Responsable : Pr M. ANOUA

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

EL JADIDA

TRAVAUX PRATIQUES :

1- Etude de la réaction d’un jet d’eau sur un obstacle

2- Calcul des pertes de charges dans un circuit hydraulique

3- Tube de Venturi

4- Tube de Pitot

Option :

EVALUATION : Note du module =1/3 TP + 2/3 Examen

: MECANIQUE DES FLUIDES

I- INTRODUCTION

II- CINEMATIQUE DES FLUIDES

1- Particule fluide

2- Descriptions lagrangienne et Eulérienne des écoulements

3- Trajectoires, lignes de courant

4- Champs de vitesse dans un liquide (Théorème de Chauchy)

5- Applications

1- La mécanique des milieux indéformable et déformables?

SOMMAIRE

MECANIQUE D E S F L U I D E S

2- Objet de la mécanique des fluides

3- Milieux déformables : solides et Fluides

4- Approche adopté à mécanique des fluides

5- Hypothèses en mécanique des fluides

6- Points géométriques et matériels

7- Définition d’un fluide

2

III- ÉQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MÉCANIQUE DES FLUIDES

1- Introduction: solide, liquide, gaz; qu'est-ce qu'un fluide ?

2- Propriétés du fluide parfait en équilibre

3- Théorème fondamental de la statique des fluides

4- Applications :surface libre; surface de séparation de liquides non miscibles;

vases communicants; pression atmosphérique; variation avec l'altitude;

transmission des pressions; paradoxe hydrostatique

Applications : poids apparent, mélange; iceberg, équilibre d’un solide flottant...

Applications : Force de pression sur une paroi

1- conservation de la masse

2- conservation de la quantité des mouvements

3- conservation d’énergie

4- Equations d’états

5- Conditions aux limites et initiales

IV- STATIQUE DES FLUIDES

5- THÉORÈME D'ARCHIMÈDE

6- CALCUL DES EFFORTS SUR LES PAROI

3

V- DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

1- Conservation du débit.

2- Équation de Bernoulli

3 - Applications:

- orientation du tube

- Tube de Pitot

- Effet Venturi

- Force associée à la dissymétrie,

- Limites d'application (variation brusque de section)

- Extension aux cas des gaz

VI- NOTIONS SUR LES FLUIDES VISQUEUX

1- Viscosité: phénomène macroscopique i.e. résistance au mouvement,

valeurs de viscosité; faibles / grandes vitesses

2- Viscosité: phénomène microscopique, loi fondamentale des fluides

visqueux

- Loi de Poiseuille, profil de vitesse

- Débit, vitesse moyenne

- Applications: arrosage; transfusion sanguine,...

- Notion de régime turbulent et nombre de Reynolds 4

MECANIQUE DU POINT MATERIEL

MECANIQUE DES SOLIDES INDERFORMABLES (solide)

MECANIQUE DES SOLIDES DERFORMABLES (Mécanique Fluide.)

Système :Point Matériel M(m)

1- La mécanique ?

Chapitre I: INTRODUCTION

Système :Milieu indéformable (solide), définition???

Système :Milieu déformable (Particule fluide)

Champ de vitesse :translation, pas de rotation? mais on étudié la rotation WR/R0

Champ de vitesse :translation + rotation : Wsolide/R0 = 3 rotations (y , q , j )

Champ de vitesse :translation + rotation + Déformation

0 0/ R / R R / RV(M') V(M) + (M) MM' W

0 0/ R / R R / RV(M') V(M) + (M) MM' W D MM'

0/)()( Ra MVMV

5

Rr MVMV /)()(,

MOOVMV RRRe ')'()(, 00 // W

Trajectoire absolue, trajectoire relative , Mouvement d’entraînement

Trajectoire, ligne de courant

Trajectoire (base , roulante)

Echelle?

Echelle?

[Difficultés: dérivée un vecteur]

[Difficultés: imagination dans l’espace et I ]

[ Difficultés: calcul de la vitesse ]

6

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

La mécanique des milieux continus a pour objet la modélisation

mathématique des corps matériels (solides ou fluides) déformables.

Elle constitue une matière scientifique fondamentale dont l'étude est

indispensable pour aborder d'autres disciplines scientifiques et

techniques plus spécialisées telles que :

La mécanique des solides et

le calcul des structures,

la mécanique des sols et des roches,

la mécanique des fluides et l'hydraulique,

la mécanique des phénomènes vibratoires,

le béton armé ou précontraint, les constructions métalliques.

PAR CONTRE, en Mécanique des solides indéformables

Pour connaître la vitesse d’un point d'un solide indéformable, on a :

0 0/ R / R R / RV(M') V(M) + (M) MM' W

2- Objet de la mécanique des fluides

La mécanique des fluides fait partie de la mécanique des milieux déformables. En

fait, ce cours devrait s'appeler:

MÉCANIQUE DES MILIEUX DÉFORMABLES

Par exemple,

- Air sortant d'un ventilateur,……..

- Eau s'écoulant dans un canal,

sont des milieux continus déformables, c'est-à-dire que la distance entre deux

particules du milieu peut varier au cours du mouvement.

Donc : le nombre de paramètres pour décrire le mouvement d'un milieu

continu déformable est infini : définir un champs de vitesse,….

7

On peut distinguer les solides déformables et les fluides :

Les solides soumis à des efforts ne subissent qu'une déformation limitée (RDM)

alors que le fluide ne cesse de se déformer : il s'écoule.(Mécanique des Fluides.)

Pour un solide déformables la relation entre effort et déformation est représentée

sur le graphe de la figure 1 :

domaine élastique : la relation est linéaire et réversible,

domaine plastique : la relation n'est ni linéaire ni réversible.

On distingue deux domaines :

rupture

Domaine élastique Domaine plastique

Déformation

Contrainte

3- Milieux déformables : solides et Fluides

8

Or, les connaissances de physique moléculaire et atomique, vu par une approche

microscopique, sont en contradiction flagrante avec cette hypothèse !

La définition mathématique précédente suppose que pour deux points très

proches, la définition de la grandeur physique a encore un sens.

La Méca.flu. traite les milieux avec une approche Macroscopique ou

phénoménologique .

En effet les notions de masse volumique, de pression ou de vitesse du milieu n'ont

aucun sens à cette échelle, puisque la matière vue à cette échelle est

essentiellement constituée de vide.

4- Approche adopté à la mécanique des fluides

Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle macroscopique), la matière est

granulaire, faite d'atomes.

A notre échelle, un objet solide semble continu,

c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement :

Approche microscopique

Approche macroscopique

9

Mécanique des fluides

10

- isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans lequel elles sont observées ou mesurées. Assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace.

5- Hypothèses en mécanique des fluides L'hypothèse de la mécanique des fluides consiste à considérer des milieux

dont les propriétés caractéristiques, masse volumique, déformation,

élasticité, etc. sont continues

Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être faites:

- homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point ( quelque soit x ).

- compressible et incompressible :

- la viscosité : dans un écoulement chaque molécule de fluide ne s’écoule pas à la même vitesse : on dit qu’il existe un profil de vitesse

Un fluide est dit incompressible lorsque son volume demeure quasiment constant sous l'action d'une pression externe.

- Fluide parfait: En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité

11

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5755

en termes mathématiques, cela signifie que la masse volumique d'un tel fluide est supposée constante ρ = ρ0 = constante

le fluide est incompressible

En réalité, tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres. La compressibilité d'un fluide mesure la variation de volume d'une certaine quantité de ce fluide lorsqu'il est soumis à une pression extérieure.

Ainsi si l'on bouche l'orifice de sortie d'une pompe à vélo et que l'on pousse sur la pompe, on voit que l'on peut comprimer l'air contenu à l'intérieur.

C'est pour cette raison que pour simplifier les équations de la mécanique des fluides, on considère souvent que les liquides sont incompressibles. En effet,

(r= constante)

Exemple :

c'est parce que la compressibilité de l'eau (et de tous les liquides) est très faible

En revanche si l'on faisait la même expérience avec de l'eau à l'intérieur, on ne pourrait quasiment pas déplacer la pompe :

12

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2367http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1731http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5778http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1697http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5799http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=13294http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5754

Ecoulement permanent en moyenne :

Très souvent, les grandeurs physiques décrivant le fluides dépendent du temps

mais restent constantes en moyenne.

V

temps

(On se place en un point fixe de l’écoulement et on mesure la vitesse à des instants

différents) : si ces vitesses st des ctes donc l’écoul. est permenent

Écoulement permanent (ou stationnaire) :

On dit qu’un écoulement est permanent si le champ des vitesses, la pression, la

masse volumique en chaque point ne dépendent pas du temps.

-Ecoulement uniforme si le champ des vitesses est indépendant de l’espace : V(t)

(On mesure la vitesse en différents points de l’écoulement, au même instant) :

Si ces vitesses st des ctes donc l’écoulement est uniforme

13

6- Points géométriques et matériels

L'espace E3 est constitué de points géométriques. Le milieu matériel est constitué

de points matériels appelés aussi particules.

Si le milieu matériel est en mouvement, les points matériels se déplacent et leur

position coïncide à chaque instant avec des points géométriques différents.

