É n o n c é Exercice 1pharedesmaths.free.fr/IMG/pdf/Exercices-corriges-3.pdf3. les antécédents de 1 par f ; 4. les solutions de l’équation g(x) = 3; 5. l’ensemble des solutions

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés SecondeÉnonéExercice 1 Seconde/Fonctions-Généralités/exo-057/texte

Soit k la fonction définie par la courbe donnée ci-dessous :

2

4

−2

2 4 6−2−4−6−8 0

b

b

Partie A

Répondre par vrai (V) ou par faux (F) aux affirmations ci-dessous en cochant la case correspondante.Aucune justification n’est demandée.

V F

1. k(4) = −1 ❒ ❒

2. −2 est un antécédent de 2 par k. ❒ ❒

3. −1 est l’unique antécédent de 5 par k. ❒ ❒

4. L’équation k(x)=0 a exactement 4 solutions. ❒ ❒

5. k est strictement décroissante sur [−1; 2]. ❒ ❒

6. Le maximum de k sur [−8; 7] est 5. ❒ ❒

7. La fonction k atteint son minimum sur [−8; 7] lorsquex = 2. ❒ ❒

8. Si 0 6 x 6 7 alors −2 6 k(x) 6 3. ❒ ❒

Partie B

Dresser le tableau de variations de la fonction k en s’aidantde la représentation graphique donnée.

Exercice 2 Seconde/Fonctions-Généralités/exo-024/texte

On considère un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 10 cm et AC = 6 cm et M un point mobile sur [AB].On construit N et P respectivement sur [BC] et [AC] detelle sorte que AMNP soit un rectangle.

10 cm

6 cm

A B

C

M

NP

1. On pose AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x ?

2. a) Exprimer MN en fonction de x puis établir que l’airedu rectangle AMNP est donnée, en cm2, par :

AAMNP = 6x − 0,6x2

b) Est-il possible que le rectangle AMNP soit uncarré ? Si oui, préciser dans quel(s) cas.

3. Soit f la fonction définie sur [0; 10] par :

f(x) = 6x − 0,6x2

a) Donner l’allure de la courbe de f dans un repère or-thonormal d’unité 1 cm.

b) Conjecturer le tableau de variations de f puisémettre une hypothèse concernant la position dupoint M qui maximise l’aire du rectangle AMNP .

c) En développant chacune des deux expressions, éta-blir que, pour tout x appartenant à [0; 10] :

f(5) − f(x) = 0,6(x − 5)2

d) Expliquer en quoi l’égalité démontrée dans la ques-tion précédente permet de valider l’hypothèse émiseà la question 3b.


Soit f la fonction définie sur [−6; 2] par :

f(x) =

Å

x −2

3

ã2

(x + 5)

1. Tabuler f au pas de 1 sur [−6; 2] puis recopier le tableaude valeurs obtenu en arrondissant les valeurs de f(x) à10−1 près.

2. En déduire des valeurs à affecter aux paramètres Xmin,Xmax, Ymin et Ymax de la fenêtre afin d’obtenir un af-fichage satisfaisant de la courbe de la fonction f surl’écran de la calculatrice.

3. Déterminer algébriquement les coordonnées du pointd’intersection de la courbe de la fonction f avec l’axedes ordonnées.

4. La courbe de la fonction f coupe-t-elle l’axe des abs-cisses ? Si oui, déterminer par le calcul les coordonnéesde chacun des points d’intersection de cette courbe avecl’axe des abscisses.


Soit k la fonction définie par la courbe donnée ci-dessous :

2

4

6

−2

2 4 6 8−2−4−6 0

b

b

1. Donner, par lecture graphique, le tableau de variationsde la fonction k.

2. Recopier et compléter la phrase suivante :

Si x est un réel appartenant à l’intervalle [0; 4] alors k(x)appartient à l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés Seconde


Partie A

On donne ci-dessous les courbes représentatives de deuxfonctions f et g obtenues sur l’écran d’une calculatrice avecla fenêtre d’affichage paramétrée de la manière suivante :xmin = −4, xmax = 6, ymin = −1 et ymax = 5.

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4 #»ı

#»

O

Cf

Cg

Déterminer graphiquement sans justifier :

1. g(1) ;

2. l’image de 3 par g ;

3. les antécédents de 1 par f ;

4. les solutions de l’équation g(x) = 3 ;

5. l’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) 6 0 ;

6. l’ensemble des solutions de l’équation f(x) = g(x).

