparaissant avec

de il a plus rappel pour les qui se propagent à cible. Pour une longueur de gradient Lgrad/ À < 0.1 et des intensités 1 ?: 1017 \V , il a montré [461 le chauffage

plus efficace que l'absorption résonnante. des électrons du pondéromoteur E c """

électrique du laser.

2.2.4 Chauffage pondéromoteur (ou .J x

c:et est issu force de Lorentz 11 x B qui est négligeable pour éclairements à basse intensité I « 1018 vV.cm-2

. Lors d'une interaction à champ fort relativiste à I > 1018 vV.cm- 2

, électrons subissent une force pression 481 proportionnelle à l'intensité laser. Cette force a tendance à pousser les électrons hors regwns champ fort. Elle a deux composantes, une quasi­stationnaire et l'autre variant au double de la fréquence laser. La composante la force de Lorentz à double fréquence laser sur les électrons de la même façon que champ électrostatique dans Brunei et elle les électrons de la surface à l'intérieur de la cible à une fréquence fois plus rapide que la fréquence laser. énergies de ces électrons rapides sont aussi de l'ordre du potentiel pondéromoteur.

La valeur moyenne cette force est appelée force pondéromotrice. Dans du d rapide, la force pondéromotrice du qui

repousse les particules et creuse un canal dans le plasma sous dense afin de laisser le à un laser encore plus intense qui sert à la génération particules rapides. Un de piston qui creuse un canai dans du plasma sur-critique est détaillé dans 4.

36

2.2.5 Accélération

Avant d'accéder à la critique, l'impulsion se propage dans plasma sous critique. Des instabilités paramétriques résultant du couplage du avec des électrostatiques du plasma ou ondes électromagnétiques dif-fusées avoir lieu. instabilités mener à l'accélération d'élec-trons.

Le mécanisme le plus d'accélération est la diffusion Raman stimulée, où le battement de l'onde laser avec l'onde diffusée amplifie une onde plasma électronique longitudinale. électrons qui ont une la phase de l'onde plasma sont piégés par cette onde. L'énergie des électrons

jusqu'à centaine de keY autre mécanisme en jeu est l'accélération des électrons dans l'onde plasma

dans le sillage de courte et intense. la même manière dans le cas de diffusion stimulée, dans cette onde peuvent

à des allant jusqu'à

La combinaison ces différents mécanismes produit un spectre rapides large habituellement caractérisé une distribution

type Maxwellien avec une température Thot et une densité nfwt· Pour notre modélisation du transport, nous ne précisons pas la forme la fonction dis-tribution mais nous supposons sont générés sur un des cotés du domaine calcul.

37

2.3 Les phénornènes eollisionnels du transport de particule

2.3.1 Description cinétique

Fonction de distribution et équation de Boltzmann

description complète d'un peut être faite en repartant de fonction de distribution microscopique frnicra(t, -:f, p) qui représente la densité de probabilité

l'espace des particules. fonction distribution permet déterminer le nombre de particules dans un volume d'impulsion et d'espace donné.

le volume dr 3 x dp3 on trouve :

dN = frnù:ro(t, 7, p)dr3 X dp:3 particules. (') 'jO) ....... d

Cette fonction tions et les

distribution microscopique a une expression si les posi-des particules sont connues. La fonction est le produit

correspondant aux coordonnées de chaque particule :

(2.31) ·i=l

fonction de en dimensions. L'évolution due aux mouvements de toutes les

dérivée temporelle de la fonction de distribution frnicro

(2.32)

où at est dérivée temporelle et dt la dérivée temporelle totale. développant les termes de de l'équation (2.;~2), on retrouve l tique Klimontovich pour la fonction distribution microscopique :

(2.3~))

avec ~ = a 1 a? le spatial, art = a 1 art la partie lie par rapport ' l'·" l .. · ( D ( 1 --,-+ --:;7 ) ) d --,-+ 1 !.' . . 1" ' ' . . . 1 . . a llllpU SIOn et rrnicro t, Ti, U i i = t pi a iOrCe app 1quee a partlCU e Z qm peut être d'origine microscopique.

38

définition de la fonction de distribution microscopique est formelle et dif­ficilement exploitable. L'objectif est de passer d'une description des particules discrètes à une description continue. Pour ce faire, on moyenne la fonction de distribution microscopique sur un volume spatial Fa :

(2.34)

volume Va doit être suffisamment grand par au moyen de chaque particule, Va » F / N, et suffisamment petit rapport au total Fa « F.

pratique, le Va est défini de résolution des outils de mesure expérimentaux ou des simulations numériques. En moyennant l cinétique de Klirnontovich par le volume spatial t~, on obtient :

-;t terme ( F f micro) linéaire et ne se moyenne facilement.

Pour développer ce terme on faire l'hypothèse supplémentaire des faibles. à dire qu'on que la entre des particules est

et donc les perturbations induites par collisions . . (---# autres sont d'ordre inférieur. Les

fmicro) peuvent donc se présenter comme une et une fluctuation :

Pnâcro p f

JP 6f.

miCrOSCOpiques r micro et moyenne correspondante

'

Il est alors possible développer le dernier terme l'équation (2.35) en Taylor. Comme le plasma est constitué de deux types particules, les élee-

trons et les ions, on va comportement de l'une ordre du développement de Taylor, on

avec

distribution fo ou ions). s'arrêtant au premier l de

(2.36)

Pn = qn(Ê + 1J.B), (') 'j'""') ....... dl

la force de Lorentz qui in dut les champs électriques et magnétiques auto-consistants (Ê et B), q est la particule a. L'équation Vlasov décrit l'évolu-tion la fonction distribution aux grandes échelles, et s'applique aux plasmas

39

peu denses où peuvent être négligées les collisions. Si l'on veut rajouter les col­lisions, il faut garder les termes jusqu'au deuxième ordre de l'équation (2.35) et trouver un nouveau terme à droite L;3 Ca,J3, c'est l'intégrale de collisions.

otf + 11.~ 1 + F.Ozj 1 = L Ca,j)· (2.38) j3

Cette intégrale de collisions peut être calculée de façon plus générale sans faire l'hypothèse des corrélations faibles. En effet, les collisions changent le nombre de particules dans le volume de phase élémentaire dN = 1 microdr3 x dp3

, et elles ap­paraissent dans l'équation cinétique microscopique de Klimontovich (2.33) comme termes sources. Pour des particules chargées d'espèce a, la force dans l'équation (2.33) est la force de Lorentz (2.37). Quand on se limite aux collisions binaires, on peut toujours les présenter comme une somme de collisions entre des particules de deux espèces différentes a et j3 ou de même espèce a et a. Par conséquent, l'équa­tion cinétique prend la forme (2.38). En faisant un bilan de particule qui rentre et qui sorte d'un volume élémentaire dr3 x dp3 tout en conservant l'énergie et l'im­pulsion des particules avant et après collision, Ludwig Boltzmann a développé une expression de l'intégrale de collisions Ca,J3 sans faire l'hypothèse des corrélations faibles :

otf + 11.~ 1 + F.Ozj 1 = L Ca,j) j3 (2.39)

avec Ca,j) = J d11)3 J dO"a,;3(111a -11;31) [1a(11~)1;3(11;3)- 1a(11a)1;3(11~)],

où dO" a,J3 la section efficace différentielle de collision. Dans un plasma, on peut utiliser la section efficace de Rutherford (2.14) définie précédemment.

Intégrale de diffusion

Dans le cas des collisions entre particules a légères (électrons) et j3 lour­des (ions) l'intégrale de collisions peut être fortement simplifiée dans la limite ma/mi3 ----+ O. La particule a conserve alors son énergie dans la collision. Dans ce cas, on peut approcher 1!3 par une fonction de Dirac 1!3 = n;36(11 ;3) et on obtient l'intégrale de diffusion à partir de l'équation cinétique (2.39) :

n;3 J Ua(11~)- 1a(11 a))dO"aj)Va

nj)Va J d:;: Ua(11~)- 1a(11 a))dO

40

(2.40)

avec n13 la densité des ions du plasma et ~~ la section efficace différentielle de

collisions électron-ion de Rutherford (2.14). A partir de cette équation, on peut calculer un angle moyen de diffusion, comme cela sera détaillé dans le chapitre 3.

Equation de Fokker Planck

Pour étudier la diffusion des particules sans négliger leur ralentissement, il est souhaitable de simplifier l'équation de Boltzmann (2.39). Une hypothèse souvent utilisée est de considérer l'interaction coulombienne comme une succession de col­lisions aux petits angles. C'est justifié par le fait que les collisions avec des grands paramètres d'impacts b ~ ÀD ont la contribution la plus importante. L'équation de Fokker Planck développée ci-dessous décrit l'évolution de la fonction de distri­bution de particules ne subissant que des collisions à petits angles.

Soit f(t, p) la fonction de distribution des particules en impulsion au temps t, et on admet que cette fonction de distribution est le résultat de l'évolution de la fonction de distribution au temps t- tlt. Pendant tlt, les impulsions des particules ont été changées de p- tl p à p. Posons P(p- tl p, tl p, tlt) la probabilité de changement d'impulsion à tl p pendant la durée tlt. On peut écrire de façon générale que

f(rT, t, p) + 11.\l f =

J dtl p f(rT, t- tlt, p- tl p)P(rT, p- tl p, tl p, tlt), (2.41)

où P = P(rT, p, tl p, tlt) tel que J dtl pP= 1. Le changement de vitesse dû

aux collisions étant faible, la fonction de distribution peut alors être développée en série de Taylor :

(2.42)

(2.43) i,j

----7 <tlp> t+ 1<tlp®tlp> avec A = tl et D = - tl . Les moyennes sont définies

t 2 t "

comme< tlp >= J dtlpPtlp et< tlp ®tlp >= J dtlpPtlp ®tl p. La

41

formule (2.43) est facilement généralisée en supposant que les collisions sont bi­naires :

8tfa + 11.Vf = LCaJ) =- LL8Pi(Aa!3ifa) + L8Pi8P1 (Da)3ijfa)· (2.44) j3 j3 iJ

où la somme est faite sur les espèces j3.

Intégrale de Landau

L'intégrale de collisions de Fokker Planck appliquée aux collisions coulombi­ennes porte le nom de Lev Landau. Le changement d'impulsion après la collision des deux particules chargées a j3 d'impulsion pa , p ;3 et de masse ma m;3 est ~ p = p~- pa = p ;3-p~ selon la loi de conservation de quantité de mouvement dans une collision élastique.

Pour effectuer le calcul, on se place dans le repère du centre de masse, ie les vitesses s'exprimeront avec un *· Le repère du centre de masse se déplace à la vitesse moyenne V= (pa+ p ;3)/(ma + m;3). Dans ce repère, les deux particules

se déplacent avec la vitesse 11~, 11~ et 11~ = 11 a - V 11~ = 11 ;3 - V. On note ma!3 = mam;3/(ma + m;3) la masse effective, 11 = 11~ - 11~ = 11 a - 11 ;3 la vitesse relative et p = ma!311 . Dans ce repère, la quantité de mouvement des deux particules avant la collision est p~ = p et p~ = -p. Après la collision, le module des impulsions reste le même mais il se tourne d'un angle de diffusion e comme il est montré sur la figure 2. 7 : p~ = rl p, p~ = - rl p, .

Si rl 11 = 11/ u et rl 1_ la direction transverse à la direction de propagation des deux particules dans le plan formé par 11 a, 11 ;3, la dérivé de l'impulsion s'écrit :

~ P = ~Pli rl11 + ~p1_ rl _l (2.45)

La figure 2.7 représente le schéma d'une collision de particules dans le repère du centre de masse. Comme nous avons considéré les collisions binaires à petit angle de diffusion, on a à l'ordre 2 :

(2.46)

Maintenant, nous allons exprimer la moyenne de la dérivée de l'impulsion

< ~ p >= J d~ pP~ p à l'aide de la section efficace et de la fonction de distri­

bution des particules cibles fi3 :

42

p

()

FIGURE 2. 7 - Diagramme de diffusion de particules dans le repère du centre de masse.

J r1f r1f d < ~ P >= dp f3ff3u~t la la d~ sin ()d()di.p~ p.

D'après (2.46),on trouve :

< ~ P >= - j dp f3f13pu rl11~t21r 11f ~~sin ()(1 -cos ())de.

Si on introduit la section efficace de transfert de quantité de mouvement :

0"1 = k113 = 21r 11f ~~ sin()(1- cos())d(), on obtient pour A l'expression:

(2.47)

(2.48)

(2.49)

Le coefficient de diffusion D se calcule de manière similaire en se limitant au premier ordre :

r1f ---:+ ---:+ Le tenseur la di.p(fip ® fi.p) peut s'écrire en coordonnées cartésiennes comme:

( 1 0 0) T = u 2 0 1 0 . Ce tenseur est généralisable pour tout système de coordon-0 0 0

nées et a pour expression :

(2.51)

43

+----+ On en déduit une expression du tenseur D :

(2.52)

De plus, si on calcule la divergence du tenseur D l'intégrale de collisions peut se simplifier. En effet :

8 '""'-D ~j;:) 2] Upj

On peut montrer que :

----+ Or cette expression peut être simplifié avec le vecteur A, car on sait que J dp f3ff3pk 1f3Ui =-A. Donc l'intégrale de collisions Caf3 s'écrit :

Cette intégrale de collisions est appelé intégrale de Landau.

Approximation aux grandes vitesses

(2.53)

(2.54)

(2.55)

L'intégrale de collisions de Landau malgré sa forme simplifiée reste toujours un peu délicate à utiliser. Pour simplifier cette intégrale, nous allons considérer les collisions des particules incidentes a avec les électrons et les ions du plasma. L'intégrale de collisions s'écrit donc :

c = L Caf3 = L c!}f3 + c:;f3. (2.56) f3=e,i f3=e,i

Avec Caf3 décomposé en la somme de deux intégrales Cf}13 et Cf:13 • La première Cf}13 définit la diffusion angulaire alors que Cf:13 représente le ralentissement. Elles sont définies telle que :

44

(2.57)

Calcul de C{;f3 : Nous supposons que la vitesse initiale des particules incidentes est très supérieurs à celle des particules cibles : Va > > Vf3 donc u = Va. Soit :

(2.58)

Et en coordonnées sphériques, ( 5ij - Vai~o:j) = T ij possède seulement deux va

composantes sphériques non nul : T BB et T cpcp· L'intégrale C{;f3 se calcule alors en coordonnées sphériques comme :

(2.59)

avec l'opérateur de diffusion: L = -.-1- ~(sine~)+~ :

2

2.

sm e ue ue sm e urp

Calcul de Cf:f3 : L'intégrale de ralentissement s'écrit :

(2.60)

----+ Pour le calculer, nous définissons le vecteur S tel que :

(2.61)

La composante radiale dans le repère du centre de masse s'écrit :

(2.62)

45

On assume que la vitesse de la particule rapide incidente Va est très grande devant celle de la particule cible v13 donc on peut considérer que nous sommes dans le repère de vitesse de la particule rapide incidente. C'est à dire qu'en coordonnée sphérique, 1f a = Var ft r et VaB = Vwp = O. De plus, nous allons négliger les termes d'ordre 2 de la vitesse de la particule cible v13 . On peut alors simplifier la composante radiale comme :

- ( (v; - 21J a·1) f3 +y~) - ( v;r - 2VarVf3r + yK.) )8P~rff3 -(VarV[3()- ~)OP~eff3 -(VarVf3'P- ~)Op~'Pff3,

Soit

Sr= -var(Vf3()0p~eff3 + Vf3cp0p~'Pff3)·

En intégrant Sr sur les impulsions p 13 , on trouve

J dp f3Sr = 2 Var nf3. mf3

(2.63)

(2.64)

(2.65)

La composante transverse du vecteur S se calcule de manière équivalente et en développant au premier ordre en v13 , on obtient :

(2.66)

Or, si on l'intègre suivant l'espace des phases, on trouve que la composante angu­laire en e s'annule :

(2.67)

De même on pourrait démontrer que J dp 13 S'P =O. On en déduit en coordonnées

sphériques que l'intégrale de frottement s'écrit :

(2.68)

46

L'équation générale de Fokker Planck linéarisée peut s'écrire :

(2.69)

OÙ

(2.70) f3=e,i f3=e,i

Il est aussi intéressant d'écrire cette équation par rapport à l'énergie de la particule : ca· En définissant Va = Oca/ opa, on trouve :

(2.71)

--::t La fonction Wa(ca, 0) = fap?;/va décrit la fonction de distribution en énergie

avec la normalisation na= J dp afa = J dca J d Ô \jJ a· Elle vérifie l'équation de

Fokker Planck linéarisée suivante :

(2.72)

Dans cette forme, elle sera utilisée dans le chapitre 3 pour développer le modèle de transport réduit Ml.

Pour interpréter le sens physique du terme SM, nous considérons un ensemble de particules a d'énergie Ea et de vitesse 1f a =Va?. L'énergie Ea peut s'exprimer comme:

(2.73)

D'après l'équation cinétique (2.72), Ea vérifie :

(2.75)

47

Comme dt= ds on déduit que SM est le pouvoir d'arrêt : Va

(2.76)

La formulation du pouvoir d'arrêt que nous avons trouvé est assez simple. Une de­scription plus détaillé du pouvoir d'arrêt sera l'objet de la section suivante 2.3.2 sur le ralentissement collisionnel. L'étude de la diffusion angulaire portée par le deuxième terme dans l'équation (2.72) sera détaillée à travers les modèles de trans­port réduits Trumpet, TrumpetSB et Ml dans le chapitre 3.

48

2.3.2 Le ralentissement collisionnel

Le pouvoir d'arrêt représente la perte d'énergie d'une particule a d'énergie Ea par unité de longueur. D'après un développement de Jackson [49], le pouvoir d'arrêt peut aussi se calculer à l'aide de la section efficace différentielle en transfert d'énergie :

(2.77)

dJ où dt est la section efficace différentielle en transfert d'énergie, ni est la densité des

ions. La particule a est d'une grande énergie et elle ne peut pas gagner d'énergie dans la collision avec les particules du plasma.

Le pouvoir d'arrêt des électrons

A cause du très grand rapport de masse entre les électrons et les ions, nous avons vu dans la section précédente 2.3.1 que le ralentissement des électrons rapides était seulement dû aux collisions avec les électrons du plasma. D'après le calcul de la section efficace différentielle en transfert d'énergie [50,51], on trouve que le pouvoir d'arrêt total des électrons se décompose en une somme de pouvoirs d'arrêt issus de 3 types de collisions. Celles entre l'électron incident et les électrons liés SMb' les électrons li bres SM

1 et les ondes plasma (ou plasmons) S Mp. Elles s'expriment

par [7, 31, 52] :

(2.78)

avec

(2.79)

49

Ici, re = 1 + s/mec2 est le facteur relativiste et f3e = Ve/c = \/1- 1/r.η Z est la charge totale d'ions (numéro atomique), et Z* le nombre d'électrons liés. Le facteur (Z- Z*) donne le nombre d'électrons liés par ions, il traduit la diminution du cortège atomique. Finalement /p est le potentiel moyen d'ionisation normalisé à mec2

. Il peut être approché par [53] :

exp( 1.29qo.72-0.1Sq)

/p = aZ ( 1 - q )1/2 ' (2.80)

avec q = Z* /Z le taux d'ionisation et a rv 2. x 10-5. Lorsque le plasma est com­

plètement ionisé, la composante SMb est nulle.

Le pouvoir d'arrêt des ions

Comme pour les électrons, la section efficace de diffusion pour les ions [51, 54] permet de calculer le pouvoir d'arrêt d'un ion de numéro atomique Zinc, de masse mine et de vitesse vi en collision avec les électrons du plasma dans la condition Vi » Vre [55] :

(2.81)

Où Vth est la vitesse thermique des électrons, et

2X g(X) =er f(X)- y0f exp( -X2

),

avec er f (X) la fonction erreur :

2 {x 2

er f(X) = y0f Jo e-T dT.

Comportement du pouvoir d'arrêt en fonction de la température et de la densité

Sur la figure 2.8, nous avons tracé le pouvoir d'arrêt des électrons à différentes températures dans de l'aluminium à sa densité solide, p = 2.7 cm-3

. Bien que les contributions des collisions électrons-électrons liés (en noir)-libres (en rouge)­plasmons (en vert) varient, le pouvoir d'arrêt total (en bleu) reste presque constant

50

sur une gamme de températures de 300 K à 10 keY. De même la contribution des collisions électrons-plasmons (en vert) varie peu, c'est plutôt l'ionisation qui définira l'importance des contributions entre électrons-électrons liés (en noir) et li bres (en rouge).

Aluminium: T 300 K

c--~~,--~~mr-~~- SM e-liés

- SMe-libres

- SM e-plasmon

lüü

- SM total lü

~------o~ ü.l

0 .0;;-c 1;-"-~"-"CO~. o-1 ~~~1;---~~:;"olO;--'-~~lO~·ül

Energie (MeV)

