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. , 4..,ri i. !:i:! .it)L,r-. 200112002 MATIIEMATIQUES 2ème année PROBABILITES STATISTIQUES Enoncés - Réponses

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. , 4..,ri i. !:i:! .it)L,r-.

200112002

MATIIEMATIQUES 2ème année

PROBABILITES

STATISTIQUESEnoncés - Réponses

EXERCICE 1

Un technicien a la responsabilité du bon fonctionnement de troisuaités comportant chacune un mécanisme automatique servant à introduireun gâz inefte dans une ampoule de verre. La probabilité que le mécamsmene requière pas son intervention durant une joumée est égale à 0.92 pourI'unité A, 0.88 pour t'unité B er 0.90 pour l,unité C. euelle est la probabilitéqu aucune des trois unités ne requière, pendant la joumée, I,intervenhon dutechnicien ?

EXERCICE 2

On tire au hasard, successivement et sans remise,4lettres du mot"DICTIONNAIRE,'. On considère le mot formé par les letrres obtenuesdans I'ordre ou elres apparaissent . eueue est la probabilité d,obtenir le mot"NOIR".

EXERCICE 3

Un laboratoire a mis au point un Alcoolest. On sait que 2Zo despersonnes contrôlées par la police sont réellement en état d,ébriété.

I-es premiers essais ont conduit aux résultats suivants:- lorsquhne personne est réellement en érat d,ébriété 95 fois sur 100

I'Alcootest se révèle positif

- lorsqu'une personne n'est pas en état d,ébriété 96 fois sur 100I'Alcootest se révèle négatif

Quelle est la probabilité pour qu'une personne soit réellement en étatd'ébriété lorsqùe l,Alcootest est positif ?

2EXERCICE 4

Une fabrication est telle que la probabilité pour qu'un article soit

conforme à des normes imposées est égale à 0.96. On adopte un procédé de

contrôle de fabrication, dit simplifié, qui identifie comme "bons" les

articles conformes aux norrnes avec une probabilité égale à 0.98 mais

identifie comme "bons" 1es articles non conformes avec une probabilité

égale à 0.05.

Quelle est la probabilité pour qu'un article ayant subi avec succès

deux fois ce contrôle simplifié soit effectivement conforme aux normes ?

(On suppose I'indépendance des deux contrôles).

EXERCICE 5

Deux personnes A et B jouent avec deux dés non pipés. A gagnera en

amenânt un total de 7 et B gagnera en amenant un total de 6. B joue le

premier et ensuite (s'i1 y a une suite) A et B jouent altemativement. Le jeu

s'arrête dès que I'un d'entre eux gagne. Quelle est la probabilité de succès

de chacun des deux ioueurs ?

EXERCICE 6

On prend 5 cârtes au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la

probabilité qu'elles soient de 5 niveaux différents ?

EXERCICE 7rUn ascenseur dessert 6 étages. Quatre personnes

simultanément 1'ascenseur au rez-de-chaussée. Quelle est la

pour que deux personnes au moins descendent au mêrne étage ?

EXERCICE 8

Prennent

probabilité

Le quart d'une population a été vacciné, contre une maladie

contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate qu'il y a parmi les

malades un vacciné pour quatre non vaccinés. On sait de plus, qu'au cours

de cette épidémie, il y avait un malade sur douze parmi les vaccinés.

Qu'elle était la probabilité de tomber malade pour un individu non

vacciné ?

l-e vaccin est-iL efficace ?

EXERCICE 9

Un concessionnaire de voitures vend le même jour 5 véhicules

identiques. La probabiliré pour que ce type de voiture soit en état de rouler

2 ans après est de 0.8

Calculer la probabilité pour que

1) 1es 5 voitures soient en sewice 2 années plus tard

2) les 5 voitures soient hors de service 2 années plus tard

3) 3 voifures exactement soient hors de service 2 armées plus tard

4) 2 voitures ou plus soient hors de servie 2 années plus tard

4EXERCICE 1Or

I

Un bureau de réservations reçoit entre 10 et 12 heures, en moyenne

1,2 appels téléphoniques par minute.

On modélise ce phénomène par une variable de Poisson.

Déterminer

1) la probabilité qu'entre 1lh et 11h01 on ait

a) aucun appel

b) un appel

c) deux appels

2) la probabilité de recevoir 4 appels entre 1lh et 1 th02

EXERCICE 11

Si 1a probabilité pour qu'un individu ait une mauvaise réaction à

finjection d'un certain sérum est de 0.001, déterminer la probabilité pour

que sur 2000 individus:

a) trois aient une mauvaise réaction

b) plus de deux aient une mauvaise réaction

EXERCICE 12

Dans une population homogène de 20000 habitants, la probabilité

pour qurune personne quelconque demande à être vaccinée contre la grippe

est de 0.4

De combien de vaccins doit-on disposer pour que la probabilité qu'on

vienne à en manquer soit inférieure à 0.1 ?

5EXERCICE 13

L'entreprise CMC fabrique les écrans vidéo pour micro-ordinateur.

Une étude statistique a permis d'établir que la demande pour son modèle

ZX était distribuée normalement avec une moyenne de 2000 unités par

mois et un écart t)?e de 300 unités.

a) Si I'entreprise a en stock, pour le mois qui débute, 2300 unités,

quelle est la probabilité pour qu'elle ne puisse satisfaire à la demande ?

b) L'entreprise veut s'assurer qu'elle ne serâ pas en pénurie de stock

plus de 57o du temps. Quel doit être le nombre d'unités à stocker

mensuellement pour respecter cette condition ?