Partie B

On admet maintenant que f et g sont définies sur R res-

pectivement par f(x) =4 − 2x

x2 + 1et g(x) = x2 − 2x.

1. Calculer l’image de2

3par f en détaillant les étapes du

calcul. On donnera le résultat sous forme d’une fractionirréductible.

2. Développer, réduire et ordonner (x − 1)2 − 9.

3. Factoriser (x − 1)2 − 9.

4. Déterminer algébriquement les antécédents de 8 par g.


On considère un carré ABCD de côté 6 cm, M et N deuxpoints mobiles respectivement sur [AB] et [BC] tels queAM = BN .

CD

A BM

N

6

6

Partie A

1. On pose AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x ?

2. Exprimer en fonction de x l’aire des triangles ADM ,BMN et CDN puis prouver que l’aire du triangleMND est donnée, en cm2, par 0,5x2 − 3x + 18.

3. Soit f la fonction définie sur I par f(x) = 0,5x2−3x+18.

a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer les variationsde f sur I et émettre une hypothèse concernant laposition de M telle que l’aire du triangle MND soitla plus petite possible.

b) En développant séparément les deux membres del’égalité, établir que pour tout x appartenant à I :

f(x) − f(3) =(x − 3)2

2

c) En déduire la valeur exacte en laquelle la fonction fatteint son minimum sur I puis déterminer la posi-tion de M telle que l’aire du triangle MND soit laplus petite possible.

Partie B

1. Prouver que DN2 = x2 − 12x + 72 puis exprimer DM2

et MN2 en fonction de x.

2. Résoudre algébriquement chacune des équations sui-vantes :

a) x2 + 36 = x2 − 12x + 72 ;

b) x2 − 12x + 72 = 2x2 − 12x + 36 ;

c) x2 + 36 = 2x2 − 12x + 36.

3. Est-il possible que le triangle MND soit isocèle ? équi-latéral ?


Dans cet exercice, f et g désignent les deux fonctions défi-nies sur [−2; 4] dont on donne ci-dessous les courbes repré-sentatives, obtenues sur l’écran d’une calculatrice.

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2 0

Cf

Cg

•

•

•

•

1. Déterminer graphiquement l’ensemble solution de cha-cune des équations et inéquations suivantes :

a) f(x) = 4 ;

b) f(x) > 1 ;

c) f(x) > g(x) ;

d) f(x) 6 g(x).

2. On admet maintenant que f et g sont définies respecti-vement par f(x) = −x2 + 2x + 4 et g(x) = −x + 4.Résoudre par le calcul l’équation f(x) = g(x).



Partie A

On donne ci-dessous les courbes représentatives Cf et Cg dedeux fonctions f et g toutes deux définies sur l’intervalleI = [−1; 8].

2

4

6

8

10

12

14

16

−2

−4

−6

−8

1 2 3 4 5 6 7 8−1•

•

•

•

Cf

Cg

Résoudre graphiquement les équations et inéquations ci-dessous.On justifiera chaque réponse par une phrase.

1. f(x) = 12

2. f(x) = g(x)

3. f(x) > g(x)

4. f(x) 6 g(x)

Partie B

Dans cette partie, on admet que les fonctions f et g sontdéfinies sur I par f(x) = 16−(x−3)2 et g(x) = x2−8x+7.


3par g.

On donnera le résultat sous la forme d’une fraction ir-réductible.

Pour répondre aux deux questions suivantes, des trans-formations d’écriture (développement, factorisation)sont nécessaires.

2. Déterminer algébriquement les antécédents de 0 par f .

3. Résoudre algébriquement l’équation f(x) = g(x).


Soit f la fonction définie sur [0; 7] par f(x) = 2x − (x − 3)2.


3par f .

On détaillera les étapes du calcul et on donnera le ré-sultat sous forme d’une fraction irréductible.

2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x)

3. Donner l’allure de la courbe représentative de la fonc-tion f dans le repère donné ci-dessous.

4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 5.Justifier la réponse par une phrase ou par des traits delecture apparents sur le graphique.

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1 2 3 4 5 6 7



On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonc-tion g définie sur [−1; 6].

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1 2 3 4 5 6−1

•

•

Partie A

Donner par lecture graphique :

1. l’image de 4 par g ;

2. les antécédents de (−2) par g ;

3. l’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) > 6 ;

4. l’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) < 3 ;

5. le maximum de g sur [−1; 6] ainsi que la valeur de x enlaquelle ce maximum est atteint ;

6. le tableau de variations de g.