Aluminium: T 100 eV

c--~~,---~~.,.,---~.,....,j- SM e-liés

- SMe-libres

- SM e-plasmon

- SM e-total

lüü

lü

~~~~~~""7---~~~~~~ü.l 0.01 0.1 1 10 lOO

Energie (MeV)

Aluminium: T 10 eV

c--~~.,.,----~~mr-~,--,1 - SM e-liés

- SMe-libres

- SM e-plasmon

- SM e-total

lüü

lü

0.0~1~~~0"--c;.l~~~l==~lO;;===~lO~.l Energie (Me V)

Aluminium: T 10 keV

,.---~~.,.,..--------,-~~- SM e-liés

- SMe-libres

- SM e-plasmon

- SM e-total

lüü

lü

ü.l

~=::;::u,~--+-~~~~=:=3 ü.ül 0.01 1

Energie (Me V)

FIGURE 2.8- Pouvoir d'arrêt des électrons dans de l'Aluminium en fonction de la température et de l'énergie.

On remarque que de 300 K à 10 eV, l'ionisation est faible et donc la contribution des électrons liés est plus forte que celle des électrons libres. Elle s'équilibre à 100 eV et devient beaucoup plus faible à 1000 eV. A faible température, l'aluminium a 3 électrons libres et 10 liés, donc il y a plus d'électrons liés que libres, ce sont eux qui contribuent le plus au ralentissement. A partir de 100 eV, le matériau s'ionise de plus en plus et la tendance s'inverse avec le réchauffement en faveur des électrons libres.

51

10 - T = 10 keV - T=5keV

8 - T = 1 keV ~

- T = 1 eV M

1

s 6 ()

bf) '-'

~ 4

2

FIGURE 2.9- Distance d'arrêt des protons dans de l'Aluminium à différente tem­pérature en fonction de l'énergie initiale des protons incidents.

La distance d'arrêt (massique) d'une particule se calcule en intégrant l'inverse du pouvoir d'arrêt sur l'énergie multiplié par la densité du milieu :

(2.82)

Sur la figure 2. 9, on a tracé la distance d'arrêt massique (ou range) des protons en fonction de leur énergie initiale variant entre 1 et 50 MeV pour des températures allant de 1 eV à 10 keY. Le range des protons reste sensiblement le même pour des températures de plasma entre 1 eV et 1 keY. A partir de 1 keY, le pouvoir d'arrêt diminue et le range augmente de 2 à 3 fois par rapport à la distance d'arrêt initial. Ce comportement est différent de celui de l'électron. Il s'explique par la dépendance du logarithme coulombien (2.20) avec la température. En effet, le pouvoir d'arrêt des ions ou des électrons varie presque linéairement avec le logarithme coulombien quand le plasma devient fortement ionisé (à température élevée). On rappelle que le logarithme coulombien s'écrit

52

lA = (max[ÀD,ri] 2) n max , . max [ba, Àth]

(2.83)

On peut remarquer que la longueur de Debye est proportionnelle à la vitesse ther-. d 1 1 d'. . . b ZaZ;3e2 . mique vre es é ectrons, e paramètre Impact cntique 0 = est mverse-

pu ment proportionnel à la vitesse au carré de la particule incidente, et que la longueur

de De Broglie ).th = !!_ est inversement proportionnel à la vitesse de la particule JLU

incidente. Si on suppose un plasma idéal soit ÀD > ri, que la longueur de De Broglie est

supérieure au paramètre d'impact critique Àth > b0 et que l'énergie de la particule est assez élevée pour que le logarithme coulombien soit supérieur à 2, on trouve que

ÀD ln A = ~ ex: ln ( Vr) ( 1 Va - Vr 1 ) .

À th (2.84)

Or si les particules incidentes sont des électrons, Va » vr et donc le loga­rithme coulombien devient proportionnel à la vitesse thermique fois la vitesse de la particule :

(2.85)

A l'inverse pour des particules incidentes types ions, pour la même énergie, leur vitesse est très inférieure à celle des électrons. Donc quand la température aug­mente pour un plasma de l'ordre de 1 à 10 keY, la vitesse thermique des électrons du plasma devient du même ordre de grandeur que celle des protons incidents, le logarithme coulombien devient proportionnel à la vitesse thermique au carré et non à la vitesse thermique fois la vitesse de la particule :

ln Ai ex: ln [v~ J < ln [vrva)] (2.86)

C'est pourquoi pour les ions, l'élévation de température influe, et a tendance à diminuer le logarithme coulombien, ce qui de la même manière diminue le pouvoir d'arrêt et donc augmente le range des protons. On remarque la même tendance pour une longueur de Debye inférieur à la distance moyenne entre les particules du plasma et une longueur de De Broglie inférieur au paramètre d'impact critique. Cette particularité permet d'améliorer le dépôt d'énergie dans une configuration d'allumage par hole-boring détaillée dans le chapitre 4.

53

2.4 Les phénomènes collectifs du transport de par­ticule

Le ralentissement et la diffusion résultant des collisions des électrons rapides avec les particules du plasma ne sont pas les seuls phénomènes physiques qui décrivent le transport des électrons bien qu'ils soient prépondérants dans des plas­mas denses. Les effets collectifs, qui sont d'origine électromagnétique, peuvent jouer un rôle significatif. L'un des phénomènes collectifs est le chauffage induit par le courant d'électrons dit de retour. Ce courant est créé par le champ électrique produit par le courant des électrons rapides incidents. Ce sont des électrons peu én­ergétiques donc très collisionnels qui se propagent dans le sens inverse au courant des électrons rapides et qui ont pour effet de chauffer le plasma. Ces courants induisent également un champ magnétique qui peut collimater ou disperser le fais­ceau d'électrons rapides.

2.4.1 Le chauffage du courant de retour

Pour un faisceau d'électrons rapides, nous supposons que les variations du champ électrique induites par le faisceau d'électrons sont petites. On peut donc négliger le courant de déplacement :

dÊ t:o-

dt ----7

«J (2.87)

Dans ce cas le courant total est nul et donc le courant de retour Jt = - Jinc· La loi d'Ohm qui relie le courant de retour avec le champ électrique s'écrit simplement :

---:+ Ê )t = JE , (2.88)

avec JE la conductivité électrique du milieu (2.22). Le chauffage Wt dû aux colli­sions de ces électrons froids s'écrit

·2

W _ ---:+ Ê _ Jinc t- Jt· --JE

(2.89)

Alors, on peut déduire la hausse de température du plasma à partir de l'équation de l'énergie :

C dTe _ ---:+ Ê _ jfnc

v dt - Jt. - JE . (2.90)

54

Où Te la température des électrons du milieu et Cv = 3/2 kBne est la capacité calorifique thermique à volume constant. Il sera important si le terme (2.89) est supérieur au dépôt d'énergie direct des électrons rapides Wt ~ SMv /vol avec vol un volume élémentaire.

2.4.2 Le pincement magnétique

Suivant la loi de Faraday, on peut calculer le champ magnétique Ê généré par le champ électrique résistif :

En utilisant la loi d'Ohm (2.87), on trouve :

aÊ 1 -,------+ ~ = \7 ;\ -jinc ut JE

On obtient alors deux sources du champ magnétique :

aÊ 1 -,------+ 1 -,------+ ~ = -\7 ;\ Jinc + \7(-) ;\ Jinc ut JE JE

(2.91)

(2.92)

(2.93)

L h , . d, . 1 n -,------+ 1 '1 e c amp magnetique u au premier terme - v ;\ )inc pousse es e ectrons JE

rapides vers les régions de plus haute densité de courant. Il décrit donc le pincement du faisceau. Le champ magnétique produit par le second terme pousse les électrons vers des régions de plus haute résistivité. Il peut jouer un rôle important pour le guidage des électrons à la surface de deux milieux de conductivités différentes [56].

55

Cl1apitre 3

Modèles réduits pour le transport de particules rapides

transport et dépôt d'énergie des particules sont processus complexes dont la description de lourds calculs cinétiques multidi­mensionnels. l'vlalgré développement des systèmes informatiques ces dernières années, codes cinétiques continuent de prendre un de calcul conséquent et ne pas être facilement dans des codes hydrodynamiques qui décrivent l'assemblage et la combustion du combustible. Pour cette raison, nous avons développé des méthodes de réduction qui rendent compte principales caractéristiques du processus transport cinétique mais sont sufiisamment rapides et efficaces pour introduites directement sous forme d'un module

un hydrodynamique. Au cours cette deux modèles réduits de trans-

port de hydrodynamiques. premiers modèles 'Trnmpet et TrnmpetSB dit "macroscopiques", sont des ex-

vHCaVLL>J à dimensions du modèle lD de modèle M.l dit "mésoscopique" sur la résolution deux moments angu-laires la fonction distribution et utilise une relation fermeture basée sur un cntere minimisation l'entropie.

La présentation de ces modèles, leurs validations et le couplage au code hydro-dynamique CHIC [lü] vont présentés dans ce chapitre.

3.1 Le rnodèle Trurrtpet

modèle Tn.tmpet est un modèle multidimensionnel qui calcule le transport et le dépôt de particules modèle Tmmpet est

56

le plus rapide. Il est stationnaire et il prend en compte trois effets : (1) la dévia­tion angulaire par le calcul d'un angle moyen de diffusion [7], (2) l'élargissement longitudinal ( straggling du faisceau ) selon le modèle [8] ainsi que l'élargissement transverse ( blooming) [8]. Le ralentissement et le dépôt d'énergie correspondant sont calculés par le pouvoir d'arrêt le long d'une trajectoire linéaire.

3.1.1 La méthode générale du modèle Trumpet

L'angle moyen de diffusion

Le modèle Trumpet calcule un angle moyen de diffusion à partir d'une équa­tion de diffusion (2.40). On rappelle son expression en introduisant le vecteur de

---::-:+

direction de la quantité de mouvement }!___ et la variable s = vdt qui est la distance p

parcourue par la particule :

8 f ---=+ ![ (---::-:+ ---=+, ) (---::-:+ ---=+ )] dJ (1---=+ ---=+'1) 1

08 + f'LV f =ni f r , 0 , s - f r , 0, s dO 0 - 0 dO. (3.1)

La formulation de Rutherford (2.14) est choisie pour décrire la section efficace dJ

différentielle de déviation angulaire dO . L'équation (2.40) est résolue en coordon-

nées sphériques en supposant que la densité du plasma ni dépende uniquement de la coordonnée z le long de l'axe du faisceau et que la diffusion est supposée à symétrie azimutale [7]. En développant la fonction de distribution en harmoniques sphériques,

f = L fzm(rT, s)Yzm(Ô), (3.2) lm

avec fzm les composantes de la fonction de distribution f sur la "base" formée par ---::+

les Yzm qui sont fonction de 0, nous obtenons pour chaque doublet (l, m) [58]

(3.3)

OÙ

et kz = 27r f01f ~~ [1 -Pz( cos e)] sin ede. (3.4)

Pz (cos e) sont les polynômes de Legendre et tous les fzm satisfont les conditions aux limites: fzm(rT, 0) = 5mo5(rT)Yzo(O) = [(2l + 1)/47rj1/25mo5(7).

57

Pour déduire la distribution angulaire seule, l'équation (3.3) est intégrée sur tout l'espace. En utilisant la condition au bord ci-dessus, on obtient :

r(IT, s) ~ j !(?,Ô, s)d? ~ 4~ ~(21 + 1) P1(cos 0) exp (- [ k1ds) (3.5)

Si l'on s'arrête à l'ordre 1, on a

(3.6)

Cette expression est directement liée à l'angle de diffusion moyen défini comme:

(cos 0) ~ 4~ [ 21r J ~(21 + 1) Tl( cos 0) P1 (cos 0) exp ( -1' k1ds)] sin OdO,

4~ [27r(3+ 1) 3! 1] exp ( -18

k1ds), soit,

(3.7)

Le ralentissement

Le ralentissement dans le modèle Trumpet est pris en compte en supposant que les particules se propagent le long d'une ligne droite dans la direction initiale de propagation du faisceau :

dt dz

(3.8)

Où (cos e) est l'angle moyen de déflexion angulaire (3.7) et SM(t) le pouvoir d'arrêt (2.79),(2.81).

Le modèle Trumpet

Le modèle Trumpet de base considère un sous-faisceau élémentaire d'une taille transverse suffisamment petite ~(0) par rapport à la taille totale du faisceau. Il suppose une répartition homogène des particules de chaque sous-faisceau dans le

58

sens transversal. La dimension transversale de chaque sous-faisceau ~(z) le long de la propagation est calculée par l'angle moyen de diffusion (3.7) selon la formule:

d~

dz 1

(tan e) v1- Kr(s)' (3.9)

. Le module de base calcule la propagation et le dépôt d'énergie d'un faisceau mono­énergétique. Pour tenir compte de la distribution en énergie et de la distribution spatiale de la source, le faisceau à l'origine est divisée en espace et en énergie en plusieurs sous-faisceaux, qu'on appellera par la suite beamlets. Chaque beamlet dépose son énergie de façon autonome, et le chauffage de la cible, dû au dépôt d'énergie de ces beamlets, est calculé à chaque étape en ajoutant les contributions de tous les faisceaux.

Un exemple de calcul de dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons mono-énergétiques est tracé sur la figure 3.1. Un dépôt d'énergie 2D d'un beamlet est tracé sur le pan­neau a. Le beamlet représente des électrons d'énergie initiale 2.5 MeV se propageant de la gauche vers la droite, le long de la direction z. La diffusion augmente la taille du beamlet le long de la direction de propagation, le nombre total d'électrons étant conservé. Le dépôt d'énergie diminue en fonction de la profondeur du fait de l'élar­gissement du faisceau. Toutefois, la longueur d'arrêt dans ce modèle est la même pour tous les électrons, indépendamment de leur déviation. Le dépôt d'énergie des deux beamlets se chevauchant est présenté sur la figure 3.1-b. La superposition des faisceaux conduit naturellement à une augmentation du dépôt d'énergie.

On peut généraliser le cas et supposer une superposition de nombreux beamlets pour décrire une distribution en espace. Ainsi, la figure 3.1 c présente le cas où la densité de chaque beamlet varie en fonction de sa position initiale transversale suivant une forme gaussienne. L'énergie du faisceau est également décrite par une fonction gaussienne. Plus la description du faisceau est détaillée, mieux on décrit le dépôt d'énergie. Notez que même avec une centaine de beamlets, le modèle Trumpet est rapide, ne consommant que quelques secondes de temps CPU.

Cette version du modèle Trumpet fournit une approximation assez grossière de l'équation cinétique, car elle ne tient compte que de deux processus de base (ralentissement et de diffusion) au travers d'un seul paramètre (cose). Cepen­dant, l'élargissement transverse (ou blooming) d'un beamlet est plus rapide que son ralentissement, car les collisions provoquent la déviation d'une particule dans différents directions. Les orbites des particules s'écartent de la direction de prop­agation initial z ( straggling) et donc leur vitesse effective dans cette direction z en est réduite. Ces effets apparaissent dans les moments d'ordre supérieur de la fonction de distribution du faisceau [8].

59

O.üt"::

D.Dl 0.75

o.oo:=:::

0.50 O.CIDb

0 .00-t

0.20 n.nn·-·

0 CI .Dü:::: D.CIJ-t CI.DDE. 0.00:3 O.Cl D.DJ:.:::

a b

O.J02 D.C04 C.OJE. O.C08 O.Dl CJ .Cl2 c

FIGURE 3.1 -Propagation et dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons de 25 MeV dans du plasma Deuterium de densité 300 g.cm - 3 et de température Te = Ti =

1 keY. a) dépôt d'énergie d'un beamlet de taille initiale ~ = 20 J.lm. b) dépôt d'énergie de deux beamlets de même taille séparés spatialement par 20 J.lm. c) dépôt d'énergie d'un ensemble de beamlets avec une distribution en énergie de forme gaussienne et une distribution spatiale transverse initiale également de forme gaussienne aussi. La gaussienne en espace est centré en y = 60 J.lm avec une FvVHM (Full vVidth at Ralf Maximum) de 30 J.lm. La distribution en énergie est une gaussienne centrée en e: = 2.5 MeV avec une FvVHM de 2.5 MeV

3.1.2 Le modèle Trumpet avec straggling and blooming

Pour mieux tenir compte des différentes trajectoires des particules, nous intro­duisons le modèle TrumpetSB ( Trumpet avec straggling et blooming) développé par Li & Petrasso [8]. Contrairement au modèle Trumpet de base qui assume une distribution spatiale constante dans la direction transverse, TrumpetSB suppose

60

une forme gaussienne aussi bien dans le sens longitudinal ( straggling), que le sens transversal (blooming). Pour une longueur d'arrêt

(z) = J J j(?, s)zd?, (3.10)

le straggling est évalué via la formule :

(3.11)

Pareillement, le blooming

(3.12)

Par raison de symétrie axiale (y2) = (x2

) tandis que (y) et (x) sont nuls. Cette fois, nous n'intégrons pas l'équation (3.3) sur tout l'espace mais juste dans les directions transverses x et y avec z fixe. Nous définissons

9zm(z, s) = J J fzm(?, s)dxdy, (3.13)

qui vérifie l'équation suivante :

(3.14)

avec les conditions aux bords: gzm(z, 0) = [(2l + 1)/47rjli25mo5(z). Comme Qz = 0 sauf quand JL = m, nous en déduisons que 9zm = 0 pour m j'c 0 et nous notons g1(z, s) pour gzo(z, s). On multiplie (3.14) par zn, et on intègre suivant la direction de propagation z pour obtenir :

(3.15)

OÙ

l et az = .

( 4[2 - 1) ~ (3.16)

Les fonctions Hzn définissent la valeur moyenne de zn :

61

(3.17)

On peut encore trouver une relation entre le moment (zn) et la section efficace de diffusion. Si on pose

Kz(s) =exp ( -18

kz(s1)ds1) ,

la longueur de pénétration moyenne se définit par

(z) = (47r) 112 H 01 = 18

K 1(s 1)ds1

et l'effet du straggling est évalué par

( 2) = (4 )1;2 H = ~ t K ( 1) ( t' 1 + 2K2(s") d ") d 1

z 7r a2 3la 1 s la 1+K1(s") s s

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Cette relation nous permet d'évaluer l'élargissement longitudinal du faisceau en connaissant les moments K 1 et K 2 . Les mêmes fonctions définissent l'élargissement transverse selon notre hypothèse de symétrie azimutale, (y) = (x) = O. L'effet de blooming est donc uniquement défini par le carré moyen de la déviation perpendic­ulaire (y2

). En intégrant (3.3) suivant x et z, nous trouvons de la même manière

( 2) = ~ t K ( 1) ( t' 1- K2(s") d ") d 1

y 3la 18 la 1+K1(s") 8

s. (3.21)

Si on impose une forme Gaussienne à la fonction de distribution :

exp H [" ~x~~i") r-H y ~y~~i") r-H z ~.%i") n (3.22) !(7, 11, s) =

3;

2 (27r) O"x(s)Œy(s)O"z(s)

on peut calculer explicitement la position moyenne du faisceau xa(s),ya(s),za(s) et son épaisseur O" x ( s), O" Y ( s), O" z ( s).

62

ces équations, z0 (z) et cr; (,z2) - (,z) 2

. on peut calculer que x0 - y0 - (:r:) - (y) - 0 et a; - a; - (x2 ) - (:ti). straggling défini par l'équation (3.11) selon l'article [8], un élargissement dans direction de propagation. blooming , (3.12), un élargissement dans la direction transverse à propagation. dans plusieurs """'"m"

tatifs améliorent fortement la forme de dépôt figure 3.2, pour un dépôt d'énergie d'un mono-énergétique

calculé par les modèles Tr11:mpet et TrumpetSB, des panneaux et b) respective-ment. Les et blooming forme du dépôt le sens longitudinal et perpendiculaire, ce qui est en meilleur accord avec des simulations cinétiques complètes présentées dans la partie 3.3. La 3.2-c représente

cas celui la ~).le avec modèle TmmpetSB. La différence d'énergie entre l'rmnpet et est faible car le du blooming et du stmggling est moins marqué, du fait distribution initiale du faisceau en et en

Signalons néanmoins que la théorie de blooming ci-dessous est aussi et qu'elle surestime l'élargissement faisceau. Nos comparaisons avec

des simulations Monte Carlo indiquent que pour atteindre un bon accord, nous réduire l'écart-type sens longueur CTz (straggling) d'un facteur:

- l.S pour les faisceaux d'électrons, - et 3 pour les faisceaux d'ions.

dans le sens transverse cr11 (blooming) n'a besoin d'être et donne bons résultats. facteurs restent constants quelles que soient les caractéristiques du faisceau de particules et les paramètres du milieu.

straggling et blooming, avec coefficients correcteurs, améliorent nette-ment le dépôt d'énergie dans des plasmas homogènes, mais restent néanmoins mal adaptés dans un plasma non dans la direction transverse. Ceci est dû au fait (3.1) est résolue en coordonnées cylindriques avec l'hypothèse

ni ne dépend que la coordonnée z le long de l'axe du faisceau. Pour faisceaux d'électrons où la diffusion est importante, cette hypothèse conduit

à erreurs importantes dans le calcul du dépôt d'énergie quand gradients abruptes densité existent la direction transversale.

3.1.3 rnodèle Trumpet avec les corrections de

corriger cette de précision dans milieux inhomogènes transver-salement, une correction a appliquée sur TT'umpet et TrumpetSB. Cette correction est basée sur l'hypothèse que le pouvoir d'arrêt dépend quasi-linéairement de la si la température ne trop.

Pour améliorer traitement, il suffit multiplier par un rapport de densité le dépôt d'énergie dans sens transversal. Ainsi, si la densité sur central du

63

0.75

0.50 ] .cot:.

0 CI.CO':' O. JC -., C.OOC. 0 .00:: 0 .0. 0 .0.': ;:j , IJIJ2 O.OC4 O.DOG D.JOD 0 .: 1 O.C: :2

a b

O.OCC 0 . 00-, :1 . JOC C.OCC 0 .1]1 0 . 01:::"

c

FIGURE 3.2 - Dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons dans du plasma DT (p = 300 g.cm- 3 et Te= Ti =1 keY) obtenu avec les modèles Trumpet et TrumpetSB. a) Dose d'un faisceau monoénergétique de 2.5 MeV calculé avec le modèle Trumpet. b) Dose d'un faisceau monoénergétique de 2.5 MeV calculé avec le modèle Trum­petSB . c) Même cas multi-énergétique que le cas sur la figure 3.1c avec le modèle TrumpetSB.

beamlet est p(y0 ) et que transversalement la densité est p(y), le rapport à appliquer au dépôt d'énergie au point y est simplement p(y)/ p(y0 ). Ainsi, le dépôt d'énergie du faisceau dans la direction transverse à la direction de propagation, augmente ou diminue avec la densité du plasma. Pour ne pas déposer trop d'énergie dans les parties denses du plasma, le rapport de densité est limitée à un maximum de 2 pour le modèle TrumpetSB, et de 4 pour le modèle Trumpet. Dans le cas des ions, l'erreur faite sur le dépôt d'énergie dans le sens transverse demeure petite du fait d'une faible diffusion latérale.

64

L'amélioration du dépôt aux corrections de densité va être présentée dans ~Li.~) pour et dans la pour les ions. Ces deux cas tests valideront corrections de densité. De plus, on confirmera que dépôt d'énergie des dans le sens transverse.

reste correct en dépit d'un milieu inhomogène

65

3.2 Le modèle M1

3.2.1 Construction

Le modèle au moment a été développé dans les années 90 pour étudier la dynamique des gaz raréfiés [59-61] et par la suite pour le transport radiatif [62-65]. Ce modèle dit "mésoscopique" a pour vocation de décrire des effets cinétiques. Les dernières publications montrent aussi son efficacité pour le transport des électrons relativistes [9, 74]. Nous présentons ici l'application de ce modèle pour la FCI et pour l'allumage rapide en particulier.

La construction du modèle Ml est réalisée en trois étapes. D'abord, en par­tant de l'équation cinétique, nous développerons les équations pour les moments angulaires et établirons les rôles de la diffusion et du ralentissement. Dans un deux­ième temps, nous montrerons à partir de considérations de minimisation d'entropie empruntées à la physique statistique, comment ce modèle est fermé. Enfin, la réal­isation numérique du modèle Ml sera présentée.

Équations aux moments angulaires

Pour construire notre modèle aux moments, nous suivons l'approche de Pom­raning [57] à partir de l'équation cinétique (2.41). Comme nous l'avons présenté dans le chapitre 2, l'hypothèse faite revient à considérer l'interaction coulombienne comme une succession de collisions à petits angles. On obtient alors l'équation de Fokker-Planck linéarisée (2.72). Le modèle Ml opère avec les variables d'énergie

E et la direction de propagation des particules Ô. Comme il y a conservation du volume des phases, on a :

(3.24)

où on introduit la vitesse des particules selon la définition standard v = de/ dp. Par conséquent, le premier moment angulaire relatif à la densité du faisceau, est défini par :

(3.25)

La densité totale du faisceau n est obtenue en intégrant ce moment sur l'énergie :

(3.26)

66

Le deuxième moment 1f s, relatif à la vitesse moyenne des particules du faisceau, est défini par :

----+ ----+ 2 J ---=t ---=t Vs(t, r)=p JOdO, (3.27)

La vitesse moyenne du faisceau 1f est obtenue en intégrant ce moment sur tous les groupes en énergie :

(3.28)

Les équations aux moments angulaires sont obtenues en intégrant l'équation de Fokker Planck (2.72) sur les angles :

Otns + ~ · 1fs

Ot1fs +v~· Qs

+-::+ où Q s est le moment d'ordre deux défini par :

(3.29)

(3.30)

Pour fermer ce système, il faut introduire une hypothèse supplémentaire perme­ttant d'exprimer le troisième moment Q s en fonction des deux premiers. Nous allons montrer comment le principe de minimisation de l'entropie a été appliqué dans cet objectif.

Fermeture

Le principe de minimisation de l'entropie permettant de réaliser la fermeture des modèles aux moments ~t emprunté à la physique statistique [66]. La fonction de distribution approchée f choisie pour fermer le système réalise le minimum de l'entropie H; relative aux particules chargées.

(3.31)

Pour déterminer la fonction de distribution f, nous avons à résoudre un problème de minimisation avec contraintes :

67

Ce problème de minimisation (3.32) est strictement équivalent à la recherche du point selle du Lagrangien :

(3.33)

où a0 , cl 1 sont les deux premiers multiplicateurs de Lagrange. Les contraintes

ns = ~: J d Ô Jet 11 s = p2 J d ÔÔ J devant être réalisées par définition, la solu­

tion f de ce problème de minimisation doit être positive et doit encore vérifier :

(3.34)

L'unique solution de cette équation est de la forme suivante [9] :

(3.35)

avec Ps = exp (a0 ) et ris = vcl 1 . Les coefficients (ps, ris) sont complètement déterminés par les contraintes imposées :

(3.36)

Il est évident que le vecteur ct s définit la direction de l'anisotropie de la fonction de distribution, et on introduit alors le paramètre d'anisotropie :

(3.37)

Le tenseur Q s peut être exprimé explicitement en fonction de 1 ris 1 :

+-=+Q _ ( 1 - x +-=+1 3x - 1 11 é 11 é) s- vns 2 + 2 ® '

Vs Vs (3.38)

où x est le facteur qui est appelé dans la théorie du transport de rayonnement le facteur d'Eddington. Il peut être exprimé en fonction du paramètre isentropique :

2a x= 1 + -. as

68

(3.39)

Il nous reste juste à exprimer x en fonction de a. La relation x( a) ferme le système. Il existe une solution unique de ce problème et elle peut être trouvée et calculée numériquement. La relation (3.37) a été inversée numériquement et tabulée puis, le facteur x a été approché par une simple fonction rationnelle :

où les coefficients ai et bi sont donnés par [9] :

a0 = O. 762066949972264, a2 = 0.219172080193380, a4 = -0.259725400168378, a6 = 0.457105130221120.

3.2.2 Analyse

b0 = 2.28620084991677, b2 = -2.10758208969840,

Influence de la fonction de distribution

(3.40)

(3.41)

Le modèle Ml est beaucoup plus précis que le modèle standard supposant une faible anisotropie, utilisé dans la théorie de transport de Spitzer. Cette méthode préserve la positivité de la fonction de distribution et peut être valable même dans les plasmas faiblement collisionnels.

Une comparaison entre le modèle Ml avec le modèle standard polynomial H est présenté sur la figure 3.3. Elle permet d'évaluer la capacité de chacun des modèles à décrire les différents régimes d'anisotropie. En effet, le modèle standard de Spitzer (appelé ci-dessous P1) est le premier membre du développement de la fonction de distribution (3.35) en polynôme de Legendre.

fM1 (e) = Ps exp( -as( a) cos e), fH (e) = Ps(1- as(a) cos e).

(3.42)

(3.43)

Pour une faible anisotropie, a « 1, on constate sur la figure 3.3 que les deux distributions sont admissibles dans toutes les directions. Lorsque a augmente (0.5, 0.8), la distribution fH devient négative dans le sens opposé de la direction du flux, tandis que fM1 reste toujours positive. Pour une forte anisotropie (a= 0.99), toutes les particules se déplacent dans la même direction. C'est le régime d'un faisceau collimaté qui ne peut pas être décrit par fpl' mais qui continue d'être correctement représenté par fM1 · Toutefois, le modèle Ml est limité à des distri­butions unidirectionnelles. Pour des distributions angulaires plus complexes, il faut considérer des moments angulaires d'ordre supérieur.

69

A

f et= 0.01

0.6

0.4 .. · . ...... . . · . .

- 1 ':> • <:)· .·

Ct-~ · ·

0

- 0.2

- 0.4

0.5 cose

m m 0

" <i

1

FIGURE 3.3 - Comparaison des fonctions de distribution normalisées en fonction de l'angle e pour les modèles M1 (ligne pleine) et H (ligne pointillée) et pour les différents paramètres d'anisotropie a : 0.01, 0.1, 0.5, 0.8, 0.99.

Résolution numérique du modèle Ml

Les deux équations du système (3.29) peuvent être présentées de façon ho­

mogène si on pose if> ~ ( viJf' ) , P( <T>) ~ ( t}, ) , et K ~ ( n~k, ) . Puis le

système (3.29) peut être réécrit comme suit :

8<!> 8 ~ + V.F(<I>)- ~ [SM<I>] = K ® <I> vut uf.

(3.44)

Le pas de temps de ce système cinétique peut être inférieur par rapport au temps caractéristique hydrodynamique flthydro· Pour intégrer ce modèle dans un code hydrodynamique, nous devons calculer le dépôt d'énergie pour un pas de temps flthydro· Cela peut être calculé dans un schéma numérique instationnaire en divisant le pas de temps hydro flthydro en plusieurs pas de temps plus petits flthydro = LN fltn· La discrétisation que nous avons utilisée est temporellement implicite en énergie et explicite en espace :

70

avec n l'incrément en temps et p celui des groupes en énergie. Outre ce fraction­nement du temps qui pourrait être très coûteux en temps CPU, la grille en énergie doit être arbitrairement fixée. Pour obtenir la convergence de calcul, nous devons considérer un nombre important de groupes d'énergies NP (1 ~ p ~ NP), ce qui augmente également le temps de calcul. Ce schéma appelé Step in time est rela­tivement lent.

Nous avons choisi de développer dans le code une autre approche numérique. Elle repose sur le fait que si le temps de propagation des particules est inférieur au pas de temps hydrodynamique, on peut transformer ce schéma instationnaire en un modèle stationnaire. Prenons l'exemple, étudié plus en détail ci-dessous, d'un faisceau d'électrons monoénergétique de 2.5 MeV dans du DT de densité 300 g cm-3 et de température 1 keY avec une durée de source de Teze = 0.1 ps. La dis­tance d'arrêt d'un électron de 2.5 MeV dans ces conditions plasma étant d'environ 90 JLm, le temps pour que les électrons relativistes qui se propagent à la vitesse de rv 300JLm/ps, serait de rv 0.3 ps + Teze, soit rv 0.4 ps. Si le pas de temps hydrody­namique est supérieur à rv 0.4 ps, on peut s'affranchir d'un calcul instationnaire. On peut transformer le schéma instationnaire défini par l'équation (3.45) en un

schéma stationnaire en supprimant le terme de dépendance temporelle a; = 0, v ut

et en résolvant le système en énergie avec le pas en énergie ~e:. Connaissant <f>P+l,

on peut calculer <f>P (schéma décroissant en énergie) :

Sp <f>P sP+ 1 <f>P+ 1 _M__ \7 F(<f>P+1) = KP <f>P M ~f + 0 ® + _____:_:c:_~_f __ (3.46)

Ce schéma appelé Step in energy est stable si et seulement si

(3.47)

avec 7 le vecteur position et ~r le pas d'espace moyen calculé en trois dimensions

par ~r = / ~ /~ / ~ avec ~x,~y,~z les pas d'espace. La grille en 1 x+1 y+1 z

énergie doit alors être construite en respectant la condition CFL :

~f -----+-,---1:;- < 1 ~r miniS~ 1

7

(3.48)

Tant que la densité du plasma est assez élevée, ce système est plus rapide en termes de temps de calcul que le schéma Step in time. Le nombre de groupe en énergie est déterminé par le pas d'énergie ~e:.

71

Le principal inconvénient de ce schéma est qu'il nécessite un très grand nombre de groupe pour modéliser le transport dans un milieu de densité très faible comme l'air ou le plasma de couronne. Comme la densité du plasma est quasi linéaire au pourvoir d'arrêt SM, si la densité devient faible, le pouvoir d'arrêt le devient aussi et à cause de la condition CFL (3.48), le pas d'énergie ~t: peut être très petit. Le nombre de groupes en énergie peut devenir alors très grand et augmenter de manière importante les temps de calcul. Une amélioration de ce schéma gérant les faibles densités, fait partie des priorités pour des développements futurs.

Ce système peut être amélioré en tenant compte de la dépendance en temps. Cela permet de calculer les dépôts d'énergie dans un pas de temps hydro ~thydro et donc de prendre en compte les variations de densité et de température du plasma au cours de la propagation. L'instationnarité est prise en compte en calculant le

a<I> a<I>P terme de dépendance en temps ------;::;- de manière implicite en énergie ------;::;- :