EXERCICE 14

Sondage avant une élection portant sur le choix entre deux candidats

AetB

Un institut de sondage choisit un échantillon représentatif de 1a

population des électeurs et demande à chaque électeur son intention de

vote-

Quelles précisions peut-on tirer de ce sondage dans les deux cas

suivants:

a) N=100 53 électeurs disent voter pour A

b) N=1000 533 électeurs disent voter pour A

oEXERCICE 15

Une entreprise fabrique des tubes de télévision dont la duée de vie est

une variable normale d'écart type 5 mois.

Quelle devrait être le moyerme pour que 90 7o des tubes durent plus

Iongtemps que la période de garantie de 18 mois ?

EXERCICE 16

On tire au hasard et avec rcmise deux nombres dans {0, 1,2, 3}.

X indique Ie plus petit des deux nombres et Y le Plus grand.

Quelle est la loi du couple (X, Y) ?

En déduire les lois de X et Y. Calculer COV(X, Y).

X et Y sont-elles indépendantes ?

EXERCICE I.7

Un sondage concemant le deuxième tour de l'élection présidentielle

effectué sur un échantillon de 1000 personnes n'ayant ni I'intention de

s'abstenir, ni celle de voter blanc, accorde à 51,7 Vo des intentions de vote

au cardidat A et 48,3 7o au candidat B.

1. Déterminer un intewalle de confiance à 95 7o et 99 lo pour le

pourcentage de suffrages exprimés obtenu par le candidat A.

2. Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour que I'orgalisme

de sondage puisse observant un pourcentage de 51,7 7o pour A

dans l'échantillon. annoncer la victoire de A en estimant n'avoir

que deux chances sur cent de se tromper ?

7EXERCICE 18

Lors d'un sondage effectué auprès de la population étudiante, on a

observé que, sur un échantillon de 700 personnes, 380 sont satisfaits de la

qualité de la nourriture offerte au restaurant universitaire.

a) Quelle est la marge d'erreur de ce sondage au niveau de confiance

de 957o ?

b) Estimer, pour I'ensemble de la population étudiante, la proponion

des personnes qui sont satisfaites de la quâlité de la nourriture offerte

au restaurant universitaire avec un niveau de confiance de 957o

EXERCICE 19

On veut estimer par sondage le pourcentage de personnes qui se

révèlent capables de citer le nom de la marque de commerce "CACOLAC"

(ce qui représente le taux de notoriété d'une marque de commerce dans le

domaine de la publicité).

Le responsable du marketing de l'entreprise estime que le pourcentage

de personnes qui connaissent la marque "CACOLAC" se situe entre 15 et

25Vo.

Quelle est la taille de l'échantillon requis pour estimer le taux de

notoriété de cette marque avec une précision en valeur absolue de 37o et un

niveau de confiance de 95Va ?

8EXERCICE 20

Des essais en laboratoire sur 20 lampes miniatures servant de lampes

témoin sur des panneaux de contrôle électronique utilisés dans diverses

entreprises conduisent aux durées de vie du tableau:

Durée de vie en heures

45r 4r2 4t2 375 407 454 375 393

355 364 4r4 413 345 432 392 329

439 381 45r 413

On suppose que la durée de vie est distribuée normalement.

a) Calculer I'estimation ponctuelle de la durée de vie moyenne pour

l'ensemble de la population.

b) Calculer la variance de l'échantillon, ainsi que l'écart type de la

moyerure de l'échantillon

c) Estimer, à I'aide d'un intervalle ayant un niveau de confiance de

95lo,la dtrêe de vie moyeffIe de toute la production.

9EXERCICE 21

On a mesuré le poids de raisin par souche sur 10 souches prises au

hasard dans une vigne. On a obtenu les résultats suivants (en kg)

2,4 3,2 3,6 4,1 4,3 4,7 5,4 5,9 6,5 6,9

a) calculer la moyenne et l'écart tlpe de cet échantillon. En déduire

une estimation ponctuelle non biaisee de la moyenne et de l'écart type de la

population dont ces souches sont extraites.

b) donner un intervalle de confiance de la moyenne de 1a population

au risque de 0.05, en supposant que le poids du raisin par souche suit une

loi normale.

c) toujours dans I'hypothèse d'une population gaussienne, donner au

risque 57o un intervalle de confiance de la variance, puis de l'écart type de

la population.

EXERCICE 22

Le directeur commercial d'un important quotidien de la région de

Nancy affirme que plus de 807o des foyers de cette région lisent au moins

utr quoiidi"tt.

Un sondage effectué auprès de 1000 foyers de la région de Nancy

indique que 840 foyers lisent au moins un quotidien.

Est ce que l'affirmation du directeur commercial est supporté par les

résultats du sondage au seuil de signification de 0.05 ?

10EXERCICE 23

La résistance ohmique d'un composant électronique doit être en

moyenne, de 400 ohms. Un échantillon de 16 composants, prélevé d'un

grand lot, conduit aux Ésultats suivants:

392 396 386 389 388 387 403 397

401 39r 400 402 394 406 406 400

On considère que la distribution de la résistance ohmique est celle

d'une loi normale.

a) Peut-on considérer, au seuil de signification cr = 0.05 que le lot

respecte la norme de 400 ohms ?

b) Avec les résultats de cet échantillon, calculer un intervalle de

confiance, ayant un niveau de confiance de 95Vo, de contenir la vraie

moyenne. Est ce que cet intervalle contient la norme spécifiée ?