A chaque particule sont attachées des grandeurs physiques (pressions,

température, vitesse, tenseur des contraintes, tenseur des déformations, etc.)

La position à l'instant t est donc un vecteur OM de E3.

Points géométriques

Points matériels

14

- Trajectoire

On appelle trajectoire de la particule P, l'ensemble des positions géométriques

occupées par la particule P au cours du temps.

- ligne de courant

On détermine, à un instant t donné, l’ensemble des vitesses associées à chaque point

de l’espace occupé par le fluide :

Ligne de courant à t1 M1 M2

M3

V1 (t1 )

V2 (t1 )

V3 (t1 )

V1 (t2 )

V2 (t2 )

V3 (t2 )

Ligne de courant à t2

Photo instantanée de l’écoulement

P(t0) P(t1)

P(t2)

P(tn)

La vitesse est tangente à la trajectoire

V(t)

15

7- Définition d’un fluide:

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de

particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport

aux autres. ( un paquet de molécules dans un volume dV autour de M) :

Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui

peut s'écouler.

La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est

la compressibilité.

16

La vitesse de la particule fluide est donc la vitesse moyenne des molécules

contenues à chaque instant dans dv. Elle est attribuée à M

17

IL s’agit de l’étude des fluides en mouvement : On fera une description des

écoulements sans faire le calcul des forces mises en jeu.

I- Définitions :

I.1-La particule fluide : C’est un ‘‘paquet’’ de molécules entourant un point M donné : Les molécules

sont toutes à la même vitesse à l’instant t et possèdent les mêmes propriétés

cinématiques et physiques ( V, p, T, r )

La cinématique, c'est l'étude du mouvement des fluides sans tenir compte des

forces qui lui donne naissance.

Choix du volume élémentaire représentatif (VER)?

VER

r

Volume

18

Soient M(x0 ,y0, z0 ) les coordonnées d’une particule de fluide à l’instant to dans le

repère 0,x,y,z.

Les coordonnées indépendantes (x0 ,y0, z0 ,t) sont appelées variables de Lagrange.

La position de la particule à l’instant t est M(x, y, z, t).

x=f1(x0, y0, z0, t)

y=f2(x0, y0, z0, t)

z=f3(x0, y0, z0, t)

Pour déterminer l’évolution du fluide ,

il faut déterminer les relations suivantes:

Remarque : M décrit une trajectoire

M à t0

M à t

O

x

y

z

I.2- DESCRIPTION LAGRANGIENNE.

Dans cette description l’observateur suit une particule donnée au cours de son

mouvement à partir de l’instant initial.

C’est la même particule M

19

Exemple : Mouvement défini par une description Lagrangienne : 0

0

0

x x (1 t)

y y

z z

b) Par définition La vitesse de M est : x

t

yV(M)

t

z

t

Soit :

0 x

V(M) 0

0

2

2

2

2

2

2

x

t

y(M)

t

z

t

0

(M) 0

0

Et l’accélération de M : Soit:

a) Quelles sont les variables de Lagrange ,

b) Déterminer la vitesse et l’accélération de M

a) Les coordonnées indépendantes (x0 ,y0, z0 ,t) sont appelées variables de Lagrange.

20

- Trajectoires d’une particule fluide

Il suffit donc de suivre l’évolution de la particule fluide au fil du temps.

Ainsi le lieu géométriques (trace) des positions successives occupées par une

particule constitue ce qu’on appelle la « trajectoire » de cette particule M

M(t0 ) M(t1 )

M(t2 )

M(t3 )

L a trajectoire donc

dy dzdxdtu v w

dM V dt Et si ( )V u, v, w , On peut écrire donc :

3 équation du premier ordre

3 constantes d’intégrations.

O

x

y

z

21

Par intégration :

dydxdta t b

Soit dxdt

a t

( )a t dt dx

dydt

b

bdt dy

2

1

t at x a

2

2bt y a

1°) l’unité de a et b ont l’unité d’une vitesse (m/s) et a est une accélération (m/s2) 2°) Pour une particule fluide qui appartient à la trajectoire:

2

1

t x at a

2

2y bt a Équation paramétrique

Et par élimination de t : ( ) ( )2

2 2 12

aa a a

2b by x y

C’est l’équation cartésienne de la trajectoire :

La nature de cette Trajectoires : Paraboles

Exemple : Soit un écoulement tel que le vecteur vitesse d’une particule fluide est :

a t

V(M) b

0

Où a a et b sont des constantes

1°) quelle est l’unité de a, a et b

2°) Déterminer la trajectoire de cette particule fluide

Par séparation

de variable

22

Cette fois l’observateur est placé en un point M fixe du repère, et regarde passer les

particules fluides devant lui. Ainsi, à deux instant différents, ce n’est pas la même

particule qui occupe la position de M de l’observateur.

I.3- DESCRIPTION EULÉRIENNE

Et on calcule les variables (vitesse, pression, température,) du point qui passe par M. Cette description de l’écoulement consiste à établir à un instant donné l’ensemble

des vitesses associées à chaque point de l’espace occupé par le fluide

M1

M2

V1(t1)

V2(t1)

V1(t2)

V2(t2)

A chaque instant t , l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ de

vecteur vitesse. « photo instantanée de l’écoulement »

On étudie ce qui se passe, à chaque instant (on fixe le temps), en chaque point de

l’espace :

A l’instant t1 , M1 à une vitesse V1(t1)

et M2 à une vitesse V2(t1)

A l’instant t2 , M1 à une vitesse V1(t2)

et M2 à une vitesse V2(t2)

(x,y,z,t) sont appelées variables d’Euler

Toutes les grandeurs relatives à la particule (vitesse, pression, température, ...) sont

données en fonction du vecteur lieu actuel (x, y, z) et le temps t

O

x

y

z

- DÉTERMINATION DE L’ACCÉLÉRATION EN VARIABLES D’EULER :

dt 0

V(t dt) V(t) dV(M)(M) lim

dt dt

Mais en description Eulérienne les vitesses sont des vitesses de particules fluides différentes .

En cinématique, pour déterminer l’accélération, on cherche le taux de

variation de la vitesse d’une même particule fluide au cours du temps :

Si V(x,y,z,t) est le champ eulérien de vitesse,

Et g (x,y,z,t) celui d’accélération .

Rappel :

dt 0

V(x, y,z, t dt) V(x, y,z, t)(x, y,z, t) lim

dt

23

24

dV(x, y, z, t)

dtV V V V

dV dx dy dz dtx y z t

dV V dx V dy V dz V

x ydt zdt d dt tt

On a :

dV(M)

dgr VdV

t ta

V

Donc, on doit calculer la dérivée :

V u v wi j k

x x x x

,

V u v wi j k

y y y y

V u v wet i j k

z z z z

dV u v w dxi j k

dt x x x dt

u v w dyi j k

y y y dt

u v w dz Vi j k

z z z dt t

dV

dt(

u dx

x dt

u dy

y dt

) ( ) ( )..... .....

u z

dtk

d

zi j

u u u

x y z

v v v

x y z

w w

dx

dt

dy V

dt t

dw

x y z

t

t

d

d

d

z

V

V E V u v i k j w V V V , , s'écrivent :x y z

et

En reportant ces expressions dans (1) :

(1)

V

t

25

dV V(M) gradV V

dt t

Vai

t

u u u

x y z

v v vgradV

x y z

w w w

x y w

On a: Et puisque : et

0 0 0

b 0 0

0 0 0

Donc : (M) ai atbj

Exemple :La représentation eulérienne d’ un mouvement est donnée par :

V(M) =at i +bx j . Déterminer l’accélération d’une particule fluide de ce mouvement

26

On appelle « Ligne de courant» la courbe qui, en chacun de ses points, est tangente aux

vecteurs vitesses (à instant t fixe)

O

x y

z

M1

M2

V1(t1) V2(t1)

V1(t2)

V2(t2) M1 M2

L’équation d’une ligne de courant:

Ligne de courant à t1 Ligne de courant à t2

V3(t1)

M3

M3 V3(t2)

Le long d’une telle ligne, à to on a : dx et V(x,y,z,t0 ) sont colinéaires :

Donc : dx V 0

0

0

0

u(x, y, z, t )dx 0

dy v(x, y, z, t ) 0

dz 0w(x, y, z, t )

dx dy dz

u v w

- Ligne de courant

27

Exemple : Soit un écoulement tel que le vecteur vitesse d’une particule fluide est :

a t

V(M) b

0

Où a a et b sont des constantes

1°) quelle est l’unité de a, a et b

2°) Déterminer la trajectoire de cette particule fluide

3°) donner la ligne de courant à t0

0

dydxa t b

3°) La ligne de courant à t0, vérifiée l’équation suivante :

( )0bdx a t dy ( )0

bcte

a ty x

Donc les lignes de courant sont des droites

dx dy dz

u v w Soit :

28

- Ecoulement stationnaire (permanent)

Dans ce cas, les trajectoires sont données par :

dy dzdxdtu(x, y,z) v(x, y,z) w(x, y,z)