vut vut

Sp <PP sP+ 1 <t>P+ 1 _M__ \7 F ( <t>P+ 1) = KP <PP M ~t: + · 0 + ------'-"'----~,----t:-- - _v_a_t ' (3.49)

ce qui s'écrit de manière complète comme :

(3.50)

a b c

FIGURE 3.4- Dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons mono-energetiques de 2.5 MeV dans un milieu homogène de DT de densité 300 g.cm - 3 et de température 1 keY. La durée de la source est de 0.1 ps et les panneaux a, b, c représentent le dépôt d'énergie à 0.1 ps, 0.3 ps et 0.9 ps respectivement.

La figure 3.4 présente un dépôt d'énergie d'un faisceau de 2.5 MeV d'électrons monoénergétique dans un plasma DT homogène de densité 300 g.cm - 3 et de tem­pérature 1 keY. La simulation est effectuée en utilisant les schémas Step in energy

72

de Mi, dans le cas non-stationnaire. durée de la source d'électrons étant 0.1 ps, dans la figure tous les électrons ont Cependant, premiers électrons ne se sont que sur 50 J-Lm tandis que distance d'arrêt d'un

MeV dans du DT à ~iOO g.cm-:3 et à 1 keY est "' 90jwL En effet, l'intervale de temps de 0.1 n'est suffisant pour que des électrons de MeV, qui se déplacent à la ~iOO,u.m/ps, aient temps terminer leur parcours. figure ~3.4-b présente le dépôt 0.3 ps, à dire quand les électrons sont en fin parcours. Enfin, la figure 3.4-c montre pour un temps long (0.9 ps) le dépôt d'énergie complet, qui correspond au calcul

Au cours de propagation de particules, la densité du plasma et sa tempéra-ture peuvent varier significative, induisant un changement dans le libre parcours moyen et la distance d'arrêt, en particulier dans le cas ions qui se propagent à des moins importantes. Pour cette il est crucial de développer un modèle instationnaire pour prendre en compte le réchauffe­ment du au cours de la propagation. Ainsi, utilisée dans le modèle 'Trnmpet ou en schéma energy stationnaire de Mi,

fausse si le temps hydrodynamique est inférieur au temps de propagation du faisceau. Dans ces conditions, un modèle de transport dépendant du temps doit

utilisé. Pour iliustrer l'importance du schéma non stationnaire, nous présentons dans

la figure 3.5 le dépôt d'énergie d'un faisceau d'ions DT mono-energetiques 35 MeV dans un milieu homogène de de densité 300 et de 1 keY. durée la source du faisceau est de 3 Pour bien mettre en du changement de température sur la propagation du faisceau, le flux d'énergie des ions est 250 MJ/cm2

. Sur la figure ~1.5-a-b-c, nous dépôt calculé avec le modèle non stationnaire de Mi aux 3, 10 et ,10 ment. La figure 3.5-d la déposée avec le modèle Mi stationnaire. A 40 ps, lorsque tous les ions ont fini propagation, nous pouvons observer un net aHongement du dépôt obtenu avec le modèle non-stationnaire (figure 3.5-

par rapport au modèle (figure 3.5-d). II est au préchauffage du plasma par premiers ions DT, ce qui a provoqué un aHongement de distance d'arrêt (comme nous l'avons vu le chapitre 2) des ions arrivant en suivant. Ce cas l'importance d'utiliser un schéma non-stationnaire lorsque du plasma au cours propagation d'un de particules

73

a b c

d

FIGURE 3.5 - Dépôt d'énergie d'un faisceau d'ions DT mono-énergétiques de 35 MeV dans un milieu homogène de DT de densité 300 g.cm - 3 et de température 1 keY. La durée de la source est de 3 ps. Les panneaux a, b, c représentent le dépôt d'énergie à 3 ps, 10 ps et 40 ps respectivement du modèle Ml instationnaire. Le dépôt d'énergie du modèle stationnaire est représenté end. Le flux d'énergie initial du faisceau est de 250 MJ/cm2

.

3.3 Description numérique des modèles de trans­port et validations

Nous allons décrire dans cette section les spécificités numériques des modèles Trumpet , TrumpetSB et Ml comme le type de maillage, les conditions aux bords, les conditions initiales ou les performances CPU.

Ensuite, nous avons rassemblé toutes les validations de nos modules de trans­port. Pour valider nos modèles de transport, nous avons utilisé comme codes de référence des codes Monte Carlo (MC) et des codes PIC (particle In Cell) hy­brides. Comme nous modélisons le transport collisionnel, les codes Monte Carlo qui simulent la propagation d'un très grand nombre de macro-particules en in­teraction binaire, sont considérés comme des codes de références. Les codes PIC (particle In Cell) hybrides décrivent non seulement la dynamique d'un grand nom­bre de macro-particules (électrons et ions) en interaction binaire mais modélisent

74

également collectifs.

3.3.1 Description nun1érique des modèles Trumpet et Ml

Maillages

espace, modèles Trumpet, TrumpetSB et Ml sont développés sur un H,<.kH""· .. ~'-·'· cartésien en géométrie 2D plane. Le fonctionnement actuel des modèle

suppose la propagation des particules se fait la même direc-tion qu'un axes du maillage. de diffusion moyen détermine la largeur du faisceau qui touche les mailles transverses. Le maillage peut régulier ou irrégulier.

souci de simplification, le modèle Ail a cartésien propagation des particules peut quelle direction et dans n'importe quel sens. Son avi·anc'

est en cours réalisation et sort du cette

sur un maillage choisie dans n'importe à un irrégulier

En énergie, les modèles Trumpet et TrumpetSB propagent des et variables en respectant la forme du <'""'''' .. "'"'

spectre total en est alors divisé en sous-groupe constant.

Le Afl modélise le transport particules en résolvant d'équation (3.46) en calcul stationnaire ou (3.49) en instationnaire sur chaque groupe d'énergie manière décroissante. La en énergie est discrétisée en

condition (3.48) décrite dans la section ~1.2.2. Les pas de la grille en et à mesure qu'on

d'énergies plus basse.

et croissent au fur

En modèles Trumpet et TrumpetSB étant stationnaires, calculent le dépôt d'énergie sur un pas de

discrétisation en temps du modèle est implicite. Comme on l'a présenté dans la section 3.2.2, elle permet s'adapter aux de temps qu'impose le code hydrodynamique [lü].

Conditions aux bords

En entrée, les conditions aux bords des modèles Trumpet, TrnmpetSB et Ml sont de types fiux entrant. Pour les modèles Trurnpet et TrumpetSB, particules entrent dans domaine calcul par le bord gauche. pouvons aussi choisir faire entrer les particules en mode holeboring. Cette condition d'entrée fonctionne en injectant des de particules à des abcisses différentes, à d'un

piston qui avance et accélère l_)articules au ftlr et à mesure de sa r""·""'.'"""

option a retenue pour simuler l'accélération d'ions par des impulsions laser ultra-intenses, présentée dans le chapitre 4.

Contrairement aux modèles Trurnpet et TmmpetSB, les particules peuvent en­trer dans le domaine de calcul par n'importe quel bord avec des directions conques avec le modèle Ml. Le mode holeboTing n'a pas développé pour ce modèle.

En sortie, les conditions pour tous les modèles transport sont flux nui, sauf lorsqu'il d'un calcul axisymétrique où condition sur le bord inférieur est une réflexion.

Conditions initiales et variables de sortie

conditions initiales du particule l'on veut propager sont à déterminer pour tous les modèles à l'aide mots clé dans un fichier de donnée. Il faut quel modèle on utilise ( l'rmnpetSB ou Ml), de particule l'on veut propager (électrons ou ions en précisant sa Zi et sa masse Ai en ·mp) ou quel type (mono ou rnulti-espèce : cette distinction est importante et décrite dans la section '1.1.~1). caractéristiques du faisceau sont définies en choisissant de en tiel, gaussien, super-gaussien), sa distribution spatiale (sous forme de gaussienne ou super gaussienne), sa diffusion angulaire initiale et l'énergie to­tale que les particules transportent (en .J). En particulier pour le modèle 1\:fl, on peut préciser si le calcul est stationnaire ou instationnaire et définir début et la durée la source du faisceau particule. On peut en plus choisir direction propagation du faisceau.

fois du faisceau définis, il suffit de connaître la densité, la température électronique et température ionique du plasma sur tout pour que modèles TrumpetSB et calculent le transport et le dépôt d'énergie des particules rapides.

Les variables de sortie de tous modèles Trumpet, TmmpetSB et Ml sont le dépôt d'énergie en ainsi la densité du de

modèle M 1 de connaître vecteur moyen, le courant du faisceau de particules.

Performances CPU

Les cas modèles TtumpetSB et Ml dans 3.3 indiquent pour chaque configuration les temps de calculs des différents modèles

Trumpet et TrumpetSB et Ml. modèles Trumpet, sont rapides et leur temps calcul sont de l'ordre de quelques secondes. Le modèle 11!11 est assez rapide aussi et calcule et le dépôt des particules en quelques minutes. Comparé aux codes hybrides ou Monte Carlo dont les temps de calcul se comptent en heures, les modèles Trumpet, TrumpetSB et },;11 sont

Cependant, conditions plasma particulières peuvent fortement les performances du modèle Ml. En effet, à cause la condition CFL (3.48) limitant le pas groupes en énergie par la densité du plasma, les performances en temps

calcul du modèle 1'vf1 décroître fortement si les densités de plasma dans se propagent les particules sont faibles, comme le cas

1.ac'''"'H"'u de couronne. calculs peuvent alors durer plusieurs est incohérent avec les objectifs de rapidité en vu de coupler code hydrodynamique. amélioration de ce schéma gérant fait partie pour

l'air ou ce qui

3.3.2 Validation du transport d'électrons en milieu homogène

Comparaisons à froid dans de l'eau

Le premier cas test correspond à un faisceau d'électrons mono-énergétiques se propageant dans de (Solid water RMI 457 [69]). Des comparaisons

entre Tn1mpet, TrurnpetSB, Ml et code l'vlonte Carlo DOSXYZnrc [67] ont

La figure ~).Ga représente dépôt en fonction de la profondeur de propagation des modèles Trnmpet, TrumpetSB, Ml et représente les résultats expérimentaux (en noir) avec résultats du code l'vlonte Carlo DOSXYZnrc [67] (en rouge) et les résultats code l\lonte Carlo approché Eclipse [69]. Les modèles Tntmpet, Tt11mpetSB, Ml calculent correctement la dis­tance d'arrêt 4.4 cm, bien forme du dépôt d'énergie calculée par le modèle Trumpet soit plus piquée. Le lissage induit par le blooming et straggling, améliore la forme dépôt La comparaison entre Ml (figure 3.6-a) et simula-tions Monte Carlo (figure ~1.6-c) montre un bon accord pour le dépôt La figure 3.6b coupes transverses à z- 3 cm l'rmn-

Ml et la figure 3.6-d mêmes coupes obtenues par les résultats HlH,HC<.<U-"- [69] (en noir), du code Monte Carlo [67[

et les résultats d'un code Monte Carlo approché Eclipse [69]. comparaison permet vérifier que diffusion angulaire est calculée correctement par tous les modèles.

De ce premier cas nous pouvons conclure que dans un milieu homogène, le modèle Trumpet est satisfaisant pour calculer le dépôt d'énergie. De plus, les

77

Longitudinal energy deposition of an electron bearn Mono energetic spectrum, in water

l

3~~~~~~~~,-,

~ 2 0

"0 "0 ~

1: 1.5 8 Ci z 1

00

100

~ 80

~ 60

Lo ~ ~ 20

2

- Ml - TrumpetSB - Trumpet

4 6 8 10 z (cm)

a

(c) 12 MeV

. :$ .. ww .. tu. WI.,GIOII - M..,_t. aorlo~MI!) _ ..,._....,

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 '

De pth z (cm) 1

c

~

1.4

1.2

.g 1

]0.8

]o.6 c: z0.4

0.2

0

~ ~

'5 Il. œ -8 ! c

~

Tranvcrsal cncrgy deposition (z = 3 cm) 12 MeV )tlono energetic spectrum. in water

1 1

Ml - TrumpetSB - Trumpet

0 y (cm)

b G- - MIMI:eC.Iil'lotMC}

(c ) 12 M e V - Me.;a•lfturnw~.t - Bi.,._ MC

150

100

50

-8 -6 -4 -2 0 2 6 8 X(cm)

d

FIGURE 3.6 - Dépôt d'énergie d'un faisceau mono énergétique d'électrons de 12 MeV dans de l'eau (Solid water RMI 457 [69]). Les coupes longitudinales ainsi que les coupes transverses pour z = 3 cm calculées par les modèles Trumpet (en bleu), TrumpetSB (en vert) et Ml (en rouge) sont tracées respectivement en a) et en b). Les mêmes coupes longitudinales et transverses obtenues par les mesures expérimentales [69] (en noir), les résultats du code Monte Carlo DOSXYZnrc [67] (en rouge) et les résultats d'un code Monte Carlo approché Eclipse [69] sont tracés respectivement en c et d

deux modèles sont très rapides (maillage 100 x 100 : 10 secondes pour Trumpet, 20 secondes pour Trumpet , 2 min pour Ml) par rapport au temps de calcul du code Monte Carlo DOSXYZnrc (plusieurs heures).

78

Comparaisons à chaud dans du DT

Ici, nous comparons le dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons dans des con­ditions plasma plus proches du cadre de l'allumage rapide. La figure 3.7 représente le dépôt d'énergie calculé avec des modèles Trumpet (en haut) et TrumpetSB (en bas) d'un faisceau d'électrons mono-énergétiques de 1.5 MeV (figure 3.7-a). Les résultats des calculs pour des faisceaux avec un spectre en énergie en forme de gaussienne exponentielle décroissante de température 1.5 MeV sont présentés sur la figure 3.7-b. Les électrons se propagent dans un plasma de Deuterium Tritium de température homogène 5 keY et de densité 300 g.cm-3

.

0 O.J 05 0.0 1 0 D.JOS

a b

0.8

0.6

0.4

02

0

O.J15

FIGURE 3. 7 - Calcul de dose d'un faisceau d'électrons dans du DT à T = 5 KeY et p = 300 g.cm - 3 avec les modèles Trumpet (en haut) et TrumpetSB (en bas). a- Faisceau d'électrons mono-énergétiques de 1.5 MeV. b- Faisceau d'électrons avec un spectre en énergie en forme de gaussienne exponentielle décroissante de température 1.5 MeV.

On constate que la forme du dépôt d'énergie calculée par le modèle Trumpet (figure 3.7 en haut) par rapport à TrumpetSB (figure 3.7 en bas) est toujours aussi piquée dans le cas mono énergétique mais qu'elle s'améliore très nettement dans le cas d'un faisceau avec un spectre large.

Nous avons également, sur la figure 3.8, présenté les dépôts d'énergie calculés par le modèle Ml avec les résultats Monte Carlo [71] du code DUED [70] pour les même faisceaux d'électrons mono-énergétiques (figure 3.8-a) et multi-énergétiques (figure 3.8-b) présentés sur la figure 3.7. La forme du dépôt calculée par le modèle Ml reproduit correctement celle obtenue avec le code Monte Carlo DUED.

Pour valider quantitativement la dose déposée, nous avons tracé sur la figure 3.9, les coupes longitudinales dans le cas mono et multi-énergétiques des modèles Trumpet , TrumpetSB et Ml en a), et également celles du modèle Ml et du code Monte Carlo DUED [70] en b). On remarque (figure 3.9a), que dans le cas

79

a b

0 .8

0 .6

0.4

0.2

0

0.8

0.4

0.2

0

FIGURE 3.8 - Calcul de dose d'un faisceau d'électrons dans du DT à T = 5 KeY et p = 300 g.cm- 3

. Comparaison des modèles Ml (en haut) avec les résultats du code Monte Carlo DUED [70] (en bas) présenté dans [71]. Les cas sont les même que ceux présentés dans la figure 3.7 : a- mono énergétique , b- multi énergétiques.

- Trumpet

3 - TrumpetSB - Ml --· Trumpet multi -- · TrumpetSB multi --· Ml multi 2

0~~~~====~~==~~ 0 0.005 O.ül 0.015 z(cm)

a

CHIC-MI •••• DT p lasma p = 300 g/cm3 1' =5 keY

monoenergetic be:mt init'nl energy of 1.5 1eV

expone111ialkinetic energy dis tribution with average initial encrgy of 1.5 MeV

1

pz (g/cm2)

b

FIGURE 3.9- Coupe longitudinales de faisceaux d'électrons dans du DT à T = 5 KeY et p = 300 g.cm- 3

. a) Comparaison des modèles Trumpet, TrumpetSB et Ml des faisceaux mono et multi-énergétiques présenté sur la figure 3.7. b) Comparaison du modèle Ml avec les résultats du code Monte Carlo DUED [70] présentés dans [71].

mono-énergétique, la dose calculée par le code Trumpet est très piquée mais l'effet

80

du blooming et straggling améliore nettement le profil du dépôt. Le dépôt de TrumpetSB est en bon accord avec celui de Ml, qui par ailleurs, est très similaire au dépôt d'énergie calculé avec le code DUED [70] (3.9b).

Par contre, tous les modèles ont des résultats très similaires pour le cas multi énergétique (figure 3.9a) et sont en bon accord avec les résultat Monte Carlo (figure 3.9b).

3.3.3 Validations du transport d'électrons en milieu non­homogène

Les gradients de densité et de température présentent des difficultés consid­érables pour les modèles réduits, surtout quand les longueurs de variation corre­spondantes sont comparables avec le parcours moyen des particules. Dans cette section, nous allons d'abord valider le modèle Ml dans un milieu inhomogène en le comparant avec des codes hybrides [76, 77]. De plus, il a déjà été montré dans la littérature [7 4], que le modèle Ml calculait correctement le dépôt d'én­ergie d'électrons dans un milieu inhomogène en le comparant au code Monte Carlo PENELOPE [75].

Cas test du modèle M1 dans un milieu inhomogène

Dans cette partie, nous allons comparer le dépôt d'énergie d'un faisceau d'élec­trons dans une cible de Deuterium Tritium présenté dans [76]. Le profil de cette cible est représenté sur la figure 3.10.

-75 L.._ ______ __.

0 50 100 150 50 100 150 z (Jlm) z (Jlm)

FIGURE 3.10- Coupe centrale à travers une configuration de cible implosée : (a) isocontours en g cm - 3 et (b) profils de densité à r = 0 [76].

Le faisceau d'électrons est injecté à l'abcisse z = 0 JLm, c'est à dire à 100 JLm du centre de la cible. Sa distribution transverse est une super gaussienne avec un

81

HWHM de 20 JLm. Le faisceau est composé d'électrons mono-énergétiques de 1.6 MeV et sa divergence angulaire initiale est de 35°.

·e (J/cm3)

0 .3 3~4

'75 ..-... ·s -UJ 0 :l' "Cl m:

-7·50 50 100 150 z ( JLm)

FIGURE 3.11 - a) Dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons mono-énergétique de 1.6 MeV, avec une distribution spatiale transverse en forme de super gaussienne avec un HWHM de 20 JLm et un distribution angulaire initiale de 35 °. Comparaison du dépôts d'énergie du modèle Ml (en haut) avec celui du code hybride SARAH (en bas) [72, 73]. Les électrons se propagent de la gauche vers la droite dans un plasma de densité correspondant à la figure 3.10 et une température fixe de 5 keY.

Pour valider le modèle Ml dans un milieu inhomogène, nous avons comparé dans la figure 3.11, son dépôt d'énergie avec celui du code hybride SARAH [72] dont les résultats son présentés dans [76]. On remarque que le modèle Ml reproduit très correctement le dépôt d'énergie par rapport au code hybride SARAH [72]. Nous pouvons conclure que le modèle Ml traite convenablement le dépôt d'énergie dans un milieu inhomogène.

Cas test du modèle M1 dans une configuration de schéma d'allumage rapide

Dans cette partie, nous allons comparer le dépôt d'énergie d'un faisceau d'élec­trons dans une cible de Deuterium Tritium [77]. La cible cryogénique de DT est implosée avec 300 kJ d'énergie laser de compression [78]. Le profil en deux di­mensions de cette cible en densité est représenté sur la figure 3.12-a. Les coupes

82

60

20

()

Target-plasma denslty (x 1Q26 cm--3)

- w -

~' ,: a

0.5

0

~ :=~ 101 l..:::d

0 50 100 151 r (J.Lm)

b

FIGURE 3.12- a) Isocontours en 1026 cm-3 du profil de densité d'une configuration de cible implosée [77]. b) Coupes à partir du centre de la cible du profil de densité en g.cm-3 (en haut) et du profil de température en eV (en bas).

longitudinales de densité et de température partant du centre de la cible sont représentées sur la figure 3.12-b.

Le faisceau d'électrons est injecté à 125 JLm du centre de la cible. Sa distribution transverse est une super gaussienne avec un FvVHM de 30 JLm. Le faisceau est com­posé d'électrons mono-énergétiques de 2 MeV et leur divergence angulaire initial est de 30°. La figure 3.13 représente le dépôt d'énergie du modèle Ml (en haut) avec celui du code hybride DRACO-LSP [79] couplé au code hydrodynamique DRACO [80] dont les résultats sont présentés dans [77]. On remarque que le mod­èle Ml reproduit encore très correctement le dépôt d'énergie par rapport au code DRACO-LSP [79, 80]. Ce cas de validation confirme la capacité du modèle Ml à calculer convenablement le dépôt d'énergie dans un milieu inhomogène.

83

...-.. 60 4 20

0 101

100

1(t-1

0 50 100

z (~tm)

FIGURE 3.13- a) Dépôt d'énergie d'un faisceau d'électrons mono-énergétique de 2. MeV, avec une distribution spatiale transverse en forme de super gaussienne avec un FvVHM de 30 JLm et une distribution angulaire initiale de 30 °. Comparaison du dépôts d'énergie du modèle Ml (en haut) avec celui du code hybride LSP (en bas) [77]. Les électrons se propagent de la droite vers la gauche dans un plasma de densité et de température présenté sur la figure 3.12.

Comparaison des modèles Trumpet et TrumpetSB avec M1 sur un bloc de densité

Nous avons montré dans les cas tesst précédents que le modèle Ml calculait correctement le dépôt d'énergie dans un plasma inhomogène. C'est pourquoi nous le considérons comme référence pour valider les modèles Trumpet et TrumpetSB dans ce qui suit. Dans ce cas test, nous comparons les calculs de dépôt d'én­ergie des modèles Trumpet et TrumpetSB avec celui du modèle Ml d'un faisceau d'électrons mono-énergétiques de 2.5 MeV dans un plasma de Deutérium Tritium (DT) inhomogène transversalement. Nous nous plaçons dans le cas le plus sévère, correspondant à une marche d'escalier de gradient transverse infini.

Dans un premier temps, pour mieux comprendre les effets des inhomogénéités, nous avons calculé le dépôt dans un plasma homogène. Les électrons sont in­jectés par le bord gauche et se propagent suivant z positif. Les figures 3.14-a-b-c représentent les dépôts calculés dans un plasma de densité constante de 50 g.cm - 3

.

Un grand rayon de faisceau initial, combiné à une distribution en énergie étroite très piquée est une configuration très défavorable au modèle Trumpet avec ou sans

84

a b c

d e f

d g h

FIGURE 3.14 - Dépôt d'énergie d'un faisceau mono énergétique de 2.5 MeV à travers un plasma inhomogène en densité de température fixée à 1 keY. Dose cal-

culée dans un milieu homogène à 50 g.cm-3 par les modèles: a-Ml 1 b-TrumpetSB 1 c- Trumpet. Dose calculée avec l'introduction d'un bloc de densité de 300 g.cm- 3

par les modèles : d-Ml 1 e- TrumpetSB 1 f- Trumpet. Dose calculée avec l'intro­

duction d'un bloc de densité de 300 g.cm- 3 par les modèles g- TrumpetSB avec corrections en densité 1 h- Trumpet avec correction en densité.

straggling et blooming ( TrumpetSB). En comparaison avec le modèle Ml, le mod­èle Trumpet sousestime la dose en fin de propagation et la diffusion du faisceau est surévaluée. Le modèle TrumpetSB améliore le dépôt mais surestime également légèrement la dose en fin de la propagation. La taille du dépôt d'énergie est en outre un peu plus grande que celle calculée par le modèle Ml.

Sur la figure 3.14d-e-f, un bloc de 300 g.cm-3 de densité est placé sur l'axe de propagation du faisceau d'électrons. Ce bloc, figuré par le rectangle blanc, mesure

85

1

il) 'il) 0.8 rf) ·-"a 80.6 1-< 0 ~ 11)0.4 rf)

0 Q

0.2

~~wf_~-l~-~f~~------------~--~ - d-M1

Il

• • Il I l

1 1 1 1 1 1 \ \ \ \

\ 1 \ 1

\ ~ 1 ... , 1

1 1 1 1 1 \ 1 \

--- e-TrumpetSB sans correction --- f-Trumpet sans correction - g-TrumpetSB avec correction - h-Trumpet avec correction

\_ ~ .. .:.:::: _.... .... .... t>-===:::::====::71""":::::

0.01 0.02 z (cm)

0.03 0.04

FIGURE 3.15- Coupes longitudinales (au centre du faisceau d'électrons) des dépôts d'énergie d'un faisceau d'électrons mono-énergétiques de 2.5 MeV avec l'introduc­tion du bloc de 300 g.cm- 3 présenté sur la figure 3.14d-e-f-g-h. Nous représentons les résultats des modèles : d-Ml, e- TrumpetSB, f- Trumpet, g- TrumpetSB avec cor­rection en densité, h- Trumpet avec correction en densité.

166 JLm de long, 20 JLm de large et est situé à 44 JLm du bord d'injection. Pour un plasma DT homogène de 50 g.cm- 3

, la distance d'arrêt moyenne est de 330 JLm, tandis qu'avec une densité de 300 g.cm-3 la distance d'arrêt se réduit à 90 JLm. Dans le modèle Trumpet, chaque beamlet s'élargit dans le sens transversal en fonction de l'état du plasma le long de son axe central. Ainsi, les changements de densité du plasma, dans le sens transversal ne sont pas pris en compte si aucune variation se produit sur l'axe du beamlet.

Cet effet peut être vu dans la figure 3.14-f où le modèle Trumpet surestime le dépôt d'énergie en dehors du bloc de 300 g.cm-3 pour z :::; 1ÜÜJLm et ne prend plus en compte le bloc de densité pour z ~ 100JLm. Cet effet est aussi observable par l'augmentation rapide de la diffusion des beamlets du milieu, qui déposent trop d'énergie en dehors du bloc, comme si la densité était également de 300 g.cm-3

.

Comme la distance d'arrêt dans un bloc de 300 g.cm- 3 de DT est de 90 JLm, une surestimation d'environ 6 fois la dose normale est observée dans le sens transversal entre z = 44 et 100 JLm . Inversement, les beamlets extérieurs qui se croisent

86

rencontre une densité de 50 g.cm-3 s'élargissent et déposent leur énergie dans le bloc dense sans tenir compte de l'augmentation de la densité. Par conséquent, la dose dans le bloc dense est la 3.15 sont les coupes longitudinales (au centre du faisceau d'électrons) des dépôts différents modèles avec l'introduction du bloc de 300 . On constate en effet que dépôt central calculé le modèle Trumpet (figure ~i.15-f), est inférieur à celui Ml. Enfin, derrière le bloc la est car eUe est exactement la soustraction de la contribution des beamlets du centre

ont bloc moins l'énergie déposée calculée sans bloc densité (figure 3.14-c).

Le dépôt d'énergie du modèle TmrnpetSB avec "oo····o et blooming (figure ~1. erreurs, mais ne résout pas le problème. dépôt dans le bloc dense après z - 100 JLin est (figure 3. a pas d'ombre derrière le bloc.

figure 3. les modèles avec blooming et et Trurnpet en compte corrections densité dans la section 3.1.3. Comme on peut le voir sur les coupes figure 3.15-g-h, ces corrections améliorent le calcul de dose dans bloc

densité pour les deux modèles Trumpet et TrumpetSB, même si le dépôt au début du bloc de densité reste toujours un peu sous estimé. l'ombre derrière le bloc en rien modifiée par rapport au calcul sans corrections densité des modèles et TmmpetSB (figure 3.14-g-h). particulier, la dose calculée par modèle TmmpetSB (avec straggling et blooming) est toujours

derrière le bloc de densité. temps de calculs des modèles sont pour un maillage 200 x 200 cartésien de : 15 secondes pour le modèle ,10 secondes pour modèle

TrnmpetSB et 7 minutes pour modèle Ml.

3.3.4 Validation du transport d'ions en milieu homogène

partie est à la validation nos modèles du transport ions en milieu homogène.

modèles sont à des simulations Monte-Carlo le code MCNPX [81, 89]. Dans le premier cas, on considère un faisceau mono de 12 propageant à travers un à T iWOK et p 1 g.cm - 3

. dépôt de dose fonction de la profondeur de propagation. modèles calculent correctement distance d'arrêt à 0,185 cm. Toutefois, le modèle Trnmpet calcule un dépôt plus piqué. Le modèle Trnmpet avec blooming et straggling lisse le pic Bragg, et est en meilleur accord avec le résultat I\lonte Carlo. comparaison entre 1\:fl et les courbes Monte Carlo montre un bon accord dans le dépôt d'énergie. La figure 3.16

87

Longitudinal energy deposition of a proton beam rvlono energetic spectrum (12 r..,leV), in carbon (p = 1)

2 ,.------~""'_1- Monte Carlo

·. - Ml

(11 .5 O.R 0. - TrumpetSR

·. - Trumpet .g 06 ,.,;:;::::--~"'/

Il\ .1\\ \;\ J --J

LL\\ 1 1 ~1 0 2 \ \ . -, /'1

0 --------- j )/: / 0_18 0_185 0_19 0_ 195 0_2 //

_ __,-" 1 _____ ---;;..."' 1

-o il)

. ~ 1

"' § c ?:0 .5

0.4

0o~~~0~. 0~5~~-0~.~~--~~0~.1~5--L-~0.2 z (cm)

a

§0.8 .,;

]0.6 ~ §0.4 c ;z:0.2

Tranversal energy deposition (z ~ 0.15 cm) Mono energetic spectrum (12MeV), in carbon (p = 1)

- Monte Carlo - Ml - TrumpetSB - Trumpet

0.04 0.05 y (cm)

b

FIGURE 3.16 - Calcul de dose d'un faisceau de protons mono-énergétiques de 12 MeV dans du Carbon à T = 300K et p = 1 g.cm - 3 avec les modèles Monte Carlo [81], Ml, Trumpet et TrumpetSB, dans le sens longitudinal (figure a) ) et transversal à z = 0.15 cm (figure b).

b) présente les coupes transversales à z = 0.15 cm. Cette comparaison permet de vérifier que la diffusion angulaire est calculée correctement par tous les modèles.

Longitudinal energy deposition of a proton beam Multi energetic spectrum, in carbon ( p = 1)

'-' .g 0.8 .,; '-' lj0.6

"' ê ;t0.4

0.2

0 0.05 0.1 0.15 z (cm)

a

0.6

1;l 0.5 0

~0.4 "' ~0.3 ê ~0.2

0.1

Tranversal energy deposition (z ~ 0.15 cm) Multi energetic spectrum, in carbon ( p = 1 )

- Monte carlo - Ml - TrumpetSB - Trumpet

0.04 0.05 0.06 0.07 y (cm)

b

FIGURE 3.17 - Calcul de dose d'un faisceau de protons multi-énergétiques dans du carbone à T = 300K et p = 1 g.cm- 3 avec les modèles Monte Carlo [67], Ml, Trumpet et TrumpetSB. Le spectre faisceau de protons est une gaussienne centrée à 10 MeV avec une FvVHM de 2 MeV. La figure a) représente une coupe longitudinale du dépôt et la figure b) représente une coupe transversale à z = 0.15 cm

Dans la figure 3.17, le faisceau mono-énergétique a été remplacé par un faisceau de distribution gaussienne d'énergie moyenne de 10 MeV avec un écart type de

88

JE= 2 MeV. La comparaison avec Monte Carlo est améliorée, en particulier pour le modèle Trumpet où le lissage est produit par la superposition des ions d'énergies différentes.

Pour le cas mono énergétique (figure 3.16) les temps de calcul des modèles sont 5 secondes pour Trumpet, 20 secondes pour TrumpetSB, 4 minutes pour Ml et 1 heure pour le code Monte Carlo MCNPX. Pour le cas multi énergétique (figure 3.17) les temps de calcul des modèles sont 15 secondes pour Trumpet, une minute pour TrumpetSB, 4 minutes pour Ml et 1 heure pour le code Monte Carlo MCNPX. Dans le cas d'un faisceau d'ions, présentant une distribution en énergie, le modèle Trumpet est donc le plus adéquate pour le calcul du dépôt d'énergie dans le code hydrodynamique.

3.3.5 Validation du transport d'ions en milieu inhomogène

Avec les ions, les erreurs du modèle Trumpet dans le sens transversal sont beaucoup moins visibles du fait d'une diffusion plus faible. C'est ce que montre la figure 3.18 où un faisceau d'ion moyen DT (de masse mi = 2.5 mp et de charge Z = 1) avec une énergie de 45 MeV se propage dans le même milieu que dans le cas présenté sur la figure 3.14 . Même sans corrections de densités, le dépôt d'énergie de Trumpet avec ou sans straggling et blooming (3.18b-c) reproduit correctement celui du modèle Ml (3.18a).

a b c

FIGURE 3.18 - Dépôt d'énergie d'un faisceau d'ions DT de 45 MeV à travers un plasma inhomogène, présenté sur les figures 3.14-d-e-f-g-h. Dose calculée par les modèles a-Ml 1 b- TrumpetSB 1 c- Trumpet.

Les ions diffusant beaucoup moins que les particules légères, le dépôt d'énergie par faisceau d'ions ne dépend quasiment que de la densité et de la température du plasma le long de la direction de propagation, tandis que les changements dans le sens transversal n'ont qu'un effet négligeable. Le dépôt d'énergie longitudinal au centre du faisceau d'ions calculé par les modèle Ml (a: en rouge), TrumpetSB (b: en vert) et Trumpet ( c : en bleu), est tracé sur la figure 3.19. Le calcul de dose

89

dans le bloc est bien reproduit par les modèles Trumpet et TrumpetSB malgré un pic de Bragg un peu trop resserré par rapport à Ml. Les temps de calculs des modèles sont pour un maillage 200 x 200 cartésien régulier de : 15 secondes pour le modèle Trumpet, 45 secondes pour le modèle TrumpetSB et 10 minutes pour le modèle Ml.

1.2

~~]J)_ç_d_e_lQ_O_g(ç~---~

- a-Ml - b-TrumpetSB - c-Trumpet

OL-~--~~--~--L_~--~~--~--L_~--~ 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

z (cm)

FIGURE 3.19- Coupes longitudinales (au centre du faisceau) des dépôts d'énergie d'un faisceau d'ions DT de 45 MeV à travers un plasma inhomogène, présenté sur la figure 3.18. Dose calculée par les modèles a-Ml 1 b- TrumpetSB 1 c- Trumpet.

Le modèle Trumpet est bien adapté aux calculs de dépôt d'énergie d'ions et peut être utilisé dans des conditions réalistes. En termes de temps de calcul, le modèle Trumpet fait gagner un facteur d'environ 10 par rapport au modèle Ml et un facteur 100 par rapport à des simulations Monte-Carlo.

90

3.4 Intégration dans le code hydrodynamique CHIC