Partie B

On admet maintenant que g est définie par :

g(x) = −x2 + 4x + 3

1. Calculer l’image deÅ

−2

3

ã

par g.

2. Établir que pour tout x appartenant à [−1; 6] :

g(2) − g(x) = (x − 2)2

3. L’égalité prouvée à la question précédente permet de va-lider une des réponses obtenues graphiquement dans lapremière partie. Laquelle ? Justifier.


Partie A

Soit f la fonction définie sur [0; 10] par :

f(x) = 2x2 − 20x + 100

1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (tab. 1, p. 4).

2. Donner des valeurs de xmin, xmax, ymin et ymax permet-tant d’afficher correctement la courbe représentative dela fonction f à l’écran de la calculatrice.

3. Dresser, par simple lecture graphique, le tableau de va-riations de f sur [0; 10].

Partie B

Les pierres « okaré » sont des pierres précieuses dont lavaleur (en euros) est égale au carré de leur masse (engrammes).On a malheureusement laissé tomber une pierre « okaré »de 10 grammes ; elle s’est alors brisée en deux morceaux.

1. Prouver que si le plus gros des morceaux pèse 8 grammesalors la valeur totale des deux morceaux est 68e.

2. Dans la suite de l’exercice, on note x la masse, expriméeen grammes, d’un des deux morceaux.

a) Préciser l’intervalle dans lequel varie x puis exprimeren fonction de x la masse du second morceau.

b) Établir que la valeur totale des deux morceaux estdonnée, en euros, par 2x2 − 20x + 100.

3. Justifier en une phrase chacune des affirmations sui-vantes.

a) Quelles que soient les masses des deux morceaux, lepropriétaire de la pierre « okaré » est perdant.

b) La pire des situations du point de vue du proprié-taire est que sa pierre se soit brisée en deux morceauxidentiques.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(x)

Table 1 – Tableau de valeurs de f



Partie A

On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g.

2

4

6

8

10

12

14

16

−2

−4

−6

−8

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3

•

•

•

•

Cf

Cg

1. Par simple lecture graphique, dresser le tableau de variations de la fonction f .

2. Comparer, sans aucun calcul, fÅ

7

3

ã

et fÅ

8

3

ã

.

3. Soit a et b deux réels appartenant à [0; 3] tels que a 6 b. Peut-on comparer f(a) et f(b) ?

4. Compléter le tableau ci-dessous à l’aide du graphique.

L’ensemble de définition de f est

L’image de 3 par g est

f(−1) =

Les solutions de f(x) = 15 sont

Les antécédents de 7 par f sont

L’ensemble solution de f(x) 6 12

L’ensemble solution de f(x) > g(x)

La valeur de x pour laquelle f atteint son maximum sur [−3; 7] est

Le maximum de f sur [−3; 7] est

Le couple de coordonnées du point d’intersection de Cg avec l’axe des ordonnées est

Partie B

Dans cette partie, on admet que les fonctions f et g sont définies respectivement par f(x) = −x2 + 4x + 12 et g(x) = x + 2.


1. Le point A de coordonnéesÅ

−3

2; 4

ã

appartient-il à la courbe Cf ? Justifier la réponse par un calcul.

2. a) Développer, réduire et ordonner 16 − (x − 2)2.

b) En factorisant 16 − (x − 2)2, prouver que :

16 − (x − 2)2 = (x + 2)(6 − x)

c) Résoudre l’équation 16 − (x − 2)2 = 0.

d) Factoriser (x + 2)(6 − x) − (x + 2).

3. S’ils existent, déterminer par le calcul les antécédents par f du nombre 0.

4. Résoudre algébriquement l’équation f(x) = g(x).

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés SecondeCorrigéExercice 1 Seconde/Fonctions-Généralités/exo-057/corrige

Partie A

1. k(4) = −1 ❒✓ ❒

2. −2 est un antécédent de 2 par k. ❒ ❒✓

3. −1 est l’unique antécédent de 5 par k. ❒✓ ❒

4. L’équation k(x)=0 a exactement 4 solutions. ❒✓ ❒

5. k est strictement décroissante sur [−1; 2]. ❒✓ ❒

6. Le maximum de k sur [−8; 7] est 5. ❒✓ ❒

7. La fonction k atteint son minimum sur [−8; 7] lorsquex = 2. ❒✓ ❒

8. Si 0 6 x 6 7 alors −2 6 k(x) 6 3. ❒✓ ❒

Partie B

Tableau de variations de la fonction k :

x

Var.

k

−8

4

−5

−1

−1

5

2

−2

7

3

Exercice 2 Seconde/Fonctions-Généralités/exo-024/corrige

1. La longueur AM est minimale lorsque M est en A ; dansce cas, on a x = 0.La longueur AM est maximale lorsque M est en B ;dans ce cas, on a x = 10.Conclusion : x varie dans l’intervalle I = [0; 10].