Et les lignes de courants par : (u , v, w ne dépendent pas de t (implicitement ils dépendent de t))

dy dzdxu(x, y,z) v(x, y,z) w(x, y,z)

Donc si l’écoulement est permanent : ligne de courant = trajectoire

dx dy dz

u v w

dy dzdxdtu v w

Exemple 1: de robinet :

On a donc la vitesse qui dépende que de x,y,z :

Le champ de vitesse ne dépend pas du temps :

à t1

V(A)

V(B)

V(C)

Quant on ouvre un robinet, après le régime transitoire,

le régime devient permanent si : V=V(x,y,z)

car

car

A l’instant t1 : VA=1m/s, VB= 4m/s , VC=1m/s

VA’=2m/s, VB’= 6m/s , VC’=2m/s

Si à l’instant t2 ces vitesses

gardent les mêmes valeurs

Donc :

le régime est permanent

C-à-d :

à t2

V(A)

V(B)

V(C)

A

B

C

A’

B’

C’

Exemple 2 : d’un écoulement dans un canal :

Définition :Un écoulement est permanent si en description eulérienne

les grandeurs sont indépendantes du temps

29

Exercice

La description du mouvement d ‘un fluide est donnée par les équations suivantes :

x (x0, y0, z0,t) = x0 exp( t)

y (x0, y0, z0,t) = y0 exp(- t)

z(x0, y0, z0,t) = z0

x0, y0, z0 sont les coordonnées d'une particule dans la configuration de référence,

et les x,y,z sont les coordonnées de la particule au temps t.

est une constante positive.

1- Par quelle description est définie ce mouvement?

2- A quel instant t0 (donner sa valeur) correspond la configuration de référence ?

3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du vecteur vitesse ?

4-Quelle est la description eulérienne des composantes de ce même vecteur

vitesse ? L’écoulement est-il permanent ?

5- Quelles sont les composantes Dij du tenseur des taux de déformation ?

(voir fin de chapitre)

30

Solution :

Ce mouvement est décrit par la description de Lagrange

2°) La configuration de référence est : 0 00 0OM i y z kx j

On a: x (x0, y0, z0,t) = x0 exp( t)

y (x0, y0, z0,t) = y0 exp(- t)

z(x0, y0, z0,t) = z0

Pour que : x (x0, y0, z0,0) = x0

y (x0, y0, z0,0) = y0

z(x0, y0, z0,0) = z0

Il faut que le temps soit égale à t=0 , donc t=0 correspond à la configuration de

référence

3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du vecteur vitesse ?

On a : 0

0( )

0B

t

t

xx

t

yy

e

V M

z

et

t

4-Quelle est la description eulérienne des composantes de ce même vecteur vitesse ?

La vitesse doit être fonction de x, y, z ,t : soit V=V(x,y,z,t) :

1- Par quelle description est définie ce mouvement?

31

0

0( )

0

t

B

tx e

V eyM

On a:

Et puisque :

x = x0 exp( t)

y = y0 exp(- t)

z= z0

Donc la vitesse s’écrit en description d’Euler : ( )

0B

x

yV M

L’écoulement est-il permanent ?

Remarque pratique : Dans un écoulement permanent la vitesse dépend de x, y, z

mais ne dépend pas explicitement du temps t, dans la description d’Euler.

A noter que x, y, z dépendent implicitement du temps t.

( )

( )

0

0( )

0

t

t

B

e x

V M e y

x

y

?V

t

0

V

t

On calcule : On trouve

Donc L’écoulement est permanent

32

1 u v 1 u w

2 y x 2

1 v uD

2 x y

1

z x

u

x

v

y

w

z

1 v w

2 z

w u 1 w v

2 x z z

y

2 y

( )

0B

u

M v

w

yV

x

Le tenseur de déformation s’écrit:

Dans notre cas :

0

D

0

0 0

0 0

0

Donc :

Remarque : Calculer la divergence de V(M) ?

( ) 00u v w

x ydi V M

zv

Pas de variation de volume

On peut le constater en calculant la trace de : D Trace de = 0 D

5- Quelles sont les composantes du tenseur des taux de déformation ? D

33

1 u v 1 u w

2 y x 2

1 v uD

2 x y

1

z x

u

x

v

y

w

z

1 v w

2 z

w u 1 w v

2 x z z

y

2 y

( )

0B

u

M v

w

yV

x

Le tenseur de déformation s’écrit:

Dans notre cas :

0

D

0

0 0

0 0

0

Donc :

Remarque : Calculer la divergence de V(M) ?

( ) 00u v w

x ydi V M

zv

Pas de variation de volume

On peut le constater en calculant la trace de : D Trace de = 0 D

5- Quelles sont les composantes du tenseur des taux de déformation ? D

34

- CHAMP DE VITESSE DANS UN FLUIDE ( milieu déformable)

Soient un domaine élémentaire de centre le point C, tel que:

M C

(D)

B

x

OC y

z

B

x dx

OM y dy

z dz

Et le point M de (D) tel que :

Pour déterminer le champ de vitesse dans le domaine (D), on détermine la vitesse

de M par rapport à R:

On a: / RR

dOMV(M)

dt

Et puisque : OM OC CM

R R R

d d dOM OC CM

dt dt dt

Soit :

/ R / R

R

dV(M) V(C) CM (1)

dt

Soit un repère R( oxyz) muni d’une base orthonormée B =( i, j, k ) fixe galiléen

R

dCM ?

dt

Pour déterminer (la vitesse de M)/R , il nous reste à déterminer :

et u, v, w les composantes de sa vitesse/R à t. R

et u’, v’, w’ les composantes de sa vitesse/R :

V(C)

B

u

v

w

V(M)

/ R u ' i v ' j w 'k

x

y

z

O

iCM dx dy dj z k

R

dCM ?

dt

CM CO OM

B B

x x dx

CM OC OM y y dy

z z dz

35

On a :

Et sa dérivée/t / R :

On a :

( ) ( ) ( )R

dCMdx i j k

d d d

dt dt dt dy dz

dt

(i, j et k sont liés à R)

R

idCM d

d d ddt d

x

t dt

dy dz

dtj k

Soit :

du d di v kwj

u u udu dx dy dz

x y z

v v vdv dx dy dz

x y z

w w wdw dx dy dz

x y z

/ R / R

R

dV(M) V(C) CM (1)

dt

B B

u ' u

v ' v

w ' w

/ R / RV(M) V(C) gradV(C) CM

v v vdx dy dz

x y z

36

En reportant ces expression dans l’équation (1):

u u udx

x y z

v v v dy

x y z

w w wdz

x y z

u u udx dy dz

x y z

B

Vitesse de translation

d’ensemble de son centre

d’inertie

Vitesse de rotation (en bloc) de

(D)+ déformation de (D)

w w wdx dy dz

x y z

Vitesse générale

de la particule fluide

/ R / RV(M) V(C) gradV(C) CM

v v vv ' v dx dy dz

x y z

w w w

w ' w dx dy dzx y z

1

2

w

zp

v

y

37

- Décomposition du mouvement général d’une particule fluide:

u u uu ' u dx dy dz

x y z

On a : Ou encore :

Posons : 1

2q

u w

z x

1

2

v

yr

u

x

Le système (I) , devient :

u 1 u v 1 u wu ' u dx dy dz

x 2 yq rdz d

x 2 z xy

(I)

v 1 v w 1 v uv ' v dy dz dx

y 2 zr pdx d

y 2 x yz

w 1 w u 1 w vw ' w dz dx dy

z 2 xp qdy d

z 2 y zx

(II)

et

38

Dans le système ci-dessus (II), les composantes : qdz yrd

rdx zpd

pdy xqd

Représentent les composantes du produit vectoriel suivant: dx

r z

p

q dy

d

u 1 u v 1 u wdx dy dz

x 2 y x 2 z x

v 1 v w 1 v udy dz dx

y 2 z y 2 x y

w 1 w u 1 w vdz dx dy

z 2 x z 2 y z

On pose le vecteur W de composantes p, q, r et puisque le vecteur CM est de

Et soit D le vecteur de composantes:

Qui peut se mettre sous la forme suivante :

dx

d M

p

q

r

y C

dz

W

D

B

composantes dx, dy, dz . Ce produit vectoriel s’écrit :

39

u 1 u v 1 u wdx dy dz

x 2 y x 2 z x

v 1 v w 1 v udy dz dx =

y 2 z y 2 x y

w 1 w u 1 w vdz dx dy

z 2 x z 2 y z

1 v u

2 x y

1

1 u v 1 u wu

x

v

y

dx2 y x 2 z x

1 v wdy

2 z y

w u 1 w v

2 x z y zd

2

wz

z

D

B

Tenseur symétrique(déformation pure) = D

40

Avec ces notations on obtient la relation vectorielle suivante :

/ R / R CM DV(M) V(C) W

/ R / RV(M) V(C C) CM D MW

V(C)

B

u

v

w

1

2

w vp

y z

1

2

u wq

z x

1

2

v ur

x y

w vu

y zx

u wV(C) v

y z x

v uw

r

y

ot

xz

Et puisque :

On obtient : 1

rot )2

V(CW

Remarque : 1- le rotationnel de V(C), s’écrit : On a : Donc :

Ou encore :

C’est le vecteur tourbillon

L’écoulement du fluide est dite irrotationnel si 0 W CotV( ) 0r

41

.. .. .. dx

CM .. .. .. dy

.. .. .. dz

W

1

2

w

zp

v

y

1

2q

u w

z x

1

2

v

yr

u

x

p dx

CM dy

d

q

zr

W

1 v u 1 u wdx

2 x y 2 z x

1 w vdy

2 y z

d

0

0C

z

M

0

W

2- le tenseur des rotations pures , noté G ?