EXERCICE 24

On souhaite étudier l'évolution du prix d'un produit. Ce produit est tel

qu'il est invraisemblable qu'il y ait baisse. En mai, à partir de 40 points de

vente pris au hasard, on a obtenu un prix moyen de 25f avec un écart type

de 2f. En septembre, à partir d'un sondage effectué sur 35 points de vente,

on a obtenu un prix moyen de 2Jf avec un écan type de 4f. Y a t'il une

différence significative, au risque de 5Eo, entrc les prix moyens du produit

en mai et en seDtembre ?

11EXERCICE 25

Un procédé de fabrication courant a produit des millions de tubes TV ,

dont la durée de vie moyenne est m = 1200 heures.

Un nouveau procédé, estimé meilleur par un bureau d'études, est testé

sur un échantillon de 25 tubes. Il foumit une moyenne X = 1265 heures et

un écart t)pe s= 175 heures.

S'agit-il simplement d'un coup de chance de l'échantillonnage ?

( o = 0.05)

EXERCICE 26

Afin de comparer la façon de noter de deux examinateurs A et B, on

fait procéder à une double correction du même paquet de 34 copies. On

obtient les notes suivantes:

Conecteur A 12 13 1O 11 09 10 09 08 05 08 05 03

Conecteur B 13 12 12 13 10 11 10 09 06 08 05 04

Correcteur A 11 09 06 10 15 16 09 03 04 11 04 l0

Correcteur B 11 08 05 10 16 17 10 04 06 11 06 11

Correcteur A 09 08 11 11 13 15 11 10 08 13

Correcteur B 10 09 09 lZ ll 16 13 10 09 14

Tester au seuil 57o l'hypothèse " les deux corrections sont

homogènes"

tzEXERCICE 27

Sur la production d'une joumée de deux machines fabricant une même

pièce, on a prélevé deux échantillons indépendants. Les défectuosités

majeures ont été observées et la compilation des résultats se présentent

comme suit:

Machine A Machine B

Nombre de oièces contrôlées 100

12Nombre de défectuosités

majeures

Peut-on conclure au seuil o =

deux machines entre les proportions

EXERCICE 28

Iæs résultats de l'évolution d'une maladie M , à la suite de l'emploi de

I'un ou I'autre des traitements A et B fi8urent dans le tableau qui donne le

nombre de malades appartenant à chacune des catégories majeures

guenson amélioration étatstationnaire totaux

rz0

16

0.05 , que l'écart observé sur les

de défectuosités majeures est

A 280 ZrO 110 600

400

r000totaux 500 300 200

Peut-on dire que les traitements A et B sont différents ?

13EXERCICE 29

Dans une bibliothèque universitaire, on a effectué une étude sur

l'affluence des usagers de terminaux donnant accès à une banque de

données. On a effectué un relevé sur deux joumées (considérées comme

étant des joumées de pointe), du nombre d'arrivées d'usagers dans un

intervalle de 2 minutes. la compilation des observations a donné lieu à Ia

distribution suivante:

Nornbre d'arrivées par

intervalle de 2 minutes

0

1

2

3

4

5

6 et plus

fréquences

Esi ce que ce relevé permet de supporter, au seuil de signification

cr = 0.05 l'hwothèse selon laquelle le nombre d'arrivées par intervalle

de 2 minutes se comporte cornme une loi de Poisson

9

15

18

11

6

I

0

EXERCICE 30

Le responsable du contrôle industriel d'une entreprise a soumis à un

essai de fiabilité 60 dispositifs électroniques identiques. On a noté la durée

de vie en heures jusqu'à défaillance, c'est à dire, jusqu'à la fin de I'aptitude

du dispositif à accomplir la fonction requise. Les résultats se présentent

comme suit;

Durée de vie Nombre de dispositifs

2250<X<2320

2320<X<2390

2390<X<2460

2460<X<2530

2530<X<2600

2600<x<2670

2670<X<27 40

Est ce que ces données permettent de supporter I'hypothèse selon

laquelle la duÉe de vie de ce dispositif est distribuée selon une loi normale

de moyenne m = 2500 heures et d'écart type o = 90 heures

Utiliser o = 0.05

2

4

t2

64

10

6

2

I

EXERCICE 1

PfA) = la Dremière unité fonctio[ne correctement = 0.92PiBi = h àeuxième unité fonctio[ne correctement = 0 88P(C) = 1â troisième unité fonctionne correctement = 0 90

Les trois évétements sont indépendants (la probabilité de réalisation de l'un n'est pasmodifiée par la réalisation ou Ia ton réalisation de I'autre)

P(A r . ) B . \ C)=P(A) xP(B) xP(C)=0.92X0.88X0.90=0.7286='72.86Vo

EXERCICE 2

Utilisons les probabilités conditiontelles

P(NOIR) = P(N) x P(O.ô{) x P(/NO) x P(R4{OI)

31x

10912 l l

I

1980

=0.0005

EXERCICE 3

Formule de BAYES :

P(E) = 0 02

p(E) = 0.98

p(+/E)=0.95

P(-/E)=00s

p(+/E)=0.04

P(-/E)=o.qe

o.s59os

p(+)=0.02x0.95r0.98x0.04=0.0582"Somme des probabilités composées de tous les parcours dont I'issue est +"

I

p(E .\ +) = 0.02x0.95 = 0.019'iProbabilité composée du parcours reliant E et +"

prEr+r=!E!i-.I = =9 9-_9 = s.3265 = 32.6sr"P(+) U U)Ùl

EXERCICE 4

On suppose qu'un article testé "Mauvais" est retiré de la fabrication. Cette h)?othèsen'influe oas lè resultat final mais uniquement I arborescence.