2. a) Les droites (MN) et (AC) sont parallèles (car toutesdeux perpendiculaires à (AB)) et les droites (CN) et(AM) sont sécantes en B donc, d’après le théorème

de Thalès, on aBM

BA=

MN

AC.

BM

BA=

MN

AC⇐⇒ MN =

BM × AC

BA

⇐⇒(10 − x)6

10

⇐⇒60 − 6x

10

⇐⇒60

10−

6x

10⇐⇒ 6 − 0,6x

L’aire du rectangle AMNP est donnée, en cm2, par :AAMNP = AM × MN

= x(6 − 0,6x)

= 6x − 0,6x2

b) Pour que le rectangle AMNP soit un carré, il fautet il suffit qu’il ait deux côtés consécutifs de mêmelongueur.Par conséquent, AMNP est un carré si, et seule-ment si, AM = MN soit encore si, et seulement si,x = 6 − 0,6x. Or :6 − 0,6x = x ⇐⇒ 6 − 0,6x + 0,6x = x + 0,6x

⇐⇒ 6 = 1,6x

⇐⇒6

1,6= x

⇐⇒ 3,75 = x S = {3,75}

Conclusion : Le rectangle AMNP est un carré si, etseulement si, x = 3,75.

3. a) Allure de la courbe représentative de f :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) Je conjecture le tableau de variations de f :

x

Var.

f

0

0

5

15

10

0

Si le tableau ci-dessus correspond bien au tableaude variations de f alors la fonction f atteint sonmaximum sur [0; 10] lorsque x = 5, ce qui signifieque l’aire du rectangle AMNP est maximale lorsquex = 5 c’est-à-dire lorsque M est le milieu de [AB].

c) Pour tout x appartenant à [0; 10] :f(5) − f(x) = 15 − (6x − 0,6x2)

= 15 − 6x + 0,6x2

= 0,6x2 − 6x + 15

0,6(x − 5)2 = 0,6(x2 − 2 × x × 5 + 52)= 0,6(x2 − 10x + 25)

= 0,6x2 − 6x + 15

Conclusion : Pour tout x appartenant à [0; 10] :

f(5) − f(x) = 0,6(x − 5)2

d) Pour tout x appartenant à [0; 10], 0,6(x−5)2 > 0 (carun carré est un réel positif) donc f(5)−f(x) > 0 d’oùf(5) > f(x).On peut donc affirmer que la fonction f atteint bienson maximum sur [0; 10] lorsque x = 5, ce qui permetde valider la conjecture émise à la question 3b.


1. Tableau de valeurs de f (tab. ??, p. ??).

2. Au vu du tableau de valeurs, on peut choisir Xmin = −6,Xmax = 2, Ymin = −44,4 et Ymax = 26,9.Remarque : Avec ces valeurs, on n’obtient pas la tota-lité de la courbe à l’écran. On solutionne ce problème


en ajustant les valeurs de Ymin et Ymax, par exemple,en choisissant Ymin = −45 et Ymax = 27.

3. Un point appartient à l’axe des ordonnées si, et seule-ment si, son abscisse est égale à 0.

f(0) =

Å

0 −2

3

ã2

× (0 + 5)

=

Å

−2

3

ã2

× 5

=4

9× 5

=20

9

donc la courbe de f coupe l’axe des ordonnées au point

A de coordonnéesÅ

0;20

9

ã

.

4. Un point appartient à l’axe des abscisses si, et seulementsi, son ordonnée est égale à 0.

f(x) = 0 ⇐⇒

Å

x −2

3

ã2

(x + 5) = 0

Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si,et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.

f(x) = 0 ⇐⇒ x −2

3= 0 ou x + 5 = 0

⇐⇒ x =2

3ou x = −5

La courbe de la fonction f coupe exactement deux foisl’axe des abscisses. Les deux points d’intersection sont

les points B (−5; 0) et CÅ

2

3; 0

ã

.

10

20

30

−10

−20

−30

−40

1 2−1−2−3−4−5−6

•

•

• ••BA

C


1. Tableau de variations de la fonction k :

x

Var.

k

−6

6

−3

−3

1

5

9

−2

2. Si x est un réel appartenant à l’intervalle [0; 4] alors k(x)

appartient à l’intervalle [0; 5] .