G = Tenseur antisymétrique (rotation pure)

On a: qdz yrd

rdx zpd

pdy xqd

0 r q dx

CM r 0 p dy

q p 0 dz

W

En écriture matricielle:

Et puisque :

Il vient :

31 2 1

2 1 3 1

32

1

1

2

2

3

3

3 2

1 1

2 2

u

x

u

uu u u

x x x x

uu

x xD

x

u

x

31 2 1

2 1 3 1

32

3 2

1 10

0

0

2 2

uu u u

x x x x

Guu

x x

42

Ce qui implique que les composantes

de D et G sont : Soit en écriture indicielle :

jiij

j i

uu1

2 x x

jiij

j i

uu1

2 x x

i c’est la ligne

j c’est la colonne

43

/ R / RV(M) V(C C) CM D MW

1- d’une translation d’ensemble de son centre d’inertie,

/ R / R CM DV(M) V(C) W

/ R / RV(M) V G CM D CM(C)

0 r q

G r 0 p

q p 0

1 u v 1 u w

2 y x 2

1 v uD

2 x y

1

z x

u

x

v

y

w

z

1 v w

2 z

w u 1 w v

2 x z z

y

2 y

B

1rot

2

p

V(C) q

r

W

3- d’une déformation caractérisée par D

2- d’une rotation autour du centre d’inertie, caractérisée par G

L’expression de V(M) montre que le mouvement le plus général de la particule fluide

est formé :

Récapitulation :

1

2

w

zp

v

y

1

2q

u w

z x

1

2

v

yr

u

x

11 0 0

0 0

0 0

0

0

D

31 2 1

2 1 3 1

32

1

1

2

2

3

3

3 2

1 1

2 2

u

x

u

uu u u

x x x x

uu

x xD

x

u

x

44

A- ANALYSE DES TERMES DIAGONAUX (signification physique des termes diagonaux)

I- ETUDE DU TENSEUR E DES DEFORMATIONS PURES

Soit D dans le cas où tous les termes sont nuls sauf e11 :

111

1

u

x

1

2

jiij

j i

uu

x x Donc : Et puisque :

On a donc :

D

On a :

(signification physique des termes de D)

( )1Détermin ation de N

MNM e

',

N

1

1 1

11 0 0

NN ' D 0 0 0

0 0

dx

dx e 0

0 0

11

N

MN

N '

45

Soit N un point voisin de M sur l’axe Ox1

N N’

et le point N se déplace en N’

x1 ( )1e

x2 ( )2e

( )1N

M,e'

MN

N

- Déterminer l’allongement relatif dans la direction e1 ?

M

NN' D MNOn peut écrire : 1- Puisque MN s’est transformé en NN’ ,

Soit: 1

1

11

11

dx

0

0

N M e

On a, par définition, l’allongement relatif dans la direction e1 :

Et puisque NN’ = /NN’/ e1= NN’ e1

(1)

(2)

Donc 11 représente l’allongement relatif dans la direction e1

Et par égalisation de (1) et (2): On obtient :

MN=dx1 e1 ___________> NN’

31 2 1

2 1 3 1

12 13

3221 23

3 2

31

1

1

11

222

2

32 33

3

3

1 1

2 2

uu

x

uD

x

u

x

u u u

x x x x

uu

x x

46

de même pour : ( )22 2M,e ( )33 3M,e

Donc 33 représente l’allongement relatif dans la direction e3

Donc 22 représente l’allongement relatif dans la direction e2

Donc 11 représente l’allongement relatif dans la direction e1

Avec :

ii

i

l'allongement

rela

puisque représente

dans la direction tif

ε

e

47

Remarque : Variation relative de volume

Donc : 1 11 1 2 22 2' ( )( ) A

Et pour un volume:

Et se transforme en aire de MM’1 MM’2 = A’

M’2 N’

M’1

V

V

Car 11 22 est un infiniment petit du second ordre.

x1

x2

M M1

M2 N

V ' V

V

11 22 33 11 22 33 11 22 33

( ) ( ) ( )11 1 22 2 33 3 1 2 3

1 2 3

1 1 1

( )( )( )11 22 331 1 1 1

Soit le rectangle MM1NM2 de côté , 1 2L’aire de MM1MM2 = A = 1 2

11 1 22 2 33 3V' (1 ) (1 ) (1 )

0 divV=0V

V

Trace D

48

111

1

u

xEt puisque : 2

22

2

,

u

x

333

3

eu

tx

31 2

1 2 3

uu uV

V x x x

( )

V

div uV

11 22 33

A V

A V

La variation relative de volume est donc :

Remarque :

Si le fluide se déforme sans variation de volume (fluide incompressible)

Donc :

s’ écrit : V

V

Qui représente la divergence de V(C) , soit :

1

1

2

2

3

3

31 2 1

2 1 3 1

32

3 2

1 1

2 2

1

2

uu u u

x x x x

uuD

u

x

u

u

xx

x

x

12

21

0

0

0 0

0

0

0

D

49

B- ANALYSE DES TERMES NON-DIAGONAUX

On a le tenseur des déformations pures :

Soit D dans un cas où tous les termes sont nuls sauf 12 = 21.

Dans ce cas D devient :

Soit N1 voisin de M sur Ox1 et N2 voisin de M sur Ox2

Déplacement de N1 à N’1et

Déplacement de N2 à N’2

x1 ( )1e

x2 ( )2e

M N1

N2 ???

MN1 = dr MN2 = dr

'

1 1 2

'

2 2 1

N N e

N N

est dans le direction de

est dans le direction de e

50

'

1 1N N D dr

12 1

21

0 0 dx

0 0 0

0 0 0 0

21 1 21 1 2

0

dx dx e

0

'

2 2N N D dr

12

21 2

0 0 0

0 0 dx

0 0 0 0

12 2

12 2 1

dx

0 dx e

0

Donc

Le transformé de dr : MN1 = dr MN2 = dr

N1

N’2

N’1

M

N2

x1 ( )1e

x2 ( )2e

MNi initial

MN’i final A noter que :

121 1

12

ε dx= =

dε

x

'

22 12

2 12 2

2 2

N N ε dxon a : = = =

MN dxtgθ ε

51

( )' '1 2π

M

La va

N M

riation de L'angle

est de N - α2

1

'

1 1

1

N Non a : tg =

MNθ

( ) ' '1 2L'angle passe dπ

MNMN 2

e à

Les angles étant petits on assimile donc angle en radian et tangente :

1 21 2 12 1 2 e t q q q q

Pour des petites déformation, les angles q1 et q2 peuvent être considérer petits :

q2

q1

On a :

Et soit q1 :

N’2

N’1 x1 ( )1e

x2 ( )2e

M N1

N2

donc

Et soit q2 :

On appelle la quantité (p/2 ) la

distorsion angulaire ou glissement en M

suivant 1 et 2

- Déterminer cette quantité en fonction de ij

( )

' '1 2

πM N M NLa variation de L'angle est de -

2

La variation d'angle 2

1 2 21 12 12 21π

- = =θ +θ =ε +ε 2ε ε2

52

Puisque : donc : 1 2π

( +θ +θ = ) 2

Ce qui représente la distorsion angulaire.

( )1 2M,e ,e en petite déformati2

onp

Donc on en déduit que :

On appelle distorsion angulaire ou glissement en M suivant la quantité ,

notée:

1 2et e e

On a :

53

E=D

31 2 1

2 1 3 1

12 13

3221 23

3 2

3

1

2

2

2

1 3

1

0

0

1 1

2 20 0

10 0

20

0

0 00

0

0

uu u u

x x x x

uu

xG

x

54

Interprétation du tenseur de rotation pur G

On utilise la même démarche que pour le tenseur de déformation pur D

On suppose que tous les ij sont nuls sauf 12 21

Soit N1 voisin de M sur Ox1 et N2 voisin de M sur Ox2

Soient :

Déplacement de N1 à N’1et

Déplacement de N2 à N’2

x1 ( )1e

x2 ( )2e

M N1

N2

Soit :

dx1 = MN1

dx2 = MN2

Avec :

21 1 21 1 2

0

dx dx e

0

55

On peut écrire, pour une variation d’un segment élémentaire initiale,

dx1 :

'

1 1N N drG

21

21 2

0 0 0

0 x0

0 0 0 0

d

dx2 :

'

2 2N N drG

21 1

21

0 0

0 0 0

0 0

d

0 0

x

21 1

21 1 1

dx

0 dx e

0

N’1

N’2

dx2

dx1 x1

x2

M N1

N2

g21dx1

-g21 dx2

On peut remarquer

les rotations suivantes :

3e3

56

on a la tangente de l’angle q : tgq = 21 soit : q 21 3

Donc :

la rotation est d’angle : q 213 et de vecteur de rotation est

Les composantes du tenseur G sont donc des rotations d’ angles sans déformation.