3.4.1 Dépôt d'énergie sur les électrons du plasma

Le couplage des deux modèles de transport Ml et Trumpet avec le code hydro­dynamique CHIC [lü] est effectué à travers l'équation de conservation de l'énergie. Nous supposons que le dépôt d'énergie des particules se fait uniquement sur les électrons du plasma. Nous ajoutons donc un terme source supplémentaire décrivant le dépôt d'énergie des particules ( sainJ calculé par le module de transport dans l'équation de l'énergie des électrons du plasma :

(3.51)

où fe désignant l'énergie interne des électrons du plasma, À est la conductivité thermique du matériau, Te, Ti sont les températures électronique et ionique, w le coefficient de couplage entre les populations électroniques et ioniques et SJaser le terme source dû au dépôt d'énergie laser.

3.4.2 Couplage entre les modèles de transport et CHIC

Au cours d'un calcul hydrodynamique Lagrangien, en particulier au moment de la stagnation d'une cible FCI, le maillage peut être fortement déformé. C'est pourquoi nous avons choisi de construire un maillage propre au module de trans­port. Ainsi, les profils de température et de densité du plasma, calculés par CHIC, sont projetés à chaque pas de temps sur le maillage propres au module cinétique. Le dépôt d'énergie calculé par le module de transport est ensuite reprojeté sur le maillage hydrodynamique et couplé à l'équation d'énergie comme nous l'avons montré plus haut.

Les paramètres nécessaires au calcul du transport de particules sont les cartes 2D de la densité et des températures électronique et ionique du plasma. Ces grandeurs provenant du maillage Lagrangien sont projetées sur le maillage cartésien du module de transport par une approximation bilinéaire [68]. Cette approximation est beaucoup plus rapide qu'une projection exacte qui, en plus d'être contraignante à mettre en place, serait très coûteuse en temps de calcul. Rappelons que nos mod­ules de transport doivent être suffisamment rapides pour être compatible avec les temps de calcul hydrodynamique. Le dépôt d'énergie du faisceau de particules est alors calculé sur ce maillage secondaire (cartésien et régulier). Le dépôt d'énergie est ensuite reprojeté sur le maillage hydrodynamique. Cette reprojection est aussi

91

a b

FIGURE 3.20- a-Projection du profil de densité de Deuterium Tritium (en échelle logarithmique) d'un maillage irrégulier (relatif au maillage du code hydrody­namique Lagrangien) en bas, sur un maillage cartésien régulier (relatif au maillage propre au transport) en haut. b- Projection du dépôt d'énergie d'un faisceau d'ions DT mono-énergétiques de 30 MeV avec une diffusion angulaire initiale de 6° du maillage régulier (relatif au maillage propre au transport) en haut, sur le maillage irrégulier (relatif au maillage du code hydrodynamique Lagrangien) en bas.

une approximation bilinéaire assurant la conservation de l'énergie totale déposée. Cette approche permet de faire fonctionner les deux modèles en s'affranchissant du maillage quelconque que peut générer le code CHIC.

Cet méthode a deux avantages : elle permet de définir le niveau de précision du calcul du transport des particules de manière complètement indépendante du calcul hydrodynamique. En outre, le faisceau peut être généré n'importe où à l'in­térieur du maillage hydrodynamique (et pas nécessairement sur un bord extérieur). Pour illustrer notre méthode, nous présentons sur la figure 3.20 le dépôt d'énergie calculé avec le modèle TrumpetSB d'un faisceau d'ions DT mono-énergétiques de 30 MeV avec une diffusion angulaire initiale de 6° (figure 3.20-b) dans un plasma de DT avec un profil de densité (figure 3.20-a) correspondant à la stagnation d'une cible avec cône présentée dans le chapitre 4 . Afin de prouver numériquement que notre projection fonctionne correctement, nous avons imposé un maillage très ir­régulier (figure 3.20-a en bas) qui représente le maillage du code hydrodynamique Lagrangien CHIC. Les conditions initiales en densité et en température du mod­ule de transport sont projetées sur un maillage régulier cartésien, (figure 3.20-a en haut). On peut observer que la projection bilinéaire reproduit correctement le profil de densité du maillage Lagrangien sur le maillage propre au transport de particules.

92

dépôt des particules est ensuite calculé avec nos modèles sur ce maillage cartésien régulier (figure 3.20-b en haut), puis, pour coupler dépôt d'énergie avec le code hydrodynamique, il est reprojeté sur le maillage irrégulier (figure 3.20-b en bas). reprojection, où l'on assure en plus la conservation de

déposée, reproduit elle aussi correctement le dépôt des Sur cet coût en temps projection et de la reprojection

est assez court, quinze secondes. Cet exemple notre méthode projection maillage.

Nous avons démontré la méthode projections qui conserve l'énergie totale déposée donnait bons résultats pour un mailiage Lagrangien perturbé. Le temps de calcul la projection et de la reprojection est acceptable. Dans l'exemple ci dessus, il est 1.5 s et il peut augmenter à minutes si les sont importants (150 x mailles chacun).

93

3. 5 Discussion

L'enjeu de ce travail de thèse est de proposer modèles simplifiés qui ren-compte principales du processus transport cinétique

et qui soient suffisamment rapides et efficaces pour être introduit directement dans un hydrodynamique corrnne modules complémentaires. cet objec-tif, nous avons dans ce chapitre modèles : Tmmpet, TmmpetSB et Ail, avons établi cas test de et défini couplage au hydrody-namique CHIC [10].

modèle Trumpet est le modèle le une multidimensionnelle du modèle 1D de Li & Petrasso [7] et prend en compte les pertes d'énergie des particules ainsi que l'élargissement du faisceau par un calcul d'angle moyen diffusion. Le second modèle plus évolué TrnmpetSB, modélise en plus les de diffusion longitudinales et transverses j8[ ( stmggl-ing et blooming). Enfin, modèle aux moments 1\:fl, est un modèle plus précis et détaillé. Il est multidimensionnel et construit à partir des équations cinétiques de Fokker Planck [57]. Il sur la résolution des deux moments angulaires avec une fermeture sur un de minimisation l'entropie [9].

Tous ses modèles fonctionnent en géométrie et peuvent appliqués pour transport des et ions. Ils sont développés sur des maillages et sont capables de traiter tout de distributions de particules en ou en espace. Les modèles Tmmpet et Tntm-petSB sont stationnaires et très rapides. Ils calculer le dépôt d'un faisceau particules quelconque en quelques secondes sur des maiUages très fins (200 x 200 mailles). Le modèle Afl est instationnaire et plus précis. Son temps calcul est de l'ordre de quelques minutes sur maiUages fins (100 x 100 maiUes) si les de plasma lequel se propage faisceau de ne sont pas trop faibles. principal du modèle Ml, qui à cause de la condition (3.48) impose un pas de groupe en proportionnel à

du plasma. de très faibles comme l'air ou la couronne de plasma autour cible FCI, peuvent réduire considérablement des

groupe en donc augmenter leur nombre et par conséquent le temps calcul.

Néanmoins, à travers cas tests validation, nous avons prouvé que les résultats du modèle Ml reproduisaient très bien ceux codes Monte Carlo ou hybrides, pour les électrons comme pour les ions, milieux homogènes ou inhomogènes. temps de calcul du modèle Ml était de minutes, ce qui est beaucoup plus rapide que les temps de des codes hybrides ou Monte Carlo qui sont de quelques heures. Les codes Tn1mpet et Tn1mpetSB reproduisent correctement dépôt d'énergie des d'électrons ou d'ions quand ils se propagent dans un plasma homogène, bien que dépôt

du modèle Trumpet est très piqué quand il de faire un faisceau mono-énergétique. Lorsque diffusion angulaire des faisceaux est importante, no­tamment dans cas des électrons, et que la densité du plasma est inhomogène transversalement, les modèles Trnmpet et TrurnpetSB ont des difficultés à calculer le bon dépôt d'énergie. Néanmoins, corrections en densité présentées dans la section 3.1.3 améliorent nettement le calcul du transport des deux modèles. pourquoi modèles Trumpet et TrumpetSB sont bien pour transport

particules lourdes (ions) et pour des faisceaux peu transversalement. Enfin, les modèles Ttumpet, TrumpetSB et ]1.![1 sont intégrés un module

couplé au code hydrodynamique CHIC [lü]. supposons que dépôt d'énergie particules se fait uniquement sur les électrons du plasma. C'est pourquoi nous

ajoutons un terme source supplémentaire dépôt des partic-ules calculé module de dans de électrons du plasma du code hydrodynamique. Nous avons aussi choisi construire un

, ... ,wn·a au module transport, car au cours d'un calcul hydrodynamique maillage peut fortement profils de tempéra-

ture et densité du plasma, calculés par code CHIC, sont projetés à chaque pas temps sur le maillage propre au module cinétique. Le dépôt d'énergie calculé

par le module de transport est ensuite reprojeté sur maillage hydrodynamique et couplé à l'équation Cette méthode projection conserve totale déposée du faisceau particules rapides, et donne bons résultats même pour un maillage Lagrangien très perturbé. de calcul de la projection et de la reprojection est assez rapide, de l'ordre de quelques minutes pour maillages importants (15ü x 150 mailles chacun).

modèles de transport Trumpct, TrnmpctSB et 11!11 décrivent à présent seulement les collisionnels. Ces collisionnels validés, l'ajout

collectifs fait parti des développements futurs proches et ne devrait pas difficultés. effet, comme modèles transport peuvent

calculer le courant incident du d'électrons relativistes, le chauffage résistif provoqué par le courant retour électrons froids peut par la formule (2.89) (présentée dans la section 2.4.1). Le champ résul-

provoqué par le courant s'obtient en résolvant l'équation (2.9;~) dans la section . Un module du CHIC [lü]

et permet donc de calculer l'évolution au crous du temps du champ magnétique. Il restera alors à calculer l'effet du pincement magnétique et sur

95

Cl1apitre 4

Applications des n1odèles de tra11sport

4.1 Sin1ulation d'un diagnostic d'imagerie protonique d'une expérience de cornpression d'un cylindre par laser

4.1.1 Présentation de l'expérience

[83], a été réalisée dans l'installation VULCAN du RAL au dans le cadre de rapide pour le projet avait pour objectif d'étudier propagation d'un faisceau d'électrons relativistes dans un cylindre comprimé au moyen de faisceaux laser nanosecondes. com-pression permettrait d'atteindre conditions plasmas pertinentes pour la FCI en allumage rapide. était constituée deux phases. La première fut dédiée à l'étude de la compression cylindres polyamide creux remplis

mousse plastique différentes densités initiales afin de modifier la température et la densité pendant la phase stagnation. La seconde phase fut

à l'étude du transport d'un se propageant plasma comprimé sur l'axe du cylindre.

figure 4.1 illustre le déroulement de La compression a en focalisant quatre faisceaux lasers d'impulsion longue vert) sur les cibles orange). A la un laser court de haute (5. 1018 vV

crn2, Hl ps) focalisé le long de du cylindre pour un faisceau

rapides. Le cylindre était fermé de chaque côté par des feuilles d'une 20 ttrn, faites de nickel sur la face avant et cuivre sur face arrière.

96

Laser à impulsion longues pour compresser le cylindre : 1 ns- 70 J chacuns

Bouclier en or

..... -Laser à impulsion courte pour générer les électrons chauds, 1 Ops- 160J

Feuille de Nikel pour la génération d'électrons rapides

FIGURE 4.1 - Schéma de l'expérience représentant d'une part la cible, composée du cylindre en plastique (C-H, en orange), de la feuille de cuivre (marron), de la feuille de Nickel (en bleu), et du bouclier en or (jaune). Les lasers de compression sont aussi schématisés (en vert) ainsi que le laser à impulsion courte pour générer les électrons chauds (en rouge).

Un bouclier en or protégeait la feuille de Ni des faisceaux laser de compression. Les dimensions de la cible sont présentées sur la figure 4.2.

170.5J.UI1 20J,UTI ..,. ___________________ > --

----~~~~-----

220J.UI1

FIGURE 4.2 - Dimensions de la cible utilisée au cours de l'expérience

97

Nous nous intéressons à la première phase de l'expérience consistant à décrire correctement la compression du cylindre. Expérimentalement, deux diagnostics ont été utilisés : une radiographie par rayons X et une radiographie par protons. C'est ce dernier diagnostic que nous avons décrit au moyen de nos modèles de transport.

4.1.2 Présentation du diagnostic

La radiographie protonique [85-87], permet de déterminer la distribution de la densité au cours de l'implosion en mesurant les pertes d'énergie et les déviations angulaires des protons.

d= 1 cm L= 3cm

Cible

Feuille d'or Faisceau de protons

1 Empillement de RCF

FIGURE 4.3- Schéma du diagnostic à proton

La figure 4.3 présente la géométrie du diagnostic. La source des protons (en rouge) a été réalisée à l'aide d'un faisceau à impulsion courte de l'installation laser VULCAN, fournissant entre 100 et 150 J en 1ps, focalisé à incidence normale sur une feuille d'or (en jaune) d'une épaisseur de 20 JLm située à une distance d = 1 cm de la cible cylindrique. L'intensité obtenue sur la feuille d'or a atteint 1.5 1019

vV cm- 2 sur une tache laser d'environ 20 JLm de rayon. Les protons (en bleus) sont produits par l'interaction du faisceau intense avec la feuille d'or et ont un spectre

98

d'énergie exponentiel décroissant d'une température d'environ 1.8 MeV. Le spectre multi énergétique, permet de sonder le cylindre à différents temps d'implosion en un seul tir car le temps de vol varie avec l'énergie des protons. Ainsi, sur une palette d'énergie de 1 à 10 MeV, il est possible en un seul tir de sonder le cylindre sur une fenêtre temporelle de 500 ps. Il faut néanmoins plusieurs tirs (environ 3) pour décrire totalement l'implosion du cylindre.

Le détecteur des protons est constitué d'un empilement de sept films Radio chromiques (RCF) en bleu ciel, de type MD-55 et HD-810 situés à L = 3.5 cm de la cible. La densité optique mesurée sur chaque couche active de RCF est proportionnelle à l'énergie déposée des protons [88]. Sur chaque image RCF, le profil 2D de densité optique est scanné et l'on en tire une coupe selon l'axe Ox. Le schéma 4.4 illustre le diagnostic protonique où l'on mesure le profil de densité optique.

y

4x70J

FIGURE 4.4- Schéma de la mesure du FvVHM sur les RCFs

Comme il est difficile de résoudre le problème inverse de restitution de la den­sité de cible à partir du signal détecté dans les RCFs (le problème n'a pas de solution unique), nous adoptons l'approche directe en utilisant les distributions de la densité obtenues à partir des simulations hydrodynamiques avec lesquelles

99

nous calculons le signal RCF attendu avec notre modèle et le comparons avec les données expérimentales.

La hauteur mesurée (FvVHM: Full vVidth at Ralf Maximum) est comparée au diamètre du cylindre comprimé obtenu par des simulations hydrodynamiques du code CHIC, [lü]. La compression calculée est différente suivant qu'on se place à üo ou à 45° par rapport à l'axe d'un faisceau laser nanoseconde car l'irradiation de quatre faisceaux ne permet pas une compression uniforme parfaite. Les profils hydrodynamiques de la température et de la densité du cylindre (initialement rempli d'une mousse de C-H de ü.l g.cm-3

) calculés avec le code CHIC [lü] à la stagnation (1.9 ns) sont tracés sur la figure 4.5. On constate que la compression laser n'est pas uniforme et qu'il est donc important de tenir compte de l'angle d'incidence du faisceau de protons par rapport aux faisceaux laser nanosecondes. Afin de retrouver les mesures expérimentales nous allons procéder en trois étapes :

Cylindre de CH remplie initialement d'une mousse de 0.1 g/cc Temps= 1.9 ns

(eV)

120

100

80

60

40

20

(g/cc)

12

9

6

3

FIGURE 4.5 -Profils 2D de la température (à gauche) et de la densité (à droite) du cylindre rempli initialement d'une mousse de C-H de ü.l g.cm-3 après 1.9 ns de compression laser. Ces profils ont été calculés avec le code CHIC [lü]

a) Pour chaque partie du spectre d'énergie des protons, on choisit les profils de densité et de température des résultats des calculs hydrodynamiques (nous verrons que c'est important) correspondant au temps de vol des protons.

lüü

b) On calcule avec le module de transport le dépôt dans tous les RCFs et pas seulement dans ceux correspondant au pic de Bragg. En partant du fait qu'un proton dépose l'essentiel de son énergie en fin de course (pic de Bragg), il est possible d'associer une couche de RCF à une énergie de proton telle que la distance d'arrêt du proton corresponde avec la position de la couche de RCF. L'étude approchée consiste à supposer que toute l'énergie des protons est déposée dans le pic de Bragg et qu'on peut négliger le dépôt d'énergie dans les RCF situés en amont de celui où se situe le pic de Bragg. Cette approximation n'est pas suffisante dans notre cas.

c) L'ensemble du spectre en énergie des protons est couvert en changeant les temps d'implosions (donc les profils hydrodynamiques) et l'énergie des protons incidents (correspondante au temps de vol). La dose finale dans les couches de RCF est calculée en faisant la somme des dépôts d'énergie de protons de chaque groupe énergétique pondérée par le spectre en énergie.

Avant d'étudier le dépôt d'énergie dans les RCFs, nous allons expliquer com­ment le pouvoir d'arrêt est calculé dans un matériau composé de plusieurs atomes et étudier quelle est l'influence de la température et de la densité sur le range des protons.

4.1.3 Pouvoir d'arrêt des protons dans du plastique C-H

Le pouvoir d'arrêt dans un matériau multi-espèce

Pour décrire la perte d'énergie d'un proton en collision avec un atome, nous utilisons la formulation de la section efficace présentée dans la revue [55] qui varie en fonction de la température et de la densité du plasma. Le pouvoir d'arrêt

massique SM est la somme des pouvoirs d'arrêt de la particule incidente sur chacun p

des atomes composant le matériau pondéré par la fraction massique des éléments. Il n'est pas tout à fait correct d'utiliser seulement le pouvoir d'arrêt d'un matériau équivalent avec une charge et une masse moyenne :

( 4.1)

avec (Z, A) étant le numéro atomique et la masse atomique du matériau équiv­alent. Ici, (Z1 , A1 , CI), (Z2 , A2 , C2 ) sont respectivement les numéros atomiques et les masses atomiques et les concentrations des éléments 1 et 2. En effet, la for­mulation du pouvoir d'arrêt pour des protons est quasi linéaire à la densité du matériau (2.81) :

101

SM = pS'f.vr, avec

On en déduit que pour un matériau multi-espèce composée de K éléments, la formulation du pouvoir d'arrêt peut s'écrire :

(4.3)

K

avec Cf:= CkAk/L C1A1 la fraction massique de l'élément k. Par exemple pour le l=l

C-H, nous comptons 50% de carbone et 50% d'hydrogène, donc Cc= CH = 1/2. Mais comme le carbone est 12 fois plus massif que l'hydrogène, la fraction massique du carbone est Cff = 12/13 alors que celle de l'hydrogène est Cff= 1/13 :

Sur la figure 4.6, nous avons tracé les pouvoirs d'arrêt des ions en fonction de l'énergie des protons dans du C-H (en rouge) et dans de l'eau (en bleu). Les deux milieux ont une densité de 1 g.cm - 3 et une température froide de 300 K. Les pouvoirs d'arrêt sont calculés avec des matériaux équivalents en traits pointillés et avec les fractions massiques des matériaux en traits pleins. On remarque qu'on peut faire une erreur de l'ordre de 10 % dans la valeur des pouvoirs d'arrêts si on les calcule avec ou sans prendre en compte la fraction massique des matériaux. Cette différence est présente dans le C-H même si elle est moins marquée que dans l'eau.

La dépendance du pouvoir d'arrêt avec la température

Au cours de l'implosion, le cylindre de plastique présente spatialement des zones de fortes variations en température, allant de la couronne non comprimée de plusieurs centaines d'eV, au centre comprimé et froid. Pour décrire l'influence de la température sur le transport des protons dans le cylindre, nous avons tracé sur la figure 4.7 le range des protons d'énergies variant entre 1 et 10 MeV dans du C-H à différentes densités et différentes températures de plasma.

102

-- C-H calculé avec matériau équivalent - C-H calculé avec fraction massique - H20 calculé avec fraction massique -- H20 calculé avec matériau équivalent

10 Energie (Me V)

100

FIGURE 4.6 - Pouvoirs d'arrêt des ions en fonction de l'énergie des protons dans le C-H (en rouge) et dans l'eau (en bleu) de densité 1g.cm-3 et de température 300 K. Calculs avec des matériaux équivalents en traits pointillés et avec les fractions massiques des matériaux en traits pleins.

Quelle que soit la température du plasma, le range (2.82), c'est à dire, la dis­tance de parcours des protons pondérée par la densité, augmente avec la densité du milieu traversé. D'autre part, cette variation est d'autant plus grande que la température du milieu est importante. On observe une augmentation du range avec la température pour une grande densité initiale. Quand la densité diminue, l'évolution du range est plus compliqué et son sens de variation avec la tempéra­ture peut s'inverser. Ceci provient d'une compétition entre l'effet du logarithme coulombien et celui du potentiel d'ionisation dont l'importance est déterminée par le degré d'ionisation du plasma dans la formule du pouvoir d'arrêt des ions (2.81).

Les densités et les températures atteintes lors de la compression du cylindre varient fortement : 0.1 :::; p :::; 10 g.cm- 3 et 1 :::; T :::; 1000 eV. Nous venons d'observer que dans ces gammes de paramètres, les variations de la densité et de la température peuvent jouer un rôle important sur le range des particules. Il est donc important de tenir compte de ces variations dans le calcul du pouvoir d'arrêt.

103

T = 1 eV, p=10g.cm -3

T = 1 eV, p=1g.cm -3

6 8 10

T = 1 eV, p=0.1g.cm -3

0.2

T = 100 eV, p=10g.cm -3

T = 100 eV, p=1g.cm -3

0.15 T = 100 eV, p=0.1g.cm

-3 N s T = 1 keV, p=10g.cm

-3 u -3

bJ)

T = 1 keV, p=1g.cm (!)

-3 bJ)

T = 1 keV, p=0.1g.cm § ;....., ..

0.05 .. · 0.05

.... .. ... 0

2 4 6 8 10 EMeV

FIGURE 4.7 - Range de protons dans du plastique C-H en fonction de l'énergie incidente des protons avec p = [0.1, 1, lü] g.cm- 3 et T = [1, 100, 1000] eV

4.1.4 Simulations CHIC

Des simulations CHIC [lü] ont été réalisées pour interpréter la compression du cylindre.

La figure 4.8 montre l'évolution temporelle du diamètre du cylindre mesurée expérimentalement et calculée avec les simulations numériques CHIC [lü] (coupes lD à 45° par rapport à l'axe des faisceaux laser de compression) pour le cas d'un cylindre rempli avec une mousse de densité 0.1 g.cm-3

. Le temps de stagnation calculé avec les points expérimentaux et les simulations est similaire ("' 2.lns). Il est clair, cependant, que la valeur du diamètre du cylindre comprimé est nettement sous-estimée dans les calculs. En effet, le diamètre minimal mesuré est "' 140 JLm contre "' 50 JLm trouvé par la simulation CHIC au point de stagnation.

Pour expliquer cet écart, nous allons, à l'aide du modèle Trumpet avec et sans straggling et blooming, calculer le dépôt des protons sur les RCFs. Le modèle Ml n'est pas applicable dans cette situation car il ne décrit que la propagation des

104

200 / oê& 0 -E 0

::::1.. -~ 2 loo Q)

E cu

0

0

0 1 2 Time(ns) 3

FIGURE 4.8 - Diagramme de marche de la compression pour le cylindre de 0.1 g.cm - 3

. Les valeurs expérimentales sont représentées par les cercles et les points noirs sont les diamètres à mi-hauteur du profil hydrodynamique. Le temps de stag­nation trouvé expérimentalement est le même que celui prédit par les simulations mais l'image vue sur les RCFs est plus grande. Cette figure est tirée de l'article [89]

particules dans le plasma. Le modèle Trumpet est mieux adapté pour décrire la propagation des protons dans les milieux de densités très faible ou dans le vide sur des grandes distances. Nous allons, en première partie, expliquer notre méthode pour estimer le dépôt dans des RCFs situés assez loin derrière l'objet à sonder. Puis, les résultats obtenus sont présentés et comparés avec le code MCNPX [81] ainsi qu'avec les résultats expérimentaux.

4.1.5 Simulations Trumpet et M1

Choix de modélisation

La modélisation du diagnostic d'imagerie décrit la propagation des protons d'énergies différentes depuis la source jusqu'aux RCFs. Elle se divise en 4 étapes : (1) la propagation de la source à la cible, (2) le transport à travers le cylindre inhomogène, (3) la propagation dans le vide entre la cible et les RCFs et enfin ( 4) le dépôt d'énergie des protons dans les RCFs.

105

(1) La source est supposée être laminaire (comme il a été démontré dans l'ex­périence [83]). C'est à dire que les protons sont émis de façon symétrique par rapport à l'axe normal de la source et chaque point de la source émet des protons dans une direction e(c) dépendant de l'énergie des protons c. Les protons de même énergie se propagent comme s'ils étaient tous émis d'un même point imaginaire situé derrière la source (figure 4.9).

Protons d'énergie E1 et d'angle de diffusion B(E)

~ \\ \\ 11(&,)

i Rs \ ~ ~-----IR- \B(El) \

-------------------- y_---- -------------- _i __ ------------------ -- ~-- ---- -----------

Protons d'énergie E2 > E1 et d'angle -<------;},------- de diffusion B(EJ < B(E

1)

2

FIGURE 4.9- Schéma de modélisation d'une source laminaire: Rs est le rayon de la source et (d1 , d2 ) sont les positions des sources virtuelles des protons d'énergie ( c1 , c2 ) respectivement tel que c1 < c2 .

Par conséquent, nous avons caractérisé la source par : - le rayon de la source Rs, -la distribution des protons en énergie dNr)dc = (N0 /c)exp(-c/T) avec

une température Tp = 1.8 MeV [84], - la dépendance de la position de la source virtuelle en énergie d(c) qui

donne la divergence angulaire initiale des protons : e(c). La distribution des protons sur la surface de la source est supposée être homogène.

La propagation de chaque proton entre la source et l'objet a été effectuée sur une droite en négligeant leurs collisions avec l'air.

(2) La propagation à travers l'objet a été décrite par le modèle Trumpet présenté précédemment dans la section 3.1. Un proton entrant avec une énergie ci, un angle ei et une distance par rapport à l'axe central du faisceau ri va avoir à la sortie de la cible une énergie inférieure à cs < ci, un angle es > ei et une position rs. En effet, du fait de la grande différence entre la taille de la cible rv 200 JLm et la distance entre la source et la cible : 1 cm (figure 4.3), nous avons considéré une divergence initiale du faisceau de protons nulle, ei = 0,

106

et négligé le déplacement radial du proton dans la cible ri= T' 8 •

De plus, le code CHIC [lü] est un code 2D et le modèle Trumpet est également à 2 dimensions. Or la géométrie du problème est réellement 3D. La figure 4.10-a représente le faisceau des protons sondant un cylindre dont l'axe est perpendiculaire à l'axe de propagation des particules. La géométrie du trans­port n'est donc pas tout a fait compatible avec une géométrie axisymétrique. Avec nos codes en deux dimensions, nous somme donc obligés de réduire le problème en supposant une largeur de faisceau et une longueur de cylindre infinie dans la direction Ox avec une symétrie plane par rapport au plan y= 0 (figure 4.10-b).

a

FIGURE 4.10 - a- Schéma d'un faisceau axisymétrique de protons (en rose) qui sondent une cible cylindrique (en vert). b- Schéma réduit d'un faisceau de protons à géométrie plane sondant un cylindre de dimension infinie le long de son axe.

(3) La propagation des protons entre l'objet et le détecteur est effectuée sur une droite en négligeant à nouveau les collisions des protons avec les molécules d'air. On suppose une propagation 2D dans le plan (y, z).

( 4) L'absorption des protons dans les RCFs est décrite sans tenir compte de leur déplacement radial parce que l'épaisseur des RCFs (1 mm) est très inférieure à la distance de propagation entre eux et la cible, L = 3.5 cm (figure 4.3). L'empilement des RCFs a été modélisé par un bloc de C-H de la densité 1.35 g.cm - 3 et de la température 300 K avec une épaisseur de 1 mm. Deux options de modélisation du dépôt d'énergie dans les RCF sont considérées : (a) on dépose toute l'énergie dans la position du pic de Bragg (dit mono­layers) ou (b) on calcule dans tous les RCFs le dépôt d'énergie (approche dite multi­layers) selon le modèle Ml. En effet, pour éviter les temps de calcul trop long, nous nous affranchissons du calcul direct du dépôt d'énergie dans les

107

1]2

5 '"

RCFs en nous appuyant sur le fait, que la forme de la dose déposée d'un proton dans un milieu homogène de plastique C-H en fonction de la distance est très similaire quelle que soit l'énergie de celui ci. Pour illustrer ces deux modélisations de dépôt mono ou multi-layers, nous avons tracé sur la figure 4.11-a les coupes longitudinales des dépôts d'énergie de faisceaux de protons mono-énergétiques dans les RCFs, calculés avec le modèle Ml. La figure 4.11-b représente les mêmes coupes adimensionnées en profondeur et en hauteur de façon à ce que les pics de Bragg soient placés aux mêmes endroits.

x ·v § 0

100

80

Energie totale déposée : ~ 50 %

- E ~9.7MeV - E ~8.1MeV, <c><;l% - E ~ 6.8 MeV, <E> <; 1 % - E ~ 5.8 MeV, <E> <; 3%

~ 100

ê "§ - E ~ 4.8 MeV, <E> <; 5%

g v 60 §

"0

- E ~ 3.2 MeV, <E> <; 10% - E~J.2MeV

.~ 50 "' b "" ""' ·v

"0

0.1 04 0.6

z/range

a b

FIGURE 4.11 -dépôts d'énergie des protons de différentes énergies dans les RCFs de deux types calculés avec le modèle Ml : a) Coupes longitudinales; b) coupes longitudinales adimensionnées en profondeur et en hauteur ainsi que la dose lon­gitudinale intégrée (en pointillée).

Sur la figure 4.11-a, les dépôts d'énergie longitudinaux des protons mono­énergétiques semblent différents selon leur énergie initiale. Pourtant, si on les adimensionne, on constate en examinant la figure 4.11-b que la forme du dépôt d'énergie dans les RCFs est très similaire quelle que soit l'énergie initiale des protons (sauf pour des énergies de protons très faibles de 1.2 MeV). C'est pourquoi il est possible d'estimer, quelle que soit l'énergie des protons, le dépôt d'énergie de ceux-ci en supposant une diffusion transversale faible dans les RCFs. De plus, on peut remarquer que la dose longitudinale intégrée des protons représentée sur la figure 4.11-b, indique qu'au moins la moitié de l'énergie du proton est déposée en amont de la zone de pic de Bragg, et ce, quelle que soit l'énergie initiale des particules. Il est donc important de tenir compte du dépôt de protons de haute énergie dans les RCFs relatifs à des énergies plus basses. Ce résultat sera démontré dans la partie Résultats (4.1.6).

108

0.08

§o.o6 '-../

(\) bi)

§ 0.04 ....

0.02

x Pics de Bragg - Range

4 6 8 Energie (Me V)

10

FIGURE 4.12- Comparaison entre les ranges (ligne pleine) et les positions des pics de Bragg (ligne pointillé) dans les RCFs en fonction de l'énergie des protons

En effet, du moment qu'on connaît la longueur de pénétration relative au pic de Bragg, on peut estimer la fraction de la dose maximale déposée n'importe où le long de la propagation. Or la distance du pic de Bragg est très proche du range des protons quelle que soit l'énergie de ceux ci. La figure 4.12 montre que le range est égal à la distance du pic de Bragg à 2 % près. Cette faible différence s'explique par la faible diffusion angulaire des protons.

La figure 4.13 est un résumé de nos différents choix de modélisation selon les régions de propagation des protons : (1) propagation de la source à la cible, (2) transport à travers le cylindre inhomogène, (3) propagation dans le vide entre la cible et les RCFs et ( 4) dépôt d'énergie des protons dans les RCFs.

109

1 Source 1