Partie A

1. g(1) = −1 ;

2. l’image de 3 par g est 3 ;

3. les antécédents de 1 par f sont −3 et 1 ;

4. les solutions de l’équation g(x) = 3 sont −1 et 3 ;

5. l’ensemble des solutions de g(x) 6 0 est [0; 2] ;

6. l’ensemble des solutions de f(x) = g(x) est {−1; 2}.

Partie B

1. Je calcule l’image de2

3par f :

f

Å

2

3

ã

=4 − 2 ×

2

3

(2

3)2 + 1

=

12

3−

4

34

9+

9

9

=

8

313

9

=8

3×

9

13

=24

13

2. Je développe, réduis et ordonne (x − 1)2 − 9.

(x − 1)2 − 9 = x2 − 2 × x × 1 + 12 − 9= x2 − 2x − 8

3. Je factorise (x − 1)2 − 9.

(x − 1)2 − 9 = (x − 1)2 − 32

= (x − 1 − 3)(x − 1 + 3)= (x − 4)(x + 2)

4. Les antécédents de 8 par g sont les solutions de l’équa-tion g(x) = 8.

g(x) = 8 ⇐⇒ x2 − 2x = 8⇐⇒ x2 − 2x − 8 = 0 (d’après question 2)⇐⇒ (x − 1)2 − 9 = 0 (d’après question 3)⇐⇒ (x − 4)(x + 2) = 0

Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si,et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.

g(x) = 8 ⇐⇒ x − 4 = 0 ou x + 2 = 0⇐⇒ x = 4 ou x = −2

Conclusion : 8 admet exactement deux antécédents parg : −2 et 4.


Partie A

1. x varie dans l’intervalle I = [0; 6] .

2. J’exprime en fonction de x les aires des triangles ADM ,BMN et CDN :

AADM =AD × AM

2=

6x

2= 3x

ABMN =BM×BN

2=

(6−x)x

2=

6x−x2

2= 3x − 0,5x2


ACDN =CD × CN

2=

6(6 − x)

2= 3(6−x) = 18 − 3x

J’en déduis l’expression de l’aire du triangle MND enfonction de x :

AMND = AABCD − (AADM + ABMN + ACDN )= 62 − (3x + 3x − 0,5x2 + 18 − 3x)= 36 − (−0,5x2 + 3x + 18)= 36 + 0,5x2 − 3x − 18

= 0,5x2 − 3x + 18

3. Soit f la fonction définie sur I par f(x) =1

2x2−3x+18.

a) Allure de la courbe représentative de f sur I :

13

14

15

16

17

18

0 1 2 3 4 5 6

La fonction f semble atteindre son minimum sur Ilorsque x = 3.

On peut donc conjecturer que l’aire du triangleMND est minimale lorsque M est le point de [AB]tel que AM = 3, c’est-à-dire lorsque M est le milieude [AB].

b) Pour tout x appartenant à I :

f(x) − f(3) = 0,5x2 − 3x + 18 − (0,5 × 32 − 3 × 3 + 18)= 0,5x2 − 3x + 18 − 13,5

= 0,5x2 − 3x + 4,5

(x − 3)2

2=

x2 − 2 × x × 3 + 32

2

=x2 − 6x + 9

2= 0,5x2 − 3x + 4,5

d’où f(x) − f(3) =(x − 3)2

2.

c) Un carré est un réel positif donc, pour tout x appar-

tenant à I,(x − 3)2

2> 0 donc f(x) − f(3) > 0 d’où

f(x) > f(3) .

Ainsi, f atteint son minimum sur I lorsque x = 3, cequi permet de valider la conjecture émise à la ques-tion 3a.

Partie B

1. En appliquant le théorème de Pythagore dans les tri-angles ADM , BMN et CDN respectivement rectanglesen A, B et C, on obtient :

DM2 = AD2 + AM2

= 62 + x2

= x2 + 36

DN2 = CN2 + DC2

= (6 − x)2 + 62

= 62 − 2 × 6 × x + x2 + 36

= x2 − 12x + 72

MN2 = BM2 + BN2

= (6 − x)2 + x2

= 62 − 2 × 6 × x + x2 + x2

= 2x2 − 12x + 36

2. a) x2 + 36 = x2 − 12x + 72⇐⇒ 36 = −12x + 72⇐⇒ 12x = 72 − 36⇐⇒ 12x = 36

⇐⇒ x =36

12⇐⇒ x = 3

Conclusion : S = {3} .