Puisque c’est une rotation, quel est le vecteur rotation

x1

x2

M N1

N2

N’1 N’2

dx2

dx1

21dx1

21 dx2

q

D

57

On peut le décomposer en somme de deux tenseurs, l’un sphérique et

L’autre déviatorique ( trace nulle)

DÉCOMPOSITION DU TENSEUR DES DÉFORMATIONS PURES :

sD

58

12 13

21 23

11

3 331 32

22

3

3

3

q

q

q

On peut décomposer ce tenseur de la façon suivante :

Avec : q 11 22 33

On peut remarquer :

1- le premier tenseur est proportionnel au tenseur unité, noté :

Décomposition du tenseur des déformations pures :

2- la trace de deuxième tenseur est nulle :

Où q 11 22 33 = la trace de D = Tr[ D ]

(Il est isotrope, les propriétés sont identiques dans toutes les directions)

Ce tenseur dont la trace est nulle est appelé déviateur

0 0

0

1

13

1

0

0 0

q

Un tenseur proportionnel au tenseur unité est appelé tenseur sphérique.

dD

D

On a donc : D sD

dD

11 12 13

21 22 23

31 32 33

D

ddE D

59

http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htm

http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htmhttp://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/accueil_mecaflu.htm

Chapitre III : THEOREMES GENEREAUX

Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique des fluides

passe par la définition du système matériel S, particules de fluide à l'intérieur d'une surface

fermée limitant S.

Dans ce chapitre , nous supposons que les fluides sont parfaits, c’est-à-dire sans frottement

(fluides non visqueux ) et nous aborderons le cas des fluides incompressibles.

A cette masse fluide, on applique les principes et théorèmes généraux de mécanique :

1 - Principe de la conservation de la masse.

2 - Principe fondamental de la dynamique.

3 - Principe de la conservation de l'énergie

On isole par la pensée toutes les particules fluides qui se trouvent à un instant

Donnée à l’intérieur d’une surface fermée S.

(S)

60

Remarque sémantique :

Nous avons employé le mot "Principe" pour traduire une relation (démontrée à partir du

principe fondamental de la Mécanique) ; nous aurions du dire Théorème ; en fait, cela se

produit souvent en Physique : ce qui était un Principe à une époque devient un Théorème

avec l'avancement des connaissances et, souvent, à tort, on garde la première terminologie.

61

Dérivation suivant la méthode d’Euler

Cette dérivée apparaît comme la somme de deux termes :

•le premier, qualifié de convectif ou advectif, est du à la non-uniformité de

l’écoulement,

•le second, qualifié de temporel, est du au caractère instationnaire de l’écoulement.

Soit un volume V (FIXE dans l’espace) entouré par une surface S

fermée :

Variation de la masse dans le volume V par unité de temps =

Masse entrante par unité de temps − Masse sortante par unité de

temps

La masse d’un domaine fluide (D) que l’on suit dans son mouvement se

conserve au cours du temps (en l’absence de sources et/ou puits).

On a alors :

( )

d 0

dtD

dVr

0 Ddm

dt

Et puisqu’on a quelle que soit f (M,t) :

( )( ) ( )

( , ) SD D

fdV dVf M t f

dn

dt tds

V Et posons f= r

(1)

L’équation (1) s’écrit :

( )D

dVd

dtr

( ) ( )

0SD

nt

dsdVr

r

V

( )) (

( )S D

n did VA vs A d Et d’après le théorème de la divergence :

la relation (2) devient :

(2)

( ) ( )

( ) 0D D

dV dVdivt

rr

V Soit :

C’est l’équation de conservation de masse ( ou équation de continuité)

( )

d0 et puisque

ddm= d v

tD

dm r

( )

0S

dsnr V( )D

dVt

r

Et avec A= r V

62

( ) 0

Vdivt

rr

Green-Ostrogradski

Application :

Dans l’espace à trois dimensions Ox, Oy, Oz, on considère l’écoulement

bidimensionnel d’un fluide incompressible caractérisé par le champ des vitesses

suivant : u = (2x -3y )t

v = (3x-y )t

w = 0

Déterminer pour que l’équation de continuité soit satisfaite.

L’équation de continuité s’écrit ( ) 0divt

rr

V

Et dans le cas d’un fluide incompressible (r=cte), on a : ( ) 0div V

0u vx y

Soit :

2u

tx

vt

y

Et comme :

2 0t t On doit donc avoir : 2

et

63

Conséquences: Conservation de débit

1- Cas d’un écoulement permanent : 0t

r

( ) ( )

0 D S

V nt

dV dsr

r

Et de l’équation (2) suivante :

, On en déduire que : ( )

0S

n dsr V

Et si (S)= (S1)U (S2)U (S)

(S1)

(S)

(S2)

1n

2n

n

L’équation (3) s’écrit :

1 2

( 1) ( 2) ( )

0 S S

V n ds V n ds V n dsr r r

Et d’après le produit scalaire :

(3)

C’est la conservation de débit massique (kg/s) ρ VS = contante

2- Si de plus r = cte: (fluide incompressible)

C’est la conservation de débit volumique (m3/s) V S = contante

( 1) ( 2) ( )

0 0S S

V ds V dsr r

1 1 1 2 2 2 V S V Sr r Soit :

V(S)

64

D'après la loi de Pascal, la pression d'un fluide en milieu fermé est transmise

uniformément dans toutes les directions et dans toutes les parties du récipient,

à condition que les différences de pression dues au poids du fluide soient négligeables.

Cette loi a des applications extrêmement importantes en hydraulique.

S. L=constante

65

2- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE :

(conservation du quantité du mouvement )

où p mVextdp

Fdt

Quelque soit le domaine fluide (D) que l’on suit dans son mouvement :

Pour, un milieu continu (fluide), on a la forme intégrale :

( ) ( )( ) ( )

d d dt dt

D D DS

dp V T fdV dVdsr r

Résultante des forces

extérieures de surface

(forces moléculaires)

Résultante des forces

extérieures de volume

(champs de pesanteur,

Magnétique, électrique..)

(1)

(2)

) )( ) ((

d

SD D

VT f

ddV dV

tdsr r

L’équation (2) est la forme intégrale de l’équation de conservation de q.d.m :

(3)

dp = V= dm V dvret

(Forces de contactes) (Forces à distances)

66

3- Théorème de L’énergie Cinétique

Démonstration de Théorème de L’énergie Cinétique (T.E.C) :

On a :

R

dw V(M) dV(M)

m dtdt

dw V(M) dtF

R

dV(MdwV(M)

)m

d

dt t

2w 1m V(M)

d d dEc

dt dt d2 t

67

Et d’après le P.F.D, dw s’écrit :

Soit :

Ce qui implique :

La quantité Ec est appelée énergie cinétique de la particule M de mase m,

Nous considérons maintenant F comme la résultante de toutes les forces

appliquées à ce point matériel M de masse m.

Et le Théorème de L’énergie Cinétique s’écrit :

ou ( )C Fd d

Pdt dt

wE

dW dEc

( ) ( )2 1M M

W Ec Ec

3 - PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'ÉNERGIE

- Conservation de l’énergie cinétique

On sait que pour un système de points matériels, le théorème de la variation

d’énergie cinétique peut être mis sous la forme :

( )

( )

.

.

.

c f ex

f exc

f ex

d E dW

dWd EP

dt dt

21

2E m V

c exdE WF

12

cdE d mV Vdt dt

cdE dVm Vdt dt

( )cdE

m Vdt

cdE

V Fdt

Donc :

68

Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut

s'écouler.

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété

physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité.

la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme s'accompagne d'une

résistance (frottements).

1- Définition d’un fluide :

Chapitre IV : STATIQUE DES FLUIDES

2- Liquides et gaz

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules

matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres.

Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions

de l'espace.

la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme

du récipient qui les contient.

69

df

dfN

dfT

Mais cette force peut toujours être décomposée en : df

2

La force que la partie (1) exerce sur la partie (2) à travers cet élément de surface réel ou

fictif dS a une direction quelconque.

- Définition de la pression:

Dans un milieu quelconque, donc aussi dans un milieu fluide, Soit un élément de surface dS qui sépare le milieu fluide en deux parties (1) et (2) :

dfT composante tangentielle

dfN une composante normale

La quantité dfT /dS représente la contrainte tangentielle

Où

Unité: Le Pascal (Pa)=1N/m2

est la pression normale Nn

dfP

ds

TT

dfP

ds est la pression tangentielle

Le rapport :

Le rapport :

dfN dfT df = +

1

dS

La quantité dfN /dS représente la contrainte normale

70

Pression en point d'un fluide statique :

En statique des fluides, seules interviennent les forces de pression dfN, normales à l'élément

dS.