3 Æ1"^^

qrpu ::./ G,,{+'-u

o:93/9

t>.v,-> O,a-l)?3

536

6l366

G= U G"

c"i{*_"-----a=_P("Anicle conforme'/2 fois "bons l ô -C

_- M

0.96.r0.98:r0.980.96r0.98r0.98 + 0.04.r0.05x0.05

=O.9999

=99.997a

EXERCICE 5

La probabilité d'amener avec deux dés un total de 6 à un coup quelconque vaut

La probabilité d'amener avec deux dés un total de 7 à un coup quelconque vaut

Soit:

Cn l 'événement B gagne à son nième lancer

Fn"A

G l'événement B gagne la partie

F'A"

F= U F"

2

On a:

Lesréunions (c1,c2,. . . . . . . . . ,GN,. . . . . . . ) et (q,&,. . . . . . . . . ,&.r , - . . . . . . . . )et- tdisjointes, alors

Nnrr: r= l im t \ nrc.)r Fr nrFt= l im\ zJ Y\ei1t ' - , r , t

. N-++*

Gn est Éalisé si et seulement si

[au cours des (n -1) premiers lancés B n a jamais Éalisé 6 et A n a jamais obtenu 7]

et [B réalise 6 à son n''"'' lancerl

l r < l t < ' l l 5 5p(un r = r

36.-x- . - , . . . . . . . . . . . . . . . . . tJ; . ; , . 36(n - 1) facteu$

Utilisons la soûme des termes d'une suite géométrique

-NN-1 l -c_l + q+.. . . . . . . . . . . .+q"-r = ---J- s i q * I

etsi lq l<l a lors Nl im_(r

+ q+.. . . . . +qNr)=+

t t 5Dans notre exemple q =

-.:

alors p(G)= -:-.--j, <- =

366

par un même raisonnement

.- . f3r 5)n-t 31 IDlI i - ,= l - . - I . - . -

\36 6, / 36 6

.- 3 l I I 3 lprfn, =

-.;

-----i-( =;

366

On remarque que p(G) + p(F) = I

La partie s'achève obligatoirement par le succès de l'un des deux joueurs.

Nrs p(Fn))

306l

EXERCICE 6

La troisième doit être d'un niveau des 2 premières sachant

2029

32 28 24x-

32 31 30

prcmièrc carte a été tirée.ôue 2 cartes ont été tirées.

1628

n'importelaquelle

niveau +sachantqu'unecuilrc aété tiîée

P = 0.285

EXERCICE 7

p("Deux peGonnes descendent au même étage")

= 1 - P("0 Pelsonne au même étage")

=t-9*1"1*1=r-1=11- 6 6 6 6 18 18

Pour la première personne: n'importe quel étage

Pour la deu ème penonne, un autre étage que la première

Pour la troisième personûe, un autre étâge que les deux prernières

Pour la quatdème personne, un autre étage que les trois premières

EXERCICE 8

Traduisons l'énoncé en temes de probabilité.læ quart d'une population a été vacciné conte urc maladie contagieuse

lotvr=ll ilD(V)=:t- 4

Au cours dhne épidèmie, oIl coûstate qu'il y a parmi les maladesun vacciné pour quatre non vaccinés.

4

fprv l l rar=1) -5t /lprVlur=lr5

Au cours de cette épidémie, il y avait un malade sur douze parrni les vaccinés.

Iorvrur=!)12| - r rlp(M/V)=-t ' 12

En utilisant les probabilités conditionnelles, déterminons d'abord la probabilité de tomber

malade

p(M rrv) = p(M).p(V / M) = p(V).p(M / v)

l lx

41215

d'où p(M) =

De même

p(v). p(M I v)p(v I M)

548

p(M ^

V) = p(M).p(V / M) = p(V). p(M / V)54

ottr I v1= fl!]lr v1l{'.1 - 48x 5 - -lp(v) I - t4

Finalement- l

p(M/V)= :=O,l I ( l lEo)9

PIM/V)= l -

=OOStuzo'12

læ vaccin est tlès légérement efficace

EXERCICE 9

Lâ variable aléatoire X éga1e au nombre de voitures en état de rouler 2 ans après suit la loibinomiale B(5j0,8)

a) p(x = 5) = c; (0,8)5 (0,2)o = 0,3278

b) p(x = 0) = cg (0,8)0 (0,2)5 = 0,0003

I

c) Trois voitures hors de seNice donc deux voitures en état de marche:

p(x=D=c? (0.8)2 (0,2)3 = 0,0512

d) Deux voitures ou plus hors de service do[c ftois voitures au moins en état de marche:

p(X < 3) = p(x = 0)+ p(X = l) +p(X = 2) + p(X = 3)

ou encore

p(x < 3) = I - [p(x = s) + p(x = a)] = I - [0,327s + 0'40e6] = 0'2626

EXERCICE 10

1") Soit X le nombre d'appels téléPhoniques reçus pendant une minute.