~~~~ -- ------------------ - -

Modélisations

(1)

Flux laminaire

' ' ' i (2)

!r rumpe1 : 2D : ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

RCFs

(3)

Transport sans collisions 2D

----------- ---)Il 1000!-!m

(4) a) Dépôt total dans le pic de Bragg b) Dépôt estimé

avec M1

FIGURE 4.13- Schéma explicatif de la modélisation des différentes phases de trans­port des protons.

110

4.1.6 Résultats

Choix entre Trumpet ou TrumpetSB

Dans cette partie, nous présentons les résultats d'une simulation complète d'un tir laser obtenus avec les modèles Trumpet et TrumpetSB sur le transport des protons dans la région (2), en considérant le dépôt d'énergie dans les RCFs en mono (a) et multi layers (b) décrites plus haut (voir la figure 4.13). Pour retrouver les diamètres de l'ombre de la cible mesurées expérimentalement, nous mesurons les diamètres à mi hauteur (FvVHM : Full vVidth at Ralf Maximum) du dépôt d'énergie dRcF obtenus par nos simulations dans les RCFs.

800 o MCNPX multi-layers [:, Trumpet mono-layers v TrumpetSB mono layers o TrumpetSB multi layers

9.7MeV 8.1MeV

16.8MeV

r f1~1cv [:, [:, [:,

3.2MeV if' [:,

\1 [:, \1

200 e ffi 8 8 1.2 1.3 1.4

temps (ns)

1.2MeV 1 800 [:,

600

400

\1

D 200 1.5

FIGURE 4.14- Diamètres de la cible mesurés sur les RCFs en fonction du temps d'implosion. Nous comparons les résultats obtenus par les simulations monte Carlo (ronds noirs), le modèle Trumpet en mono-layers (triangles bleus pointé vers le haut), TrumpetSB en mono-layers (triangles verts pointé vers le bas) et TrumpetSB en multi-layers (carrés rouges)

Nous allons dans un premier temps comparer nos simulations avec celles du code Monte Carlo MCNPX [81] présentées dans [89], qui nous servent de références. Le code MCNPX est un code Monte Carlo, qui simule intégralement la propagation

111

des protons de la source aux en trois dimensions. Nous avons les mêmes profils hydrodynamiques et obtenus par simulations

que ceux utilisés pour les simulations du code Carlo MCNPX. La figure 4. trace les diamètres du cylindre calculés par modèles Tmmpet

et 1·ru1n]JetSB en n1ono représentés des bleus et vert '""'c"'''"'"

ainsi que ceux calculés avec le modèle TrurnpctSB et code Monte Carlo MCNPX en multi-layers représentés par des et ronds noirs re-spectivement.

On remarque les diamètres calculés avec le modèle Trumpet dans les RCFs en mono-layers (triangles bleus) sont extrêmement surestimés par rapport à ceux obtenus par simulations l\lonte Carlo. Ceux calculés avec le modèle TrurnpetSB

verts) sont mais reste néanmoins assez des résultats Monte Carlo. On conclut que la précision du modèle est insuffisante, et nous allons maintenant étudier résultats du modèle Tr-urnpetSB en considérant le

obtenus sont clairement en meilleur accord avec les simulations Monte Carlo (ronds noirs).

Afin d'illustrer l'importance du calcul de dépôt tous les RCFs (multi-layers), nous traçons sur la figure 4.15 le dépôt d'énergie transverse calculé avec modèle Tr-urnpetSB, protons sur le RCF de plus basse (1.2 MeV), qui correspond au temps d'implosion 1.560 ns. La courbe verte v.:nYPÛ•C'ûn

le dépôt d'énergie des protons de 1.2 MeV que celui de protons plus (approche multi-layers), alors la courbe représente le dépôt d'énergie de protons mono-énergétiques de 1.2 MeV (approche rnono-layers). On

que la forme du dépôt en mono-layers est à cause la grande diffusion des protons mono-énergétiques de 1.2 est de ~)00 rnn. L'approche multi-layers qui prend en compte le dépôt des de plus haute énergie modifie significativernent forme du dépôt d'énergie. L'ombre

la cible est plus visible et le diamètre est réduit à 200 fLin, ce qui est en rneiUeur accord avec diamètre 160 pm calculé par les simulations Monte-Carlo.

Néanmoins, il reste un de 40 fLHl entre les diamètres calculés par Tntrn-petSB et Monte-Carlo sur ce RCF 1.2 . On observe les deux modèles ,....., 20 pm sur autres RCFs de basse (correspondant aux d'implosion 1.230 et 1.305 IlS rw:cnc..r•r

surestimation s'explique la difficulté du modèle Trurnpet à ceaux de particules ayant une diffusion angulaire (vu 3.3). Or la difli1sion protons basse est plus grande que ceux de plus haute

pourquoi le modèle TrumpetSB même en multi-layers a tendance à surestimer légèrement diamètre apparent sur RCFs de basse

De plus, la modélisation en deux dimensions du transport protons dans la

1

1

0.4

Comparaison du dépot mono et multi-layers Tir n°9, sur RCF 1.2 MeV

- Mono-layers - Multi-layers

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 Rayon (cm)

FIGURE 4.15 - Tir 9, dépôt de dose transverse sur le RCF 1.2 MeV calculé par TrumpetSB en mono-layers (rouge) et multi-layers(vert).

région (3) (figure 4.13) peut entraîner une surévaluation de la densité de protons loin de l'axe central de propagation et donc un élargissement du diamètre à mi hauteur du dépôt d'énergie sur les RCFs.

Afin de valider le modèle TrumpetSB en multi-layers, nous allons comparer les résultats du modèle TrumpetSB sur plusieurs tirs avec les résultats expérimentaux et les simulations Monte Carlo.

Étude sur les tirs 5 et 3

La figure 4.16 présente les résultats du modèle TrumpetSB en multi-layers (en carré rouge) avec les simulations Monte Carlo (en ronds noirs) et les résultats expérimentaux (étoiles bleus) du tir numéro 5. Les diamètres obtenus par le modèle TrumpetSB restent globalement en bon accord avec les résultats expérimentaux et Monte Carlo. Comme on l'a vu précédemment. On peut néanmoins remarquer un léger écart pour le diamètre calculé sur le RCF correspondant à une énergie de 1.2 MeV.

113

o MCNPX multi-layers 1 o TrumpetSB multi-layers 1

200 9.7MeV * Points expérimentaux

- ~ S.!McV -

6.8MeV 1.2MeV 1 i 5.8McV

1 * ~ 4.SMcV - * t -

3.2MeV

* t * D

200

180

'* -0 0 - 160

0 D

8 0 D 0

D 0 *

140 - - 140 1 1 1 1 1

1.6 1.7 1.8 1.9 2 temps (ns)

FIGURE 4.16- Diamètres de la cible mesurés sur les RCFs du tir 5. Nous comparons les résultats du modèle TrumpetSB en multi-layers (carrés rouges) avec les résultats expérimentaux (étoiles bleus) et ceux obtenus par les simulations monte Carlo (ronds noirs)

La figure 4.17 présente les diamètres de cylindre obtenus pour le tir 3 avec les modèles TrumpetSB et Monte Carlo en multi layers et des résultats expérimentaux. Ici, nous nous comparons qu'à seulement 3 points expérimentaux correspondant à des protons d'énergie peu élevée. Les diamètres obtenus par le modèle TrumpetSB reproduisent correctement les résultats expérimentaux et Monte Carlo avec un écart inférieur à 30 J.lm pour les protons d'énergie les plus faibles : 3.2 et 1.2 MeV.