b) x2 − 12x + 72 = 2x2 − 12x + 36⇐⇒ x2 + 72 = 2x2 + 36⇐⇒ x2 − 2x2 = 36 − 72⇐⇒ −x2 = −36⇐⇒ x2 = 36

⇐⇒ x = 6 ou x = −6

Conclusion : S = {−6; 6} .

c) x2 + 36 = 2x2 − 12x + 36⇐⇒ x2 = 2x2 − 12x⇐⇒ x2 − 2x2 + 12x = 0⇐⇒ −x2 + 12x = 0⇐⇒ x(−x + 12) = 0⇐⇒ x = 0 ou − x + 12 = 0⇐⇒ x = 0 ou − x = −12⇐⇒ x = 0 ou x = 12

Conclusion : S = {0; 12} .

3. Le triangle MND est isocèle en M si, et seulementsi, MD2 = MN2 donc si, et seulement si, x2 + 36 =2x2 − 12x + 36 donc si, et seulement si, x = 0 (la solu-tion x = 12 n’est pas retenue car 12 n’appartient pas àI), c’est-à-dire si, et seulement si, M est en A.En raisonnant de même, on montre que le triangleMND est isocèle en N si, et seulement si, x = 6, c’est-à-dire si, et seulement si, M est en B et isocèle en D si,et seulement si, x = 3, c’est-à-dire si, et seulement si,M est le milieu de [AB].Par conséquent, on peut affirmer que le triangle MNDn’est jamais équilatéral.


1. Je détermine graphiquement l’ensemble solution de cha-cune des équations et inéquations données :

a) f(x) = 4. S = {0; 2}

b) f(x) > 1. S = [−1; 3]

c) f(x) > g(x). S =]0; 3[

d) f(x) 6 g(x). S = [−2; 0] ∪ [3; 4]

2. Je résous par le calcul l’équation f(x) = g(x).f(x) = g(x) ⇐⇒ −x2 + 2x + 4 = −x + 4

⇐⇒ −x2 + 2x + 4 + x − 4 = 0⇐⇒ −x2 + 3x = 0⇐⇒ x(−x + 3) = 0


Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si,et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.f(x) = g(x) ⇐⇒ x = 0 ou − x + 3 = 0

⇐⇒ x = 0 ou − x = −3⇐⇒ x = 0 ou x = 3

Conclusion : S = {0; 3} .


Partie A

1. Les solutions de l’équation f(x) = 12 sont les abscissesdes points de Cf qui ont une ordonnée égale à 12.

On en déduit que S = {1; 5} .

2. Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscissesdes points d’intersection de Cf et Cg.

On en déduit que S = {0; 7} .

3. Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) sont les abs-cisses des points de Cf situés strictement au-dessusde Cg.

On en déduit que S =]0; 7[ .

4. Les solutions de l’inéquation f(x) 6 g(x) sont les abs-cisses des points de Cf situés en dessous de Cg.

On en déduit que S = [−1; 0] ∪ [7; 8] .

Partie B

1. g

Å

2

3

ã

=

Å

2

3

ã2

− 8 ×2

3+ 7

=4

9−

16

3+ 7

=4

9−

48

9+

63

9

=19

9

Conclusion : L’image de2

3par g est

19

9.

2. Déterminer les antécédents de 0 par f revient à résoudrel’équation f(x) = 0.f(x) = 0 ⇐⇒ 16 − (x − 3)2 = 0

⇐⇒ 42 − (x − 3)2 = 0⇐⇒ [4 − (x − 3)][4 + (x − 3)] = 0⇐⇒ (4 − x + 3)(4 + x − 3) = 0⇐⇒ (7 − x)(x + 1) = 0

Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si,et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.f(x) = 0 ⇐⇒ 7 − x = 0 ou x + 1 = 0

⇐⇒ −x = −7 ou x = −1⇐⇒ x = 7 ou x = −1

Conclusion : 0 admet exactement deux antécédents parf : −1 et 7.

3. f(x) = g(x) ⇐⇒ 16 − (x − 3)2 = x2 − 8x + 7⇐⇒ 16 − (x2 − 6x + 9) = x2 − 8x + 7⇐⇒ 16 − x2 + 6x − 9 = x2 − 8x + 7⇐⇒ −x2 + 6x + 7 = x2 − 8x + 7⇐⇒ −x2 + 6x = x2 − 8x⇐⇒ −x2 + 6x − x2 + 8x = 0⇐⇒ −2x2 + 14x = 0⇐⇒ −2x(x − 7) = 0⇐⇒ −2x = 0 ou x − 7 = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 7

Conclusion : L’équation f(x) = g(x) admet exactementdeux solutions : 0 et 7.Ce résultat confirme la lecture graphique réalisée à laquestion 2 de la première partie.