Si le fluide est en équilibre, donc pas de mouvement, les forces de frottement sont nulles :

En effet :

Les forces tangentielles dfT n'apparaissent qu'en dynamique des fluides* : elles correspondent

aux frottements visqueux des couches fluides en mouvement les unes par rapport aux autres et

par rapport à la paroi de la conduite.

* A noter que même s’il ya mouvement et si le fluide est parfait, on a dans ce cas :

Les forces de frottement sont nuls (dfT =0)

En tout point d'un fluide existe une certaine pression. Soit un point M dans un fluide.

Si on considère une surface imaginaire dS passant par M,

( statique (en équilibre) : 0)fluide df

dS

df df p n dSdf n

Pds

Où n étant le vecteur unitaire de la normale à dS orienté vers

l'extérieur.

n

M

71

1- Attention, il ne faudrait pas conclure que les forces de pression s’exercent

verticalement. Elles s’exercent perpendiculairement à tout élément de surface.

df df p n dS

df nP

ds

Où n étant le vecteur unitaire de la normale à dS orienté vers

l'extérieur.

n

M dS

Remarque :

2-

72

- Unités de pression

Plusieurs unités existent:

• le pascal (Pa) : unité SI, peu employée en pratique

• le bar (bar) et son sous multiple le millibar (mbar)

• le millimètre de mercure ou Torr

• le millimètre de colonne d'eau ou le mètre de colonne d'eau (m CE)

• l'atmosphère (atm)

La pression atmosphérique est la pression exercée par l'atmosphère à la

surface de la terre.

Au niveau de la mer cette pression est équivalente à celle exercée par une colonne d'environ

760 mm de mercure.

Elle varie tous les jours légèrement: elle est néanmoins toujours voisine de 1 bar.

Po (en moyenne, niveau de la mer) = 1013 millibars = 1,013 bars = 1,013 105 Pa

Exemple :

La correspondance entre ces unités est la suivante:

750 mm de mercure ≈ 10,2 m CE ≈ 0,987 atm

(voir l’expérience de Torricelli )

73

Cas du fluide statique

Fluide parfait

V 0

où est la pression p de fluideT pn

Dans ce cas, l’équation (1), devient :

( ( ))

0 S D

fd Vnp ds r

Et puisque, on a d’après le théorème de :

) ( )(

gradp DS

dnp d Vs

0pf gradr C’est l’équation fondamentale de statique

- EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES

( )( )( )

d

S DD

TV

dVdt

ds Vf dr r L'équation fondamentale de la dynamique s’écrit :

( () )

0S D

Td ds f Vr (1) donc :

( ) ( )

0 D D

p d f dVg Vrad r

Ce qui nous permet d’écrire : ( )( )

0 D

f dVgr pad r :∀( D) Et puisque

74

A partir de l’équation fondamentale de statique: 0 gradpfr

On peut déduire : Et puisque :

0

0

0

0

0

p

p

p

x

y

z

gr

p

)

z

(p z

d

dgr

ctegzp r C’est l’équation fondamentale de l’hydrostatique

Le fluide a pour masse volumique r et le champ de pesanteur est le seul champ de forces

extérieures.

Dans le cas d'un liquide, (ou pour un gaz dans lequel la variation de pression est faible), la

masse volumique r ne dépend pas de la pression.

De plus, si on suppose la température uniforme, la masse volumique sera considérée

comme constante.

D'autre part, pour des différences d'altitude courantes, l'accélération de la pesanteur g peut

aussi être considérée constante.

Dans ce cas on peut intégrer la relation précédente :

EQUATION FONDAMENTALE DE L’HYDROSTATIQUE

z

0

0

p

p

x

y

p

zgr

f = g (=constante)

zp

gd dr

(l’axe oz est vertical ascendant)

On appelle hydrostatique la statique des fluides incompressibles (r constante).

75

76

Bibliographie ( à lire)

http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html

77

Bibliographie ( à lire)

http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html

78

Bibliographie ( à lire)

http://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html

A

B

r

z

P B= PA + ρ g h

h

PB, PA : pressions en B et A → kg/(m.s2) ou Pa (pascal)

ρ : masse volumique du liquide → kg/m3

g : accélération de la pesanteur → m/s2

p gz ct er On a : Soient :

B B p gzr ( )B A A B p p g z -z r

h : distance verticale entre A et B → m

On considère un liquide, de masse volumique r , immobile à l'intérieur d'un récipient;

Soient deux points A et B du fluide, le principe s'écrit:

( ) ( )A B AB A B = g z -z où zp p -z 0hr

0

(l’axe oz est vertical ascendant)

Application : Méthodologie

Remarque:

On a : Donc B Ap p

On pose h = zA – zB, Donc :

Dans un fluide la pression croît de haut en bas.

UNITES :

On a : pB - pA = ρ.g.(zA- zB) ce qui nous permet d’écrire : dp = -ρ.g.dz

z

A A p gzr

zA

zB

79

La différence de pression (en Pa) entre A et B est numériquement égale au poids d'une

colonne de liquide de section unité 1 m2 et de hauteur h en m :

On pourra dire que PB - PA exprimée en pascals est donc égale à une pression de h m de

colonne de liquide de masse volumique ρ (kg/m3).

On peut toujours exprimer une pression avec une unité de hauteur après avoir précisé le

liquide choisi.

La différence de pression entre deux points

quelconques d'un fluide en équilibre est

égale au poids d'un cylindre de fluide de

section unité et ayant pour hauteur la

dénivellation entre les deux points.

dz

z

z+dz

Cylindre de hauteur h en m et de section unité 1 m2

- Valeur de la Différence de pression entre deux points :

( ) ( )p z dz p z dp gdzr

h en m

A

B

r

80

Application de

Calculer la pression subie par un plongeur descendant à un profondeur de 25 m

dans l’eau. On donne g=10ms-2 , re =1000 kg/m3 et p Atmosphérique = 1 bar.

z

0

h=25m

p gz ct er On a : (si l’axe oz est vertical ascendant (montant ))

Dans notre cas : p gz cte- r

Entre 0 et la particule fluide M (plongeur M), on a : a - p 0g r p- hgr

M

ap = p gh rDonc : A.N : P= 3.5 bars = 3.5 105 Pas

p Atmosphérique = pa=1 bar

(oz est vertical descendant ) Donc :

p gz ct er

1 bar = 1 kg / cm2.

81

a = p p ghr

82

La pression absolue en plongée est la pression totale =

Pression atmosphérique + Pression due à l'eau.

Donc : à -25 m de profondeur, la pression absolue est de 3.5 bar =

1bar de pression atmosphérique + 2.5 bar de la pression due à l’eau (rgh)

On trouve:

à -10 m de profondeur, la pression absolue est de 2 bar (1 bar de pression atmosphérique +

1 bar du au poids de 10 m d'eau).

à -20 m elle sera de 3 bar,

à -30 m de 4 bar, etc...

Remarque :

En plongée sous-marine, on supporte 8bar , calculer h qui correspond à 8bar :

En plongée sous-marine, le record est de -90m soit une pression absolue de 10 bar.

Pabsolue =Patmosphérique+Phydrostatique

( ) ( )a5P -10 -

h= = ? 1000.10g

pph

r

( )5 58 10 -10 = ?

1000.10h 70h m

83

La notion de pression partielle est importante pour définir les seuils de toxicité des gaz. Par exemple,

l'oxygène représente un danger pour les plongeurs à partir d'une pression partielle de 1,6 bar. Quand on

plonge à l'air, cette valeur critique est atteinte à la profondeur de 70 m.

Les plongeurs au nitrox respirent un mélange enrichi en oxygène, la PpO2 limite de 1,6 bar sera atteinte

encore plus tôt. Les nageurs de combat qui respirent de l'oxygène pur dans leur scaphandre à circuit

fermé ne pourront dépasser sans danger la profondeur de 6 m !

Bibliographie ( à lire)

La pression est une force appliquée sur une surface. Par exemple, chaque cm2(surface) de notre peau

supporte environ 1 kg (force) représentant le poids de l'atmosphère. C'est la pression atmosphérique au

niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavités (estomac,

poumons, sinus,... ) contiennent de l'air à la même pression.

Si on s'élève de 5 000 m, la pression atmosphérique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car la

masse d'air au-dessus de notre tête est alors moitié moindre. A la fin de cette page se trouve un tableau

des unités de pression. En plongée sous-marine, pour mesurer la pression dans les problèmes, on utilise

de préférence le bar et on considère que 1 bar = 1 kg / cm2.

Qu'en est-il dans l'eau ? Plus on est loin de la surface, plus la pression est élevée car il faut tenir compte

du poids de l'eau au-dessus de nous. A -10 mètres de profondeur, chaque cm2 de notre peau supportera le

poids d'un litre d'eau (1 litre = 1 000 cm3). Sachant qu'un litre d'eau pèse environ 1 kg, la pression due à

l'eau à -10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2, c'est-à-dire 1 bar. Si on descend à nouveau de -10 m,

la pression augmentera à nouveau de 1 bar.

