‘Umar Al-Khayyāmنيشابوری خیام ابراهیم بن عمر الفتح ابو الدین غياث

Sommaire

• Introduction

• L’homme de sciences

• Al-Khayyām mathématicien :

Les équations du troisième degré

Exemple de résolution géométrique d’une équation

• Al-Khayyām philosophe

• Conclusion

Tombeau d’Al-Khayyām

• Mathématiques

• Astronomie

• Médecine

• Philosophie

• Sciences naturelles, théologie et météorologie

Ses travaux mathématiques

• Traité d’algèbre

• Traité sur la division du quart de cercle

• Commentaire sur l’œuvre d’Euclide et notamment la théorie des parallèles

• Traité sur l’extraction de la racine n-ième

Classification des équations du troisième degré

Binômes [6] Trinômes [6]

Trinômes [6] cercle-parabole parabole-hyperbole parabole-hyperbole parabole-hyperbole parabole-hyperbole parabole-hyperbole

Quadrinômes [7] cercle-parabole parabole-hyperbole parabole-hyperbole parabole-hyperbole parabole-hyperbole parabole-hyperbole hyperbole-hyperbole

x3 +bx=c

Démonstration géométrique de l’existence d’une racine.

Soit AB le coté d’un carré d’aire égale à b (AB= ), et soit BC=h la hauteur du solideconstruit sur le carré et telle que AB².BC=c (BC=h==

A

B √𝑏C

h=c/b

Prolongeons AB jusqu’au point G. Traçons la parabole HDB de sommet B, d’axe BGet de coté droit AB. Puis le demi-cercle de diamètre BC. Le cercle coupe la paraboleen D, soit G et E les projetés orthogonaux de D sur AB et CB.

A

B √𝑏C

h=c/b

D GE

L’équation de la parabole donne DG =BG.AB =DG ²

=

Or BE*EC=ED ²

Donc D’où AB *EC=BE² 3 et AB *EC² +AB *EB² =BE3+AB *EB²

Donc AB (EC+EB)=BE² 3+AB *EB² AB *BC=BE² 3+AB *EB²

A

B √𝑏C

h=c/b

D GE

c bEt on a : BE3+bEB=cLa distance EB est donc solution de l’équation x3 +bx=c fixée au début du problème.

Le choix des courbes.

3 +b=c 3=c-b ²=b(

= = (lemme sur la moyenne proportionnelle)

P C

(P) : x²= y

(C) : x²+y²= hx (h=c/b)

Exemple concret.

On veut résoudre l’équation x3+4x=16

On à donc AB= 2 ; c=16 ; donc BC=h=c/b=4

(P) : x²=2y

(C) : x²+y²= 4x

Bibliographie

Livre : Al-Khayyam Mathématicien, R.Rashed et B.Vahabzadeh, 1999

PDF : Note sur le choix des courbes fait par al-Khayyâm dans sa résolution des équations cubiques et comparaison avec la méthode de Descartes, Nicolas Farès

Web : Article Wikipédia : Al-Khayyam, Al-Khwarizmi, Avicène,Article Encyclopédie Universalis : Al-Khayyamhttp://www.cosmovisions.com/Khayyam.htmhttp://membres.multimania.fr/nahlaonline/accueilKhayyam.htm