1. Je calcule l’image de4

3par f :

f

Å

4

3

ã

= 2 ×4

3−

Å

4

3− 3

ã2

=8

3−

Å

4

3−

9

3

ã2

=8

3−

Å

−5

3

ã2

=24

9−

25

9

= −1

9

Conclusion : L’image de4

3par f est égale à

Å

−1

9

ã

.

2. Tableau de valeurs de f :

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) −9 −2 3 6 7 6 3 −2

3. Allure de la courbe représentative de la fonction f :

2

4

6

−2

−4

−6

−8

1 2 3 4 5 6 7

•

•≈ 5,4≈ 2,6

4. Les solutions de l’équation f(x) = 5 sont les abscissesdes points de la courbe représentative de f qui ont uneordonnée égale à 5. Sur le graphique, on lit deux solu-tions : 2,6 et 5,4.


Partie A

1. L’image de 4 par g est g(4) = 3.

2. Les antécédents de (−2) par g sont (−1) et 5.

3. L’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) > 6 est[1; 3].

4. L’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) < 3 est[−1; 0[∪]4; 6].

5. Le maximum de g sur [−1; 6] est 7 et ce maximum estatteint en x = 2.

6. Tableau de variations de g :


x

Var.

g

−1

−2

2

7

6

−9

Partie B

1. Calcul de l’image deÅ

−2

3

ã

par g :

g

Å

−2

3

ã

= −

Å

−2

3

ã2

+ 4 ×

Å

−2

3

ã

+ 3

= −4

9−

8

3+ 3

= −4

9−

24

9+

27

9

= −1

9

2. Pour tout x appartenant à [−1; 6] :g(2) − g(x) = (−22 + 4 × 2 + 3) − (−x2 + 4x + 3)

= (−4 + 8 + 3) + x2 − 4x − 3= 7 + x2 − 4x − 3= x2 − 4x + 4= (x − 2)2 ce qu’il fallait démontrer.

3. Pour tout x appartenant à [−1; 6], (x − 2)2 > 0 (carun carré est un réel positif) donc g(2) − g(x) > 0 d’oùg(2) > g(x).Par conséquent, g atteint son maximum sur [−1; 6]lorsque x = 2, ce qui valide la réponse obtenue gra-phiquement à la question 5 de la première partie.


Partie A

1. Tableau de valeurs de f :x 0 1 2 3 4 5

f(x) 100 82 68 58 52 50x 6 7 8 9 10

f(x) 52 58 68 82 100

2. Les paramètres de la fenêtre d’affichage de la calcula-trice sont les suivants :

• xmin =0

• xmax =10

• ymin =50

• ymax =100

3. Tableau de variations obtenu par lecture graphique :

x

Var.

f

0

100

5

50

10

100

Partie B

1. Si le plus gros des deux morceaux pèse 8 grammes alorsl’autre pèse 10 − 8 = 2 grammes et la valeur totale desdeux morceaux est 68e car 82 + 22 = 64 + 4 = 68.

2. a) Une masse est un réel positif et la masse d’un mor-ceau ne peut dépasser la masse initiale de la pierre.De plus, lorsque la pierre se brise en deux morceaux,aucun des deux morceaux n’a une masse nulle ouégale à la masse initiale de la pierre donc x variedans l’intervalle ]0; 10[.Si x désigne la masse, en grammes, du premier mor-ceau alors la masse du second est (10− x) grammes.

b) La valeur totale des deux morceaux est donnée, eneuros, par :

x2 + (10 − x)2 = x2 + 102 − 2 × 10 × x + x2

= 2x2 − 20x + 100

3. a) Quelles que soient les masses des deux morceaux, lepropriétaire de la pierre « okaré » est perdant car, enun seul morceau, elle vaut 100e et 100 est le maxi-mum de f sur [0; 10].

b) Ce qu’il peut arriver de pire au propriétaire de cettepierre de 10 grammes est qu’elle se brise en deuxmorceaux pesant 5 grammes chacun car f atteintson minimum sur [0; 10] lorsque x = 5.