La pression absolue en plongée est la pression totale : Pression atmosphérique + Pression due à l'eau. A

-10 m de profondeur, la pression absolue est de 2 bar (1 bar de pression atmosphérique + 1 bar du au

poids de 10 m d'eau). A -20 m elle sera de 3 bar, à -30 m de 4 bar, etc... On remarquera que de 0 à -10 m

la pression augmente de 100% alors que si on descend de -30 à -40 m, elle n'augmente que de 20%. Il est

important de savoir que la pression change plus vite en fonction de la profondeur si on est près de la

surface.

La pression hydrostatique est le nom savant pour la pression due à l'eau. On l'appelle aussi pression

relative car c'est une pression par rapport à la surface. La relation qui unit tous ces termes est donc :

P.absolue = P.atmosphérique + P.hydrostatique

http://www.thelin.net/laurent/plongee/nitrox.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html

84

Archimède (287 - 212 av.JC) Physicien et mathématicien né à Syracuse en Sicile. Il est connu des plongeurs pour avoir posé

les bases du calcul de la flottabilité grâce à son principe décrit sur la page Lois physiques.

C'était un génie, il a inventé le palan, le levier, les engrenages et le téléphone portable (vérifier

ce dernier point).

Evangelista Torricelli(1608 - 1647) Physicien Italien qui a mesuré en 1643 la pression atmosphérique à l'aide de l'expérience

décrite en cours

Bibliographie

http://www.thelin.net/laurent/plongee/loisphysiques.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html

85

L'oxygène est toxique à partir d'une certaine pression. Si on respire de l'oxygène à une pression

supérieure à 1,6 bar, on risque un malaise grave (crise à caractère épileptique). L'air est composé

approximativement de 20% d'oxygène et 80% d'azote. Au niveau de la mer, la pression atmosphérique est

de 1 bar. La part de pression due à l'oxygène est donc de 0,2 bar (c'est la "pression partielle" de l'oxygène).

En plongée, la pression de l'air respiré dans le détendeur augmente avec la profondeur. Par exemple à une

profondeur de 20m, il règne une pression de 3 bar, l'air respiré est donc lui aussi à 3 bar. La pression

partielle d'oxygène dans cet air représente toujours 20% de cette pression, c'est-à-dire 0,6 bar. Si les

plongeurs continuent à descendre, la pression partielle de l'oxygène respiré continue de croître et peut

atteindre ou dépasser la limite des 1,6 bar (à une profondeur de 70m environ).

L'azote est toxique à partir d'une certaine pression. Sa toxicité se manifeste par ce qu'on appelle

couramment "l'ivresse des profondeurs" ou plus simplement "narcose à l'azote". Un des symptômes est

une forte baisse de la concentration, ce qui peut s'avérer très dangereux en cas d'incident.

Tous les sujets n'ont pas la même sensibilité à la narcose. De plus une même personne peut être plus ou

moins sensible en fonction du moment. Cet état apparaît chez le plongeur entre 30 et 40m de profondeur.

Au delà, tout le monde est plus ou moins narcosé.

En conclusion on peut dire que l'air est un gaz acceptable en plongée de loisir pour des profondeurs ne

dépassant pas 40m. Les tables de plongées courantes sont prévues pour des profondeurs maximum de

cet ordre.

Limites de la plongée à l'air

Bibliographie

http://www.thelin.net/laurent/plongee/photos/index.htmlhttp://www.thelin.net/laurent/plongee/pression.html

- CONSÉQUENCES IMMEDIATES ET APPLICATIONS

1) Etude de la surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur uniforme) :

2) Etude de surface de séparation de deux liquides non miscibles :

3) Etude des vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles :

4) Mesure de la pression , par :

a- Un baromètre à mercure (Torricelli, ~ 1643),

b- Un manomètre à mercure à air libre.

5) Transmission des pressions (théorème de Pascal).

7) Présenter des "Paradoxes" en hydrostatique.

p gz cter

0) Les surfaces d’égales pressions dans un fluide sont des plans horizontaux (plans

isobares)

Hypothèses : Fluide statique, Fluide parfait , Fluide Incompressible et g=cte

L’équation fondamentale de l’hydrostatique :

Comme conséquences immédiates de cet équation, on tire les propositions suivantes:

z

86

1) Surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur uniforme)

h

Et puisque * :PB = PA= P0

donc ρ g (zB- zA) = 0 Ce qui implique : zA =zB

La surface libre d'un liquide au repos est donc plane et horizontale

On suppose, par l’absurde, que la surface libre d'un liquide au repos n’est pas

horizontale, soit:

P B− PA =-ρ gh on peut écrire:

B B p gzr ( )B A A B p p g z -zr

On considère deux points A et B de cette surface de côte respect. zA et zB :

p gz cter s'écrit entre A et B:

Conclusion : Les surfaces d’égale pression (isobares) sont horizontaux

Dém. : P=constante z= cte et d’après p gz cter (plan horizontaux)

z

0

donc (h=0)

A

B

P0 = pression atmosphérique

zA

zB

A A p gzrL’équation fondamentale de l’hydrostatique :

si h = zB - zA

A B

Remarque* : On pourra considérer que la pression de l’air

est la même pour des variation de z de l’ordre de 10 m.

(ce qu’on ne peut pas dire pour un liquide)

87

2) Surface de séparation de deux liquides non miscibles

dans le fluide I, PB -PA = ρ1gh

dans le fluide II, PB -PA = ρ2gh

A

B

h

z

(I)

(II)

r1

r2

ρ1gh = ρ2gh ==>

Or g≠ 0 et (ρ1 - ρ2) ≠ 0 donc :

La surface de séparation de deux liquides

non miscibles au repos est horizontale

Conclusion (puisque h=o) :

On considère deux fluides (I) et (II) non miscibles (ex. eau et huile), de masse

volumique r1 et r2, dans un même récipient et

soient deux points A et B de la surface de séparation supposée (par l’absurde)

non horizontale :

g h (ρ1 - ρ2) = 0

h = 0

Et puisque ρ1 - ρ2 > 0 => ρ2 > ρ1

Et par la suite le fluide (II)

le plus lourd est en dessous

z

(II) r2

(I) r1

88

3) Vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles :

Les dénivellations de deux liquides non miscibles dans

des vases communicants sont en rapport inverse de leurs

masses volumiques.

A

B

C ρ1

ρ2

h1 h2

1

1

2

2 h

h

r

r

Remarque :

Si ρ1 = ρ2 (même fluide)

Et puisque g 0

PB -PA = ρ1gh1 et PB -PC = ρ2gh2

D’après ctegzp r Et si h1 =zA-zB et h2=zC-zB , cette équation devient :

Or PA = PC = P0 d'où ρ1gh1 = ρ2gh2

P0 pression atmosphérique

On verse un liquide de masse volumique r1 dans un tube en U et on ajoute ensuite

dans l’autre branche un autre liquide de masse volumique r2 :

Et soient les points A, B et C, tel que (voir figure), z ascendant:

Un fluide est à la même hauteur dans deux vases

communicants :

Donc: h2 = h1

z

89

90

4) Mesure de la pression atmosphérique (Torricelli, ~ 1643)

PB - PC =ρHgg( zC – zB )= ρHg.g.h

Et l’expérience donne : h= 76cm=0,76(m)

Puisque : p g ct z er On a : B B C C p g z p g zHg Hgr r

[Pc = 0 (le vide)] PB =ρHg g ( zC – zB )= ρHg. g.h

PB = PA = P0 P0 = ρHg. g. h (1)

A.N. : ρHg = 13596(kg.m-3); g = 9,806(m.s-2).

P0 = 101325 kg/ms2

= 1,01325. 105 Pa

= 1,01325 bar (1 bar = 1 kg / cm2. )

C

B

vide

A h P0

Donc :

Avec ces données et d’après la relation (1), on trouve :

a- Un baromètre à mercure permet de mesurer la pression atmosphérique locale P0

Il s’agit d’une colonne de mercure, au sommet de laquelle on a fait le vide, et qui est

retournée sur une cuve à mercure (figure)

On applique la loi fondamentale de la statique des fluides au système mercure :

Entre B et C (oz ascendant) :

Soit :

Et comme :

Question : Comment réaliser le vide ? Toriccelli a retourné une éprouvette pleine de mercure

(métal liquide très lourd) dans une cuve de mercure. Un

vide s'est alors créé en haut de l'éprouvette

La mesure de pression absolue est effectuée par

rapport au vide. A l’aide du baromètre à mercure 91

92

Mesure de la pression :

Voici des précisions sur les unités utilisées pour mesurer la pression. Dans les bouquins d'exercices et de

problèmes, on aime donner la pression en "cm de mercure" (cm Hg). Cette vieille unité date d'une expérience

célèbre décrite par ce dessin :

Toriccelli a retourné une éprouvette pleine de mercure

(métal liquide très lourd) dans une cuve de mercure. Un

vide s'est alors créé en haut de l'éprouvette. En faisant

varier la position de l'éprouvette, il constata que la

distance entre la surface de mercure au contact du vide et

la surface de mercure au contact de la pression

atmosphérique était constante et de 76 cm.

Le poids de cette colonne de 0,76 m de mercure équilibre

parfaitement la pression atmosphérique. Petit calcul : le

mercure pèse 13,6 g / cm3, cette colonne applique donc

une pression de

13,6 × 76 = 1033 g / cm2 = 1,033 kg / cm2.