L(X) = P(1,2) loi de Poisson de paramètre À = l'2

.^ f l ?\"ar p{X=0t=. l2. t 'ô ' i ' =. l2=0.J012=fo

.^ r l ?r lh) p(X=l)=e' ' i : : -=e- ' ' .1.2=0.1614-pl

l !

' ' . '2g Drx-2)=. I2. ' " ' =0, .9=0,

'2 l '2 '

2') X le nombre d'appels reçus entre I lh et 11h01Y le nombre d'appels reçus enre l lhol et 11h02

La variable aléatoire Z = X + Y suit la loi de Poisson de prùamètre 2L= 2,4

, " , '4orZ= 4t =e-2 4 . ' ' " ' - = 0. t :s4

4l

Ce calcul suppose que le standard n'a pas été saturé entre 1lh et l lh02

EXERCICE 11

La variable aléatoire X " l'i[dividu a une mauvàise réaction au vaccit " suitla loi binomiale B(2000;0,001)

puisque np = 2000 x 0,001 = 2

Cette loi binominle peùt êre approchée pâr la loi de Poisson P(2) de paramètrenp=constaûte=2

II

e) p(X =3)= e-2 .4= O.,rOo=,r .*u,

b) En ut i l isant P(A)=l-P(A)

p(x > 2) = I - [p(x = 0) + p(x = l) +p(x = 2)]

p(x > 2) = 1- [0,I353+O,270',1 + 0,2'70'11= 0'3233 =32'3390

EXERCICE I.2

Soit X la variable aléatoirc égale au nombre de vaccins demandés.

p = 0.4 (q = 1-p = 0.6)n = 20.000

La toi de X est la loi binomiale

L(X)=B(20.000;0.4)

La moyenne de lâ loi binomiale est E(X) = np = 8 000

l'écart-type est o(X) = JnPq = 69.3

On peut approcher la loi binomiale par la loi normale

8(20.000 ; 0.4) -+ N(8.000i 69.3)

On cherche nonombre de vaccins minimum pour que la probabilité de rupture de stock

soit infédeure à 0.1

p(X>no)<0.1

on centre et on réduit la loi en posant, - x - n -

x --9 9006 69.3

Soit u0 l'image de t0 par cette transfonnation

p(X>ns)=p(U>u0)<0.1

1-F(uo)<0.1

ou F(uo) > 0.9

D'après la table donnant la fonction de répartition de la loi de Laplace-Gauss:

F(l 28) = 0.8997

F(1.29) = 0.9015

La différence rabulairc = dt = F(1.29) - F(1.28) = 0.018

L'écart = ^

=0.9000 - 0.8997 = 0.003

L'accroissement = ;h

= â

= "=

À x 0.01= 0.00166 = 0.002

o.4t0.I

_yII

ILavaleurcherchée = uo = 1.28+ x = 1.282

d'oir ns = ut .o+ m= 8088.8

I-l faut un slock minimum de 8.089 vaccins.

{'_ a- -A

0 e99+ ô,.90/sr-._0.00,t9 +

è.8

fro,, , l ;

^a, , t .29

EXERCICE 13

Le nombre d'écrans vidéo suit la loi normale N de moyenne m = 2000 et d'écart-typeo=300

L(X) = N(2000 300)

a) On pose ., X-m X - 2000

o

siX=2300 alorsU= I

On cherche p(X>2300) = p(U>1) = 0,1587

p(" Ne puisse pas satisfaire la demande") = 15,877,

1587

"r lb) on cherche x rel qu" of

x- t ' ]=u,r ,' \o, /

par lechrre inverse dans la table de la loi nornal" X

- - = t, e+s a'ol

oX = m + 1,645 o =2494 uniré:..

Le nombre minimum d'uûités à stocker pour ne pas être en péqurie de stock plus de 57odu temps est de 2494 unités.

L

,XERCICE 14

Déterminons I'intervalle de confiance de la proportiot au seuil de confiance de 9570

La marge d'erreur

a) n= 100 K=53

E= 0,098

L'intervalle de confiance au seuil de 95% de p est [ 0,432;0,628 ]

Puisque la bome inférieure de cet intervalle est infé eure à 0,5, oû ûe peut tirer aucuneprécision de ce sondage auprès de 100 personnes.

b) n=1000 K=533

E= 0,031

L'intervalle de confiance au seuil de 9570 de p est [ 0,502;0,564 ]

Puisque la bome inférieure de cet intervalle est supé eùre à 0,5, il y a donc 95 chancessur 100 que le candidat A soit élu d'après ce sondage aùprès de 1000 personnes.