Effets de la température de la cible sur le diamètre mesuré

Pour illustrer l'influence de la température sur le transport des protons, nous présentons sur la figure 4.18 deux dépôts d'énergie sur RCF, de faisceaux de protons mono-énergétiques de 1.2 MeV (lignes pleines). Ces protons sondent une cible 1.96 nanosecondes après le début de compression où dans un cas, le profil original de température est conservé (en rouge), et dans l'autre, la température a été imposée

114

o MCNPX multi-layers 1 o TrumpetSB multi-layers 1

190 * Points expérimentaux

- - 190 1.2MeV

3.2MeV i -

1 -

4.8MeV

i D

D -a -

~

§_ 180 180

il)

;g 170 170

* * §

....... Q 160 -* * - 160

* 0 - -

* 150 150

0 1 1 1

2.1 2.2 2.3 2.4 temps (ns)

FIGURE 4.17- Diamètres de la cible mesurés sur les RCFs du tir 3. Nous comparons les résultats du modèle TrumpetSB en multi-layers (carrés rouges) avec les résultats expérimentaux (étoiles bleus) et ceux obtenus par les simulations monte Carlo (ronds noirs)

constante à 1 eV. Les profils en température des deux cibles sont tracés en pointillé et leur profil de densité commun est tracé en points marrons. Nous observons un diamètre 20 JLm plus grand dans le cas de la cible avec le vrai profil en température par rapport à celle où la température est imposée constante égale à 1 eV. Comme nous l'avons présenté dans la figure 4.7, l'effet sur le transport de la température est complexe car il dépend de la densité du milieu traversé et de l'énergie des protons. Cependant, nous présentons ici un exemple concrêt où la température de la cible ne peut être considérée constante et froide sans quoi, une erreur de 20 JLm est commise sur le diamètre calculé sur le RCF. C'est pourquoi nous concluons que pour simuler le transport de protons dans cette expérience, il est nécessaire de prendre en compte les profils de température de la cible.

115

4 >

<l)

0 0 ......

e 3 E-< --(<)

s () --~2 il --<l) 'V .::!.] ~ s 1 ..... 0 ~ <l)

"' 0 "0

0

Influence de la température sur le dépot Tir 5, faisceau mono-énergétique de 1.2 MeV

-0.05

- Dépot RCF pour T = 300 K -- · Profil de température T = 1 eV

Profil de densité (g/cm3) - Dépot RCF avec profil en température --· Profil de température (100 eV)

0 Rayon (cm)

0.05 0.1

FIGURE 4.18 - Dépôt sur RCF (lignes pleines), de faisceaux de protons mono­énergétiques de 1.2 MeV sondant une cible 1.96 nanosecondes après le début de compression où dans un cas, le profil original de température a été conservé (en rouge), et dans l'autre, la température a été imposée constante à 1 eV. Les profils en température des deux cibles sont tracés en pointillé et leur profil de densité commun est tracé en points marrons.

Les diamètres sur RCFs comparés aux simulations hydrodynamiques

La figure 4.19 représente tous les diamètres de tous les tirs en fonction du temps des modèles TrumpetSB et Monte Carlo en carrés rouges et ronds noirs respec­tivement, des résultats expérimentaux en étoiles bleu ainsi que des diamètres des simulations hydrodynamiques. Nous avons aussi tracé l'interpolation quadratique de notre modèle TrumpetSB en ligne pleine rouge. On remarque que le modèle TrumpetSB en multi layers reproduit bien les résultats obtenus des simulations Monte Carlo et l'écart des mesures expérimentales pour tous les tirs effectués est inférieur à 20 JLm. De plus l'interpolation du modèle TrumpetSB indique la stag­nation de la cible à environ 1.9-2.0 ns après le début de la compression du cylindre, ce qui est en bon accord avec les résultats expérimentaux et des simulations CHIC

116

(losange verts).

o MCNPX 300 ,-------,-------1 o TrumpetSB

* Points expérimentaux - Interpolation quadratique de TrumpetSB o CHIC (hydro simulations)

200 "-" D

(!) * ;....., ~ 150 --+-->

~0 ~(!)

§ ..... 100 '0 100 Q

0 0 0 0 50

00 0.5 1 1.5 2 2.5 30 temps (ns)

FIGURE 4.19 - Diamètres de la cible mesurés sur les RCFs sur toute la durée de l'implosion. Nous comparons les résultats du modèle TrumpetSB en multi-layers (carrés rouges) avec les résultats expérimentaux (étoiles bleus) et ceux obtenus par les simulations monte Carlo (ronds noirs)

Nos résultats expliquent aussi le très grand écart entre les diamètres de cylin­dre obtenus par les simulations hydrodynamiques et les mesures expérimentales présentées dans la figure 4.19. En effet, l'expérience est en bon accord avec les simulations, mais la façon de recalculer le diamètre du cylindre en utilisant le fac­teur de grandissement géométrique M = 1 + L / D est incorrect. La divergence des protons après avoir traversés la cible est plus importante que leur divergence à la source. En effet, le gradient de densité s'adoucit de plus en plus au cours de la propagation, ce qui provoque une diffusion de plus en plus grande du faisceau de protons.

Nous illustrons ce phénomène en comparant sur la figure 4.20 le dépôt d'énergie (lignes pleines) de deux faisceaux mono-énergétiques de 6.8 MeV qui se propagent à

117

travers deux cibles de température 1 eV avec des profils en densité différents. L'une a un gradient de densité faible (pointillé vert), et l'autre a un gradient de densité fort (pointillé rouge) mais les deux cibles ont le même diamètre hydrodynamique de 100 JLm.

protons à 6.8 MeV mono-énergétiques

-0.02 -0.01 0

dépot sur RCF avec gradient faible Rho, gradient faible dépot sur RCF, avec gradient fort Rho, gradient fort dépot sans diffusion pour gradient faible

2

1

0.01 0.02

FIGURE 4.20 - Tir 5, dépôts de dose transverse calculé par TrumpetSB en multi­layers sur le RCF 1.2 MeV, de 2 cibles dont les gradients en densité sont fort (rouge) et faible (vert). Un dépôt d'énergie transverse de protons avec une diffusion imposée nulle, traversant la cible de faible gradient de densité, est aussi tracé (en bleu).

Le diamètre mesuré sur le RCF correspondant à la cible de faible gradient de densité est 50 JLm plus grand que celui correspondant à la cible de fort gradient en densité. Cette différence s'explique par les multiples diffusions provoquées par des zones de densité de plasma différentes qui provoquent un aplatissement et un lissage du dépôt d'énergie transverse, augmentant ainsi le diamètre apparent sur le RCF. Afin de prouver que c'est la diffusion des protons qui est responsable de l'élargissement du diamètre sur les RCFs, nous avons tracé (en bleu) le dépôt de

118

dose transverse de protons dont diffusion est imposée nulle, sondant la cible de faible gradient densité. On remarque que ce dépôt transverse est abrupte et définit exactement un diamètre de 100 Jû11 sur le qui nous permet de con-clure bien la diffusion des qui est responsable du diamètre mesuré sur par rapport à au de la cible.

En effet, quand la du plasma est assez faible pour permettre la protons sans que leur perte d'énergie soit significative (imposée inférieure à 0.1

MeV), protons se propagent strictement sans diffusion et déposent toute leur dans le RCF. Le dépôt transverse dans RCF est donc divisé en deux

régions bien distinctes : l'ombre où aucun proton n'a déposé son et la couronne où tous les protons ont cible et déposé Sans prendre en compte la diffusion des protons, on pourrait définir pour un faisceau mono-énergétique une densité de laquelle protons sont Par

pour une de 6.8 MeV, cette seuil est l'ordre l'ordre de O. 7 , ce qui à une linéique critique de 0.002 g.cm - 2

. Mais comme la source de protons est multi-énergétique et quelle que soit l'énergie des protons, la diffusion entraîne une augmentation diamètre ainsi qu'un aplatissement de forme du dépôt sur H.C::Fs, il est difficile d'interpréter ces paramètres pour établir une relation entre diamètres mesurés sur RCFs et diamètre de l'objet sondé.

On peut donc conclure que la diffusion des protons qui est responsable de diamètre important entre les profils hydrodynamiques de cible et le

dépôt mesuré sur les de la diffusion est particulièrement important lorsque gradients en densité sont faibles. Cet est encore d'autant plus important quand l'énergie des protons est faible. On observe cet écart entre les diamètres de la cible mesurés sur HCFs et simulations hydrodynamiques augmente progressivement au cours compression d'un facteur 1.5 pour 1 ns compression à un 3 pour 2 ns de compression qui correspond à la stagnation.

Des calculs et de transport sont donc indispensable pour interpréter mesures expérimentales de radiographie protonique.

119

4.1. 7 Discussion

Nous avons démontré dans ce chapitre qu'il possible de modéliser et de retrouver les et ceux provenant de simulations Monte Carlo avec un modèle simplifié 2D. En effet, contrairement à un code Monte Carlo capable de traiter complètement la propagation des protons de la source jusqu'aux RCFs en trois dimensions, nous avons supposé dans région entre la source et la cible (région (1) 4.13) protons. Dans la région d des protons avec figure 4.13), nous avons modélisé en 2D avec une plane à le transport protons à l'aide du modèle TrumpetSB. Le transport protons en 2D entre la cible et les RCF (région (3) de la figure 4.13) a sans collision dans avec une à Enfin nous avons estimé dépôt d'énergie des protons à l'aide du modèle Ml dans tous les (approche en supposant qu'ils se propagent en droite.

de nos simulations surestiment les diamètres de l'orn-bre la cible mesurés sur les HC::Fs correspondant aux faibles énergies, mais repro­duisent bien les diamètres sur RCFs de hautes La dynamique de la compression du cylindre est bien reproduite et nous retrouvons un temps de nation cible d'environ 1.9 ns conformément aux simulations hydrodynamiques du CHIC [lü] ainsi résultats Mont Carlo et expérimentaux.

De plus modèle TrumpetSB, par sa rapidité, permet calculer le transport de protons à travers des dizaines de profils hydrodynamiques différents (de tem­

et de densité) et ainsi de tester toutes les configurations possibles. Enfin, le modèle Trumpet une formulation du pouvoir des protons qui prend en compte la température du plasma [55]. une condition indispensable pour reproduire résultats avec precisiOn.

De cette étude, nous pouvons conclure quatre points : - La géométrie du transport protons réellement 3D peut modélisée

avec un code 2D et donner bons résultats. effet, le cylindre a initiale-ment une de 200 ttm et un diamètre 220 pm. Or compression des quatre lasers n'est pas tout à fait homogène (figure et

faisceau le cylindre perpendiculairement à son axe. On ne peut donc pas la de propagation comme ment axisymétrique ou C pour cette problème est vraiment en trois dimensions, néanmoins les avec nos 2D correctement les simulations 3D d'un code Monte Carlo.

- La longue distance entre la cible et les récepteurs met en évidence l'impor­tance difFusion protons. elle est responsable de l'écart important qu'on observe entre les résultats expérimentaux et les résultats

120

des simulations hydrodynamiques (figure 4.19). Nous retrouvons avec nos modèles résultats des simulations Monte Carlo et expérimentaux avec néanmoins une surestimation du diamètre mesurée sur les d'én-

dans chapitre 2 que le modèle lorsqu'il de modéliser un avec

une grande divergence angulaire. Or cas pour faible d'autant plus que de propagation entre la cible

et les récepteurs est très grande et notre modélisation 2D peut entraîner une surévaluation la densité de protons loin centrai propagation et donc un élargissement du diamètre à mi hauteur du dépôt d'énergie sur les

Nous avons vu dans cette étude que l'approche mono-layers (le dépôt d'én-dans les est totalement concentré dans de

pas satisfaisante (figure 4. . Il faut prendre en compte dose protons dans tous les (approche multi-layers) pour reproduire

correctement résultats expérimentaux. - La dépendance en température dans le calcul de la perte d'énergie des protons

est importante et doit être prise en compte. effet, l'image vue sur les est une image diffusée par différentes zones cylindre, de la

couronne à partie dense où la température peut entre 1 et 10 keV et densité entre 0.01 et 10 . Or nous avons vu (figure 4.7) que pour des densités faibles, le pouvoir des protons très fortement avec la température et cette d'énergie a un lien direct avec la diffusion des protons qui doit être précision comme nous l'avons vu précédemment.

du du en utilisant le 1 + L / D est incorrect. La diffusion des protons

un d'un 3 à la stagnation de cible, entre le du cylindre réel, et celui obtenu en divisant le diamètre mesuré sur les RCFs par facteur de magnification. La difl"usion des protons un diagnostic à imagerie protonique doit absolument prise en compte et le calcul du transport complet

protons est donc pour interpréter les mesures expérimentales.

4.2 Allurnage du combustible par des ions accélérés au moyen d'in1pulsions laser ultra-intenses

La pondéromotrice du laser peut produire une accélération efficace dans des cibles denses comme capsules de DT ou bien creuser un canal dans le plasma pour augmenter propagation du faisceau . Les princi­pales caractéristiques l'accélération pondéromotrice et la formation du canal déduites de théorie analytique et confirmées par les simulations cinétiques PIC (partide-in-cell) sont appliquées dans ce chapitre pour la mise en d'un nou­veau schéma d'aHumage rapide par ions [90[.

A l'inverse schémas sur le mécanisme d'accélération TNSA Normal Sheath Acceleration) d'ions, le schéma d'aHumage par les deutons et

tritons au moins impulsions (ou séquence d'iin-pulsions) un canal d'un diamètre de,......, 20 JUn à travers la couronne plasma

de combustible de 1 au schéma d'allumage avec électrons, la profondeur du canal doit plus importante. Une

seconde impulsion d'intensité plus ""' 1022 vV.crn- 2 ions terium et tritium en fin de canal à des entre ,5 - 25 MeV pendant un interval temps plus petit que 1-3 ps. Dans cette approche, l'énergie (Etot) et la puissance laser (?tot) totale pour l'allumage que nous avons calculée sont assez importantes, Etot ?:: 130 kJ et Ptot ?:: 30 P\V, mais simplicité la cible rend ce schéma attractif pour un haut taux de répétition prévu pour réacteur.

réduire contraintes laser de ce d'allumage par accélération d'ions, nous avons de considérer une autre possibilité en utilisant un cône rempli par plus lourds. d'un cône en or remplie de mousse de carbone, peut être difficilement compatible avec un fonctionnement à haut taux de répétition. Cependant, totale pour l'allumage est à Etot ,......, 115 kJ pour une puissance laser PvV.

4.2.1 Introduction

dans la technologie lasers à impulsions courtes permettent de . •t' tt . d d . 1 ' . . 1020 - 2 • 1 . nos JOurs c a ,em re es pmssances aser supeneures a .cm , ou a presswn

de radiation devient dominant dans mouvement particules [91, 92]. L'utilisation de lumière à polarisation circulaire peut ailleurs permettre de minimiser chauffage électrons. Dans ce cadre, les progressivement par la force pression et ions sont par le champ fort de séparation de charge électrostatique [93, 94j. Un groupe d'ions

mono-énergétiques peut dans un milieu homogène en ajustant l'impulsion laser et les paramètres plasmas j92,93j. On montrer spectre

122

d'ions qui vient d'une couche de plasma super-critique inhomogène avec un profil en densité exponentiel obéit à une loi de puissance [95].

Le modèle théorique de l'accélération des ions dans un piston produit par un laser de polarisation circulaire [95, 96] a été confirmé par des simulations PIC (par­ticle in cell) 1 et 2D [93,97]. Il forme la base théorique pour de prochaines analyses et applications. Comparé à l'accélération en face arrière par le champ électrosta­tique créé par les électrons chauds (TNSA) [101,102], le mécanisme pondéromoteur permet un meilleur contrôle de la distribution en énergie des ions et l'accéléra­tion d'un nombre beaucoup plus important d'ions pour une plus petite taille de cible. Cependant, il nécessite une haute intensité laser, un meilleur contraste et de préférence une polarisation circulaire.

Couronne

FIGURE 4.21 - Schéma du processus hole-boring. La cible à la stagnation est composée de la couronne, de la coquille et du point chaud central. L'impulsion nol (en bleue), creuse un canal dans le plasma pour permettre à la deuxième impulsion (en rose) de passer à travers et d'accélérer les ions qui se propagent et déposent leur énergie dans la coquille.

Dans cette partie, nous considérons l'application de l'accélération pondéra­motrice directe d'ions dans une cible compressée pour l'allumage des réactions de fusion. A l'inverse du schéma d'allumage rapide proposé plus tôt [20, 103] et dé­taillé dans un papier plus récent [104, 105] où les ions énergétiques sont supposés être générés dans une cible auxiliaire séparée, nous assurerons ici une accéléra­tion d'ions directement dans un plasma sur-critique inhomogène avec des densités s'élevant à plus de 1 g.cm- 3

. Basés sur le modèle théorique du piston laser qui décrit l'accélération pondéromotrice d'ions avec des impulsions laser intenses [95],

123

nous analysons le processus d'allumage en utilisant des estimations théoriques et modélisations numériques avec module de transport dans chapitre

précédant et code hydrodynamique CHIC [Hl]. La figure 4.21 un schéma du processus de hole-boring et de

tion des ions DT. Nous utilisons deux impulsions première (nol en bleu) sert à creuser un canal dans la cible pré-compressée jusqu'à une densité définie le modèle théorique. La impulsion (n 2 en rose) ions (en rouge) depuis cette couche externe et ceux ci jusqu'au combustible précomprimé. exemples de cibles pour fusion seront explorés : une rela-tivement petite, qui est cible de référence du projet HIPER [23, 106], et deux autres plus grosses [107, 108] et mieux adaptées à un futur pour la fusion nucléaire. présentons des simulations numériques du processus d'allumage et de combustion en le module de transport d'ions Trmnpet combiné avec le code radiatif hydrodynamique et simulations [70].

simulations indiquent la possibilité d'atteindre des pour une d'allumage lOO<WO

4.2.2 Modèle théorique du piston laser

Le régime du piston laser peut être établie dans un plasma sur dense, ne » ne, par impulsion laser ultra-intense avec des intensités relativistes, où l'amplitude laser sans dimension a0 - eE0 /rnew0 c est grande par rapport à L'in-teraction d'une impulsion laser avec un plasma dense forme un choc électrostatique (souvent piston dont les paramètres peuvent évoluer dans le temps à cause variations de la densité et de laser. sépare la zone propagation de l'impulsion de de la zone amont au choc, sans aucun champ laser.

instantanée du piston trouvée par conservation moments est expliquée en [95]. moment du flux photons dirigé dans sens du laser dans

piston est égal au moment du flux plasma dirigé dans le sens contraire du piston. Si on choisit un éclairement laser en polarisation circulaire,

et si on néglige le réchauffement du plasma par les electrons, la du piston - Pre est la relation

Pt- B/(1 + B) (4.5)

Où le sans u.uuvuu>vu B- (izas/ pc3)

112 dépend du ratio entre laser lzas et la densité p de cible. ions sont dans une mince double vers l'avant avec vi - 2;3.rc/ ( 1 + /3}).

donc

(4.6)

particulier dans la limite du piston non-relativiste, B « 1, à haute intensité, la vitesse l'ion est environ deux fois la du piston, Vi ~ 2vf [109], et des ions obéit à solution asymptotique

7)

La définit nombre total d'ions par de surface, J(p/mi)vfdt, écrit ici pour un cas de plasma inhomogène. Pour une

plasma constante, nous trouvons une expression simple pour le nombre d'ions par surfacique, = pufTZas/mi, avec une d'impulsion laser Tzas· L'efficacité correspondante l'accélération d'ions par guidage laser est par le ratio entre flux ionique et fiuence du laser incident. Elle dépend du rapport entre la de l'ion et la vitesse de la lumière, A= 2B/(l + 2B).

théorie plus détaillée du piston laser fournit de couche de de charge ionique (située

pic d'électrons poussé par laser), du temps l'accélération et des conditions du simulations ces résultats analytiques et montrent aussi que les dues aux électrons relativistes entrant dans le champ laser le piston doivent prises en compte pour des dépassant 1022 VV.cm- 2

. Ces pertes radia-produisent le refroidissement électronique qui a un effet positif sur la

stabilité du piston et sur l'efficacité l'accélération ions. En outre, les simu-lations numériques démontrent un de la distribution énergétique ions autour de la valeur prédite par l'équation (4.6), qui est aux oscillations

de de [95]. Cependant, cet important pour notre car il est plus faible que l'élargissement des ions induit l'inhomogénéité de densité du plasma et par variations d'intensité laser dans le temps.

Connaissant la dépendance de la densité sur spécifiée par 1 'équation ( 4. 6), on processus

dans un plasma inhomogène comme suit. L'énergie ions accélérés vérifie la relation

dsi = (dsddp) (p/L) dx, (4.8)

où L = pj(dpjdx) est la gradient de nombre total d'ions accélérés par unité de surface dans l'intervalie de densité [Pmin, Pmax]

s'élève à

(4.9)

Le flux d'énergie transportés par ces ions est égal à

( 4.10)

Enfin, la durée de l'impulsion laser nécessaire pour accélérer ces ions satisfait à la relation

Tlas = J dpLj(vJp). (4.11)

En particulier, pour un profil exponentiel de densité le long de la direction de propagation laser avec une longueur de gradient L constante et pour un piston non-relativiste, B « 1, on obtient des expressions analytiques de la fonction de distribution énergétique des ions dNi/ dei, de l'énergie moyenne des ions (si) [95], de la fiuence des ions Fi, de la durée de l'impulsion laser T1as [95], et de l'efficacité de l'accélération ionique moyenne (A) :

( 4.12)

( 4.13)

= 2L (ff!!maxC _ ff!minC) Tlas J J '

las las ( 4.14)

Des simulations PIC 2D [95, 110, 111] et 3D [112] de l'accélération pondéra­motrice d'ions avec des impulsions laser intenses confirment les prédictions analy­tiques pour la vitesse du piston, l'énergie des ions, la distribution spectrale des ions accélérés, la durée nécessaire de l'impulsion laser et l'efficacité de conversion. Elles démontrent également que la divergence angulaire de l'ensemble d'ions accélérés est relativement petite, dans la gamme de 4° à 10° par rapport à la direction de propagation du faisceau laser et qu'elle dépend de l'intensité laser et de sa répar­tition sur le foyer.

4.2.3 Paramètres pour l'allumage par ions rapides

Le modèle théorique précédent fournit le contexte pour allumage direct par ions rapides dans un combustible DT. Suite à la proposition originale de l'allumage

126

rapides par les électrons [14], nous considérons un scénario d'allumage en deux étapes. Nous supposons que le combustible est déjà comprimé avec un schéma d'éclairement laser direct ou indirect. Au moment de la stagnation, le point chaud central est entouré par une coquille dense et froide, et une couronne de plasma chaud à densité faible loin au-delà. La première impulsion laser est dédiée à creuser le canal: elle doit le percer à travers le plasma chaud à faible densité jusqu'à la zone de l'accélération d'ions pour l'allumage. La seconde impulsion laser, d'intensité plus élevée, accélère les ions en fin de canal où ils transportent l'énergie acquise vers le centre et la déposent dans la coquille de DT. Si suffisamment d'énergie est déposée dans un petit volume, les réactions de fusion s'emballent, se propagent et brûlent une grande partie du combustible.

Au contraire des propositions fondées sur le mécanisme d'accélération d'ions en face arrière (TNSA) [20, 103], ce schéma suppose l'accélération d'ions in situ. Il ne nécessite pas de cibles supplémentaires pour la production d'ions énergétiques, ni de focalisation d'ions, mais opère à l'intérieur d'une cible sphérique comprimée et permet d'affiner le nombre ainsi que la distribution en énergie des ions. Dans cette section, nous évaluons les caractéristiques nécessaires des ions énergétiques et du laser pour enflammer le combustible précomprimé.

Tout d'abord, nous identifions les caractéristiques des ions nécessaires à l'al­lumage. La taille du point chaud rig et l'énergie d'allumage Eig peuvent d'exprimer selon [113], en fonction de la densité de combustible dans la coquille Psh :

( 4.15)

où Pref = 300 gjcm3 est la densité de référence. Le temps maximum d'allumage,

( 4.16)

est défini par l'expansion du point chaud. L'énergie d'allumage Eig doit être transportée par des ions avec une distance

d'arrêt ls de l'ordre du diamètre du point chaud, 2 T'ïg, qui doit être inférieur ou comparable à l'épaisseur de la coquille comprimée, ~sh· Les calculs de range des ions en matière froide réalisés avec le Code Monte Carlo TRIM [114] décrit dans [115, 116], montrent qu'il peuvent être interpolés dans une gamme d'énergie de quelques dizaines de méga-électronvolts comme

l ( tj ) 1 8 -2 Psh s rv 45MeV · g.cm . ( 4.17)

Ici et plus loin, afin de simplifier les calculs, nous substituons l'accélération des ions D et T par un ion moyen DT de masse 2.5 mp, où mp est la masse du proton. Cependant, la relation ( 4.17) ne considère pas l'augmentation de la distance d'arrêt à cause du chauffage du plasma et l'effet de la densité, qui sont importants

127

pour la définition des conditions d'allumage. La distance d'arrêt des ions DT dans un plasma DT calculée selon la théorie standard des collisions binaires [55] est présentée sur la figure 4.22. Dans les plasmas de température de l'ordre de quelques kilo-électronvolts et de densités de plusieurs centaines de g.cm-3

, la distance d'arrêt pourrait être 2-3 plus grande que dans la matière froide à faible densité. Les plus rapides des ions dans le faisceau allumeur arrivent les premiers et déposent leur énergie selon la formule ( 4.17) dans la matière froide. Les ions avec des énergies plus faibles sont accélérés plus tard et suivent derrière. Ils rencontrent une coquille déjà chauffée, leur range augmente et cet effet est pris en compte dans notre modèle.

0 10 20 30

Énergie des ions DT (Me V) 40

FIGURE 4.22 - Range (massique) des ions DT (en gjcm2) en fonction de leur

énergie dans un plasma homogène de DT compressé à des densités de 100 à 400 gjcm3 de température allant de 100 eV à 10 keY.

Les caractéristiques laser et les paramètres du plasma nécessaires pour générer le flux d'ions, qui doit allumer le combustible, peuvent être estimés en appliquant les résultats du modèle du piston présentés dans la section 4.2.2. Dans le cas d'ions non-relativistes et d'un profil de densité exponentiel dans la zone d'accélération, les paramètres laser et plasma sont donnés par les équations (4.7)-(4.14).