L'unité officielle de pression dans le système international est le pascal (Pa) qui est égal à une pression de 1 newton par m2.

Le bar, plus facile à utiliser est un multiple du pascal : 1 bar = 105 Pa. Dans les bulletins météo, on entend souvent parler de

l'hectopascal, qui est le nouveau nom du millibar.

La densité de l'eau douce est 1, c'est-à-dire qu'un litre d'eau douce pèse 1 kg. Pour faire l'expérience de Torricelli avec de

l'eau il aurait fallu utiliser une éprouvette d'au moins 10,33 m ! Cette distance est bien connue des installateurs de pompes

aspirantes : Une telle pompe ne peut pomper de l'eau douce si elle est située à plus de 10,33 m de la surface de la nappe. En

effet, au delà de cette distance elle ne pompe que de l'air et devient de ce fait une "pompe à vide". Seule une pompe

refoulante placée au niveau de l'eau peut élever celle-ci au-delà de 10,33 m.

L'eau de mer a une densité de 1,026 à cause du sel qu'elle contient. Pour tous les exercices on admettra que la pression

hydrostatique augmente de 1 bar tous les 10 m. En réalité elle augmente de 0,98 bar dans l'eau douce et de 1,007 bar dans

l'eau de mer. Voici le calcul pour l'eau de mer :

Masse d'une colonne d'eau de mer de 10 m de haut et 1 cm2 de section :

1,026 kg

Poids de cette colonne :

p = 1,026 × 9,81 = 10,06506 N (pour la suite, on arrondi à 10,07)

Pression résultante :

P = 10,07 / 10-4 Pa = 100700 Pa = 1,007 bar

On remarque que cette approximation va dans le sens de la sécurité pour l'eau de mer, pas pour l'eau douce !

Bibliographie ( à lire)

Bibliographie ( à lire)

93

- La pression atmosphérique vaut donc : Soit 76 cm de mercure

ou ~ 10 m d'eau

Hauteur de la colonne d'eau équivalente :

Si on remplace par la pensée le mercure par de l’eau,

Et par le même raisonnement , on trouve : P0 = ρeau. g. heau

Donc : r eau. g. heau= ρHg. g. hHg Soit :

heau = 10,33 m

Pourquoi avoir choisi le mercure?

Hg

eau Hg

eau

h = h . r

r

A.N :

Le choix de mercure est dû d’une part à sa forte masse volumique

qui permet de traduire 1atm par hauteur raisonnable de 76 cm et

par contre avec l’eau il faudrait 10 m et

d’autre part à sa faible volatilité, car en tête de colonne règne le vide et une partie du

mercure se vaporise et ceci risque de changer la pression qui est supposée nulle

dans le vide

( la pression de vapeur saturante du mercure est très faible et reste négligeable)

94

b- Un manomètre à mercure à air libre est relié à un enceinte dont on veut

mesurer la pression : (figure)

- Déterminer la relation entre la pression

atmosphérique locale (P0 ) , la pression

P1 à mesurer et la dénivellation h du

mercure

au système mercure entre les points A et B (oz ascendant) :

p gz cter

A g (-h) p Hgr Entre A et B, la loi :

1 0 p g h pHgr Donc : 1 0 p p g hHgr

Et puisque : PA = PA’ = P1

A’

h

A

B

P1 = ???

P0

Manomètre

Gaz =(air)

z

0

En se reportant à la figure et on applique, la loi fondamentale de la statique

des fluides,

Nous permet d’écrire:

Il vient :

1- C’est pourquoi la pression s’est exprimée pendant longtemps en cm Hg :

1 atm = 1.013 bar = 76 cm Hg ( ou 1 bar = 75 cm Hg)

Remarque :

B g (o)p Hgr

Hg

2- La pression manométrique (ou effective) est mesurée par rapport à la

pression atmosphérique. A l’aide du manomètre à mercure 95

96

Dans cette simulation Java, la pression hydrostatique est mesurée dans un liquide

grâce à un manomètre :

http://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htm

Bibliographie :

http://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/hydrostpr_f.htm

5) Transmission des pressions (théorème de Pascal)

Soient deux points A et B (fixes) du fluide, fluide incompressible:

la différence de pression ne dépend que de la différence d’altitude (h), qui demeure

constante ,

Exemples d’applications:

Vérin hydraulique, Frein de voiture, ...

A

B

h

z

r

On a : PB-PA=r gh

Et puisque g est considérée constante, donc

Donc B subit la même variance de pression : PB→ PB + dp

Le théorème de Pascal : « Un fluide incompressible transmet intégralement les

pressions »

donc : toute variation de pression en A se transmet en B,

si A subit une variation de pression dp : PA → PA + dp

S. L=constante

97

D'après la loi de Pascal, la pression d'un fluide en milieu fermé est transmise

uniformément dans toutes les directions et dans toutes les parties du récipient,

à condition que les différences de pression dues au poids du fluide soient

négligeables.

Cette loi a des applications extrêmement importantes en hydraulique.

En dynamique de fluide :

S1. L1= S2. L2

Vérin hydraulique Un vérin hydraulique est basé sur le fait

qu’un liquide au repos transmet

intégralement la pression et pas les forces.

BF

SA

pA

pB

sB

cette figure montre un vérin rempli d’huile

fermé par deux bouchons étanches de

surface SA et sB .

On a:

Comme les pressions en A et B (PA=PB) sont

proches (car h est supposé petit),

On a : FA= PA SA et FB= PBsB

Et puisque: SA >> SB alors FA >> FB On réalise ainsi une très forte démultiplication. Avec un tel vérin un mécanicien peut soulever à la main une voiture

ou un avion pour changer une roue de secours

,comme SA LA= SB LB

Il faut donc beaucoup de coup de pompe sur le vérin pour soulever un avion.

p gz cter

B A Entre A et B : p p g h hr

B

z AF

h On peut définir les variables (voir figure) :

Remarque :

Par contre avec un tel système les travaux sont égaux en effet :

WFA = FA .LA = PASA LA

on a donc : WFA=WFB

rh

A

et WFB = FB .LB = PBSB LB

Vérin hydraulique Un vérin hydraulique est basé sur le fait

qu’un liquide au repos transmet

intégralement la pression et pas les forces.

1F

S2

p2

p1

s1

cette figure montre un vérin rempli d’huile

fermé par deux bouchons étanches de

surface S1 et S2 .

Comme les pressions en S1 et S2 (P1=P2) sont

égales (loi de pascal) : transmission

Intégrale de la pression, donc :

On a : F1= P1 S1 et F2= P2S2

La presse multiplie la force F1 par S2/S1. On obtient ainsi une très forte force.

Fluide incompressible , donc : S2 L2= S1 L1 et puisque : P2=P1

z 2F

On peut définir les variables (voir figure) :

Remarque : Est- ce qu’on peut réaliser un gain en énergie ?

Par contre avec un tel système les travaux sont égaux en effet : WF2 = F2 .L2 = P2S2 L2

on a donc : WF2=WF1

rh

et WF1 = F1 .L1 = P1S1 L1

S2 >> S1 alors F2 >> F1

Avec un tel vérin, peut soulever à la main une voiture ou un avion pour changer une roue de secours

F1x S2/S1 = F2 Et puisque

La presse ne multiplie pas l’énergie

102

REMARQUES ET DEFINITIONS

Il existe donc trois types de mesures de pression :

manométrique (ou effective) :

La pression manométrique (ou effective) est mesurée par rapport à la pression

atmosphérique

A l’aide du manomètre à mercure

différentielle.

La pression différentielle est similaire à la pression manométrique, mais elle est

mesurée par rapport à une pression de référence spécifique.

absolue :

La mesure de pression absolue est effectuée par rapport au vide.

A l’aide du baromètre à mercure

On peut différencier deux (2) pressions:

•Pression atmosphérique : pression de surface dans des conditions habituelles

(normalement aux alentours de 1013 mb mais usuellement considérée comme

équivalent à 1 bar)

* Pression hydrostatique : variable en fonction de la profondeur atteinte - cette

pression augmente de 1 bar par tranche de 10 mètres sous l'eau (0,98 bar dans

l'eau douce et 1,007 bar dans l'eau de mer)

La pression absolue en plongée

est la pression totale = Pression atmosphérique + Pression due à l'eau.

ap = p gh r

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pression_atmosph%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrostatiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bar_(unit%C3%A9)http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8trehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Eau_douce

103

En général, les Fluides compressibles sont les gaz.

La masse volumique dépend de la pression et de la température.

On ne peut pas intégrer directement la relation dp = - r g dz.

Il faut déterminer r en fonction de la pression et de la température (relation d’état)

Cependant les masses volumiques des gaz sont faibles : Air dans les conditions

courantes 1,3 Kg /m3

A l’échelle humaine courante, on négligera les variations de pression avec l’altitude

dans les gaz

Seul l’air atmosphérique présente des différences d’altitude suffisantes pour ne pas

négliger les variations de pression

(il faut compter de l'ordre de 1 km d'altitude pour q