EXERCICE 15

La variable aléatoire X durée de vie des tubes suit la loi no.male de paramètre m rnconnueet d'écart-type o=5

L(x)=N(m,5)

On connait Xc = 18 rnois tel que pfr > X") = 0,9

On centre et on Éduit la loi. en Dosant U =

2

' ta -m

si X = Xc alors U

et p(X > Xc) = p(U > Uc) = 0,9

p(U > Uc) = 0,9 :+ p(U < -Uc) = 0,9

9

zy2

a

1(co,,t)

Ip(u < 1,28) = 0,8997 et p(u ( 1,29) = 0,9015

donc, on déduit p(u < l '2s16) = 0'9 d'oùr u.' = -l '2816

U^=X.-t er m=X.-oUc'o

m = l8 -5C1,2816) = 24'4 mois

Si la moyeûne m est supérieure ou égale à 24,4 mois, aloÉ 90Eo des tÙbes dureront plus

longtemps que la période de garanti€ de l8 mois'

EXERCICE 16

o={0,1,2,3}

Oû tire au hasard et avec remise deux nombres

X = le plus petit des deux nombres

Y = le plus grand des deux nombres

I0 I 2 3

0x U

À x X

2x I x x

3X U x À X

L(X)

Pi Prxi

0 7116 0

I 5t16 5/t62 3t16 6tt6

3 I l16 3/16

14 11

tt) ô

uY)

14 7E{X}=--=-

16 8

pi PiYi

0 r /16 0

3/16 3tt6

2 5tt6 10/16

3 1t16 2U 16

l0

I0 I 2 3

0Ut6 2tt6 2l16 2t16

0 1l16 2tt6 2tt6

20 0 I t t6 2t t6

30 0 0 1tt6

- - 1 4 6 4 12 9 711 36 l l9 25cov(x 'Y) =

G*16*16*16*,6*16-tT=G- 64 =a

X et Y ne sont pas indépendants, par exemple

' t t lp(X=0)=; p{Y=0}=-: P(X=0er Y =0)=-

et donc

p(X =0 et Y =0) + p(X = o).p(Y= 0)

Duisoue t

* ' . '16 16 16

EXERCICE 17

l') L'intervalle de confiance de la proportion au seuil de 957o est::

1l

v=zy2

*-z" ' 'S.p=É*zo,[1l-é.1"- iVn|nî ' r in3

,y= r ,ge K=517 et n=1002

lK(n-r l )^^^,rIn-

marge d'elreur

0,486<p<0,548

o) La bome inférieure de I'intervalle de confiance doit êt.e supérieure ou égale à 0,5.

Ii s'agit donc dans cette question d'un test unilatéral.

z)o= 2'759

, f 'y l - " tLe.ondage observé esr de 0.517. i l taut donc Zof/- i 0.017

l ' ;2t7l

n>l--a | .o{ l -o l\ 0,017l

| 1 't59. \21) i . l- iJJ | .{0-51?x0.483)

[ 0,017 ]

n doit être au moins égal à 6573.

_ _ / r . {n-K)La mar8e derreur f = Zo ,/ï =0.037 = 3.71o-Y n_2

0,506<p<0,580 au niveau de confiance de 95%.

{

K

n

iK(n - K)

Y-.-,'-r

h-

EXERCICE 18

Iûtervalle de confiance d'une proportion

'.K=380 n=700 :=0,543n

(

In sufTisarnment srand- alors Ll -- l

I\

K

-Z^ <-7L<Z_: l iK(n-K) :-1/ Yn_

N(0,r) lf,(o, 1)

2s'A/

.o t5 êâ = 2o.o rr., 'Îc

t2

Zor = 1,96 au niveau de corfiance de 957,.

2

EXERCICE 19

Intervalle de confiance d'une proportion.

. . , : '

La marge d erreur r=7or/Plr-Ptt r n

(zù2

alors n=--4-.ô( l -p)

n est suffisamment grand, alors

E = 0,03

La foncton

f :x -+ x(l- x) = x - 1ç2est croissante pour x e (0,;)

décroissante pour x e (],1)

On se plâce dars le cas le plus "défavorable" pour Ê c'est à dire Ê =0,25 qui coûespondà la plus grande valeur de n.

(1,96)2 x0,25x0, ?5 ^^.n = ---------------- =6ul(0,03r

EXERCICE 20

a) X = 400.35

La meilleure estimation poncnrelle de la moyenne est mx=400.35

b) s2=1296.98

s=36.0136

tv_- lc) Ll +l=Tre lo ideSludenr Fischer à 19degrésde l ibené.

|s| '\ . /n- l l

2s.s25.19 = 2.093

I

l3

orx-z- . -J: < m<x+Z- . - j -1= 9,95' ] : ts Vn - I

] : te r /n - |

La maree d ereur t=z- .-L = 1993*{$ = t7.30- :19 {n- l a/19

Au niveau de conflance de95lo , m e [383.05;417.65]

EXERCICE 21

a) La moyenne de l'échantillon est:

t -1=;[(2,4)+(3,2)+ (3,6)+. . . . . . . . . +(6,e)] = 4, '1

La variance de l'échantillon s2 est:

' l rt ' ) = j l tz . + - +. t ,2 + | 3. 2 - 4. ' t t2 +. . . . . . . . . . . . + i 6. 9 - 4, 7 )2 ]

= l . e2s

d'où s = 1,39

L'éstmation ponctuelle non biaisée de la moyenne de la population est: mx = i = 4,?

L'estmation ponctuelle non biaisée de l'écart-type de la population est:

o-=.f ,=.p,=1.a7\ l n- l I9

l

b) La vadable aléatoire suit la loi de Student Fischer à 9 deerés de libe.té.

16I"q Êq^

/

lo-ols.q= 2 %ù

prX - r { r . -

<m<X+ld.--}=0.95vn- l !n- l

p(3.59<m<5.81)= 0.95

m e ]:.se; S.at[ au risque de 57o

s.Jn- l

l4

c) la variâble aléaloire 4suil laloi du kii-deux à9debrésde hbene.