Partie A

1. Tableau de variations de la fonction f obtenu par lecturegraphique :

x

Var.

f

−3

−9

2

16

7

−9

2. 2 <7

3<

8

3< 7 et f est strictement décroissante sur

[2; 7] donc fÅ

7

3

ã

> f

Å

8

3

ã

.

En effet, une fonction strictement décroissante sur unintervalle est une fonction qui renverse l’ordre sur cetintervalle.

3. Non, on ne peut comparer les réels f(a) et f(b) sous cesconditions car la fonction f n’est ni croissante, ni dé-croissante sur l’intervalle [0; 3] (on dit qu’elle n’est pasmonotone sur cet intervalle).

En effet, f est strictement croissante sur [0; 2] et stric-tement décroissante sur [2; 3].

4. Tableau complété :

L’ensemble de définition de f est [−3; 7]

L’image de 3 par g est g(3) = 5

f(−1) = 7

Les solutions de f(x) = 15 sont 1 et 3

Les antécédents de 7 par f sont −1 et 5

L’ensemble solution de f(x) 6 12 [−3; 0] ∪ [4; 7]

L’ensemble solution de f(x) >

g(x)

] − 2; 5[

La valeur de x pour laquelle f

atteint son maximum sur [−3; 7]est

2

Le maximum de f sur [−3; 7] est 16

Le couple de coordonnées dupoint d’intersection de Cg avecl’axe des ordonnées est

(0; 2)

Partie B

1. Je calcule fÅ

−3

2

ã

:


f

Å

−3

2

ã

= −

Å

−3

2

ã2

+ 4 ×

Å

−3

2

ã

+ 12

= −9

4− 6 + 12

= −9

4+ 6

= −9

4+

24

4

=15

4

f

Å

−3

2

ã

6= 4 donc le point A de coordonnéesÅ

−3

2; 4

ã

n’appartient pas à la courbe Cf .

2. a) Je développe, réduis et ordonne 16 − (x − 2)2 :16 − (x − 2)2 = 16 − (x2 − 2 × x × 2 + 22)

= 16 − (x2 − 4x + 4)= 16 − x2 + 4x − 4

= −x2 + 4x + 12

b) Je factorise 16 − (x − 2)2 :16 − (x − 2)2 = 42 − (x − 2)2

= [4 + (x − 2)][4 − (x − 2)]= (4 + x − 2)(4 − x + 2)

= (x + 2)(6 − x)

c) Je résous l’équation 16 − (x − 2)2 = 0 :16 − (x − 2)2 = 0 ⇐⇒ (x + 2)(6 − x) = 0

Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nulsi, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.16 − (x − 2)2 = 0 ⇐⇒ x + 2 = 0 ou 6 − x = 0

⇐⇒ x = −2 ou − x = −6⇐⇒ x = −2 ou x = 6

Conclusion : L’équation 16 − (x − 2)2 = 0 admetexactement deux solutions dans R : −2 et 6.

d) Je factorise (x + 2)(6 − x) − (x + 2) :

(x + 2)(6 − x) − (x + 2)= (x + 2)(6 − x) − (x + 2) × 1= (x + 2)[(6 − x) − 1]

= (x + 2)(5 − x)

3. Rechercher les antécédents par f du nombre 0 revient àrésoudre l’équation f(x) = 0.

f(x) = 0 ⇐⇒ −x2 + 4x + 12 = 0⇐⇒ 16 − (x − 2)2 = 0 d’après 2a⇐⇒ (x + 2)(6 − x) = 0 d’après 2b⇐⇒ x = −2 ou x = 6 d’après 2c

Conclusion : 0 admet exactement deux antécédents parf : −2 et 6.

4. Je résous algébriquement l’équation f(x) = g(x) :

f(x) = g(x) ⇐⇒ (x + 2)(6 − x) = x + 2⇐⇒ (x + 2)(6 − x) − (x + 2) = 0⇐⇒ (x + 2)(5 − x) = 0 d’après 2d⇐⇒ x + 2 = 0 ou 5 − x = 0⇐⇒ x = −2 ou − x = −5⇐⇒ x = −2 ou x = 5

Conclusion : L’équation f(x) = g(x) admet exactementdeux solutions : −2 et 5.

Remarque : On peut vérifier graphiquement que les ré-sultats obtenus dans cette question sont plausibles. Eneffet, les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont lesabscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.

Documents

É n o n c é Exercice 1pharedesmaths.free.fr/IMG/pdf/Exercices-corriges-3.pdf3. les antécédents de 1 par f ; 4. les solutions de l’équation g(x) = 3; 5. l’ensemble des solutions