Prenons le cas de la cible conçue pour le projet RiPER [23,106]. Les simulations hydrodynamiques présentées sur la figure 4.23 et discutées en détail dans la section suivante montrent que la densité surfacique de la coquille comprimée approche une valeur de 1 g.cm - 2

, l'épaisseur de la coquille est de rv 25 JLm et sa densité moyenne

128

peut être approchée par une valeur de 400 relations (4.15 )-( 4.16) permettent définir dépôt Eig rv 10.6 kJ et un rayon de point chaud Tïg 15 fLin. densité surfacique de la coquille définit

des rapides, (si), nécessaire pour s'arrêtent dans la Selon données dans la '1. les

entre et 3 l'vieY pour une température de coquille et 5 keY respectivement. Nous considérons une

protons de (ci) rv 10 MeV par suite pour les estimations, puis nous l'affinerons calculs

Connaissant les caractéristiques de la zone de dépôt évaluer les paramètres requis pour nous supposons un profil densité à

de coquille comprimée, z < Zm,

18)

cible (mesurée sur du d'ions), Zm

est de la zone d'accélération d'ions et L est longueur de Pour le profil densité de la '1.2;~, le rayon de coquille externe est Zs ""' 48 JLin. Comme on verra la localisation optimale de la zone d'accélération est à environ 100 pm du centre, où le profil densité a une longueur de gradient L = 11 JLm.

L'énergie d'allumage, selon ( 4.13), peut exprimée sous la forme

( 4.19)

où Plas = IlasnT;cc est la puissance de l'impulsion laser, Tacc est rayon la zone d'accélération et lace = L ln(Pmax/ Pmin) est l'épaisseur cette couche. En supposant un rapport densités la région d'accélération Pmax/ Pmin = 4, on trouve une lace rv 15 fLin et la ('1.19) fournit la puissance du nécessaire de l'ordre 100 P"W. Toutefois, il faut aussi d'énergie des ions le long de leurs propagations à partir de jusqu'à la coquille. En supposant que ces

puissance laser Ras rv 120 PvV. ions impulsion laser qui a creusée

la région propagation des ions, provenant la zone d'accélération, et ainsi réduit les pertes ions accélérés par impulsion sur trajet vers la coquille. De plus, les ions poussés vers l'intérieur de cible au cours

la formation du canal vont aussi chauffer la cible eUe-même. Ces deux effets secondaires devraient bénéfiques pour atteindre l'aHumage de la cible, mais ne sont pas considérés dans nos estimations ici.

129

La différence entre le rayon du point chaud, T'ïg, et le rayon d'accélération des ions,racc , provient de la divergence du faisceau d'ions. Les simulations numériques indiquent que l'ouverture angulaire du faisceau d'ions est, en général, dépendante de l'énergie [95]. Ici, nous prenons une divergence moyenne d'ions de t1e rv 6° indépendament de l'énergie. Ensuite, le rayon de la zone d'accélération dépend de la distance D = Zm - Zs entre les zones d'accélération et d'allumage :

T'ace= T'ig- f1eD, ( 4.20)

en supposant que tous les ions accélérés atteignent le point chaud de la coquille dense. Cette relation implique que la distance D ne peut pas être plus grande que T'ïg/ f1e, qui vaut 150 JLm dans notre cas.

La distance D peut être déduite de l'expression de l'énergie moyenne des ions accélérés. En utilisant la relation ( 4.20) dans la formule ( 4.12) pour l'énergie moyenne des ions, nous obtenons

l Pmax n--

( ) ( "e )2 2f1asmi Pmin Pmax Zm T'jg - L...l D rv ( ) p . 7rC tj 1 - max

Pm in

(4.21)

En résolvant cette équation par rapport à D pour le profil de densité de la figure 4.23, on trouve la valeur D rv 45 JLm, avec Pmax rv 12 g.cm-3

. La densité minimale à l'autre bout de la région d'accélération sera de Pmïn rv 3 g.cm-3

. De (4.20), nous obtenons le rayon de la zone d'accélération T'ace rv 10.5 JLm. Par conséquent, une intensité laser lias rv 3.5 x 1022 vV.cm- 2 peut être déduite. L'énergie des ions varie entre 5 et 20 MeV, ce qui est dans une gamme acceptable pour un dépôt dans la coquille, comme on l'a discuté auparavant. On peut facilement vérifier avec la formule ( 4.12) que les paramètres laser et plasma estimés assureront une énergie moyenne d'ions d'environ 10 MeV. Pour la durée de l'impulsion laser, évaluée à l'aide de (4.14), nous obtenons Tias rv 1.1ps, ce qui donne une énergie laser de Eias = PiasTias rv 130 kJ. Par conséquent, nous estimons l'efficacité de chauffage Eïg/ Eias rv 8%. Ces chiffres dépendent plutôt faiblement des paramètres du modèle : le rapport de densités dans la zone d'accélération, Pmax/ Pmin , la divergence angulaire des ions, f1e, et la longueur de gradient en densité, L.

Ces estimations qualitatives fournissent un point de départ pour des simulations numériques intégrées plus détaillées ci-dessous. Elles sont nécessaires pour évaluer les paramètres du laser, la production d'énergie de fusion et pour évaluer le design de la cible avec une plus grande précision. Néanmoins, nous pouvons tirer deux conclusions préliminaires des résultats analytiques.

(i) De fortes intensités laser, lias~ 1022 vV.cm- 2, sont nécessaires à l'accéléra­

tion d'ions à partir d'une région de plasma suffisamment proche du noyeau dense de la cible et pendant un temps plus court que Tïg (4.16).

130

Une plus grande densité de la coquille comprimée que celle de la cible conçue pour RiPER, d'ions plus pour chauffer la coquille, réduirait d'énergie par la divergence des ions et diminuerait l'énergie dans couches de plasma en dehors de la coquille comprimée.

2.4 Schéma d'allumage avec des ions Deuterium Tritium

La cible HIPER

allons tout d'abord quelques propriétés la cible conçue pour projet lliPER [23, 106]. Ensuite, nous examinons la possibilité d'allumer cette cible notre approche avec ions DT rapides.

cible une coquille relativement entièrement en un initial de 10~1~1 JLin et une masse 0.59 a conçue pour

l'allumage rapides avec des électrons [23]. simulations hydrodynamiques ont montré qu'elle peut être comprimée à une densité maximale '"" 500 g.cm-:3 avec une énergie laser incidente de rv 180 kJ. profils de densité et de température

cible comprimée au moment stagnation calculés avec le code hydro-dynamique radiatif CHIC [10] sont présentés sur la figure 4.23. La température maximale dans le point chaud central est 3.5 keV. En conséquent cette cible ne peut pas s'allumer spontanément. L'énergie d'allumage doit être déposée dans un volume de surfacique rv 1 g.cm - 2

.

dynamique de la cible après le dépôt des ions est avec le code radiatif hydrodynamique CHIC en 2D axisymétrique. Le transport du rayonnement est décrit dans l'approximation avec à l'équilibre thermodynamique local. Le les réactions de fusion DT, et transport particules o: est décrit par l'approximation diffusion. transport d'ions DT à haute et leur dépôt d'énergie dans plasma, sont calculés avec module Ttumpet . Le pouvoir d'arrêt ions (2.81), dépend aussi bien

la densité que de la température [55[. Nous considérons un ion moyen masse 1n = 2.5/np comme on l'a déjà dans section précédente. La distribution

des ions qui dépend de la densité du plasma et 1 'intensité du l'équation ). ions sont avec un angle de 6°

obtenu par simulations [95]. Les profils initiaux densité, de et de température proviennent des simulations hydrodynamiques au moment de stagnation, 11.2;~.

Dans le module de transport d'ions Tturnpet, la zone d'injection (d'accélération) est approximée par un cylindre dont pointe au centre la cible. La densité minimale et maximale à l'intérieur ce cylindre permet définir la gamme

des ions en connaissant l'intensité laser, tandis que le rayon du cylindre

131

,-... ""' E

ü --~ Q C)

& ld '§ E 0 :>

'C) .-::::: Vl ~ C) 100 Ci

,-...

"' E ü --co ~ _?

Q _0-ë.i & ·o ~ ;..., ;:::1 Vl -4

'C) 10 .-::::: Vl

1 ~ 10 100 1000 C)

Ci Distance depuis le centre de la cible z ( f-!m)

FIGURE 4.23 - Profils de température (trait plein) et de densité (trait pointillé) de la cible de référence pour "RiPER" au moment de la stagnation t = 11.12 ns.

influe sur l'énergie totale que vont transporter les ions. L'intensité de l'impulsion laser est censée être constante et la durée d'impulsion est choisie en fonction du temps de propagation du piston le long du cylindre.

La description numérique du transport des ions est mis en oeuvre en divisant le cylindre en petites tranches sous forme de pancakes. Les ions de chaque tranche sont injectés séquentiellement en partant des densités les plus faibles (vitesse des ions maximale) jusqu'aux densités les plus élevées (vitesse des ions minimale).

Comme le temps d'échange d'énergie électron-ion dans un plasma dense est beaUCOUp plus petit que le tempS d'accélération TJas rv 3.1ps, et que le tempS hydrodynamique est lui beaucoup plus grand que le temps de ralentissement des ions Tral rv 1 pS additionné au tempS d'accélération TJas, la densité est maintenue constante pendant le temps d'injection des ions, tandis que la température a été augmentée à cause à l'accumulation locale de l'énergie déposée par le passage des particules. Tandis que les ions d'énergies plus élevées traversent le plasma à des températures inférieures à 1 keY, les ions plus lents produits à des densités plus élevées arrivent plus tard et rencontrent un plasma déjà chauffé à des températures,

132

Te > 5 keY, provoquant un allongement de leurs parcours. Une fois l'énergie totale des ions rapides déposée, les calculs hydrodynamiques sont repris.

0.1

E =l.8 kJ E=7.8 kJ E = l. lkJ E = 3.6 kJ

12.5% 1 55% 1 8% 1 24.5% 1

-----------------~-------~--------~------J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

\r----l..' : : : 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

ElOI = 14.3 kJ

- p ( lOO glcm3

)

- T, (keY)

--- T, (t = Ops) (keY)

- Piace (l OOglcm 3)

- E, (MeV)

FIGURE 4.24 - Spectre en énergie des ions rapides dans la zone d'accélération (ligne orange) et la température plasma résultante dans la cible immédiatement après le dépôt d'énergie des ions (ligne rouge). La densité et la température plasma avant l'injection sont aussi tracé (lignes noire et bleu, respectivement). La densité dans la zone d'injection est en vert. La cible et les paramètres laser sont décrits dans le texte.

Les paramètres choisis ci-dessus correspondent à une énergie totale des ions accélérés de 14.3 kJ. Les profils de densité et de température du plasma avant et après le dépôt d'énergie des ions rapides sont présentés sur la figure 4.24. La zone d'injection d'ions est de 15 J..lm de long et elle est située à une distance de rv 90 J..lm du centre de la cible. Dans cette région, la densité du plasma varie de 3 à 12 g.cm -

3. Suivant l'équation (4.6), l'énergie des ions diminue rapidement de 20 à 5 MeV

avec la densité qui augmente. La zone d'accélération est représentée par une ligne verte épaisse superposée au profil de densité de la ci ble (courbe pleine en noire). La distribution en énergie est tracée en orange (en pointillés gras près du point z = -0,01 cm). La température du plasma après chauffage par les ions énergétiques et la distribution de température initiale sont affichées par la ligne en rouge et par la courbe en pointillés bleu, respectivement. Dans cet exemple, 55% de l'énergie totale des ions, 14.3 kJ, est déposée dans la coquille, 13% est déposée entre la zone d'accélération et la coquille, enfin 32% de l'énergie est déposée à la fois dans la partie centrale et dans la partie opposée de la coquille. La température du plasma

133

dans la partie dense est presque constante et prend une valeur d'environ 7 keY. Cette température n'est pas suffisante pour induire la combustion de l'ensemble

du combustible mais provoque néanmoins des réactions de fusion et la production de particules a. Ce sont elles qui vont être responsables du chauffage additionnel du plasma. En effet, l'autre produit des réactions de fusion (des neutrons de 14 MeV), est neutre, trop énergétique et traverse le plasma sans beaucoup le chauffer. Le libre parcours moyen des particules a est d'environ [119]

270T~12

lpmae rv A JLm. P ae

( 4.22)

Comme on peut le voir, le libre parcours moyen est faible dans les régions froides de densité élevée. On peut estimer d'après la formule ( 4.22) et la figure 4.24, que le libre parcours moyen des particules a est d'environ 15 JLm dans la partie dense chauffée par le dépôt d'énergie des ions DT, d'environ 50-70 JLm dans la partie centrale , et :::; 1 JLm dans la partie droite de la cible qui est froide et dense. On peut en déduire que le chauffage dû aux collisions des particules a sera plus efficace dans la partie droite de la coquille qui n'est pas chauffée par les ions.

L'évolution de la cible après chauffage du faisceau d'ions est illustrée dans la figure 4.25. Dans le panneau supérieur, les distributions de température et de densité sont tracées juste après le dépôt d'énergie des ions. La température de 7 keY ainsi que le chauffage dû aux collisions des particules a ne sont pas suffisant pour un allumage spontané, la zone chauffée se dilate et créé deux chocs qui se propagent vers l'intérieur et vers l'extérieur. L'énergie transportée par le choc 1 en mouvement vers l'extérieur est, comme on peut le voir dans le panneau du milieu, définitivement perdue. En revanche, le choc 2 se propage à l'intérieur vers le point chaud central, et entre en collision avec la partie opposée de la coquille environ 30 ps après le dépôt d'énergie des ions. Du fait de la collision, on observe alors une augmentation significative de la température jusqu'à 26 keY. Cette augmentation de température est aussi due au chauffage des particules a qui sont libérées de part et d'autre de la coquille et qui, d'après la formule ( 4.22), sont plus efficacement arrêtées dans les parties denses de la cible. Pourtant, bien que la densité et la température montent significativement dans la zone de collision, la taille du point chaud n'est pas assez grande pour l'allumage. La figure 4.28 montre l'évolution temporelle de la puissance de fusion atteinte dans ce cas. Deux maximas à 5 et 30 ps correspondent aux réactions de fusion produites après le dépôt d'énergie des ions et à la collision du choc, respectivement. La puissance de fusion est inférieure à 10 PvV, ce qui est apparemment insuffisant pour allumage.

Cet exemple montre clairement les limites de notre modèle analytique, qui supposait un arrêt des ions beaucoup plus efficace dans la coquille. L'énergie du faisceau d'ions absorbée au point chaud est beaucoup plus faible que l'énergie

134

8.13 Ti (keV)

t = 1 ps 0.02

582.5

rho g/cc

0.033

25.9 Ti (keV)

t=20ps 0.02

1813

rho g/cc

0.028

53.0 Ti (keV)

t=60ps 0.01

300

rho g/cc

0.011 0.5___,5 O.SE 0 .5~35 O .s·~ IJ .S:3 5

Dépôt d'énergie initial

Propagation des chocs

Pas d'allumage

FIGURE 4.25- Température (en haut) et densité (en bas) dans la cible calculées avec le code CHIC après l'injection des ions rapides. L'échelle de couleur montre les valeurs maximales et minimales pour chaque cas. Les profils dans la figure du haut correspondent au temps 1 ps après le dépôt d'énergie des ions. La figure du milieu montre les profils 20 ps après le chauffage par ions, quand les ondes de choc produites par l'expansion d'une partie de la coquille se propagent vers l'extérieur (choc 1) et vers l'intérieur (choc 2) du point chaud central. La figure du bas montre les profils à 40 ps, c'est à dire 10 ps après que le choc 2 soit rentré en collision avec la partie opposée de la coquille. A cet instant, la température atteint un maximum mais la combustion se ralentit, la coquille se détend et les particules a s'échappent partiellement du point chaud. Les simulations 2D sont réalisées par le code CHIC. La taille d'un carreau dans les figures est de 50 J.Lm.

d'allumage nécessaire Eig = 10.6 kJ, et plus de 30% des ions se propagent au-delà de la partie avant de la coquille et s'arrêtent dans la zone centrale ou dans la partie arrière de la coquille.

Si les paramètres du laser sont choisis de telle sorte que la zone d'accélération soit déplacée plus près de la coquille, dans une région de densité de plasma 20- 30 g.cm-3

, les ions acquerront une énergie moyenne inférieure de 3 MeV et ne pourront plus se propager au delà de la coquille avant. Toutefois, plus d'un tiers de leur

135

énergie sera perdue à l'avant du point chaud. Comme le processus d'accélération pondéromotrice devient moins efficace à des densités plus élevées, une énergie laser estimée à environ 200 kJ ne serait pas suffisante pour chauffer le point chaud à une température ionique de rv 10 keY. De plus, les exigences en matière d'énergie laser pour creuser le canal jusqu'à cette région de densité plus élevée, qui ne sont pas prises en compte ici, devraient également augmenter.

Ce premier essai bien que négatif concernant le gain a mis en évidence un processus non prévu : le chauffage par le choc induit par le dépôt d'énergie des ions. Dans un second jeu de paramètres, nous tentons d'amplifier ce processus. Les profils de densité et de température du plasma avant et après le dépôt d'énergie des ions rapides sont présentés sur la figure 4.26, qui présente des coupes dans un plan contenant l'axe de symétrie semblable sur la figure 4.24.

0 .01

E = 5.4 kJ E = 20 kJ E = 0.9 kJ E = 1.7 kJ

20% 1 7 1% 1 3 % 1 6% 1

-------------------- ~------~--------r ------ : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

-----...;..' : : : 1 1 1

1 1 1 1 1

E = 28 kJ lot

- p (100 g/cm3

)

- T; (keY)

--- T; (1 = Ops)(keY)

- P;acc ( 100g/cm3

)

- E; (MeY)

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

Distance depuis le centre de la cible z ( !lm)

FIGURE 4.26 - Le spectre en énergie des ions rapides dans la zone d'accélération est tracé en orange et la température du plasma résultante dans la cible immé­diatement après le dépôt d'énergie des ions est tracée en rouge. La densité et la température plasma avant l'injection sont aussi tracées (lignes noire et bleu, re­spectivement). La densité dans la zone d'injection est tracée en vert. La cible et les paramètres laser sont décrits dans le texte.

L'intensité du laser dans cet exemple est de 9.3 x 1021 vV.cm- 2, la durée d'im­

pulsion est de 2.3 ps et le rayon de la zone d'accélération est désormais de 23 J..lm. La zone d'injection d'ions est longue de 30 J..lm et elle est située à une distance de 110 J..lm du centre de la cible, qui est, à une distance de D = 70 microns en face

136

de coquille. Dans cette la densité du plasma varie de 0.7 à 3 g.cm-3.

A la de l'équation ions rapides diminue 20 à 5 l'vieY avec l'augmentation de la densité. zone d'accélération représentée un trait

vert est superposée au profil de densité de la cible (courbe pleine en noire) à la figure La courbe de distribution de correspondante est tracée en orange (en pointillés gras à proximité du point z - -0,012 cm). La température du plasma le chauffage par et distribution ture initiale de cible sont représentés par courbes en rouge gras et en bleues pointillées, Dans cet exemple, du laser et positiOn

la zone d'injection sont choisis de teUe manière de l'énergie ionique totale, soit 28 kJ, sont dans la coquille, 23% sont entre la zone d'accélération et la coquille, et seulement sont déposés au centre de cible.

du plasma atteinte combustible est à constante et ne maintenant ""' 5 , ce qui s'explique par du volume chauffé.

par rapport au jeu de paramètres on peut remarquer le dépôt d'énergie des ions est beaucoup concentré sur le premier "pic" de densité et

l'autre coté la coquille n presque pas chauffé. D'après la (4.22), on sait le chauffage dù aux collisions des particules a sera plus efficace dans la partie dense et froide la coquiUe, opposée au dépôt des ions.

L'énergie des ions déposée la partie dense est de 20.4 kJ. Cette est fois plus grande que la valeur estimée la formule 15). rayon de la zone de dépôt est 1.5 fois plus important que celui par l'équation (4.15) et plus de deux fois supérieur à notre estimation dans la section précédente. Par conséquent, du nécessaire

prévu pour la cible de base de par un facteur quatre. tTne puissance de 150 PvV et une énergie de 350 kJ sont requises. par rapport aux chiffres proposés dans [1131 sont par fait les estimations analytiques, les particules injectées sont supposées avoir un range fixe et supposées collimatées. En outre, le d'allumage nous examinons diffère en ce sens le combustible apparaît sous la forme coquille mince et non comme une sphère homogène.

de la cible après le par faisceau d'ions de la coquille est et l'évolution temporelle de la de fusion dans

le dépôt d'ions, température est nettement en dessous du seuil d'allumage, mais la de la zone ,~H<kULLv est plus grande et puissance fusion jusqu'à 32 PvV provoquant une importante augmentation de température la cible. La zone chauffée se dilate et crée chocs qui se propagent vers l'intérieur et l'extérieur similairement

137

8.13 Ti (keV)

t = 1 ps 0.02

582.5

rho g/cc

0.033

25.9 Ti (keV)

t =20 ps 0.02

1813

rho g/cc

0.028

53.0 Ti (keV)

t =40 ps 0.01

300

rho g/cc

0.011

0 .01

Dépôt d'énergie initial

Propagation des chocs

Allumage

FIGURE 4.27- Température (en haut) et densité (en bas) dans la cible calculée avec le code CHIC après l'injection des ions rapides. L'échelle de couleur montre les valeurs maximales et minimales pour chaque cas. Les profils dans la figure du haut correspondent au temps 1 ps après le dépôt d'énergie des ions. La figure du milieu montre les profils 20 ps après le chauffage par ions, quand les ondes de choc produites par l'expansion d'une partie de la coquille se propagent vers l'extérieur (choc 1) et vers l'intérieur (choc 2) du point chaud central. Il est tracé sur la figure du bas les profils à 40 ps, c'est à dire 10 ps après que le choc 2 soit rentré en collision avec la partie opposée de la coquille. A cet instant, la température atteint un maximum et les réactions de fusion s'emballent.

au cas illustré sur la figure 4.25. L'énergie transportée vers l'extérieur par le choc 1, comme on le voit dans le panneau du milieu, est aussi de nouveau perdu. En revanche, le choc 2 se propageant vers l'intérieur traverse le point chaud central et entre en collision avec la partie opposée de la coquille environ 20 ps après le dépôt d'énergie des ions. L'effet cumulé de la collision des chocs et du chauffage des particules a provoque une augmentation de la densité dans la zone de collisions

138

jusqu'à plus de trois fois la densité initiale, 1.8 kg.cm- 3, et la température s'élève

jusqu'à 25 keY, une valeur plus de deux fois supérieure à la température initiale.

le+l8

le+l7

~ le+l6 § rn rn ·s

P.. le+ 15

le+l4

0 10

- Cas d'ignition (20KJ) - Cas sans ignition( 14 KJ)

20 30 40 50 60 temps [ps]

FIGURE 4.28- Puissance de fusion calculée par CHIC en fonction du temps pour la cible conçue pour RiPER. Les énergies déposées par les faisceaux d'ions rapides sont de 8 kJ (courbe en bleu) et 20 kJ (courbe en rouge). Les paramètres du laser et de la cible sont définis dans le texte en section 4.2.2.

Ces conditions sont favorables pour emballer les réactions de fusion nucléaire. L'onde de combustion se propage le long de la cible. Ce processus prend environ 20 ps, et la puissance de fusion dépasse 400 PvV au bout de 40 ps. Une énergie de rv 8.5 MJ est libérée dans ce cas, ce qui correspond à un gain d'énergie d'environ 15- 20.

L'allumage et la combustion ne sont pas encore complètement optimisés dans ces simulations. L'énergie de l'impulsion laser pour l'allumage est 2 fois plus grande que l'énergie de l'impulsion de compression et 3 - 4 fois plus grande que celle estimée pour allumer une cible avec cône [20, 21, 107]. La principale raison de cet excédent d'énergie est le fait que la cible RiPER de base n'est pas bien adaptée pour le schéma d'allumage discuté ici. La coquille au moment de la stagnation est relativement mince. La zone chauffée se dilate dans les zones de faible densité de

139

plasma et donc trop d'énergie est perdue. cible avec une plus et un petit point chaud central sera mieux adaptée pour notre méthode d'allumage par ions rapides.

Cible avec large densité surfacique

conception des avec une haute densité surfacique au moment de la stagnation des l'allumage et l'utilisation d'ions plus énergétiques. Cela améliore l'efficacité du rendement laser, conformé­ment aux équations (4.13) et (4.14), et permet fournir meilleures conditions

confinement pour dépôt d'énergie ions. titre d'exemple nous consid-érons une capsule de 0.9 mg combustible DT. La compression isochore de cette capsule a étudiée dans l'article [108]. Ici, nous prenons profils de densité évalués à un instant proche du temps de la stagnation (figure 6 de [1081). La dis-tribution de densité à ce moment est approchée une homogène de rayon Zs- 45 fLin de densité 450 g.cm- 3 par un plasma faible densité carac-

par un profil exponentiel 19) avec une longueur de gradient L 28.85 pm et p(zs) - 200 g.cm-:3. Les profils radiaux de la densité et de la densité surfacique de cible sont présentés sur la figure '1.29-a. point central de capsule est caractérisé par une surfa ci que de 2 g.cm - 2

, tandis que la densité surfa ci que totale incluant le profil exponentiel la 2.7 g.cm- 2

.