'{

I

H0: hypothèse nulle p=0.8

H1 : hypothèse altemative p>0.8

Itu .u 4.

L . ?, 1c À,1 , u.ou4l jo

EXERCICE 22

Règle de décision pour un test sur une proportion

pr4 < o2 .4, = o.n,x6 xâ

o2 e ]t.Ot;z.ts[au risque de 57,

o € 11.01 ;2.68[ au risque de 57o

Test unilatéral (cfénoncé "au moins")

n=1000 p=0.8

K((or /)---J- - r r Â')

tca > to.o5

èt^ ^^= 1.6'rs '

lnI f (c-j( ,

On rejette HO au seuil de 57,, donc le directeur commercial a raison: plus de 8070 desfoyers lisent un quotidien (au seuil de signification de 57r)

EXERCICE 23

L'échantillon de 16 composants corduit aux résultats suivaûts:

1= 396.125!t s2 = 42.60938 Q2 s=6.5280

H0: hypothèse nulle m=400conlre

Hl : hypothèse altemative m + 400

15

test bilatéral au seuil 57,

La Ésistance ohmique est celle d'une loi nolmale.

On rcjette H0 au seuil 5%

I-e lot ne respecte pas la norme 40OO au seuil de 57o

Déteminons un intervalle de confiance au nivea'u95Eal

- s 2. I31x6.528E=tnn<.- != '

- = 3.592

""" {n- l !15

d'où 392.533<m<399.717

et 400 n'appartient pas à cet intervalle de confiance

EXERCICE 24

On effectue un test de companison de deux ûoyentes.

Ît = 25 francs : prix moyen en mai sI = 2 francs écart-type en mai

Xz = 27 francs : prix moyct en sept s2 = 4 francs écart-type en sept

Test statistique:

H0 : ml = m2 @ypothèse nulle) il n'y a pas de différence significative entre maiet sePtembre

coûm

Hl : ml < m2 (hypothèse altemative) le prix du produit a augmenté e[tre mai etsePtembre

r \t_ lI x-m | -I ' l= '"- '\ . /n- l l

396.125 - 400

R.-."F Io. H" i

! ç.."\-- - -. -ùi------\-rt.iç-\-detlo I s)- f{o

-2.2e8 ,T j {.57]/,

tcut = --632d-- =-----! r )

tcal < -to.os

IO

v. - ta- 1\-)7. - t ' -2 = - :__:L=:-r:::::-- - tr, ^, -

__:L+ _j2 .la+anl - l n2- l \39 34

On effectue un test unilatéral au seuil de 57o

tcat < to.os

Au seuil de 57o, on rejette H0. La différence obseryê est significative au seuil de 57o.

On peut conclwe à la hausse du produit entre mai et septembre.

EXERCICE 25

Règle de décisioû pour un test sur une moyenne:

H6 : hypothèse nulle m = 1200 htest unilatéral (cf énoncé "meilleur")

Hl : hypothèse alremative m > 1200 h

m=1200h X=1265h s=175h n=25

Puisoue n < 30. la loi suivie est la loi de student Fischer à 24 desrés de liberté.

t",r = jj----::: = 1.82

't6L

tc! =1 711

3" '"- d. J.H" e"*. d<-

-;sr;Ç

-o*, .çr .F

{€| : r !

+--Q . /.82-

On rcjette H0 au seuil de 57o. Le nouveau procédé est meilleur. Il ne s'agit pas "d'uncoup de charce de l'échantilloûnage"

Reriarque: pour un échantillon de 25 tubes et pour

X > Xc = m+tcr. r. = 1261.2 heules la réponse est la même.'vn- l

t7

crcE 26

1l s'agit de deux échantillons appariés (appariés = associés par paires) puisque ce sont lesmêmes copies conigées par deux examinateuls différents.

On teste donc la moyetne des différences.

H0: hypothèse nulle m = 0contre

Hl : h)?othèse altemative m*0

Les différcnces di ont pour valeurs:

I - r I -1 -) - r - t - r - r - r o o -r o 1,1,0,- t , -1.- t . -1.-2.-1.-1.-1.-1.-1.2.-1.2.-1.-2.0.-1.- l

La moyenne de l'érhantillon est

x = I t d, = -3! = -s.6176tr.-; 34

Lâ variaûce de l'échantillon est

.z=l I rOir- txr2

L'écart-q?e de l'échantillon est:

s=16.9148 =o.9se5

Puisque n > 30, la variable t=

centrée réduite.

to.o25=-196

tcat < -to.ozs

nr = 100

Kt=12

=f - p.enef = o.srt8

x-0s

1n- I

-o.61'16u.v)of

-

= -3.709 suit sensiblement la loi

On rejette H0 au seuil 5%, il n'y a pas homogénéité des conections.

EXERCICE 27

On effectue un test de comparaison de deux proportions:

t2 = l2O

Kz=16

18

: hypothese nÙlle pl p2 rest bilaréral au seu de 590

: hypothèse altemative Pl I P2

Kr Kz

K, +K' - Kr +K). . I 1 .) t_+_l

nl +n2 nl+n2 nl n2

tcal = -0.295 r.to,a)Rè.vr-u. t

-a;F ù<uôi

i

_1. R*. t l - h"

- l-e.015: - '146+ ^. ! .qb's . t25 -

Au seuil 5%, on ne rejette pas Ho L'écan obsefle su-r les deux .machines

entle

le,, oroport ions de déféctuo*ites mljeures n e\l pa5 signlt lcal l l au \eull oe f_i '

EXERCICE 28

On etïectue un test du k:hi deux d'homogénéité

H0 : hlpothèse nulle les traitements A et B ont des effets identiques

contreHt : hypothèse alternàtive les traitements A et B ont des effets différents

SiT;L'effectif calculé de la classe Ai poùr l'échaûtillon est donné par C, =

ï

guénsoû amélioration état statiorulairetotaux

300 I80 t20 Tr = 600

200 120 80 Tz = 4oo

totaux sl = 5oo Sz = 300 S: = 200 N = 1000

f '=??e#

19

)2 (220 -2}ci)2200

(2lo - r8o)2180

(90- l2o)2, ( l l0-120)2, (90-80)2

120 80t20

XZt = 11.92

Le rlombrc de degré de liberté est:

v = (L-1Xc-l) = (2-r)(3-t) = tx2=2

L nombre de lignes

c nombre de colonnes

Xï.os;z -- 5'9st

Xï.or:z = 9.2t0

H0 est rejetée aù risque 57o (et même au sque 17,): les traitements ontdes effets différents.

EXERCICE 29

Test d'a.justement à une loi de Poisson

15+36+33+24+5= 1.8860

Un seul paramètre est imé À=m*=X=L88 (r=

Ho : hypothèse tulle L(X) = P11.33;conÛe

Hl : hypothèse alternative L(X) * P(1.88)

. , . . .0pa = p1N = Q1= ç- l88xt t

oo' = 0,1526

0

Co = npo = 60x0 1526 = 9.156

c,=c^x! ! !=u.: t+I

1aaC' =Cr x l : :=16.182

2

s" = 6, x !!! =q6.146

r)

. . \ , , 4- -ç ' - \a Fo.

-.jùo.!' lt)Ff delLô- | ii c\<'' - -

20

Nombred' ardvées Répartition observée Oi Répartition théorique Ci

0 9 9.156

I l ) l't.t24

2 18 16.r52

3 l l 10.140

4 o 4.', l64

5 1 t.194

6 et plus 0 0.750

total = 60 total = 60

On regroupe les trois demières classes afin que tous les Ci > 5

Nombre d' a$ivées Répafi ition observées Oi Répartition théorique Ci

0 9 9.156

I IJ 17.124

2 18 16.182

3 l l 10.140

4 et plus 7 7.308

5 ,r , r ,2 r0.156t2 , ,0Ll l ) ' -

*{0 30812 - 0.5?Ell(hi-deuxcalculé= :

r"i : ' i ' =::: l::1-*Ë* *ff i- =

l=t ci

AËès regroupement, le nombre de classes est égal à 5

I-e nombre de degrés de liberté est égal à v = k - r - I = 5 - I - 1 = 3

Khideux théorique = 26fi =7.815

on ne rejette pas H0 au seuil 57o (et meme au seuil 17o)

Le nombre d'arlivées d'usagers suit la loi de Poisson de paramèhe 1 88

EXERCICE 30

Test d'ajustement à une loi normale.

Il n'y a pas lieu d'estimer les Paramètres m et o à partir des observations puisque

les valeurs de ces paranètes sont spécifiées dans l'énoncé

H0 : hypothèse nulle L(X) = N(2500;90)cotÛe

H1 : hypothèse altemative L(x) + N(2500;90)

21

lclassexr3X<xr

x1 - 2500'90 '90 Pi=PQt<z<22) oi

x < 22)U -2. l16 U.UZ t u.162 0

2250<X<2320 -2. '778 -2 0.0201 r.206 2

2320<X<2390 -2 - r.222 0.0880 5.280 4

2390 <X < 2460 -0.444 o.2t'78 13.068 t2

2460 <X < 2530 -0.444 0.333 0.3021 18.126

2530<X<2600 0.333 l .1 l I 0.2360 14.160 l0

2600<x<2670 l .1 l I 1.889 0.1038 6.228 6

2670 <X < 2740 1.889 2.66'7 0.o25'l 1.542 2

x >2'140 2.66'l 0.038 0.228 0

totâl = 60 total = 60

On regroupe les trois premières classes erlfte e]les, ainsi que les ftois demières afin que

tous les Ci soient supérieurs ou égaux à 5.

CIasse

xt <X<x,np, = ci o i

x < 239U 6.64b 6

2390<X<2460 13.068 t22460<X<2530 18.126

2530<X<2600 14.160 10

x > 2600 '7.998 8

total = 60 total = 60

Après rcgroupement, le nombre de classes est égal à

Il n'y a aucun paramètre estimé.

Le nombre de degrés de liberté = v = k - r - I = 4

x?*t=3.27a

On rc peut rejeter H0 aù seuil 57.. Lâ dispari," A" tn di.t ;bution oU..*e" fli-

rapport à la distribution théorique n'est attribuable qu'aux fluctuations d'échantillonnage

L€ modèle théorique N(2500;90) peut être considéÉe comrne plausible au seuil de

signification Cr = 57o.

tlt1""-1,Ï-9-lr-rs1éft fr -- de fTc

22