Nous avons choisi les paramètres d'allumage de cette grande cible en appli-quant comme dans la section procédure pour les impulsions laser nécessaires. Selon formules (4.19), l'énergie d'allumage est 8.5 kJ et rayon du point chaud est 13.5 j1m. Nous trouverons du nécessaire pour l'accélération des ions 11as 4.4 x 1022 vV.cm-2

, et la de de zone qui s'étend 3 à 12 g.cm- 3 à une distance 80

JUn du centre. Par conséquent, des ions est l'ordre de à 26 MeV. La longueur de zone d'accélération est de 40 j1m, son rayon est de 5A f1IrL la d'impulsion du laser est de 2,6 ps, la puissance du laser s'élève à 40 PvV,

laser est 104 kJ, ce qui correspond à une efficacité 8,2%. Une série calculs [118] ont effectués avec le code DUED [70] et CHIC [10]

en faisant varier rayon de zone d'accélération. Le transport ions est décrit dans l'approximation balistiques Trnmpet tandis qu'aucune angulaire n'est supposé dans les calculs avec DUED. Les résultats obtenus avec les codes sont similaires. Il a constaté que pour atteindre l'allumage et la propagation des ondes combustion thermonucléaires, l'énergie totale devrait atteindre 17 kJ et un correspondant de la zone 16 /Lm. est environ 2 plus grande que puissance thermonucléaire est sur figure 4.30-a. L'énergie investie dans la compression de cette capsule est de 485 kJ, alors que la cible s ·allume avec succès et produit près 90

140

. . . . . p~ •••••.. . . -.. . . .

pR ·----------------·--·-

100 150 200

Distance depuis le centre de la cible z ( !-Un)

FIGURE 4.29 - Profils de densité et de densité surfacique à la stagnation de deux cibles considérées pour l'allumage avec les ions rapides.

MJ [108] permettant un gain d'énergie total d'environ 170. Nous avons également analysé une autre cible de très grande taille de 3.5 mg qui

a été conçue par M. Temporal et al [107]. Les simulations hydrodynamiques [107] démontrent qu'une telle cible peut être comprimée en attaque indirecte jusqu'à un pic de densité de 675 g.cm-3

, avec une vitesse d'implosion faible de 190 km s-1 avec une énergie absorbée de 635 kJ. Une telle conception permet d'atteindre une très grande densité surfacique de combustible d'environ 4,1 g.cm- 2 et donc peut pro­duire un gain très important. Il a été démontré dans [107] que cette cible pouvait être allumée par un faisceau de protons ayant une distribution en énergie maxwelli­enne caractérisée par une température de 3-5 MeV et une énergie totale de 15 kJ. Les simulations ont tenu compte de l'étalement longitudinale balistique des ions sur leur parcours de 1mm, mais ne prennent pas en compte une éventuelle diver­gence angulaire. Considérant un faisceau de protons collimaté caractérisé par une distribution en énergie gaussienne d'énergie moyenne de 12MeV et d'une largeur totale à mi-hauteur de 1 MeV, on a constaté que l'énergie minimum d'allumage était réduite à 10 kJ [117].

141

19 10

Q) 18 u lO c co (f) (f) 17 ·- 10 ::J o...

16 10

15 10

0 10 20 30 40 50 60 70

Temps (ps)

FIGURE 4.30 - Puissance de fusion dégagée dans les simulations avec des paramètres de laser et de faisceau d'ions donnés dans le texte. Les simulations ont été réalisé par le code D UED.

Les profils de densité et de densité surfacique de cette cible évaluées au moment de la stagnation sont illustrés dans la figure 4.29-b. La densité du plasma extérieur à la coquille est approchée avec un profil de densité exponentielle (4.18) pour z > Z8 = 90 JLm avec p( zs) = 200 g.cm - 3

, et une de longueur de gradient de L = 35 JLm. Les caractéristiques de l'impulsion laser nécessaires à l'accélération des ions sont définies comme suit : l'intensité du laser I1as rv 9.1 x 1022 vV.cm- 2

,

la gamme de densité de la zone d'accélération s'étend de 3.6 à 14.6 g.cm-3 à la distance de 92 JLm de la base, et par conséquent, l'énergie des ions varie de environ 10.8 à 43.3 MeV. La longueur de la zone d'accélération est de 48.5 JLm, son rayon est d'environ 3 JLm, la durée d'impulsion laser de 3.4 ps, la puissance du laser est de 26 PvV et l'énergie du laser nécessaire est donc de 89 kJ, correspondant à une efficacité d'allumage de 7,8%.

L'allumage et la combustion sont réalisés avec un rayon de la zone d'accélération de 14 JLm correspondant à une énergie ionique total de 12,7 kJ. En conséquence, la puissance du laser est de 30 PvV et l'énergie totale du laser est 1.5 fois plus

142

importante que prévu, soit 135 kJ. puissance thermonucléaire produite dans cette cible est sur la 4.~10-b. Connne publiés dans l'article cette capsule atteint un gain maximum de 220.

4.2.5 Schéma d'allumage avec des ions Carbone

Le schéma considéré dans la section précédentes peut être intéressant pour des cibles de réacteurs, mais il requiert des énergies et des puissances d'allumage trop importantes pour les lasers à l'heure actuelle. Ayant pour objectif de trouver des paramètres moins exigent pour l'allumage ionique, nous considérons dans cette section un autre schéma avec un cône inséré dans la coquille de la cible. Le cône est rempli d'un matériau qui sert de source pour les ions accélérés.

La cible avec cône

L'avantage de ce schéma est qu'on peut librement choisir la densité du matériau source des ions à accélérer. En outre, on a pas besoin de créer le canal.

Le désavantage majeur est une construction de cible plus compliquée et moins adaptée à une cadence de tirs élevée. Dans cette partie, nous analysons un schéma d'allumage par ions carbone qui du fait d'un pouvoir d'arrêt plus important que les ions D-T, peuvent apporter plus d'énergie dans le combustible, comme il a été montré dans les publications précédentes [21, 103-105]. Le schéma est décrit sur la figure 4.31 : le cône (en jaune), l'impulsion laser (flèches violettes) peut atteindre directement la zone d'accélération des ions (en rose). L'énergie plus élevée dans le cas d'ions de carbone permet de réduire le nombre de particules et améliore la directionnalité du faisceau allumeur. Puisque la mousse de carbone de densité 0.2 g.cm-3 (en bleue) est surcritique pour la lumière laser, l'accélération d'ions peut être décrite au moyen du modèle du piston laser vu dans la section 4.2.2 avec le paramètre caractéristique B = J Izas / pc3 .

Nous utilisons une cible avec cône proposée par Honrubia et al. [122], où la pointe du cône est situé à une distance de 110 JLm du centre de la cible. Nous présentons sur la figure 4.32 la carte 2D de densité à la stagnation. L'énergie laser investie pour imploser la cible est de~ 137kJ. D'après les formules ( 4.15) et ( 4.16), les conditions d'allumage nécessitent en théorie un dépôt d'énergie de Eig rv 7 kJ, un rayon de point chaud de T'ïg = 12 JLm pendant un temps plus court que Tïg = 14 ps.

Nous nous proposons d'utiliser le milieu d'accélération des ions avec la densité la plus petite possible, pour que le paramètre B défini par les conditions d'allumage nous permette d'utiliser l'intensité laser la plus basse possible. La densité minimale est limité par deux conditions, (1) elle doit être supérieure à la densité critique relativiste pour que l'accélération des ions provienne de la pression radiative, (2) la longueur d'accélération doit être inférieure à la longueur de Rayleigh du laser pour que l'intensité soit suffisamment constante le long de la zone d'accélération. Pour un laser d'intensité Izas rv 5 x 1021 vV.cm- 2 et une densité choisie homogène p = 0.2 g.cm-3

, nous trouvons le paramètre caractéristique du piston laser B = 0.096.

144

Cône de Z élevé (ex : Or)

Couronne

FIGURE 4.31- Schéma du processus d'allumage par les ions carbone. Il représente à la stagnation la cible composée de la couronne, de la coquille du noyau et d'un cône en or inséré (en jaune) à l'intérieur duquel de la mousse de carbone à 0.2 g.cm - 3 a été ajoutée (en bleu). Ce schéma nécessite une seule impulsion (flèches violettes) qui accélère les ions carbone (en rose) qui se propagent et déposent leur énergie (en rouge).

On en déduit une énergie des ions carbone de tc = 175 MeV, conforme avec la densité surfacique de la cible comprimée, et une vitesse du piston de 0.087 c. Pour porter l'énergie nécessaire à l'allumage, nous avons choisi un rayon de faisceau d'ions allumeurs de 9.85 JLm. Nous pouvons donc calculer la puissance nécessaire du laser Pzas = IzasKr;cc = 15. PvV. Nous supposons une mousse de carbone à l'intérieur du cône de longueur Lace = 200 JLm, on en déduit ainsi le nombre total d'ions carbone Ntot = niLaccKr;cc = 6. x 1014 et une énergie totale transportée par les ions, E0 = Ntotfc = 17 kJ. La durée de l'impulsion accélératrice est de Tzas =Lace/v!= 7.6 ps. L'énergie laser totale nécessaire à l'accélération d'ions est donc de Ezas = TzasPzas = 116 kJ et l'efficacité de conversion laser dans les ions carbone rJ = Ec/Ezas rv 14.7%.

L'injection d'ions carbone (accélération) et la propagation vers le centre de la cible sont modélisées avec le module de transport Trumpet. La zone d'injection est approchée par un cône tronqué de mousse à l'intérieur du cône d'or en contact direct avec son extrémité. Les deux cônes ont un axe commun pointant au centre de la cible. Puisque que l'intensité du laser et la densité de la mousse sont supposées constantes, les ions sont monoénergétiques, simplifiant la propagation du faisceau et la modélisation du dépôt d'énergie.

145

0.01

0.005

-E u -Ill 0 ::J

"C ns a:

-0.005

-0.01 0

Z (cm)

Den 9.8E+02 3.8E+02 1.4E+02 5.5E+01 2.1 E+01 8.2E+00 3.1 E+OO 1.2E+00 4.6E-01 1.8E-01 6.8E-02 2.6E-02 1.0E-02

FIGURE 4.32- Profils 2D de densité de la cible avec cône proposée par Honrubia etal. [122] à la stagnation.

Numériquement, comme dans le cas d'allumage avec les ions DT, le transport ionique est mis en oeuvre en divisant le cône de mousse en petites tranches d'ions carbone qui sont séquentiellement injectées, de la plus éloignée à la plus rapprochée de la pointe du cône en or. Comme la durée de l'accélération ( Tzas) est beaucoup plus courte que l'échelle de temps hydrodynamique, la densité reste constante.

Par contre, la température ionique le long du parcours d'ions a été augmentée en raison du dépôt d'énergie locale de chaque tranche d'ions accélérée. L'augmentation du range des ions carbone due à l'augmentation de température est prise en compte dans le calcul du pouvoir d'arrêt (2.81).

La dynamique de la cible après le dépôt d'énergie des ions est calculée avec le code hydrodynamique CHIC [lü]. Sur la figure 4.33, la zone d'accélération est représentée par un trait épais vert superposé au profil de densité de la cible (courbe pleine en noire). La courbe de distribution de l'énergie (monoénergétique) est tracée en orange. La température du plasma après le chauffage par le faisceau d'ions et la distribution de température initiale de la cible sont représentées par les courbes en rouge et en bleue, respectivement. Dans cet exemple, les paramètres du laser sont choisis de telle manière à ce que 70% de l'énergie ionique totale, 17 kJ, soit déposée dans le combustible dense. Les 30% d'énergie restante sont

146

1

Edep = 5 kJ (~30 %)

Zone d'acceleration Mousse de carbone

à 0.2 g.cm-3

Edep = 12 kJ (~70 %) 1 1

1 1 1

rho (lOOg/cc) Ti (keV) Ti (tps = 0) (keV)

p ~ 200g/cc

p ~ 200g/cc

0.00010 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 z (cm)

FIGURE 4.33 - Profils dans l'axe du faisceau après dépôt d'énergie des ions car­bone : en rouge- le spectre en énergie des ions rapides dans la zone d'accélération; en vert - la température plasma résultante dans la cible immédiatement après le dépôt d'énergie des ions. La densité et la température plasma avant l'injection sont aussi tracées (lignes marron et bleu, respectivement). La densité dans la zone d'injection est en marron. La cible et les paramètres laser sont décrits dans le texte.

déposés le long du parcours entre la zone d'accélération et la masse comprimée. La température moyenne du plasma atteinte dans le centre est d'environ rv 5 keY. D'après la relation ( 4.22), on en déduit que le chauffage dû aux particules a sera plus efficace au point central de notre cible, où la densité est la plus élevée.

L'évolution de la cible après le chauffage par le faisceau d'ions de la coquille est illustrée sur la figure 4.34 et l'évolution temporelle de la puissance de fusion sur la figure 4.35. Dans la figure 4.34, on a tracé dans le panneau supérieur la température et la densité juste après le dépôt d'énergie des ions (t = 5ps). La température de 5 keY est assez basse, mais la taille de la zone chauffée est grande et la puissance de fusion s'élève à 5 PvV provoquant une importante augmentation de température de

147

25 CI .Dl Ti (keV)

t =5 ps 0.02

Cl 966

rho g/cc

0.033 -D .Cl 1

0.01

30 Ti (keV)

t =15 ps 0 0.02

1813

rho g/cc

0.028

0.0 1 105

Ti (keV)

t =25 ps 0.01 0

300

rho g/cc - 0 .01

0.011 - 0 .02 0

FIGURE 4.34- Température (en haut) et densité (en bas) dans la cible calculés avec le code CHIC après l'injection des ions rapides. L'échelle de couleur montre les valeurs maximales et minimales pour chaque cas. Les profils dans la figure du haut correspondent au temps 5 ps après le dépôt d'énergie des ions. La figure du milieu montre les profils 10 ps plus tard. A cet instant, la température atteint 30 keY, ce qui permet aux réactions de fusion de s'emballer. La figure du bas représente température et densité 20 ps après le dépôt d'énergie des ions. La cible est au coeur de sa combustion, elle atteint son maximum température rv 100 keY. Les simulations 2D sont réalisées par le code CHIC.

la cible. La figure du milieu montre les profils à 15 ps. Ici, l'élévation de température due au dépôt d'énergie des ions carbone et au chauffage des particules a déclenche directement l'emballement des réactions de fusion nucléaire. La puissance de fusion atteint 30 PvV et la température ionique s'élève à 30 keY. Finalement, dans le panneau du bas (20 ps après le dépôt d'énergie des ions carbone), la température atteint un max d'environ 100 keY ainsi que la puissance de fusion qui atteint environ 800 PvV. Ce régime dure rv 10 ps pendant lequel la combustion est intense puis à partir de t = 30ps, diminue progressivement. L'énergie dégagée par les réactions de fusion atteint 18 MJ. On en déduit un gain total de rv 70.

148

le+l8

le+l6

0 20 40 temps [ps]

60 80

FIGURE 4.35 - Puissance de fusion dégagée avec des paramètres de laser et de faisceau d'ions donnés dans le texte. Les simulations ont été réalisées par le code CHIC couplé avec Trumpet pour le transport d'ions carbone.

4.2.6 Discussion

Trois cibles de fusion ont été considérées pour l'allumage par ions DT : La cible de référence du projet RiPER et deux plus grandes mieux adaptées à l'al­lumage rapide. Dans le cas de la cible de référence RiPER, l'énergie d'allumage du faisceau laser est d'environ 350 kJ. Les caractéristiques du laser sont quatre fois supérieures à celles prévues. pour l'allumage rapide par électrons et le gain d'énergie reste modeste, de l'ordre de 10- 12. La principale raison de ce résultat décevant est la très faible épaisseur de la coquille comprimée. Le dépôt d'énergie des ions injectés entraîne une expansion prématurée et le refroidissement de la région chauffée qui est que partiellement compensée par les réactions de fusion. Le combustible est enflammé 20 ps après le dépôt d'énergie au moment où le plasma accéléré collisionne avec la partie opposée de la coquille. Évidemment ce n'est pas un scénario d'allumage optimal.

En augmentant l'épaisseur de la coquille par un facteur 2, nous démontrons la possibilité de réduire l'énergie du faisceau d'ions allumeur d'un facteur 2 à une

149

outre, la puissance du laser est réduite à 30 PvV, de l'impulsion est à 140 kJ et le gain d'énergie est supérieure à 200.

baisser encore laser, nous avons la possibilité de réduire et la puissance à 115 kJ et PvV en allumant une cible avec cône

d'une mousse carbone. réalisé combustion de la cible est alors d'environ 70.

II y a des évidents à choisir le direct par ions DT rapides pour un futur réacteur fusion inertielle. En effet ce schéma une cible sphérique simple devraient relativement bon marché à produire et plus facile à transporter en centre chambre pour un fonctionnement à haut taux

répétition. Ce d'allumage preCISIOn rv 30 pm pour la focalisation du de temps de ""' 50 ps au moment sur impulsions sont un contraste une polarisation circulaire et une distribution d'intensité contrôlée dans le Le schéma d'allumage avec des plus lourds de réduire la du faisceau et donc d'accélérer ceux ci à une distance plus éloignée centre la cible. accélération dans une mousse

carbone à l'intérieur d'un en or inséré dans cible permet rendre milieu d'accélération des ions moins possible afin diminuer l'intensité laser. Cette configuration permet de réduire les mais l'ajout du cône la rend plus difficilement compatible avec un fonctionnement à haut taux répétition.

En comparaison avec l'allumage rapides, contraintes laser du schéma ions rapides sur la puissance

laser pour allumer une cible avec des a 100 k.J [76], ce qui est assez similaire à ions. La puissance laser nécessaire pour accélérer est d'environ "'-' 2 PvV, à dire qu'elle est environ fois moins élevée que la puissance requise pour accélérer ions d'environ rv à 30 PvV, qu'on utilise le schéma par ions carbone ou DT.

Dans ce document, nous n'abordons pas, pour l'allumage par ions problème du à creuser la couronne plasma, à de ·"' 1 g.cm - 3

. Ce processus mérite une analyse mais des publications ré-centes [120, 1211 montrent différentes qui doivent détail et vérifiées dans expériences. L'accélération pondéromotrice corrnne il a montré dans section sert de piston, ce qui en­traîne creusement d'un canal dans un plasma surcritique [95]. estimations simples fondées sur résultats de ces documents montrent que l'énergie laser nécessaire pour creuser le canal sera inférieure de 20- i:10% à l'énergie laser

à l'accélération ions allumeurs. Ainsi, il n'aura pas beaucoup d'incidence

150

sur estimations de de la cible. Pour le percement du canal dans un plasma sous-dense de 2 mm, on peut utiliser une impulsion laser d'intensité "' 1021

\IV selon l'étude proposé dans [120], un canal de 1 mm de long peut être produit en ~i ps avec une puissance ~).5 PvV. canal dans plasma sur-dense une d'au moins :3 x 1021 et peut plus de 10 pour une de densité d'environ 1 g.cm- 3

. Cette pour le schéma d avec les ions carbone car le faisceau allumeur interagit directement avec mousse de carbone protégée à l'intérieur d'un cône en or.

Cl1apitre 5

Conclusions et perspectives

Le développement des modèles cinétiques réduits et la modélisation du trans­port d'un faisceau particules chargées très au d'un plasma, était l'objectif de cette dans le cadre de fusion par confinement inertiel. La description détaillée du transport généralement de lourds calculs cinétiques multidimensionnels très en temps et en ressources informatiques. D'un

la mise en condition de la cible dans laquelle est injecté ce faisceau est d'un code hydrodynamique multidimensionnel. L'optimisation

d'une cible et plus généralement la mise au point et l'interprétation d'une expéri-ence un grand nombre calculs hydrodynamiques en tenant compte

effets cinétiques. Mais les spatiale et temporelle entre le fonctionnement cible FCI et le transport particules relativistes sont très différentes. Le

couplage des deux codes généralement difficile, extrêmement long et est réalisé souvent. L'enjeu ce travail a proposer des modèles simplifiés qui rendent compte des principales caractéristiques du processus de transport ciné­tique et soient et pour introduit directement dans un code hydrodynamique comme des modules complémentaires.

Ce travail ordonné en deux parties : - La première partie dans le chapitre 3 décrit les modèles réduits

Tmmpet et Ml, la réalisation numérique et leurs validations. La synthèse théorique le chapitre 2 visait, entre autre, à poser fonde­ments du travail numérique par la suite. avons introduit une hiérarchie modèles en tenant compte effets prépondérants du trans­port de particules : * Le modèle est modèle le plus simple. Il est stationnaire et

rapide. modèle est bien pour le transport de particules lourdes (ions) et pour Il ne en

152

les pertes d'énergie des particules ainsi que l'élargissement du faisceau par un d'angle moyen de diffusion [7]. de dif­fusion longitudinales et transverses ( et blooming) sont pris en

dans modèle plus évolué TrurnpetSB. Ces modèles fonctionnent en géométrie ainsi axisymétrique et peuvent être appliqués pour transport des électrons et des ions. Néanmoins ils procurent résultats moins précis pour le transport d lorsque la diffusion latérale est importante ou que le plasma dans lequel se propagent les par­ticules rapides présente forts gradients de densité à la direction de propagation.

* Le modèle aux moments Ml, est un modèle plus précis et détaillé. Il est instationnaire, multidimensionnel et construit à partir des équations ciné-tiques Planck. Il résolution des

avec une sur un modèle donne des bons

cas même compenser l'imprécision de 'Trumpet pour des forts gradients de densité transversaux. Pour une géométrie 2D plane ou à symétrie le temps de calcul du dépôt d'énergie ne prend que quelques minutes. Les trois modèles ont testés dans conditions simples plasma ho­mogènes, plus complexes de plasma inhomogène en densité et température et enfin dans des conditions FCI. comparaisons multidimensionnelles avec Monte Carlo et hybrides ont montré un bon accord,

bien pour les ions que pour électrons. La deuxième partie cette est dans chapitre 4. Elle décrit des applications des modèles développés.

* résultats expérimentaux de mesures de ,.,-.,.T'"'""'C'

sion d'un cylindre en plastique diagnostic protonique. a réalisée au Rutherford Appleton La bora tory (RAL) en 2008. avons démontré qu'il était possible de retrouver résultats taux ainsi que ceux des simulations Monte Carlo avec le modèle Tntm-petSB. Ce utilise une formulation du pouvoir d'arrêt des protons, qm la température du plasma. tende à sures-

rnt>Tl""'" de l'ombre de la cible de il reproduit bien les diamètres sur plus hautes

Du fait de sa il a de tester un très grand nom-de configurations et de profils hydrodynamiques de la cible en cours

d'implosion. * La seconde application concerne l'analyse d'un nouveau type de schéma

d'allumage, basé sur l'accélération pondéromotrice d'ions !901, Deuterium-

153

Tritium ou d'ions carbone. Le schéma d'allumage avec ions D-T se décompose en deux

première à creuser un dans la couronne de plasma à d'un faisceau laser de 1020 VV.cm2

. La seconde à des ions DT au bout de ce canal à des entre 5 - 25 MeV afin qu'ils transportent l'énergie au coeur de la cible comprimée. deuxième

nécessite l'introduction d'un cône en or, rempli mousse carbone peu dense (0.2 g.cm-3

), préalablement insérée dans une cible DT. la stagnation, un laser intense les ions carbone l'intérieur du qui transportent leurs énergies au centre de la cible et déclenchent réactions de fusion.

transport d'ions à haute et leurs dépôts d'énergie dans le ~-'"Â'LHH,CC ont été calculés avec le module Trmnpet. Trois cibles de fusion ont étudiées la cible du projet RiPER et deux adaptées à l'allumage rapide.

référence l'allumage requiert une du faisceau laser d'environ 350 kJ et ce, pour un gain d'énergie modeste de l'ordre 10- 12. La principale raison de ce résultat est la faible épaisseur la coquille comprimée. En augmentant l'épaisseur quille par un facteur nous avons montré qu'on réduisait faisceau d'ions d'un facteur 2 à une valeur 12-17 kJ. En puis-sance du laser diminuait jusqu'à 30 PVV pour une inférieure à Dans ces conditions, gain à 200. L'utilisation d'une cible avec remplie d'ions carbone a permis de réduire les laser d'une et d'une puissance laser de 1

et PVV respectivement. gain réaliser combustion de la cible alors d'environ 70.

Dans ces exigences principales sur impulsions sont contraste une polarisation circulaire et une distribution d'intensité contrôlée le foyer. De plus, rappelons la cible l'ajout d'un cône en or peut la rendre incompatible avec un fonctionnement à haut taux répétition.

Le travail effectué au cours de cette thèse ouvre de nombreuses perspectives. D'un point de vue numérique, une amélioration du schéma du modèle 1111 fait partie des priorités pour des développements futurs. En le modèle aux mo-ments Ml a des difficultés à faible Plusieurs voies peuvent être de s'affranchir dans le fonction-nement actuel, dit energy, en dépendance de la densité dans la condition

du schéma (condition CFL). condition impose pas groupes en soit proportionnel au pouvoir d'arrêt particules, et donc à

la densité électronique du faibles densités de plasma imposent un nombre de groupe en ce qui considérablement

de calcul du modèle Ail. L'autre voie serait d'étudier le schéma dit step du modèle Ml. Ce schéma fonctionne avec une fixée en énergie qui est

indépendante de du plasma. schéma pour être retenu devra cependant validé en terme de précision et de calcul sur transport d'électrons

ou d'ions rapides des plasmas homogène et inhomogène. La physique des modèles de transport peut également également améliorée

en ajoutant réactions secondaires, comme par exemple la prise en compte trous rapides créés par des collisions dures ou inélastiques ou bien encore le cou-

avec une population photons également traitée le modèle Ml. II est aussi envisageable modéliser transport de particules o: (produits

de fusion) avec modèle Ml. effet, il est actuellement dans le code hydrodynamique [10] avec un modèle simple de difli1sion multi-groupe en

modèle Ml améliorerait sans conteste le du dépôt d'énergie particules o:, et décrirait convenablement la propagation des ondes de combustion tout en conservant temps calcul CPU raisonnables.

Enfin, l'introduction des efl"ets coliectifs dans modèles Trumpet, TrumpetSB et A11 fait parti des développements futurs proches. Les modèles de transport mod-

à présent seulement transport collisionnel des particules énergétiques. Comme nous l'avons dans le chapitre 2, rôle champs électromagné-tiques auto et leurs sur le transport des électrons peuvent portant. Or, comme modèles transport peuvent courant incident du d'électrons relativistes, le résistif provoqué le courant de retour des électrons froids peut facilement à l'aide de la électrique. ce qui concerne l'effet du champs magnétique, il également être calculé en résolvant l'équation Faraday. Or il un module du code hydro-dynamique CHIC [10] qui calcule l champs magnétiques à travers une loi d'ohm généralisée. Un prochain développement sera d'étudier l'effet champs sur propagation du faisceau d'électrons par les modèles Trumpet, TrumpetSB ou Ml.

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